15．（5分）如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．求证：S△ABFSABCD．
15．证明：四边形ABCD为平行四边形，AD∥BC．
∠DAE∠F，∠D∠ECF．
E是DC的中点，DECE．
△AED≌△FEC． ································································································· 3分 S△AEDS△FEC． A
D E S△ABFS四边形ABCES△CEF
S四边形ABCES△AED
SABCD 5分 B C F
21．（9分）如图，AB为O的直径，AC，BD分别和O相切于点A，B，点E为圆上不与A，B重合的点，过点E作O的切线分别交AC，BD于点C，D，连结OC，OD分别交AE，BE于点M，N．
（1）若AC4，BD9，求O的半径及弦AE的长；
（2）当点E在O上运动时，试判定四边形OMEN的形状，并给出证明．
21．解：（1）AC，BD，CD分别切O于A，B，E，AC4，BD9， A C CEAC4，DEBD9．
CD13． M
AB为O的直径，∠BAC∠ABD90．
过点C作CF⊥BD于F，则四边形ABFC是矩形． E O N
B D
FD
5，CF12．
连结OE． AB12，O的半径为6． ················································································ 3分
CACE，OAOE，
OC垂直平分弦AE．
OC
AMAOAC
OC ··························································································· 6分 AE2AM
（2）当点E在O上运动时，由（1）知OC垂直平分AE．同理，OD垂直平分BE． AB为直径，∠AEB90．四边形OMEN为矩形． ··································· 8分 当动点E满足OE⊥AB时，OAOE，∠OEA45．
MOME．
矩形OMEN为正方形
20．（9分）如图，ABCD是边长为1的正方形，其中DE、
⌒
EF、FG的圆心依次是点A、B、C．
（1）求点D沿三条圆弧运动到G所经过的路线长；
（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．
F
⌒⌒
B
A
E
D
20．解：（1）∵AD = 1，∠DAE = 90o，
901
， 180
2的长l902， 同理，EF2
180
的长l9033， FG
31802
的长l∴DE
1所以，点D运动到点G所经过的路线长ll1l2l33．
（2）直线GB⊥DF．
理由如下：延长GB交DF于H．
∵CD = CB，∠DCF = ∠BCG，CF = CG， ∴△FDC≌△GBC． ∴∠F =∠G．
o
又∵∠F + ∠FDC = 90，
o
∴∠G + ∠FDC = 90，
o
即∠GHD =90，故 GB⊥DF．
17．（9分）如图，点E、F、G分别 是□ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：ΔBEF≌ΔDGH．
17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
A∴∠B = ∠D，AB = CD，BC = AD ．
又∵E、F、G、H分别是平行四边形ABCD ∴BE = DG，BF = DH．
B∴△BEF≌△DGH． 21．（10分）请你画出一个以BC为底边的等腰ΔABC，使底边上的高AD=BC．
（1）求tanB和 sinB的值；
（2）在你所画的等腰ΔABC中设底边BC=5米，求腰上的高BE．
21．解：如图，正确画出图形．
（1）∵AB = AC，AD⊥BC，AD = BC，
∴BD∴AB∴tanB
1
1BCAD．即 AD = 2BD．
2
2．
AD
2， BD
A
sinB
AD．
AB（2）作BE⊥AC于E．
在Rt△BEC
中，sinCsinABC．
又∵sinC
D
C
BE
，
BC
BE
．
故BE．
17.（9分）如图所示，∠BAC=∠ABD,AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.17．OE⊥AB．„„„„„„„„„„„„„„„„１分 证明：在△BAC和△ABD中，
AC=BD，∠BAC=∠ABD，AB=BA．∴
△
BAC
≌
△
ABD．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„５分
∴∠OBA=∠OAB,
∴OA=OB．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 又∵AE=BE, ∴OE⊥AB．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 （注：若开始未给出判断“OE⊥AB”，但证明过程正确，不扣分）
21.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过
点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过
点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． 21.
（
）
①
30
，
；
②
60
，
1.5；„„„„„„„„4分（2）当∠α=90时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=90，∴BC//ED.∵CE//AB, ∴四边形形.„„„„„„„„6分
在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60,BC=2,
∴∠A=30.
EDBC是平行四边
∴AB=4,AC
∴AO=
AC
„„„„„„„„8分
2在Rt△AOD中，∠A=30，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形„„„„„„„„10分
17．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）； （2）求证：△AB’O≌△CDO．
A
17.（9分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M.
（1）求证：△AMD≌△BME；
（2）若N是CD的中点，且MN=5，BE=2，求BC的长
.
17.（1）∵AD∥BC,∴∠A＝MBE，∠ADM＝∠E.„„„„„„„„„„„„„2分 在△AMD和△BME中，
∠A＝∠MBE，
∴△AMD≌△BME.„„„„„„„„„„„„„„5分 AD＝BE，
∠ADM＝E，
（2）∵△AMD≌△BME，∴MD＝ME.又ND＝NC,∴MN＝
EC.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 2
∴EC＝2MN＝2×5＝10.
∴BC＝EC－EB＝10－2＝8.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 21．(9分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．(1)求证：DC=BC；
(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状， 并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，当BE：CE=l：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值． 2
1、（1）过A作DC的垂线AM交DC于M，则AM=BC=2， 又tan∠ADC=2,∴
AM
22DM1,即DC=BC。 DMDM
（2）等腰直角三角形，证明：∵DE=DF，∠EDC=∠FBC，DC=BC， ∴△DEC≌△BFC ∴CE=CF，∠ECD=∠BCF。 ∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90° 即△ECF是等腰直角三角形
19.（本题满分9分）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE，CF． （1）求证：AFCE；
（2）若ACEF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论． 19.证明：在△ADF和△CDE中， F AF∥BE，∠FAD∠ECD．
又D是AC的中点，ADCD．D ∠ADF∠CDE，△ADF≌△CDE． AFCE．
C （2）解：若ACEF，则四边形AFCE是矩形．
，四边形AFCE是平行四边形． 由（1），知AF
E
又ACEF，四边形AFCE是矩形．
20.解：⑴交点P所表示的实际意义是：经过2.5小时后，小东与小明在距离B地7.5千米处相遇.⑵设y1kxb，则由题意知
2.5kb7.5m20
，解得
4kb0k
5∴y15x20 ；因为y2是经过原点、P点的直线，所以它的解析式为：y2
x3
（3）当x0时，y120，故AB两地之间的距离为20千米
.
