数学分析 证明题

第十一章: 函数项级数

1.证明：函数级数f(x)=sinnx

n3在（,)上一致收敛。

nx 2.证明函数列fn(x)1在a,b上的极限函数为ex。 n

3.证明函数项级数

在R内一致收敛。

4.证明函数

5.证明函数项级数在区间

内连续在R内的一致收敛。 第十二章 幂级数

1.证明：幂级数xn，x1的和函数为

n11。 1x

xn2.证明：幂级数2在（1,1)一致收敛。 n1n

xn3.证明：幂级数的和函数在R上连续。

n1n!

x24.证明：幂级数的和函数在R上连续。 2nn1(1x)

5.证明：幂级数n1

3n11xn的收敛域为（-,） 33n6.证明：幂级数n!xn的收敛半径为R=0。

n1

(x1)n7.证明：幂级数n的收敛域为[-1，3）。 n12n

第十四章多元函数微分学

y2u2u

1.证明函数uarctan满足方程220

xxy

2.证明极限lim(4x3y)19 x2

y1

3.证明：lim(3x22y)14

x2

y1

x2y

4.证明：函数f(x,y)=4((x,y)(0,0))在原点(0,0)不存在极限 2

xy

x2y

(x,y)(0,0)

5.证明函数fx,yx2y2在原点（0，0）连续.

(x,y)(0,0)0

6.验证方程Fx,yxy2x2y0在点0的某邻域确定唯一一个有连续导数的隐函数yx

xy2

7．证明：lim20．

x0xy2y0

第十六章 重积分

1.设f在可求面积的区域D上连续.证明： 若在D上,f(x,y)0,f(x,y)0,则f(x,y)dxdy0.

D

2.证明若f(x,y)在有界闭区域D上可积，且k是常数，则

kf(x,y)dxdykf(x,y)dxdy

D

D

3.证明：若f(x,y,z)在有界闭体V上连续，则在有界闭体V内至少存在 一点(,,)，使f(x,y,z)dxdydzf(,,)V，其中V是V的体积；

V

4.证明 若f(x,y)，g(x,y)在有界闭区域D上可积，且在区域D上有

f(x,y)g(x,y，则)f(x,y)dxdyg(x,y)dxdy

D

D

5.证明若f(x,y)1，则f(x,y)dxdydxdyD，其中D是区域D的面积

D

D

6.若函数f在R可积,则函数f在R也可积，且

fd

R

R

f.

7.若函数f在有界闭区域R连续，则至少存在一点,R，使

fx,ydf,R ，其中R表示R的面积.

R

8.设f(x,y)在所积分的区域D上连续，adxaf(x,y)dyadyyf(x,y)dx． 9.设y轴将平面有界区域D分成对称的两部分D1和D2，证明： 若f(x,y)关于x为奇函数，即f(x,y)f(x,y)，则f(x,y)dxdy0；

D

bxbb

10.设y轴将平面有界区域D分成对称的两部分D1和D2，证明：若

f(x,y)关于x为偶函数，即f(x,y)f(x,y)，则

f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy．

D

D1

D2

第十七章 曲线积分与曲面积分

1.证明若f(x,y)，g(x,y)在光滑曲线C上可积，且在光滑曲线C上有

f(x,y)g(x,y)，则f(x,y)dsg(x,y)ds

c

c

2.证明若f(x,y)在光滑曲线C上可积，且k≠0的常数，则kf(x,y)也在光滑曲线C上可积，且 kf(x,y)dskf(x,y)ds

c

c

3.若f(x,y)在光滑曲线C上可积，且C1来表示曲线C的反方向，则 有



c

f(x,y)dx1f(x,y)dx

c

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