电磁场仿真实验报告
电气工程学院 2011级2班 2011302540056 黄涛
实验题目：
有一极长的方形金属槽，边宽为1m，除顶盖电位为100sin (pi*x)V外，其它三面的电位均为零，试用差分法求槽内点位的分布。
1、有限差分法的原理
它的基本思想是将场域划分成网格，用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程，然后解这些差分方程求出离散节点上位函数的值。
一般来说，只要划分得充分细，其结果就可达到足够的精确度。
差分网格的划分有多种不同的方式，这里将讨论二维拉普拉斯方程的正方形网格划分法。
如下图1所示，用分别平行与x，y轴的两组直线把场域D划分成许多正方行网格，网格线的交点称为节点，两相邻平行网格线间的距离h称为步距。
用表示节点处的电位值。利用二元函数泰勒公式，可将与节点（xi，yi）直接相邻的节点上的电位值表示为
上述公式经整理可得差分方程
这就是二维拉普拉斯方程的差分格式，它将场域内任意一点的位函数值表示为周围直接相邻的四个位函数值的平均值。这一关系式对场域内的每一节点都成立，也就是说，对场域的每一个节点都可以列出一个上式形式的差分方程，所有节点的差分方程构成联立差分方程组。
已知的边界条件经离散化后成为边界点上已知数值。若场域的边界正好落在网格点上，则将这些点赋予边界上的位函数值。一般情况下，场域的边界不一定正好落在网格节点上，最简单的近似处理就是将最靠近边界点的节点作为边界节点，并将位函数的边界值赋予这些节点。
2、差分方程的求解方法：简单迭代法
先对静电场内的节点赋予迭代初值，其上标（0）表示初始近似值。然后再按 下面的公式：
进行多次迭代（k=0,1,2,3…）。当两次邻近的迭代值差足够小时，就认为得到了电位函数的近似数值解。
实验程序： a=zeros(135,135); for i=1:135 a(i,i)=1; end; for i=1:7 a(15*i+1,15*i+2)=-0.25;a(15*i+1,15*i+16)=-0.25;a(15*i+1,15*i-14)=-0.25; end for i=1:7 a(15*i+15,15*i+14)=-0.25;a(15*i+15,15*i+30)=-0.25;a(15*i+15,15*i)=-0.25; end a(1,2)=-0.25;a(1,16)=-0.25; a(121,122)=-0.25;a(121,106)=-0.25; a(135,134)=-0.25;a(135,120)=-0.25; a(15,14)=-0.25;a(15,30)=-0.25; for i=2:14 a(i,i-1)=-0.25;a(i,i+1)=-0.25;a(i,i+15)=-0.25; end for i=122:134 a(i,i-1)=-0.25;a(i,i+1)=-0.25;a(i,i-15)=-0.25; end for i=1:7 for j=2:14; a(15*i+j,15*i+j-1)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j+1)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j+15)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j-15)=-0.25; end end b=a^(-1); c=zeros(135,1); for i=121:135 c(i,1)=25; end d=b*c;s=zeros(11,17);for i=2:16 s(11,j)=100*sin(pi.*i); end for i=1:9 for j=1:15 s(i+1,j+1)=d(15*(i-1)+j,1); end end subplot(1,2,1),mesh(s) axis([0,17,0,11,0,100]) subplot(1,2,2),contour(s,32) 实验结果如下：
1110100806040200101555001098765432151015
以上是划分为135*135个网格的过程，同理可有如下数据：
（1）将题干场域划分为16个网格，共有25各节点，其中16个边界的节点的电位值是已知，现在要解的是经典场域内的9个内节点的电位值。而且先对此场域内的节点赋予了迭代初值均为1. 第十七次迭代值：
0 70.7107 100.0000 70.7107 0 0 33.1810 46.9251 33.1811 0 0 15.0887 21.3387 15.0887 0 0 5.8352 8.2523 5.8352 0 0 0 0 0 0 第二十次迭代值：
0 70.7107 100.0000 70.7107 0 0 33.1812 46.9253 33.1812 0 0 15.0888 21.3388 15.0888 0 0 5.8353 8.2523 5.8353 0 0 0 0 0 0 当第十七次迭代以后，9个内节点的电位就不再发生变化了
（2）现在对此场域内的节点赋予了迭代初值均为6，并且进行了20次的迭代，最终场域内的9个节点的电位值如下：
0 70.7107 100.0000 70.7107 0 0 33.1812 46.9253 33.1812 0 0 15.0888 21.3388 15.0888 0 0 5.8353 8.2524 5.8353 0 0 0 0 0 0 由（1）与（2）的仿真结果最终可知：
在求解区域范围、步长、边界条件不变的情况下，迭代的次数越多，计 算的结果的精确度约高。反之，迭代的次数越少，计算结果的精确度就越低。 在求解区域范围，步长、边界条件不变的情况下，静电场域内节点的电位值与初次对节点赋予的初值没有关系。
（3）将题干场域划分为100个网格，共有121个节点，其中40个边界的节点的电位值是已知，现在要解的是经典场域内的81个内节点的电位值。而且先对此场域内的节点赋予了迭代初值均为3. 第二十次迭代值：
0 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 0 0 48.2854 66.3866 74.0119 77.3076 78.3009 77.4690 74.2874 66.6887 48.4991 0 0 27.0168 43.6521 52.8451 57.4418 58.9298 57.7234 53.3258 44.1789 27.3891 0 0 16.5163 28.9413 36.9756 41.4270 42.9609 41.7787 37.5756 29.5985 16.9803 0 0 10.5512 19.2828 25.4843 29.1706 30.5094 29.5435 26.1204 19.9791 11.0423 0 0 6.8488 12.8113 17.2975 20.0959 21.1586 20.4495 17.9004 13.4708 7.3135 0 0 4.4311 8.4049 11.5060 13.5063 14.2947 13.8111 12.0256 8.9729 4.8310 0 0 2.7968 5.3519 7.3931 8.7404 9.2875 8.9779 7.7977 5.7939 3.1078 0 0 1.6445 3.1640 4.3957 5.2207 5.5627 5.3809 4.6685 3.4620 1.8541 0 0 0.7662 1.4782 2.0595 2.4518 2.6160 2.5312 2.1947 1.6258 0.8700 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 第五十次迭代值：
0 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 0 0 48.8655 67.4302 75.3721 78.8226 79.8105 78.8295 75.3837 67.4429 48.8744 0 0 28.0421 45.4992 55.2553 60.1293 61.6104 60.1416 55.2763 45.5222 28.0583 0 0 17.8198 31.2938 40.0502 44.8604 46.3903 44.8765 40.0777 31.3239 17.8409 0 0 11.9629 21.8358 28.8270 32.9095 34.2501 32.9276 28.8578 21.8695 11.9865 0 0 8.2172 15.2911 20.5504 23.7407 24.8108 23.7588 20.5812 15.3247 8.2408 0 0 5.6353 10.5912 14.3788 16.7301 17.5298 16.7465 14.4066 10.6216 5.6566 0 0 3.7505 7.0859 9.6746 11.3039 11.8628 11.3171 9.6971 7.1104 3.7677 0 0 2.2945 4.3470 5.9536 6.9725 7.3239 6.9816 5.9691 4.3640 2.3065 0 0 1.0894 2.0667 2.8347 3.3238 3.4929 3.3283 2.8425 2.0752 1.0954 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 第五十一次迭代值：
0 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 0 0 48.8681 67.4348 75.3782 78.8295 79.8173 78.8357 75.3887 67.4463 48.8762 0 0 28.0468 45.5077 55.2663 60.1416 61.6227 60.1528 55.2854 45.5285 28.0614 0 0 17.8259 31.3049 40.0647 44.8765 46.4065 44.8912 40.0896 31.3321 17.8450 0 0 11.9697 21.8482 28.8432 32.9276 34.2681 32.9440 28.8710 21.8786 11.9911 0 0 8.2240 15.3035 20.5665 23.7588 24.8289 23.7751 20.5944 15.3339 8.2454 0 0 5.6414 10.6024 14.3934 16.7465 17.5462 16.7612 14.4186 10.6299 5.6608 0 0 3.7555 7.0949 9.6864 11.3171 11.8760 11.3290 9.7068 7.1171 3.7711 0 0 2.2980 4.3533 5.9617 6.9816 7.3330 6.9899 5.9758 4.3686 2.3088 0 0 1.0912 2.0698 2.8388 3.3283 3.4974 3.3325 2.8459 2.0775 1.0966 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 由以上仿真结果可知场域内的近似的电位值。
