极限计算方法总结
靳一东
《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的
blim0(a,b为常数且a0)；极限严格定义证明，例如：nan|q|1时0，当nlim(3x1)5；limq；等等 nx2不存在，当|q|1时（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需
再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB
（2）limf(x)g(x)AB
f(x)
g(x)AB（3）lim,(此时需B0成立)
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，
不能用。
3．两个重要极限
（1） limsinx
xx01
11xxlim(1)elim(1x)e（2）；xxx0
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 1
例如：limsin3x
3xx01，lim(12x)x02xe，lim(1x)3e；等等。 xx
4．等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：1
x～sin
x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1 。
说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价
关系成立，例如：当x0时，
e
3x
1 ～ 3x ；ln(1x2) ～ x
。
定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当lim
f1(x)g1(x)f1(x)g1(x)
xx0
存在时，lim
f(x)g(x)
也存在且等于
xx0
f(x)lim
f1(x)g1(x)
xx0
，即lim
f(x)g(x)
xx0
=lim
xx0
。
5．洛比达法则
定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：
（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；
（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；
（3）lim
f(x)g(x)
存在（或是无穷大）；
则极限lim
f(x)g(x)
也一定存在，且等于lim
f(x)g(x)
，即lim
f(x)g(x)
=lim
f(x)g(x)
。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不
满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“
00
”型或“
”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕
后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注
意条件。
6．连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间
内的一点，则有limf(x)f(x0) 。
xx0
7．极限存在准则
定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
定理8（准则2） 已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：
（1） ynxnzn,(n1,2,3,)
（2） limyna，limzna
n
n
则极限limxn
n一定存在，且极限值也是a ，即limxn
na。
二、求极限方法举例
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1lim
3x12x1
x
13x1)2
2解：原式=lim
(lim
3x3
3x1
(x1)(3x12)
x1
(x1)(3x12)
。
注：本题也可以用洛比达法则。 例2lim
n(n2
n1)n
n[(n2)(n1)]分子分母同除以
n
解：原式=lim
3n
n2
n1
lim
3n
1
22
n
1n
n例3 lim
(1)3n
n
2n
3
n
上下同除以3
n
(1n
解：原式
lim3
)11n 。 (2n
)12． 利用函数的连续性（定理6）求极限
例4 limx2
ex
x2
解：因为xx2
ex
02是函数f(x)的一个连续点，
所以原式=22
e24e 。 3． 利用两个重要极限求极限 例5 lim
1cosxx0
3x
2sin
x2sin
x
解：原式=limx0
3x
lim
1
x0 。
12(x26
)
注：本题也可以用洛比达法则。
。
例6 lim(13sinx)x
x0
16sinx
6sinx
解：原式=lim(13sinx)
3sinx
x
lim[(13sinx)3sinx]
x0
x0
例7 lim(
n2n
n
n1
)
3n13n
n1
3n解：原式=lim(1
3
n1
33
]n1
e
3
n
n1
)lim[(1n
n1
)
4． 利用定理2求极限 例8 limx2
sin
1x0
x
解：原式=0 （定理2的结果）。 5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9 lim
xln(13x)x0
arctan(
x2
)
解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2
，
原式=lim
x3xx
3 。
x0
例10 lim
exe
sinx
x0
xsinx
e
sinx
(exsinx
1)
sinx
解：原式=lim
(xsinx)
x0
xsinx
lim
ex0
xsinx
1 。
注：下面的解法是错误的： xsinx
原式=lim
(e1)(e
1)
xsinxx0
xsinx
lim
1x0
xsinx
。
正如下面例题解法错误一样：lim
tanxsinx
x
lim
xx0x0
x0
x
。
tan(x2
sin
1例11 lim
x
)
x0
sinx
e
6
。
。
解：当x0时，x2sin
1x
是无穷小，tan(xsin
1x
)与xsin
1x
等价，
xsin
所以，原式=lim
x0
xlimxsin10
。（最后一步用到定理2）
x0xx
6． 利用洛比达法则求极限
说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。 例12 lim
1cosx3x
x0
（例4）
解：原式=lim
sinx6x
x0
16
。（最后一步用到了重要极限）
cos
例13 lim
x1
x
x1
sin
1x
。 2
解：原式=lim
x1
例14 lim
xsinxx
x0
解：原式=lim
1cosx3x
x0
=lim
sinx6x
x0
16
。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）
例15 lim解：
sinxxcosx
xsinx
x0
原式lim
lim
sinxxcosx
xxxsinx3x
22
x0
lim
cosx(cosxxsinx)
3x
x0
x0
1
3例18 lim[
x0
1x
1ln(1x)
]
1x
1x
解：错误解法：原式=lim[
x0
]0 。
正确解法：
原式lim
ln(1x)xxln(1x)11x2x
1
x0
lim
x0
ln(1x)x
xx
lim
x0
lim
x2x(1x)
x0
12
。
应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19 lim
x2sinx3xcosx
x
解：易见：该极限是“
00
”型，但用洛比达法则后得到：lim
12cosx3sinx
x
，此极限
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：
1
原式=lim
x
2sinx
x
（分子、分母同时除以x） cosxx
3
=
13
（利用定理1和定理2）
7． 利用极限存在准则求极限
例20 已知x1
2,xn1
2xn,(n1,2,)，求limxn
n
解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0
xn
n
limxna。对已知的递推公式 xn1
n
2xn两边求极限，得：
a所以
2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）
limxn2。 n
1n1nnn
22
n
例21 lim(
1n2
1nn
)
1nn
解： 易见：
n1
1n2
nn1
因为 limn
nnn
1，lim
nn1
n
1
1nn
所以由准则2得：lim(
n
n1
n2
)1 。
上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。
