余弦定理的证明（精选多篇）

发布时间：2023-06-10 09:06:06 来源：证明收藏本文下载本文手机版

推荐第1篇：余弦定理证明

余弦定理证明

在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²

b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB

b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²

b²=c²+a²-2ac*cosB

所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac

2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).现将CB平移到起点为原点A，则AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C))即D点坐标是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可证asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

推荐第2篇：余弦定理及其证明

余弦定理及其证明

1.三角形的正弦定理证明：

步骤1.在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

2.三角形的余弦定理证明：

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^

2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

3在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^

2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因为cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

题目中^2表示平方。

2谈正、余弦定理的多种证法

聊城二中魏清泉

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcosC,

b2=a2+c2-2accosB,

a2=b2+c2-2bccosA.

一、正弦定理的证明

证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有

AD=b•sin∠BCA，

BE=c•sin∠CAB，

CF=a•sin∠ABC。

所以S△ABC=a•b•csin∠BCA

=b•c•sin∠CAB

=c•a•sin∠ABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有

AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，

BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。

证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆

的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。

因为AB=AC+CB，

所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.因为j•AC=0，

j•CB=|j||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，

j•AB=|j||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA.

二、余弦定理的证明

法一：在△ABC中，已知，求c。

过A作，

在Rt中，，

法二：

，即：

法三：

先证明如下等式：

⑴

证明：

故⑴式成立，再由正弦定理变形，得

结合⑴、有

即.同理可证

三、正余弦定理的统一证明

法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).根据向量的运算：

=(-acosB,asinB)，

=-=(bcosA-c,bsinA),

(1)由=：得

asinB=bsinA,即

同理可得：=.

∴==.

(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccosA.

同理：

c2=a2+b2-2abcosC;

b2=a2+c2-2accosB.

法二：如图5，

,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知

，

即

将(1)式改写为

化简得b2-a2-c2=-2accosB.

即b2=a2+c2-2accosB.(4)

推荐第3篇：余弦定理证明过程

余弦定理证明过程

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²

b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB

b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²

b²=c²+a²-2ac*cosB

所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

推荐第4篇：怎么证明余弦定理

怎么证明余弦定理

证明余弦定理：

因为过C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。

又因为b^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，

所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，

所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，

所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，

所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²

b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB

b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²

b²=c²+a²-2ac*cosB

所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

推荐第5篇：余弦定理证明过程

在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a。 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CＤ、ＤB表示，而CD可在Rt△AＤC中利用边角关系表示，DB可利用AB－AD转化为AD，进而在Rt△AＤC内求解。

解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CＤB中，根据勾股定理可得： a2＝CＤ2＋BＤ2

∵在Rt△AＤC中，CＤ2＝b2－AＤ2



又∵BＤ2＝（c－AＤ）2＝c2－2c·AＤ＋AＤ2

∴a2＝b2－AＤ2＋c2－2c·AＤ＋AＤ2＝b2＋c2

－2c·AＤ 又∵在Rt△AＤC中，AD＝b·cosA ∴a2＝b2＋c2－2bccosA类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC

推荐第6篇：用复数证明余弦定理

用复数证明余弦定理

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).根据向量的运算：

=(-acosB,asinB)，

=-=(bcosA-c,bsinA),

(1)由=：得

asinB=bsinA,即

同理可得：=.

∴==.

(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccosA.

同理：

c2=a2+b2-2abcosC;

b2=a2+c2-2accosB.

法二：如图5，

,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知

，

即

将(1)式改写为

化简得b2-a2-c2=-2accosB.即b2=a2+c2-2accosB.(4)

这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理.

2在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^

2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因为cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

题目中^2表示平方。

2谈正、余弦定理的多种证法

聊城二中魏清泉

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcosC,

b2=a2+c2-2accosB,

a2=b2+c2-2bccosA.

一、正弦定理的证明

证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有

AD=b•sin∠BCA，

BE=c•sin∠CAB，

CF=a•sin∠ABC。

所以S△ABC=a•b•csin∠BCA

=b•c•sin∠CAB

=c•a•sin∠ABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有

AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，

BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。

证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆

的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。

因为AB=AC+CB，

所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.因为j•AC=0，

j•CB=|j||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，

j•AB=|j||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA.

二、余弦定理的证明

法一：在△ABC中，已知，求c。

过A作，

在Rt中，，

法二：

，即：

法三：

先证明如下等式：

⑴

证明：

故⑴式成立，再由正弦定理变形，得

结合⑴、有

即.同理可证

三、正余弦定理的统一证明

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).根据向量的运算：

=(-acosB,asinB)，

=-=(bcosA-c,bsinA),

(1)由=：得

asinB=bsinA,即

同理可得：=.

∴==.

(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccosA.

同理：

c2=a2+b2-2abcosC;

b2=a2+c2-2accosB.

法二：如图5，

,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知

，

即

将(1)式改写为

化简得b2-a2-c2=-2accosB.

即b2=a2+c2-2accosB.(4)

这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理.

推荐第7篇：余弦定理的证明方法

余弦定理的证明方法

在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^

2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因为cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²

b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB

b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²

b²=c²+a²-2ac*cosB

所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

推荐第8篇：余弦定理证明案例分析

余弦定理证明案例分析

秭归二中董建华

我今年教高一（3）、一（7）班两班数学，在证明余弦定理时，上午第二节在一（3）班上数学，在证明余弦定理时，我是这样上课的：

同学们，前一节课我们学习了正弦定理及其证，现在请同学们考虑这样一个问题，已知三角形的两边及夹角如何求夹角的对边。

即：在△ABC中，已知ACb,BCa,及C，

求C。

请同学们思考后回答这个问题，同学们沉默了

三五分钟，开始相互讨论，并得出了如下解法：

过A作ADBC于D，是AD＝ACsinCBCsinC，

CDACcosbcosc,

在RtABD中，AB2AD2BD2(bsinc)2(abcosc)2a2b22abcosc，用的是初中的知识，我们请同学们继续想，

我们学了向量，能否用向量的知识加以证明呢？

表现出一片茫然，并开始画图分析，

讨论终于得出

222ABAB(ACBC)(ACBC)AC2ACBCBCAC2|AC||BC|

2cos(180B)BCb22abcosBa2，即。c2a2b22abcosc 这样一个余弦定理证明下来，同学们分析、观察、讨论用了近30分钟。我觉得这样上课太浪费时间，这么简单的问题，花这么多时间去讨论。

于是我在一（7）班一上课就开门见山的说：“前面我们学习了正弦定理及其证明，这节课我们主要分析余弦定理，即：

，a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC ”

现在我们来证明c2a2b22abcosC ：

2证：ABACBCABAB=（ACBC）（AC

22AC2ACBCBCb22bacosca

2即：c2a2b22abcosc，同理可证其余两个，

同学们听懂了没有，大家齐答听懂了。前后不过5 分钟左右的时间，我当时还感觉我讲得不错，反正只要学生听懂了就行。

结果一个星期后，有一个小测验，试卷上刚好有一题是用向量的方法证明余弦定理，成绩下来，一（3）班有41人做对了此题，一（7）班仅有7人做对了此题。两个平行班，一个老师教，方法不一样，效果却相差如此之大，我对此进行了案例反思。

反思案例：

1、定理的证明重在教师引导，放手让学生去发现、观察、分析得出结论，如采取注入式教师，虽老师一教学生能听懂，但毕竟不比自己亲手得出的东西印象深刻。

2、引导学生分析问题，表面上看浪费了许多时间，但教会了学生学习的方法，以后遇到许多类似的问题根本不需老师重复去教，学生自己会分析，所以从整体上节约了时间。

3、我在前一节课完全是以学生为主体，后一节课完全是以老师为主体，在课堂教学中，应将教师的主导作用将学生的主体作用表现出来，让教学效果达到更优化。

总之，通过两节课，效果的比较，使我认识到在课堂上要充分引导学生去分析、观察、发现、讨论、探究问题，让学生做课堂的演员，教师仅仅是节目的主持人，分工明确，一节课才是一节完整的课。

推荐第9篇：高考考余弦定理证明

从高考考余弦定理证明谈起【题1】叙述并证明勾股定理（1979年全国卷，四题）.【说明】这道大题，在总分为110分的考卷上，理科占6分，文科占9分.理科的评分标准是：（1）叙述勾股定理（2分）；（2）证明勾股定理（4分）.【题2】（1980·理科四题（满分8分））写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明

【插话】对这道题目，人们虽然不感到新鲜，但有一个期待，期待着标准答案中有“新鲜东西”出现.后来一看，非常“失望”，该题对余弦定理的证明，依赖的仍然是勾股定理.

【题3】（2010年四川）

（文）（19）（本小题满分12分）

；

2由推导两角和的正弦公式

，求.（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式（Ⅱ）已知

解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.

则P1(1,0),P2(cosα,sinα)

P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))

由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得

[cos(α＋β)－1]＋sin(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]＋[sin(－β)－sinα]

展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.„②由①易得cos(

sin(α＋β)＝cos[

＝cos(－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)] －α)＝sinα,sin(－α)＝cosα 2222－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

＝sinαcosβ＋cosαsinβ„„„„„„„„„„„„„„6分

(2)∵α∈(π,),cosα＝－

∴sinα＝－

∵β∈(，π),tanβ＝－

∴cosβ＝－,sinβ＝

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝(－)×(－)－(－

)× ＝（理）（19）（本小题满分12分）

（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式

2由推导两角和的正弦公式

，且，求cosC.； .（Ⅱ）已知△ABC的面积

解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，

交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα)P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))

由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得

[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]

2展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.„„„„„„„„4分

②由①易得cos(

sin(α＋β)＝cos[

＝cos(－α)＝sinα,sin(－(α＋β)]＝cos[(－α)＝cosα －α)＋(－β)] －α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

＝sinαcosβ＋cosαsinβ„„„„„„„„„„„„„„6分

(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c

则S＝bcsinA＝

＝bccosA＝3＞0

∴A∈(0,

2 ),cosA＝3sinA 2又sinA＋cosA＝1，∴sinA＝,cosA＝

由题意，cosB＝,得sinB

＝

∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－

【题4】（2011年陕西） „„„„„„„„„„12分

推荐第10篇：余弦定理的三种证明

△ABC中的三个内角∠A，∠B，∠C的对边，分别用a,b,c表示.

余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即

c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA

证明：按照三角形的分类，分三种情形证明之.(1)在RtABC中，如图1-1 根据勾股定理: c=a+b

因为cosC=0,所以c=a+b-2abcosC

a222

,所以b=a+c-2accosB cb222

因为cosA=,所以a=b+c-2bccosA

因为cosB=

（2）在锐角△ABC中，如图1-2 作CDAB于点D，有

C a

B C

CD=asinB,BD=acosB，AD=AB-BD=c-acosB

b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB

同理可证：

c2=a2+b2-2abcosC, a2=b2+c2-2bccosA

（3）在钝角△ABC中，如图1-3

作CDAB，交AB的延长线于点D，则

CD=asinCBD=asinB,BD=acosCBD=-acosB， AD=AB+BD=c-acosB

b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB

按照（2）的方法可以证明：

c2=a2+b2-2abcosC, a2=b2+c2-2bccosA

综上所述，在任意的三角形中，余弦定理总是成立.

B D

证明：在△ABC中，令AB=c，AC=b，BC=a

aBCBAACbc

22222|a|(bc)b2bcc|b|2|b||c|cosA|c|2

即a=b+c-2bccosA

同理可证：c=a+b-2abcosC,b=a+c-2accosB

证明：对于任意一个ABC，建立直角坐标系如图所示，那么A(bcosC,bsinC)，B(a,0)

因为余弦定理中涉及到c，我们自然想到计算AB的长度。根据两点间的距离公式，我们有： 2222222222A c

B a b C

c2|AB|2(bcosCa)2(bsinC)2a2b22abcosC，即cab2abcosC

222

第11篇：叙述并证明余弦定理

叙述并证明余弦定理

余弦定理(第二余弦定理)余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值

编辑本段余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为A，B，C，则满足性质——

a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA

b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB

c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)

cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)

cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)

(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到)

第一余弦定理(任意三角形射影定理)

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。

编辑本段余弦定理证明

平面向量证法

∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗体字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC

即CosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2

b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

cosB=(c2+a2-b2)/2ac

编辑本段作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角

(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。

(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)

判定定理一(两根判别法)：

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取

减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解

②若m(c1,c2)=1,则有一解

③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

判定定理二(角边判别法):

一当a>bsinA时

①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解

②当b>a且cosA

③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解

④当b=a且cosA

⑤当b二当a=bsinA时

①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解

②当cosA

三当a例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。

解设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理

cosA=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。

解由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

所以BC=√7.(注：cos60=0.5,可以用计算器算)

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。

编辑本段其他

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。

第12篇：余弦定理的多种证明

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．

对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

证明：

如图：

∵a=b-c

∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc

再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。

------------------

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,

如果一个三角形两边的平方和等于第三

边的平方,那么第三边所对的角一定是直

角,如果小于第三边的平方,那么第三边所

对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边

所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

第13篇：球面正弦,余弦定理证明

§4球面余弦定理和正弦定理

平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性，到了平面三角学，把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。其中最基本的就是三角形的余弦定理：设三角形 ABC 的三条边分别是 a、b、c ，它们的对角分别是、、，则

其中，

分别表示

的余弦。

三角形的正弦定理：设三角形 ABC 的三条边分别是 a、b、c ，它们的对角分别是、、，则

。

类似地，球面三角形也有有效能算的边角函数关系，其中最主要的结果就是球面三角的正弦定理和余弦定理。

为证明球面三角余弦定理，我们介绍有关向量的另一种乘积—外积。两向量a与b的外积是一个矢量，记做a×b，它的模是|a×b|=|a||b|它的方向与a,b都垂直，并且按a,b,a×b这个顺序构成右手标架。对于向量的外积，有拉格朗日恒等式成立。

a×b）·(a’×b’)=(a·a’)·(b·b’)－(a·b’)·(b·a’)

定理4.1（球面三角余弦定理）在单位球面上，对于任给球面三角形三边和三角

恒满足下述函数关系

，其(a,b),

（证法一）证明：如图4-1所示，

图4-1 是单位球面上的三点，以a,b,c分别表示单位长向量三角形

,则球面的三角角度和三边边长分别可以用空间向量a,b,c表达如下：

是b,c之间夹角的弧度，所以cos=b·c,同理有cos=a·c, cos=a·b。是“a,b所张的平面”和“a,c所张的平面”之间的夹角，所以a×b和a×c之间的夹角，即

（a×b）·(a×c)=| a×b|·|a×c|cosA=同理亦有（b×c）·(b×a)=（c×a）·(c×b)=由（a×b）·(a×c)=所以同理可证

=cos－

也等于

当单位球面上的球面三角形三边都小于三角余弦定理。证明如下：取球面三角形

时，可以用平面三角余弦定理证明球面，将各顶点与球心O连接，过顶点A作b,c边的切线，分别

和两个平交OC,OB的延长线于N,M,由此得到两个平面直角三角形面三角形

。在

中，根据平面三角形的余弦定理，有。

同理在因此即中

即即得同理可证

（证法2）证明：设球心为O，连接OA、OB、OC，则

。

图4-2 过点A做的切线交直线OB于D，过点A做的切线，交直线OC于E，连接DE（如图4-2所示）。显然，ADAO，AE

AO，在直角三角形OAD中， AO=1，

AD=，

OD=在直角三角形OAE中，

AE=

。

，

OE=。

注意。在三角形ODE中，利用平面三角形的余弦定理（定理3.1），

„„（1）

在三角形ADE中， „„（2）

因为（1）式与（2）式左端相等，所以右端也相等，经化简整理，即得

。

类似地可以得到另外两式。

当三角形有一个内角为直角时，比如，则由球面三角余弦定理有

。这恰好是平面几何中的勾股定理在球面几何中的对应物，但形式上有了很大差别。我们称之为球面勾股定理。

定理4.2（球面三角正弦定理）在单位球面上，对于任给球面三角形三边和三角

恒满足下述函数关系

证明：因为上述三个比值都是正的，所以我们只要证明

恒成立。

由球面三角余弦定理，得

同理可证，所以。

一般地，易证在半径为r的球面上，对于任给球面三角形，其三边和三角恒满足下述函数关系

和

，其当形时，上述关系式会变成什么形式呢？如图，当的三边

可以看作直线段，所以

时，球面三角所以,,

,代入上述关系式，当

时对式子取极限，整理得：

这恰好是平面三角余弦定理和正弦定理。在实际使用时，考虑到所给条件的不同及计算的方便，我们常常需要不同形式的球面三角公式，这些公式本质上都能以球面正弦定理和余弦定理加以变换而得到。前面通过研究极对偶三角形的关系我们证明了球面几何中特有的全等条件AAA,在球面三角中有反映这一特有全等条件的三角公式。

定理4.3（角的余弦公式）在单位球面上，对于任给球面三角形和三角

恒满足下述函数关系

，其三边

证明：由的极对偶三角形

的余弦定理

利用上节定理3.1将中相应的元素代入上式即有

乘以－1，化简得同理可证其他两式。

第14篇：余弦定理的证明向量法

∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小

∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) （以上粗体字符表示向量）又∵cos(π-θ)=-Cosθ

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 即 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b 同理可证其他，而下面的cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

第15篇：余弦定理新的证明探讨

余弦定理新的证明探讨

摘要

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，是解决数理学科和前沿科学领域中相关问题的一种有效的重要方法。它是代数学中的重点和难点，在解决三角问题、函数问题等方面发挥了重要的作用。国内外有关余弦定理证明的探讨和应用及其推广的研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。国外对余弦定理的证明与应用的研究主要是由于前沿科学领域及实际生活发展的需要，在教学中寻求新的证明探讨涉及甚少，而国内在寻求其新的证明探讨与应用方面的研究甚为广泛。但余弦定理新的证明方法及推广与应用仍有值得研究的问题。比如：余弦定理通常用于求解三角函数问题，而其用途不仅仅限于此，如：余弦定理证明在数学教学、数学分析、立体几何中的应用等。但是针对余弦定理在应用中存在的局限性，是否能探究其新的证明方法，并将其做相应的推广来解决相关问题，扩宽其应用的范围，使得在运用余弦定理解决代数问题和几何问题方面更加实用方便，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。基于已有的余弦定理若干要点的探讨和应用，本文在前人研究的基础上，漫谈了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代数与几何中的新的证明，分别给出了不同形式的余弦定理新的证明方法，并对其做出了相应的推广，体现了其不同证明方法的新颖性和优越性.

关键词：余弦定理；勾股定理；证明；定理；推论

第 1 页

1 引言···········································································································································1 2 文献综述···································································································································1 2.1国外研究现状·························································································································1 2.2国内研究现状·························································································································1 2.3国内外研究现状评价·············································································································1 2.4提出的问题·····························································································································2 3 余弦定理的数学思想史略·······································································································2 3.1三角学的确立与发展状况·····································································································2 3.2余弦定理的由来·····················································································································2 4 余弦定理及其新的证明···········································································································3 4.1关于余弦定理的注记·············································································································3 4.2余弦定理新的证明·················································································································5 4.2.1从几何角度直观证明余弦定理 ··································································································5 4.2.2角余弦定理的证明与应用 ·········································································································7 4.2.3证明余弦定理又一方法······································································································9 4.2.4立体几何的余弦定理及其证明························································································10 4.2.5 n维余弦定理的新证明·····································································································13 5 总结 ········································································································································15 5.1 主要发现 ·····························································································································15 5.2 启示 ·····································································································································15 5.3 局限性 ·································································································································16 5.4 努力方向 ·····························································································································16 6 参考文献·································································································································16

第 2 页

1引言

余弦定理的证明及推广应用的发展历程在三角函数、立体几何等数学领域已经凸显出巨大的潜在价值，关于它的研究，已有许多独特而新颖的硕果。余弦定理通常应用于三角问题、函数问题、几何问题及数理天文学问题等方面的求解，国内和国外的研究各有其独到之处。现有对余弦定理的证明方法的探讨及推广应用，体现了其重要性和应用的广泛性，如：余弦定理证明在中学数学教学、数学分析、立体几何中的应用等等。但是针对余弦定理在应用中存在的局限性，是否能探究余弦定理的新的证明方法，并将其做相应的推广应用来解决相关问题，这样的研究值得深入探究.基于对已有的余弦定理若干要点的探讨和应用，本文在前人研究的基础上，漫谈了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代数与几何中的新的证明，分别给出了不同形式的余弦定理新的证明方法，并对其做出了相应的推广应用，体现了其证明与应用的新颖性和优越性.2 文献综述

2.1国外研究现状

国外对余弦定理的研究主要是应用于解决数理天文学和其他学科如测量学与地理学方面的问题，而在教学上探讨新的证明则很少涉及 .天文学家阿尔.巴塔尼的《天文论著》（又名《星的科学》）被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果.在该书中阿尔.巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切[1]；发现球面三角形余弦定理coscosbcoscsinbsinccosA，继而为平面三角形的重要定理—— 正弦定理和余弦定理的发现奠定了基础，其证明的思想方法具有一定新颖性,值得借鉴. 2.2国内研究现状

国内有关余弦定理的理论从国外引进，在立体几何、双曲平面上以及现实生活中发挥了重要的作用，国内余弦定理很少谈及学科领域的相关证明问题，但相关的应用有一定发展。如：王书在其编写的数学解题方法与技能中较详细地阐述了利用三角法进行复数的乘方计算，先把复数写成三角函数式后，角按公式[r(cossin)]nrn(cosnsinn)（n是正整数）计算比较容易；刘鸿坤、曾容、李大元等编著的中、美历届数学竞赛试题精编第三十二届美国中学数学竞赛试题（1981年）中的第24题的应用，将超越方程利用三角函数式转化为复数形式求解，说明了余弦定理在数理学科领域的重要性.

2.3国内外研究现状的评价

第 3 页

上述文献中已给出了余弦定理相关的探讨和应用，说明了余弦定理的重要性和应用的广泛性，但其还有值得研究的空间和余地.在余弦定理证明与应用方面的研究国内相对于国外的研究较广泛,而且很多研究问题及结论有很好的借鉴价值,可以作为研究的理论基础；而国外,更多的研究主要在于将余弦定理应用于解决前沿学科（如数理天文学、历法、航海等）的问题.但在学科领域的不同方面能否得到余弦定理的不同的新的证明方法，从而提高余弦定理在理论研究中的有效性，这方面的研究较少.2.4提出问题

鉴于国内外的研究现状，一般的余弦定理的证明不仅只能解决前沿学科中的数理问题，而且该定理在证明运用中有一定的局限性，那么能否弱化余弦定理的局限性，拓宽余弦定理的证明方法的范围，或者将余弦定理新的证明进行推广对教学方法的启示，从而体现余弦定理新的证明的优越性和应用的广泛性，本文针对此类问题作详细探讨.3 余弦定理的数学思想史略

3.1三角学的确立和发展概况

“三角学”原意是三角形测量,也就是解三角形，这是三角学的基本问题之一.后来范围逐渐扩大, 发展为研究三角函数及其应用的一个数学科目.[2]三角学的发展和天文学、几何学有着不可分割的关系，国外对三角学的研究的起源是计算数理天文学方面的精确问题。而正、余弦定理是三角学建立的基础，三角学的确立是以正、余弦定理为标志，因为三角学是寻求边与角的关系来解决三角问题, 正、余弦定理正是把边与角建立起联系.三角学的发展经历从脱离天文学而独立，到以欧拉的《无穷小分析引论》为代表的过程，标志着三角学从研究三角形解法进一步转变为研究三角函数及其应用的一个分析学的分支。

希腊三角学起源于天文学的定量研究,由于球面几何方面的研究的需要，从而球面三角学便开始萌芽。随着生产不断进步,为了修订历法、航海和研究地理, 需要建立定量的天文学, 便产生了三角学的雏形.其代表人物有希帕克、托勒密和梅内劳斯, 在梅内劳斯时期达到顶峰.由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，以及希腊希腊托勒玫的《大成》、梅内劳斯的《球面学》等古典著作。阿拉伯三角学是在印度天文名著的基础上发展的, 揭示了三角量的性质及其关系, 给出了平面三角形和球面三角形的全部解法, 并制造了一系列的三角函数表.三角学通过阿拉伯学家的工作逐渐从天文学中分化出来发展成为一门独立的学科。其主要的代表人物有阿尔.哈巴士、阿尔.巴塔尼、阿布尔.威发、阿尔.毕鲁尼和纳速.拉丁

欧洲三角学是在阿拉伯数学家纳速.拉丁《论四边形》著作的基础上研究的, 将平面三角、球面几何和球面三角有机地结合起来, 制定更精确的三角函数表,以至于我们现今仍在使用, 使三角学进一步系统化, 成为一个独立的数学分支, 从而确立了三角学.由此, 三角学在天文学及其他学科如测量学方面得到广泛的应用.其代表人物有雷基奥蒙坦、雷提卡斯、韦达.3.2 余弦定理的由来

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平面三角的余弦定理是在欧几里得的《原本》中间接地提出来,平面三角的余弦定理的确立和运用是随航海学和地理学的发展, 而平面三角学是在球面三角学的研究的基础上提出的。随着测量耕种土地的面积、测量长度与测量方位及历法和航海发展等实际的需要，希腊三角学（球面三角学）中包括平面三角的基础内容,平面三角的重要定理——正弦定理和余弦定理在此条件下产生.其数学思想方法和思路如下:

图 1 分析：如图1，△ABC三边CB、CA、AB长度为a、b、c，首先将斜三角形分割成两个直角三角形,再由勾股定理即可证得余弦定理.证明：在RtBCD和RtABD中，根据勾股定理

222  p2a2d2，pc(bd) 22222padc(bd) 

即c2a2b22bd (1) 在RtBCD中，

dacosC (2) 将（2）带入（1）中，c2a2b22abcosC.阿拉伯数学家阿尔.巴塔尼在进行球面三角研究过程中, 利用平面三角的知识来证明球面余弦定理, 他的方法是通过作出斜三角形某一个边上的高之后, 将问题转化为求直角三角形的解,他研究出余弦定理的结果应用到证明球面三角边的余弦定理.十五世纪前叶，阿拉伯数学家阿尔.卡西给出了平面三角的余弦定2222理的下述形式:a(bccosA)csinA..韦达在1593年给出了平面三角的余弦定理2ab12220的下述形式:abcsin(90C).期内尔在1627年给出了平面三角的余弦定理的2ab1.22下述形式:c(ab)1cosC[3]

4余弦定理及其新的证明

4.1关于余弦定理的注记

余弦定理的证明是运用“向量相乘”的方法进行的，其可化复杂为简便，其是向量式与数量式之间相互转化的常用方法。余弦定理的结论及其证明如下：

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在△ABC中，AB、BC、CA的长为c、a、b，第一边的平方等于另外两边的平方和减去另外两边的2倍乘第一边对角的余弦.如c2a2b22abcosC.

图

分析：因为ACCBAB,所以可从以下两方向入手，证明余弦定理并得其推论.

定理：(ACCB).(ACCB)AB.AB，由此可推出余弦定理，

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积得两倍。即

a2b2c22bccosA[4]222bac2accosB.c2a2b22abcosC证明：

(ACCB)(ACCB)AB.AB，且ABc、ACb、CBaAC.ACCB.CB2AC.CBAB.AB即ACCB2AC.CBcos(C)ABb2a22bacosCc2即c2a2b22abcosC.222

推论:(ACCB).ABAB.AB,可推出平面三角的射影定理，即

abcosCccosB[5] 射影定理bccosAacosC.

cacosBbcosA 证明：

(ACCB).ABAB.AB,ABc、CBa、ACb.AC.ABCB.ABAB.ABAC.ABcosACB.ABcosBAB即bccosAaccosBc2bcosAacosBc即cacosBbcosA.2

余弦定理可解决以下两类有关三角形的问题：一类是已知两边和它们的夹角，求解三角形；另一类是已知三边，求解三角形。已知三角形的两边和其中一

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边的对角，因为它不满足三角形全等的条件，故可能有两解、一解、甚至无解，用正弦定理求解心里不踏实；用余弦定理求解则只要看相应的一元二次方程是否有两正数解、一正数解或无正数解即可。

4.2余弦定理新的证明

余弦定理可以用于求值、求角或角的范围、用于化简、判断三角形的形状、用于证明三角不等式、用于研究函数的性质或用于研究函数的最值等等。

4.2.1从几何角度直观证明余弦定理

在平面三角形中, 对于余弦定理这样的基本结果, 我们总是能够从不同的角度来理解它, 下面我们从几何的角度给出该定理的几个直观证明. 方法一：应用勾股定理证明.

图

分析：此证明方法直接由坐标法的证明演化而来. 证明一：在RtACD中,AC=b、AB=c、BC=a(图 3).ADbsinC,CDbcosC,BCa,ADBC

BDBCCD,即BDabcosC

在RtABD中,根据勾股定理，

AB2AD2BD2,即c2(bsinC)2(abcosC)2 整理得c2a2b22abcosC. 证明二：在RtACD中，AC=b,ACDC(图 4).CDbcosACD,ADbcosACD,即CDbcos(C),ADbsin(C) CDbcosC,ADbsinC

在RtABD中，根据勾股定理，

BDBCCD,AB2AD2BD2 c2(bsinC)2(abcosC)2 整理得c2a2b22abcosC.

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方法二：应用Ptolemy定理证明.分析：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积, 这就是有名的Ptolemy定理，即AB'.CBAC.B'BB'C.AB.以下用Ptolemy定理来证明余弦定理.

图

证明：在△ABC的外接圆里,取AB'CB,且BCa，

ABCB'a

ABCCB'A,,则BCBAc

'又BB'b2acos(C),根据Ptolemy定理

2C)a2b22abcosC  cc.ca.ab.b2acos(即c2a2b22abcosC

方法三：应用圆幂定理证明.

图 6

图 7

分析：如图6和图7,以B为圆心,以a为半径画圆,则有AD.AEAF.AC..其中圆的半径为a，AB=c，AC=b. 证明一：在图6里, ABc,BDBCBEa,ADABBD,CF2acosC

AD=a+c,AE=a-c,AF=CF-CA=2acosC-b，根据AD.AEAF.AC.(ac)(ac)(2acosCb).b,即cab2abcosC.

222 证明二：在图7里, ABc,BDBCBEBFa,ADABBD,AFACCF

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BCF是等腰三角形，有CF2cos(C),AD=c+a,AE=c-a AFACCFb2acos(C)b2acosC.根据AD.AEAF.AC.

222(ca)(ca)(b2acosC).b,即cab2abcosC.4.2.2角余弦定理的证明与应用

角勾股定理与角余弦定理是勾股定理和余弦定理与之相对应的角形式，它们有着广泛的应用，现给出如下证明与应用举例：

定理1：若A、B、C构成一个三角形的三个内角，则

sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosAsin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosBsin2Csin2Asin2B2sinAsinBcosC （4）

证明：在ABC中,设A、B、C所对的边为a、b、c.222 余弦定理为abc2bccosA (5) 根据“正弦定理”，有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (6) (6)分别代入5），

即(2RsinA)2(2RsinB)2(2RsinC)22(2RsinB)(2RsinC)cosA

sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，证毕.（4）的其余二式同理可证. 引伸：当上述公式中的A、B、C为任意角时, 应用诱导公式化为锐角、和的三角函数,若满足条件:1800，定理仍成立。由定理2和引伸,我们又有如下的推论:  推论1：若，则sin2cos2sin22cossincos.2证明：已知，sin2cos2sin22cossincos

2只需证明sin2sin2()sin22sin()sincos即可

22 2()()

222、()、能构成三角形的三个角, 由定理2和引伸知推论1 成立.2推论2：若，则sin2cos2cos22coscoscos 证明：已知，sin2cos2cos22coscoscos

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只需证明sin2cos2()cos22cos()coscos



()()()

()、能构成三角形的三个角, 推论2成立. 、例 1，化简cos2Acos2(A)cos2(A)

3解：由推论2，得原式=

22cos(A)cos(22A)2cos(A)cos(A)cos2cos(A)cos(A)coscos2A333333332123113sin2(coscos2A)cos2A(2cos2A1)cos2A3234422

定理2：若A、B、C构成三角形的三内角，则：

sin2Acos2Bcos2C2cosBcosCcosA （7） sin2Bcos2Acos2C2cosAcosCcosB sin2Ccos2Acos2B2cosAcosBcosC.222 证明：设M=sinBsinC2sinBsinCcosAsinA 222 N=cosBcosC2cosBcosCcosAsinA

222cosAcos(BC)2sinA 易得：M+N=22 22cosA2sinA0

M-N= cos2Bcos2C2cosAcos(BC)2cos(BC)cos(BC)2cosAcos(BC)2cosAcos(BC)2cosAcos(BC)0 MN0222即sinAcosBcosC2cosBcosCcosA

定理2的其余二式同理可证明.

2 例 2，在锐角△ABC中,sinA3cosBcosC,求A角的范围.2 解：sinA3cosBcosC

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2 cosA13cosBcosC

根据定理2，sin2Acos2Bcos2C2cosBcosCcosA，得

12cosAcosBcosCcos2Acos2Bcos2Ccos2A2cosBcosC1cosBcosC 即12cosAcosBcosC1cosBcosC 2cosAcosBcosCcosBcosC

1cosBcosC0,cosA2，故A的范围是0A.

6222 例 3，在△ABC中，cosAcosbcosC1,判断△ABC的形状 222 解：根据定理2，有sinCcosAcosB2cosAcosBcosC

又cos2Acos2Bcos2C1

12cosAcosBcosC1 cosAcosBcosC0

cosA0或cosB0或cosC0A900或B900或C900

△ABC是直角三角形. 小结：上述所选的问题, 若用常规解法需要用到和角公式, 倍角公式和和差化积或积化和差公式以及复杂的恒等变形才能完成, 显然利用“ 角勾股定理和角余弦定理”对这类较难的间题迎刃而解, 真是柳暗花明又一村。

4.2.3证明余弦定理又一方法

利用向量统一证明正、余弦定理的方法如下：

图 8

分析：如图8, 在ABC中, a, b, c 分别是A、B、C所对的边, 以三角形外接圆的圆心O为原点,半径OA所在的直线为x轴建立直角坐标系,设外接圆的半径长为R,于是A点坐标为(R,0).由三角函数的定义得B点坐标是(RcosAO,BRsinAO)B,而AOB2C，故B点坐标为(Rcos2C,Rsin2C).同理C点坐标为(RcosAOC,RsinAOC)；而AOC2B,故C点坐标为(Rcos2B,Rsin2B).

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正弦定理的证明：

AB(Rcos2CR,Rsin2C),1AB1R又 (Rcos2CR)2(Rsin2C)222cos2C2RsinC.

ABc

c2RsinC.同理可得a2RsinA，b2RsinB abc2R sinAsinBsinC 余弦定理的证明：

AC(Rcos2BR,Rsin2B),AB.AC(Rcos2CR)(Rcos2BR)R2sin2Csin2BR2cos2Ccos2BR2cos2CR2cos2BR2R2sin2Csin2BR2R2cos2CR2cos2BR2cos(2C2B)R2R2cos2CR2cos2BR2cos2A.c2Rcos2CR(12sinC)R2RsinCR.2而 2222222

b2Rcos2BR2 同理可得22a2b2c2a2Rcos2ARAB.AC.2 2 22又由数量积的定义可知: AB.ACbccosA,b2c2a2bccosA.2即a2b2c22bccosA.同理b2a2c22accosB.222 cab2abcosC.

小结：此法不但体现了正弦定理的比值常数, 而且反映了正弦定理与余弦定理的相互依存性.正弦定理与余弦定理之间的联系真是千丝万缕! 4.2.4立体几何的余弦定理及其证明

设D-ABC是一个任意的四面体(图9),不失一般性,取四面体的底面△ABC 为空间坐标的XOY平面,取过顶点D的高OD为Z轴.取OA为X轴.这样一来,可以设四个

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顶点的坐标分别为A(a,0,0)、B(b1,b2,0)、C(c1,c2,c3)、D(0,0,d).

图 9 分析：用Sd表示与顶点D相对的侧面△ABC及其面积;同理,其它的三个侧面及其面积用Sa、Sb、Sc来表示.由向量的向量乘积的性质可知,向量AB.ACSd.将AB.AC称为Sd 的法向量,记作nd.因为AB(b1a,b2,0),AC(c1a,c2,0),所以有

ijndAB.ACb1ab2c1ac200b1c2c1b2a(b2c2)k0[(b1a)c2(c1a)b2]k0 （1）

由向量乘积定义可知: sd1nd.2 （2）

同理可计算Sa面的法向量na , 因为BD(b1,b2,d);DC(c1,c2d), 所以由BD.DC可得：

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inab1c1jb2c2kd(c2b2)di(b1c1)dj(b1c2b2c1)kd(c2b2)d(b1c2)dbcbc2112 （3）

s1a2na 因为DC(c1,c2,d);DA(a,0,d), 所以有sb的法向量为：

ijknbDC.DAc1c2dc2di(c1a)djac2ka0dc2d(c1a)d,ab2 s1b2nb 因为DA(a,0,d);DB(b1,b1,d)，所以有sc的法向量为

ijkncDA.DBa0db2di(ab1)djab2kb1b2d (7) b2d(ab1)d,ab2s1c2nc.(8) 由向量的数量乘积的定义,

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（4）（5）

（6）

na.nbna.nbcosna.nbcosna.nbcosa|b4sasbcosa|b.

其中a|b表示侧面sa和sb形成的二面角.因此有：

SaSbcosa|b0.25na.nb,

（9）

SbSccosb|c0.25nb.nc, （10） ScSacosc|a0.25nc.na （11）

立体几何的余弦定理：对任意的四面体D-ABC,有2222sdsasbsc2sasbcosa|b2sbsccosb|c2scsacosc|a.[6]

（12）

证明：利用关系式(4)、(6)和(8) ~ (11),有

222sasbsc2sasbcosa|b2sbsccosb|c2scsacosc|a12122(nanbnc2na.nb2nb.nc2nc.na)(nanbnc)244(c2b2)dc2db2d012112(b1c1)d(c1a)d(ab1)d0ndsd.44caab4b1c2b2c1bcbc(bc)a22122122

当四面体的四个侧面中,有三个侧面( 如Sa,Sb,Sc)两两互相垂直时, 称这样的四面体为直角四面体.在直角四面体中,那个不与其它侧面垂直的侧面(Sd)称为斜侧面.由于直角四面体中有三个二面角为90, 所以cos = cos = cos = 0.

0 4.2.5 n维余弦定理的新证明

设V是n维向量空间,对V中任意k个有序向量

1,2,...,k,它们的外积记为12...k,称之为k重向量。所有k重向量在形式上作线性扩张所得到的空kk0C()()n间记为，是一个维向量空间。设()表示实数系, 记

kG()()Y()Y...n(),则G(V)是一个2n维的向量空间。G(V)连同G(V)01''上的外积“”运算称为V上的Gramann代数。

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定义1：两个k重向量a =12...k与b=bb12...bn的内积定义为: (a,b)(a1a2...ak,b1b2...bk)a1.b1a.b21...ak.b1...............a1.bk...a2.bk.........ak.bk (1) k重向量α=12...k的模定义为

aa1a2...ak(a1a2...ak,a1a2...ak)

定义2：由两个k重向量aa1...ak,bb1...bk所确定的两个k维超平面之间的夹角(ab)为:cos(ab)(a1...ak,b1...bk).(2)

a1...ak.b1...bk 引理1: 设pop1...pk是n维欧氏空间En中的k维单形, 记向量

2popiai(i1,2,..k.),, 则有:a1...akk!V(K) ( 3)

2其中V(k)1...pk的k维体积。是单形pop 下面应用上述Gramann代数基本知识可简捷地证得n维余弦定理,即: 1...pk是E的中的n维单形。顶点p所对侧面Fi的面积为Vi, 定理1:设popin任意两侧面Fi 与ViVi222i0ilnFj所成内二面角为ij , 则有

ij0ijni,jlVVcosij(l0,1,...,n)

[7] （4）

证明：不失一般性,不妨设l=0记 p0piai(i1,2,...,n) n-1维单形p1p2...pn过顶点p1的诸棱所成的向量为: p1piaial(i2,3,...,n) 由引理1，有：

12(aa)(aa)...(aa)(aa)2131n11n1(n1)!2 (5) 12aa...aaa...a...aa...aaaaa...aa23n13n23n21n23n11(n1)!2V02记n-1重向量

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a2a3...an1,a1a3...an2,a2a1a4...an3,...,a2a3...an2a1annk,a2a3...an1a1n,

则：（6） (ij)ij(1ijn)

由引理1及定义2,有:

i1Vi(i2,3,...,n)(n1)! （7）

(ij)i.jcos(ij)1ViVjcosij2(n1)! （8）

由( 5)、( 7)、( 8)三式得:

n1Vi2(n1)!i12022()ij1ijnVi22i1n

1ijnVVijcosj故公式(4)对l=0成立,同理可证(4)式对l= 1,2,...,n皆成立。定理1证毕。

5总结

5.1 主要发现

本文从不同角度探究、验证了余弦定理的不同证明方法，列举了其运用在化简求值、证明三角不等式、研究函数的性质或用于研究函数的最值等方面的简洁美，弱化原有余弦定理证明方法的局限性，给出了其相应的推广及定理，拓宽了余弦定理的运用范围，使得在处理三角、函数等问题时更加方便实用，从而体现余弦定理无论在证明上还是在化简求值等方面都有其新颖性和优越性.

5.2 启示

通过探讨余弦定理及其推广，体现了一定的优越性和实用性。问题是若能将余弦定理引到其它数学分支中做应用，如：针对运筹学中的最优线性模型的相关问题、数学模型中规划模型的相关问题、复变函数中的相关问题等，将更好地体现余弦定理证明及其应用的广泛性，这是一类值得深讨的问题.

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5.3 局限性

对于余弦定理的相关定理及其推广与应用，针对余弦定理的论证性较强，在运用中存在一定的局限性，相应的弱化了余弦定理的效能，使局限性弱化后的余弦定理在处理三角、函数等有关问题时，更加方便实用.但没有得到更好的应用，若能进一步将弱化后的余弦定理引到其他数学分支中做应用，如：数学模型中规划模型的相关问题、复变函数中的相关问题等，将更好地体现其研究意义和广泛应用性，对于此问题，限于本人的知识水平有限，未作探讨.

5.4 努力方向

在已有知识水平及查阅相关资料的基础上，本文对余弦定理及其推广应用的问题作了一定的探讨，并通过实例，体现了余弦定理在的问题方面的实用性和优越性.然而，余弦定理的推广应用有一定局限，今后若能针对不同学科知识和相关性质，对余弦定理的局限性进一步弱化，进行合理推广应用，将能更好的促进其应用的深入研究，这些问题，有待今后不断的学习和探讨. 参考文献

[1] 李文林．数学史教程[M]．北京：高等教育出版社，2002：119．

[2] 梁宗臣.世界数学史简编［M］．沈阳：辽宁人民教育出版社，1980：175．

[3] 陈克剩．“余弦定理和正弦定理”的数学思想史略[J]．湖北：数学通讯学报，2004：47． [4] 赵冬梅.正弦定理、余弦定理的证明方法探究[J]．西北成人教育学报，2002:137． [5] 陈谌本，廖志坚，施永红.欧式空间三角理论的进展（I）[J]．广州师院学报（自然科学版），1996:85．

[6] 李慧．立体几何的余弦定理和勾股定理[J]．辽宁：鞍山师范学院学报，2003：36． [7] 杨世国．n维正弦定理和余弦定理的新证明[J]．安徽：太原科技大学学报，2005：144—145．

第 18 页

第16篇：余弦定理

1.1余弦定理

一、学习目标

1、会利用数量积证明余弦定理，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。

2、会运用余弦定理解决两类解三角形的问题。

二、重点与难点

重点：余弦定理的证明及其基本作用

难点：理解余弦定理的作用与适用范围

三、复习回顾

1.正弦定理的内容是什么？

2.正弦定理主要解决哪些解三角形问题？

四、问题导学：

自学教材P49—51页，回答下面问题。

1、余弦定理的内容是什么? 请用文字语言和数学符号表示出来.尝试自己证明同理的两个等式

2、余弦定理和勾股定理什么关系？

3、余弦定理能解决哪类解三角形的问题？

4、例4，例5各是什么问题?怎么解决？

五、你还有什么问题？

六、自学检测

1、在△ABC中，下列等式中不成立的是（）

A a2b2c22bccosABb2c2a22accosB C cosAbca222

2bc2ab

2、已知在△ABC中，a2,b5,c6,则cosB_________DcosCabc222 。

3、已知在△ABC中b3,c5,A120，则a____________。

4、在△ABC中，已知a7,b8,cosC

七、当堂训练

1、课本p51页练习1，2

2、在△ABC中，b3,c33,B30,求a的值

八、课堂反思

九、能力提升

1.在△ABC中，B60,且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_________

2.在△ABC中，AB7,BC5，CA6，则ABBC的值为______________

3、已知△ABC的三边分别是2,3,4，则判断此三角形的形状

4、在△ABC中，a1,B45,且此三角形的面积是2，求这个三角形外接圆的直径 1314，则最大角的余弦为___________ 

第17篇：余弦定理

必修5第一章:解三角形编者：审核：班级：姓名：时间：

第三课时余弦定理

学习目标: 1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.掌握证明余弦定理的向量方法；3.会用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。教学重点：余弦定理的证明过程及其基本应用.教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用

学法指导：余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的，解三角形时，注意分析三角形中的条件，根据条件选择利用哪个定理。条件不够的三角形，要探索与其他三角形的关系，必要时也可列方程(组)求解．知识回顾：

1.请你写出正弦定理

2.利用正弦定理可解两类三角形：（1）_________________(2)_________________ 3.请你写出勾股定理自主学习

一．阅读教材第5---6页，完成下列内容。 1.教材是用什么方法证明c

2a2b22abcosC的？请你用同样的方法证明

2b2

c2

2bccosAb2

=a2

+c2

-2accosB。你还有其它方法吗？

2.用语言怎样叙述余弦定理？勾股定理与余弦定理有什么关系？

3.请写出余弦定理的推论

cosA=cosB=cosC=

4.设a是△ABC最长的边，则

(1)△ABC是钝角三角形 a2

b2

c

(2)△ABC是锐角三角形_____________________ (3)△ABC是直角三角形_____________________

5.如何判定角的范围？

方法一：向量（非零）的数量积方法二：余弦定理

若>0,则A_______若b2c2

>a2

,则A_____

若=0,则A=_____若b2c2=a2,则A=____若

6.根据余弦定理及其推论，回答下列问题（1）已知三边，如何求三个角？（2）已知两边和它们的夹角，如何求第三边和其他两个角？

7.利用余弦定理，可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知三边，解三角形。（2）已知两边和它们的夹角，解三角形。

例1.在ΔABC中，(1).已知b=8，c=3，A=60°,求a; (2).已知a=20,b=29,c=21,求∠B;

(3).已知a=

,b=1,B=30°,求c.例2.在三角形ABC中a2

＋b2

2ab＝c2

，求角C的值.

例3：在ABC中，已知a7,b10,c6，试判断ABC的形状。

练习

22211.已知ABC中,B60,b2ac,试判断△ABC的形状.

1.在ABC中，若abcbc，则A=（）

A 3B 253C6D 6

2.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足

（ab）

2c24，且C=60°，则ab的值为()

A． 43B

．8C． 1D．2

3.在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=

1，则b=（）

A4B3C2D1

4.在△ABC中，已知a＝3， b＝1，∠A＝30°，则c等于()

A．1

B．2C．3-1

D．

35.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于()

A．12C．2D．

413

6.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝14，则最大角的余弦值是________．

7.已知三角形三边之比是5：7：8，则最大角和最小角的和为8.在△ABC中，a2+c2

2B=_________

在△ABC中，边a,b的长是方程x2

5x20的两个根，C=60°，求边c的长.10.已知ABC中,a33,c2,B150,求b及sinC.

12.在△ABC中，AB=2，BC=1，cosC=34

（1）求sinA(2)

反思小结：

求BC→·CA →

第四课时余弦定理

学习目标：能够用正弦、余弦定理解三角形，判断三角形的形状学习重点：用正弦、余弦定理解三角形

学法指导：在有关三角形的题目中，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．余弦定理求角时，角的值是唯一确定的，这样避免产生增解.已知三边解三角形，得到的三角形一定只有一解，在求解的过程中，如果混用正弦定理，则要注意对增解的取舍.复习回顾

1、正弦定理：R为C的外接圆的半径，则有=== 2R.

2、正弦定理的变形：（1）边化角： a=，b =，c =；（2）角化边：sin，sin，sinC；（3）a:b:c；（4）

abcabsinsinsinCsinsin

c．

sinC

3、余弦定理：在C中，有a

2，b2

，c2

．

4、余弦定理的推论：cos，cos，cosC．

5、设a、b、c是C的角A、B、C的对边，则：若a

2b2

c2

，则C90；

若a2b2c2，则C90；若a2b2c2

，则C90．

6、解三角形的四种类型：（1）已知三边解三角形，用定理；（2）已知两边和夹角解三角形，用定理；（3）已知两边和其中一边的对角解三角形，用定理；（有三种情况：“有两解，一解，或无解”，用大边对大角进行判断。）（4）已知两角和任一边解三角形，用定理。

7、判断三角形的形状，主要有两条途径：（1）化边为角；（2）化角为边。具体方法：①通过正弦定理，②通过余弦定理， 8.三角形ABC中常用的变换

sin(A+B)=_sinC_____ sin(B+C)=____________ sin(A+C)=____________cos(A+B)=___________,cos(B+C)=________________,cos(A+C)=_______________sin(A+BB+CA+C

2)=____________，sin(2)=____________，2)=____________

cos(A+BB+C2)=____________，cos(2)=____________，A+C

)=____________ 自主学习

1.阅读第7页例3.例4，在解三角形的过程中，求某一个角时既可以用余弦定理，又可以用正弦定理，两种方法有什么利弊？

例1.在△ABC中，已知b

=23，cB600，求a及A；

例2.在△ABC中，已知bcosC=(2a－c)cosB。（1）求角B的大小。（2）若b2=ac，试判断△ABC的形状。

例3.已知钝角三角形ABC，a=2, b=3，求c边的取值范围。

练习

1.在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

2.在ABC中．sin2Asin2Bsin

2CsinBsinC．则A的取值范围是（）

A．（0，

6]B．[ 

6，）C．（0，

3]D．[

，） 3.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC（）（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，

若a2b2

，sinCB，

则A=（）

（A）300（B）600（C）1200（D）15005.在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，三角形的形状是.（）

A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 直角三角形

6.如图，E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF（）

162

3A.27B.3

C.D.

47、在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（）

A.19B.-14C.-18D.-19 8..在△ABC中，AB=2,BC1,cosC3,则AC=___________.9.在△ABC中，已知a=3,b=5,c=7, 则C=____，cosA______,

sinB_________.10.在△ABC中，A＝120°，AB=5,BC=7,则求sinB

sinC

11.在△ABC中，角A，B，

C的对边分别为a，b，c，

tanC （1）求cosC；（2）若CBCA

5，且ab9，求c边．

1a212.在△ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足2absinCb2c2

，求角C．

13.在锐角ABC中，BC1,B2A,（1）求

cosA

的值，（2）求AC的取值范围

14.在△ABC中，C=2A , cosA=34, →BA·→BC=27

2。（1）求cosB(2)求边长AC。

15根据所给条件，判断ABC的形状。cos

Ab2c2c

16.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边上的中线AD7

,求BC的长.

反思小结：

第18篇：正余弦定理的多种证明方法

利用向量统一正、余弦定理的证明

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法，［1］人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（提高版）是用向量的数量积（内积）给出证明的，如是在证明正弦定理时用到：作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义，利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明，方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则

（1）（正弦定理）==；

（2）（余弦定理）

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A。

证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=（0，0）、B=（c,0），又由任意角三角函数的定义可得：

C=（bcos A,bsin A），以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))

=C′（-acos B,asin B）。

根据向量的运算：

=（-acos B,asin B），

=-=（bcos A-c,bsin A）,

（1）由=：得

asin B=bsin A,即

=。

同理可得：=。

∴==。

(2)由=（b-cos A-c）2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A。

同理：

c2=a2+b2-2abcos C；

b2=a2+c2-2accos B。

第19篇：用余弦定理证明勾股定理并非循环论证

用余弦定理证明勾股定理并非循环论证

大家都知道，勾股定理不过是余弦定理的一种特例，所以用余弦定理证明勾股定理就很容易；但是长期以来，有一种观点认为，余弦定理不能用来证明勾股定理，原因是余弦定理是用勾股定理证明出来的，然后用余弦定理又来证明勾股定理就是循环论证，说到这里，我就纳闷了，难道证明余弦定理非要直接或者间接的用到勾股定理？NO ！简直是谬论，出于兴趣，偶在网上找到了一种证明余弦定理的方法，证明的过程和勾股定理扯不上一点关系。据说是伟大的科学家爱因斯坦在12岁时, 在未学过平面几何的情况下, 基于三角形的相似性, 找到的这一巧妙和简单的证明余弦定理的方法。天才就是天才，汗……

让我们看看天才是怎样一步一步证明余弦定理的：

如图, 在△ABC 中, 过C 点作线段CD, CE 交AB 于D, E, 使∠ACD = ∠B, ∠BCE = ∠A。显然有：

因为 △ACD ∼ △ABC ∼ △CBE, 所以：

AC*AC = AD * AB, ①

BC*BC = BE * AB，②

∠ADC = ∠CEB，△CDE是等腰三角形

AC / AB = CE / BC = CD / BC，

即: CD = AC * BC / AB③

而∠CDE = ∠CED = ∠A + ∠B, 由余弦定义知,

cos(A + B) = cos ∠CDE =（1/2 * DE）/CD.

于是 DE = 2 *（CD * cos∠CDE）= 2 * CD * cos(A + B)。

将③代入得 :

DE = 2AC*BC/AB* cos(A + B)④

根据①②④，便可以推导出：

AC*AC + BC*BC

= (AD + BE) * AB将①②代入

= (AB − DE) * AB

= AB*AB − DE * AB

= AB*AB − 2AC*BC/AB*cos(A+B) * AB将④代入

= AB*AB −2AC·BC cos(A+B)

= AB*AB + 2AC·BC cos∠ACB。

即：AC*AC + BC*BC = AB*AB + 2AC·BC cos∠ACB。⑤

⑤便是众所周知的余弦定理啦

如此便证明了余弦定理。在图中, 若D,E重合到虚线的位置, 则∠ACB 为直角, 余弦定理变为勾股定理，因此，用类似的方法也可以证明勾股定理。由以上看到，证明余弦定理并非一定要涉及到勾股定理。

所以用余弦定理证明勾股定理不存在所谓的循环论证。所以说，请不要认为用余弦定理证明勾股定理的方法是错误的，除非事先说明不允许用余弦定理，否则偶认为用余弦定理证明勾股定理是最简单的一种证明方法，大家都知道 a = 90°时 cos(a) = 0，代入余弦定理便得到勾股定理。

参考文献：再談畢氏定理與餘弦定理的證明

第20篇：正弦定理与余弦定理的证明

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）

正弦定理(Sine theorem)

（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

证明

步骤1

在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中,b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

余弦定理的证明：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

《余弦定理的证明.doc》

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