函数与导数
[考点分析预测]
考点一基本函数的图象与性质
考点二 分段函数与复合函数
考点三抽象函数与函数性质
考点四 函数图象及其应用
考点五 导数的概念与意义
考点六 利用导数研究函数性质
考点七函数与导数的综合应用
整体来看,考查的热点集中在三个方面。热点之一是考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数及函数图象;热点之二是利用函数、方程、不等式的相互关系,对具体问题具体分析,最终解决问题。热点之三是利用导数研究函数的性质,及函数与导数的综合应用
[考点透视]
函数是高中数学的重要内容,函数的观点和方法贯穿于高中代数的全过程,同时也应用于几何问题及其他问题。导数是分析和解决函数问题的便利的、必不可少的工具。纵观近几年的高考试题,函数与导数知识占有极其重要的地位,不仅形式多样,而且知识覆盖面广、综合性强、灵活性高,突出考查学生方程与函数、联系与转化、分类与讨论、数形结合等重要的数学思想、能力,是高考考查数学思想、数学方法、基础素质与综合能力的主阵地。
“函数与导数”的考查(文科)呈以下特点:(1)以指数函数、对数函数为主要载体,考查定义域、值域、单调性、最值、反函数、图象与简单性质等;(2)以抽象函数、分段函数为主要载体,考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性与图象应用等问题;(3)以多项式函数、尤其是三次函数为主要载体,考查的导数的几何意义与导数的应用;(4)解答题的重点仍将围绕二次函数及三次函数展开,考查三个“二次”问题、利用导数研究函数的单调性、极(最)值与解决与方程及不等式相关的综合问题等。解答题也可能在简单的指数、对数复合函数及应用题上设计试题。
“函数与导数”的考查(理科)呈以下特点:(1)以指数函数、对数函数为主要载体,考查定义域、值域、单调性、最值、反函数、图象与简单性质等;(2)以抽象函数、分段函数为主要载体,考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性与图象应用等问题;(3)以分式型函数、三次函数、“杂合型”函数为主要载体,考查函数的极限、导数的概念与几何意义、导数的应用;(4)解答题的考查重点是利用导数研究非初等函数的单调性、极值与最值、解决与方程及不等式相关的综合问题,压轴题中可能设计此部分与数列、三角、解析几何等知识的综合题来拔高难度;(5)三个“二次”的问题渗透在各类问题中进行综合、灵活考查。
备考指导
1.抓住两条主线,构建函数知识体系
一是“基本函数的图象及其性质”,要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等一些常见函数的图象性质,归纳提炼函数性质的应用规律。二是函数的概念与基本性质,熟练掌握函数的定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、反函数等基本求法与解题步骤,并会灵活应用。
2.依托基础知识,强化思想方法训练
函数是考查“数形结合”思想的重要载体,要熟练掌握基本函数的图象和性质,分析掌握基本函数图象间的关系。在此基础上,理解掌握常见的平移、对称变换方法,强化“由式到图”和“由图到式”的转化训练。原函数与反函数,原函数与导函数图象之间的关系常被设计成考点,要注意重点掌握。函数与方程思想是本章复习的另一个重点,要善于转化命题,引进变量建立函数,运用变量的方法、观点解决数学试题以提高数学意识,发展能力。此外,分类讨论思想、特殊化思想、转化与化归思想等都应在复习中多加体悟与应用。
3.加强纵横联系,强化综合应用意识
在知识的交汇处命题是近几年高考的最大特点,函数的应用几乎可涵盖高中数学的各个章节, 因此更应加强函数与三角函数、不等式、数列、解析几何等各章节知识的联系,养成自觉运用函数观点处理问题的习惯和培养自身的能力。同时,要充分发挥导数在解题中的分析工具作用,熟练掌握利用导数处理切线问题、分析函数的单调性与极(最)值、证明不等式等典型问题的解题原理与方法,在综合应用中不能提升自身的能力,接受高考的检验与挑选。