一、经典例题剖析
考点一:等差、等比数列的概念与性质
例题1.(1)数列{an}和{bn}满足an1(b1b2bn) (n=1,2,3…), n
(1)求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列。
(2)数列{an}和{cn}满足cnan2an1(nN*),探究{an}为等差数列的充分必要条例题2.已知数列an的首项
bnann2a12a1an2an1n24n2(a是常数,且a1),(n2),数列bn的首项b1a,(n2)。
(1)证明:bn从第2项起是以2为公比的等比数列;
(2)设Sn为数列bn的前n项和,且Sn是等比数列,求实数a的值;
(3)当a>0时,求数列an的最小项。
例题4.已知数列an满足a1an11(n2,nN). ,ann41an12
(Ⅰ)求数列an的通项公式an; (Ⅱ)设bn1
an2,求数列bn的前n项和Sn; (Ⅲ)设cnansin
(2n1)4,数列cn的前n项和为Tn.求证:对任意的nN,Tn. 72
考点三:数列与不等式的联系
例题5.已知为锐角,且tan21,函数f(x)x2tan2xsin(2),数列{an}的首项4
a11,an1f(an).2
⑴ 求函数f(x)的表达式;
⑵ 求证:an1an;
⑶ 求证:11112(n2,nN*) 1a11a21an
例题6已知数列an满足a11,an12an1nN
(Ⅰ)求数列an的通项公式;
bn1bnb11b21b314444(a1)(Ⅱ)若数列bn满足,证明:an是等差数列; n
(Ⅲ)证明:1112nN a2a3an13