一堂几何复习课的教学设计和反思
上官光毅
1 引言
复习课的类型很多，但目的都是帮助学生整理和贯通知识．复习课要精讲多练，但又不能把它演变成纯粹的习题课，否则效果甚微．尤其在于几何课，有效地设计问题，多角度地分析一个问题，多方面地用好一个图形，常常会使教学收到意想不到的效果．
下面以北师大义务标准实验教材为例，谈一谈九年级上册第一章《证明
（二）》的复习设计．
2 设计过程 2.1 知识整理
这一环节通过填空的形式回顾本章的重点概念，体会知识的初步运用．
根据不同的知识点我设计了5个问题： ⑴定理“等腰三角形的两个底角相等“的逆命题是_______________________________．
知识点：逆命题及逆定理的意义和表述．
⑵用‘反证法’证明：“等腰三角形的两个底角小于90°”，可以假设：____________________________．
知识点：反证法的意义和证明的基本步骤及表述．
⑶如图甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，若AC=4，则AB=_____．
知识点：勾股定理及等腰直角三角形的有关结论．
⑷如图乙， ∠C=90°， AD平分∠BAC，若CD=2，则点D到AC边的距离等于____．
知识点：角平分线的性质定理、点到直线的距离．
⑸在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，已知BE+EC=25cm，则AC=_____cm．
知识点：中垂线的性质定理．
AAADEC甲BCD乙BB丙EC
教学设想
以上知识主要考查学生对重点概念、定理的表述和理解．问题都提得比较浅显，这是为了给学生营造一个宽松的学习机会，也是整节课的‘热身’．同时通过让学生回顾必要的知识点，锻炼其语言表述能力．
2.2讨论思考
问题：如图1所示，将两张三角形纸片(△ABC和△DCB)按BC边重叠放置，已知∠1=∠2，要使两张纸片经过变换能完全重合，还需要添加什么条件？ ADADB12图1CBC图2
生1：①添加条件：∠A=∠D，利用“AAS”来判定．
生2：②添加条件：AC = BD，利用“SAS” 来判定． 生3：③添加条件：∠ABC =∠DCB，利用“ASA” 来判定．
改变已知：如图2，将原题中的∠1=∠2改为∠BAC=∠CDB=90°．
可添条件：①AB=CD (HL)
② AC = BD(HL) ③∠DBC =∠ACB(AAS)
④∠ABC =∠DCB(AAS) 教学设想
此题以纸片重叠放置为背景，复习三角形全等的几种主要判定．为了使学生要效地区别这几种判定，问题设计成结论确定（全等）而条件开放的题型．而图2是在图1的基础上稍作变形，引出直角三角形的几种判定．从图1到图2一方面体现从一般（三角形）到特殊（三角形）的演绎思想，另一方面使学生对三角形判定的类型有了完整的认识，从而完成了对这一知识网络的建构．
整理了三角形全等判定的主要类型后，接下来很自然过渡到对这一知识的运用． 利用图2，通过延长BA和CD产生交点E，进一步连接EO（字母O为后来添加）得到图3：
EADA②①①O③图3②DB图2CBC
在可添条件中，选择①AB=CD (HL)√，形成如下问题
问题：如图3，已知∠BAC=∠CDB=90°，且AB=CD，则图中有几对全等的三角形?
结论：△EOA≌△EOD, △EOB≌△EOC △AOB≌△DOC, △ABC≌△DCB △EDB≌△EAC 教学设想
这里恰如其分的利用图2构造形成图3，所提的问题与又与前者整理的知识相呼应，这使问题之间的衔接流畅而又紧凑．
教学说明
图3中标注了序号数①②③，同一个数代表一对全等三角形．通过从一个到多个数字的组合（如①+②代表△EOB）可以依序写出所有全等的三角形，这样能避免直接观察产生的重复和遗漏．
根据图3，不改变原题的条件，我顺势又设计了如下两个问题：
问题1：如图3，已知∠BAC=∠CDB=90°，且AB=CD，求证:OE平分∠BEC 参考思路：⑴△EOA≌△EOD；⑵△EOB≌△EOC；⑶OA=OD．
问题2：如图3，已知∠BAC=∠CDB=90°，且AB=CD，请你判断OE所在的直线与BC的位置关系？（说明理由）
参考思路：⑴如图4，延长EO交BC于F点，证△EFB≌△EFC；⑵先说明EB=EC，利用问题1的结论，根据等腰三角形“三线合一”说明问题；⑶先证EB=EC，OB=OC，说明O，E都在BC的中垂线上即可．
教学设想
问题1和问题2的设计是为了引出对角平分线和中垂线两个判定定理的复习（见课本25和31页）．实际上，很多学生不习惯于用这两个判定来证明；而是利用全等三角形的判定和性质解决这两个问题．在这里，充分调动学生的积极性，引导其用不同的方法来解决问题，让他们体会不同方法的适用情形、各自的优势及方法之间的内在联系．
EAODBF图4
2.3 综合应用
问题：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=30°，AD是中线，AE⊥BC ，垂足为E，AB =83cm，求△ADE的面积．
CEDA83B
分步设问：
⑴有几个等腰三角形？（2个：△CAD，△ADB）
⑵有几个含30°角的直角三角形？（4个：△CEA，△DEA，△AEB，△CAB）
⑶求△ADE的面积．（参考思路：①直接求DE和AE；②由DE∶BC=1∶4，可得
△ADE的面积∶△ADE的面积=1∶4）．
教学设想
从⑴⑵两个小问题出发引导学生对图形进行充分观察，回顾等腰（包括等边）和直角两类特殊的三角形．学生在寻找特殊三角形的过程中，有意识地思考图形中各边角的关系，为问题⑶的解决奠定了良好的基础．
问题⑶的解决途径较多，属于解法开放型问题．通过对这个问题的探讨，学生整合了勾股定理、直角三角形中线的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形“三线合一”等知识，体会了方程和比例思想的运用． 2.4 实践探索
问题：如图1所示的钢架中，∠A=20°，现要焊上等长的钢条来加固钢架．若P1A= P1P2，问这样的钢条至多需要多少根?
分层设问：
⑴每增加一根钢条，所形成的等腰三角形的底角是多少度？ ⑵按形成的先后，等腰三角形的底角大小有何变化规律？
⑶所需钢条的数量（n）与钢架的初始角（∠A）有何关系？（n∠A90°） ⑷若∠A=15°，则钢条至多需要多少根?（5根）
教学设想
引导学生观察由“等长的钢条”所形成的等腰三角形，培养他们抽象转化的能力．通过分层设问，学生能由浅入深地理解问题，养成良好的思维习惯．问题⑶是对本题的深入，意在让学生形成规律性的认识，从而自然地解决问题⑷．4个分层问题体现了从特殊到一般又从一般到特殊的设计思想．
3 总体反思
这堂课我用四个板块为学生搭建复习近平台，每个板块相对对立又相互连接．从知识整理到实践探索学生经历了对知识由浅入深的应用过程．我的体会是结构简洁的复习设计必会带来流畅的课堂，也会让学生很自然地完成对知识网络的构建，这应该是复习课的主要目的． 在2.2中，我的设计理念是从一个简单熟悉的图形出发，通过对它不断地叠加衍生出许多新的问题，而这些问题所反映的知识又是相互联系，体现本章核心结构的．这当然要比给出不同的问题来落实重点知识好得多，因为短短一节课，太多的独立问题会让学生感到“困累”，往往是前面的问题还没完全弄明白，就要应付老师的下一题了．因此，在设计某一章的复习课前，应该理出一系列问题，把握它们的关联，尽量用一二个图形或一二个问题来联系全章的重点知识．
在2.3中，我仅选择了一个问题，但它发挥了特有的功能．由于图形的组合十分特殊，学生用不同方式对图形进行分解组合，得到了求解面积的许多好方法．这道题引起学生广泛地参与，不同层次的学生有不同的收获！我认为，复习课中综合应用题的选择不宜追求过深过难，而应当满足条件明晰，所提问题又能为大多数学生接受，并且有多样的求解方法，这样不仅活跃了课堂的气氛，也能使不同学生获得应有的成就感．
最后的实践探索题先是题意的理解有点抽象，后是规律的寻找要有充分的观察能力．所以关于这类问题，教师不可操之过急，再复杂的问题都可以通过分解转化成一些简单的小问题．有时候要借助技术手段将复杂问题的演变过程展示一下，这样至少可以缓解部分学生的“恐慌”．在对复杂问题进行分层设计时，往往第一个问题是观察性的，比如“图中含有几个等腰三角形”，“图形中有几对互余的角”，“请你计算所标角的度数”等等，这些都是为下一步探索规律和挖掘问题服务的．所以解决一个综合、实践应用类的问题要循序渐进，浅入深出，真正实现教师的主动引导，学生的自主探索！
