实验3 收敛与混沌——迭代
一、实验目的及意义
[1]了解迭代过程的图形表示，分形与混沌学科等，学会参数的灵敏度分析； [2] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程； 通过该实验的学习，观察非线性方程迭代过程中产生的奇特现象——分歧与混沌，学习参数的灵敏度分析，初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验内容
1．函数迭代序列计算练习；
2．迭代序列动态行为的图形描述，探索其规律；
3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤
1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M文件 3．保存文件并运行；
4．观察运行结果(数值或图形)；
5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会） 基础实验
1．迭代与分歧
对于非线性函数f(x) = ax(1 (x)的迭代：
对于参数a分别取值于[1, 4]; [3, 4]; [3.8284, 4]，作出费根鲍图。
观察其2-周期的分裂现象，尽可能多地给出分裂出现的的参数取值。 观察其倍3-周期现象，并总结类似倍2-周期的规律。 观察其倍5-周期现象。
注意：选取同一个迭代初值，去掉前面若干项；将参数a的取值间距尽量地减小，以便于发现和总结规律。 应用实验
2．生物种群的数量问题
种群的数量（为方便起见以下指雌性）因繁殖而增加，因自然死亡和人工捕获而减少。记为第t年初k岁（指满k-1岁，未满k岁，下同）的种群数量，bk为k岁种群的繁殖率（1年内每个个体繁殖的数量），dk为k岁种群的死亡率（1年内死亡数量占总量的比例）， hk为k岁种群的捕获量（1年内的捕获量）。今设某种群最高年龄为5岁（不妨认为在年初将5岁个体全部捕获），b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，h2=200，h3=150，h4=100。
A.建立xk(t+1)与xk(t)的关系（k=1,2,(5, t=0,1,(），如
。为简单起见，繁殖量都按年初的种群数量xk(t)计算，不考虑死亡率。
B.用向量表示t年初的种群数量，用bk和dk定义适当的矩阵L，用hk定义适当的向量h，将上述关系表成的形式。
C.设t=0种群各年龄的数量均为1000，求t=1种群各年龄的数量。又问设定的捕获量能持续几年。
D.种群各年龄的数量等于多少，种群数量x(t)才能不随时间t改变。
E 记D的结果为向量x*, 给x* 以小的扰动作为x(0)，观察随着t的增加x(t)是否趋于x*, 分析这个现象的原因。 3．遗传模型
孟德尔(Mendel)第一定律：配子的基因是从其父倍的两个基因型中随机地选择的。
实际应用中，将比例作为概率：Pk(A)=Prob{AA或Aa}; Pk(a)=Prob{aa}，并记Xk=Pk(a)。得到如下遗传模型：
1) 致死基因遗传模型：Xk+1=。讨论Xk的变化趋势。
2) 自然选择基因遗传模型：Xk+1=。其中：(=r1/r2。r1和r2分别表示在总人口数量中，新生儿基因为(AA或Aa)和(aa)所占的比例。对不同的( 取值，讨论Xk的变化趋势，选取初值：X0=0.9。
3) 突变基因遗传模型：Xk+1=(1(()Xk+(。其中：(为A突变为a的概率(比例一般为：10(5 (10(6)。对不同的(讨论Xk的变化情况? 考虑初值X0=0.1。 探究实验
4．迭代与分形
（1）对于非线性函数f(z) = z2 ( 1，在复数平面上迭代过程：作出其迭代有界的初值点集，就是所谓的Julia集。
注意：迭代产生的（复数）数列可能有界，也可能无界，这完全依赖于迭代初值的选取。初值可以在整个复平面上任意选取。我们可以根据初值产生的迭代数列有界与否，将复平面上的点划分为两类：其中之一称为“迭代有界初值点集”，用实心黑点代表这些点，观察其几何形状，特别是其边缘的几何性质。 （2）对于非线性函数f(z) = z2 + c，参数c在复平面取值。对于每一个复数平面上的参数值，迭代产生的Julia集（迭代有界的初值点集）可能连通，也可能不连通。其中Julia集连通的参数取值的集合，就是所谓的Mandelbrot集。
具体地：对参数c的一个取值，例如c = (1，可以得到一个Julia集，这个点集可能连通，也可能不连通。由于参数c的取值范围是整个复数平面，因此，参数c取值的复平面就可以根据迭代有界初值点集连通与否划分为两类。其中之一称为“Julia集连通的参数点集”，用实心黑点表示这些点，观察其几何形状，特别是其边缘的几何性质。
提示：快速确定Mandelbrot集的方法：对于一个c，如果迭代对初值z = 0，产生的迭代数列是有界的，那么这个c就是属于Mandelbrot集的。 5．迭代与混沌
使用牛顿方法求解非线性方程，自然希望找到好的初始点，能够快速地收敛到某个特定的根。根是一个吸引子，相应有一个该吸引子的控制域（收敛到该吸引子的初值范围）。利用计算机可以很方便地作出所有的吸引子与其控制域的图形，加上那些不是任何一个控制域的点，就构成了整个初值空间。这样的图形，不妨称为初值空间谱图。
对于用牛顿方法，只求实数根，作出初值空间谱图，当然应该是一维的。
对于用牛顿方法求所有根，也就是包括复数根，初值可以是任何一个复数，其初值空间谱图是二维的。试作出其初值空间谱图。
对问题2，作出彩色的初值空间谱图。注：用彩色替代黑色的点的方法是：不同的（吸引子的）控制域用不同颜色，并用颜色的暗淡（不同强度）表示收敛速度（指牛顿算法以此点为初值的迭代过程的收敛快慢程度）。可以先想一想，这个图色彩形状如何？五彩缤纷、千奇百怪、还是平淡无奇，很难想到，除非你自己亲自动手！ 注意：可以采用如下两个方程进行实践： (a) z4( 1 = 0； (b) z3 ( 1 = 0。
