概率论

2012年5月

摘要：大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用 。

关键词：大数定律，收敛，随机变量，不等式，

 law of large number and its significance

Abstract: The law of large numbers to the strict mathematical form of expreion of the random phenomenon is most fundamental nature - average

1 results of stability in probability theory, it is a very important law, is widely used.This paper introduces several common law of large numbers, and analyzed them in theory and practical application.

Key words: the law of large numbers, convergence, Random variable, Inequality

一、引言

在第一章中引入概率的概念时曾经指出，频率是概率的反映，随着观测次数n的增加，频率将会逐渐稳定到概率。详细地说：设在一次观测中事件A发生的概率，如果观测了次（也就是一个重伯努利试验），A发生了

，当充分大时，逐渐稳定到

次，则A在次观测中发生的频率量的语言表述，就是：设

。若用随机变

表示第次观测中事件A发生次数，即

则因此 “为一列独立随机变量，显然稳定于

，从而有

。

，

”，又可表述为次观测结果的平均值稳定于

稳定于现在的问题是：“稳定”的确切含义是什么？（1）

是否能写成

2 亦即，是否对，

（2）

对所有的样本点都成立？

实际上，我们发现事实并非如此，比如在次观测中事件A发生次还是有可能的，此时

，从而对

，不论N多大，也不可能有

）还是有可能发 成立。就是说，在个别场合下，事件（生的，不过当n很大时，事件（的，有 显然，当

。

时，这个概率趋于0，所以“

稳定于

）发生的可能性很小。例如，对上面

”是意味着

（3）

成立

沿用前面的记号，（3）式可写成

一般地，设

为一列独立随机变量，为常数，如果对任意，有

（4）

（ 即

），则称

稳定于。

概率论中，一切关于大量随机现象之平均结果稳定性的定理，统称为大数定律。

若将（4）式中的换成常数列定义：若

，即得大数定律的一般定义。

，

为一列随机变量序列，如果存在常数列使对，有成立，则称随机变量序列服从大数

3 定律。

二．几个常用的大数定律

由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。

定义1 设有一列随机变量,1,2…..，如果对于任意的0，有limPn1则称随机变量序列n依概率收敛于，记作npn,n。

定义n2 设有随机变量和一列随机变量n ，1,2…..，若

a.elimPn1则称n几乎处处收敛于，记作n,n 成立，定义 3 若1,2,n是随机变量序列,如果存在常数列a1,a2,,使得对任意的0,有

1nlimPian

1 （5） nni1成立,则称随机变量序列i满足大数定律.定义4 设有随机变量和随机变量序列n的r阶原点矩Er、Enr（n=1,2……）存在，其中r>0，若limEn0则称nr次平均收敛到。记作

nrn。

r此时必有EnEr。 LrL当r=2时是常用的二阶矩，n称为均方收敛。

2定义5 若1,2,n是随机变量序列，它们的数学期望Ei(i1,2,.....)存在，0有

1n1n

limkEk

1 （6）

nnnii则称随机变量序列1,2,n服从弱大数定律。

4 定义6

若1,2,n是随机变量序列，它们的数学期望Ei(i1,2,.....)存在，0有

1n1n1na.e limkEk0， PkEk0或等价地1nninini则称1,2,n服从强大数定律。

上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一个法则的不同，不能简单的把极限符号lim从概率号P（）中移出来，弱大数

n定律描述的是一列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。

定义7 对任意的随机变量，若Ea，又D存在，则对任意的正常数，有PaD2， 则称此式为切比雪夫不等式。

粗糙地说，如果D越大，那么Pa也会大一些。 大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。

定理1（伯努利大数定律）设n是n重伯努利实验中事件A出现的次数，且A在每次试验中出现的概率为p（0

lim

（7） Pnp 1nn此定理表明：当n很大时，n重伯努利试验中事件A发生的频率几乎等于事件A在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

定理2（切比雪夫大数定律） 设1,2,n是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数C0,使有DiC,i1,2,3，则对于任意的0,有

1n1n

limPiEi1

（8）

nni1ni1在上述的定理中，因为用到切比雪夫不等式，都有对方差的要求，其实方差这个条件并不是必要的。例如独立同分布时的辛钦大数定律

定理3（辛钦大数定律）

设1,2,n是独立同分布的随机变量序列,且

5 有有限的数学期望Eiai1,2,则对于任意的0,有

1n

lim

（9） Pia 1nni11n1n1np上式也可表示为limia或ian,并且称i依概率

nnni1ni1i1收敛于.

p定理4（泊松大数定律）设1,2,n是相互独立的随机变量序列,

Pn1pn，Pn0qn，其中pnqn1，则1,2,n服从泊松大数定律。

泊松大数定律是伯努利大数定律的推广，伯努利大数定律证明了事件在完全相同的条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松定理表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随着n的无限增大，在n次独立试验中，事件A的频率趋于稳定在各次试验中事件A出现概率的算术平均值附近。

定理5（马尔科夫大数定律）对于随机变量序列1,2,n,若有

1nDi0,n 2ni1则有

1n1nlimPiEi1 nni1ni1

三.大数定理典例

例1.已知随机变量X和Y的数学期望、方差以及相关系数分别为E(X)E(Y)2,D(X)1,D(Y)4,X,Y0.5,用切比雪夫不等式估计概率P{XY6}.解： 由于

E(XY)E(X)E(Y)0,

6 Cov(X,Y)X,YD(X)D(Y)1, D(XY)D(X)D(Y)2cov(X,Y)523, 由切比雪夫不等式，有

P{XY6}P{(XY)E(XY)6} 

例2.已知X1,X2,,Xn,相互独立且都服从参数为2的指数分布，求当1n2n时，YnXk依概率收敛的极限.nk111，D(Xk)，所以

42111 E(Xk2)E2(Xk)D(Xk) ，k1,2,，

442由辛钦大数定律，有

D(XY) 62310.0833.3612解： 显然 E(Xk)1n2P1 YnXkE(Xk2).

nk12

例3.已知随机变量有数学期望E，方差2D。（1）试用切比雪夫 不等式估计概率P{||3}；

(2)在增设r．v．~N(,2)的条件下，计算概率P{||3}。 解： (1)视3为，故由切比雪夫不等式，得

P{||3}1D/(3)211/90.8889；

(2)在增设r．v．~N(,2)的条件下，有

P{||3}P{33}

(3)(3)2(3)10.9974

例4.对敌人阵地进行1000次炮击，炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率近似值。

解：设第i次炮击击中颗数为i(i1,2,,1000)，有

7

Ei0.4，Di3.6

则有

100042040038040011P380i42000003336003600i1

120120.629310.25863

例5.某车间有200台机床，它们独立工作且开工率各为0.6，开工时耗电各为1kW。问供电所至少要供给这个车间多少电力，才能以99.9℅的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？

解：设m为某时刻工作着的机床台数，n200，p0.6，某时刻m台机床工作，需耗电mkW。设供电数为rkW，根据题意有

P(mr)0.999

而又有

r2000.6r120P(mr)00

2000.60.448故

r12000.999 48查表可得

r120483.1

所以r141。因此，若向该车间供电141kW，则由于供电不足而影响生产的概率小于0.001。

例6.随机的掷6个骰子，利用切比雪夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率。

解：设i为第i个骰子出现的点数(i1,2,3,4,5,6)，它们相互独立。为6个骰子出现的点数之和，即i。则有

i1kEi 12345621，

668 21121121135 Di12666666612故E21，D22235。由切比雪夫不等式得 21P(1527)P(216)

3521350.514 6272结 论

本文根据有关大数定律的定义、定理，得到大数定律更多的内容，比如强大数定律的定义等。大数定律是叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值。总结起来，分别在理论上和实践上看到了大数定律的实际作用。

在理论上，利用大数定律的思想，我们可以得出求解极限、重积分以及级数的一种新思路，为我们解决一些数学分析中的难题提供了理论上的指导。在日常生活中，利用大数定律可以解决很多实际问题，比如机枪命中率以及各种风险投资等。大数定律为促进人类社会和谐又好又快发展有着不可估量的价值。

9

参考文献

[1].章志敏.一个级数求和的概率算法[J].山东曲阜师范学院.1984.5.[2]王东红.大数定律和中心极限定理在保险业中的应用[J].数学的实践和认识.2005.35.[3]岳金健.利用大数定律和中心极限定理求解极限[J].龙岩学院学报.2007.[4]盛骤. 《概率论与数理统计》

浙江大学第四版

简明本

分工情况

第一部分由乔进伟同学完成

第二部分由孙兴晓和李久辉同学共同完成 10

11

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