高中数学说题

高中数学说题

“教师说题”是近年来新兴的一项教研活动。概括地说：“说题”是指执教者在精心做题的基础上，阐述对题目解答时所采用的思维方式、解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律。说题通过“做题、想题、改题、编题、说题”等一系列活动，将教师的“教”、学生的“学”与研究“考试命题”三者结合。开展说题活动能促进教师加强对试题的研究，从而把握考题的趋势与方向，用以指导课堂教学，提高课堂教学的针对性和有效性。

“说题”不同于以往的“说课”，从“说课”到“说题”，没有了“探”的束手束脚，直接进入了“究”的境界，让你有种一步跨进课的最深处的感觉，是教研活动的极大的进步。

一、“说题”要注重“题”的选择

美国数学家哈尔斯说：“问题是数学的心脏”。没有好的问题就没有异彩纷呈的数学，没有好的问题去引领学生的学，就没有数学课堂的精彩。教师教的“有效”要通过“好题”的深入浅出，落实学生学的“有效”。说题的内涵不是“拿嘴拿题来说”，而是“用心用题去教”。因此，说题中的“题”更要精选，这个“题”，应该是“一只产金蛋的母鸡”。

二、“说题”之“五说”

教师说题不能仅停留在“从解题角度说题”这种浅表的意义上，要从“构建主义的教学观点上看说题”。我个人认为，应从这样的五个方面进行“说题”。即一说“题目立意”、二说“试题解法”、三说“数学思想方法”、四说“背景来源”、五说“拓展引申”。

说 题 稿

东北育才学校

王成栋

问题出处：2011年高考数学辽宁理科第21题

已知函数f(x)lnxax2(2a)x． （I）讨论f(x)的单调性；

111时，f(x)f(x)； aaa（III）若函数yf(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明： （II）设a0，证明：当0xf\'(x0)0．

说题目立意

（1）考查求导公式（包括形如f(axb)的复合函数求导）及导数运算法则； （2）考查对数的运算性质；

（3）导数法判断函数的单调性；

（4）考查用构造函数的方法证明不等式；

（5）考查分类讨论、数形结合、转化划归思想。

说解法

（Ⅰ）解：f(x)的定义域为(0,)，

（解决函数问题，定义域优先的原则）

f(x)1(2x1)(ax1) 2ax(2a).（常见函数的导数公式及导数的四则运算）xx（ⅰ）若a0,则f(x)0，所以f(x)在(0,)单调递增； \'1， a11\'\'当x(0,)时，f(x)0，当x(,)时，f(x)0（导数法研究函数单调性，涉aa（ⅱ）若a0,则由f(x)0得x\'及分类讨论的思想）

11f(x)在(0,)单调递增，在(,)单调递减.aa综上，当a0时，f(x)在(0,)单调递增；

1

1当a0时，f(x)在(0,)单调递增，在(,)单调递减.

aa归纳小结：本小问属导数中常规问题，易错点有二：易错点一是忽略函数的定义域，易错点二是分类讨论的分类标准的选取。

（II）分析：函数、导数综合问题中的不等式的证明，主要是构造函数的思想，利用所构造

11的函数的最值，来完成不等式的证明。形如“f(x)f(x)”的不等式叫二元的不等

aa式，二元不等式的证明主要采用“主元法”。 解析：方法一：构建以x为主元的函数

11x)f(x),

（构造函数体现划归的思想） aa则g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax，（这是本题的难点，很多学生不知要吧g(x)朝何方设函数g(x)f(象化简，由于要利用导数法求最值，所以应朝有

利于求导的方向化简，另外考试大纲中明确对复合函数求导，只需掌握f(axb)型。）

aa2a3x2g(x)2a

（f(axb)型的复合函数求导） 221ax1ax1ax1当0x时,g(x)0,而g(0)0,所以g(x)0.a111故当0x时，f(x)f(x).aaa方法二：构建以a为主元的函数

11设函数g(a)f(x)f(x)，则

aag(a)ln(1ax)ln(1ax)2ax \'xx2x3a2g(a)2x 221ax1ax1ax11由0x，解得0a

ax1\'当0a时，g(a)0，而g(0)0，所以g(a)0

x111故当0a，f(x)f(x).

xaa\'归纳小结：无论是方法一还是方法二都采用了构造函数法证明不等式，解题中都体现了将不等式证明问题划归为函数最值的划归思想。

x1x21与的大小2a22关系，又可等效成判断x1与x2的大小关系，根据（Ⅱ）中不等式可确定f(x1)与

aaf(x2)的大小关系，结合（Ⅰ）中f(x)单调性，问题迎刃而解。

解：由（I）可得，当a0时,函数yf(x)的图像与x轴至多有一个交点，

11故a0，从而f(x)的最大值为f(),且f()0.

aa1不妨设A(x1,0),B(x2,0),0x1x2,则0x1x2.

（结合图象分析更方便）

a211由（II）得f(x1)f(x1)f(x1)f(x2)

（注意前后两问的衔接）

aaa1又f(x)在(,)单调递减

axx212所以x2x1,于是x01 .

（利用函数性质脱掉函数符号）a2a由（I）知，f(x0)0.

（Ⅲ）分析：判断f(x0)的正负，由（Ⅰ）中单调性，可知，即确定\'归纳小结：本小问解决主要是建立在第（Ⅰ）（II）问的基础之上的，分析问题中注意数形结合，解题时要有“回头看”的意识。完成本问很难说学生究竟用了什么方法，需要学生要对所学过的知识、方法要做到完全融会贯通，达到以“无法胜有法，以无招胜有招的境界，才有机会解决这个问题，是考查学生综合能力的体现。

说数学思想方法

数学思想：（1）分类讨论思想 （2）转化划归思想 （3）数形结合思想 数学方法 ：（1）导数法确定函数单调性 （2）构造函数法证明不等式

说试题背景来源

我认为，2011年辽宁省高考数学理科21题的题源与命题思想有两处：一方面来源于0

9、10年辽宁省高考数学理科第21题，另一方面来源于10年天津高考数学理科21题，首先将11年辽宁省理科21题与0

9、10年辽宁理科21题对比分析：

2009——2011年，辽宁省理科数学第21题，均考查函数、导数、不等式的综合试题，从这三道试题来看，不难看出辽宁省高考数学命题在命题思路上继承与创新。 首先从题干上分析：

12xax(a1)lnx,a1 2210年辽宁省理科21题题干： f(x)(a1)lnxax1 09年辽宁省理科21题题干：f(x)11年辽宁省理科21题题干：f(x)lnxax2(2a)x

这三年都以f(x)g(x)h(x)型出现，其中g(x)为对数lnx的形式，h(x)为二次函数型。略有不同的的是参数a出现的位置稍有不同。

另外，从问题的初始问来看，均考查含参数的单调性的讨论，应该说，这是课改后辽宁高考数学在这类试题上命题思路上的延续与继承。

从这三年的最后一问来看，

f(x1)f(x2)1

x1x210年（II）设a1.如果对任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)4|x1x2|，求a的09年（II）证明：若a5，则对于任意x1,x2(0,),x1x2,有取值范围.11年（II）若函数yf(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证 明：f(x0)0．

09年与10年问题本质相同，都是割线斜率或斜率的绝对值大于或大于等于某一常数(就是函数在某点处的导数)，稍有不等同的只是问题形式，09年是不等式证明题，10年为不等式恒成立问题。11年在09年、10年基础之上有所创新与发展，将割线斜率变成了导数小于0，其实f(x0)0中的“0”在本题中仍为割线斜率，即曲线的割线AB的斜率为0，由此我们不难看出，出题人的命题思想与意图。

另外，我们再来研究10年天津高考数学理科21题 已知函数f(x)xe(xR)．

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；

(Ⅱ)已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称．证明当x1时，f(x)g(x)；

(Ⅲ)如果x1x2,且f(x1)f(x2),证明x1x22．

与辽宁试题相比较，不同之处在函数种类不同，问题的实质及解法完全相同。

一般来说，高考试题来源可能有四个方面：一教材试题，二经典试题的改编，三往年高考试题的改编，四竞赛或高等数学试题的下放。通过以上两个方面对试题来源的分析，我们有充分的利由认为11年辽宁省试题来源于往年高考试题的改编。 题目的几何背景：

任何抽象的代数形式背后，都有其深刻的几何背景，本题的几何背景 x\'\'

无论是函数f(x)xex还是f(x)lnxax(a2)x(a0)其实都是先减后增

2的单峰函数，利用图象的对称平移变化，就能出现在x的指定的某一范围下，f(x)、g(x)两函数图象的端点处的函数值相同，图象有高低，也就产生了我们的试题中的第（II）问。由于f(x)为单峰函数，图像关于直线xx0（x0为函数的极值点）不对称，导致直线ym（或x轴）与曲线相交时，交点A、B到直线xx0的距离不等，进而出现AB重点M在xx0的右侧，也就出现试题中的第(III)问。

说问题变式与拓展

对于一个试题的变式无外乎从这两个方面入手，对其加以变式，一对题目的条件加以变式、二对题目的结论加以变式。基于以上想法，我主要从以下几个方面对试题加以变式。 问题变式一：已知函数f(x)lnxax2(2a)x．

（III）若函数yf(x)的图像与直线ym交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：

f\'(x0)0．

编题意图：将特殊直线y0（或x轴）变成一般的直线ym，体现从特殊到一般。 问题变式二：已知函数f(x)lnxaxbx(a0)，

（III）若函数yf(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：

2f\'(x0)0．

编题意图：要解决的问题不变，改编的是原函数，通过添加参数来改编试题，改变试题的难度。

问题变式三：已知函数f(x)（1）求f(x)的单调区间；

（2）求证：0xe,f(ex)f(ex)

（3）设图象与直线ym的两交点分别为A(x1,f(x1)、B(x2,f(x2)，AB中点横坐标为

lnx xx0,证明：f\'(x0)0

编题意图：跳出所给函数，尝试在新函数下改编问题。

问题变式四：已知函数f(x)2lnxxax，若函数的图象与x轴交于两点A(x1,0)、

2B(x2,0)，且0x1x2.若正常数p,q满足pq1,qp.求证：.f\'(px1qx2)0

编题意图：将中点变成任意分点，来改编试题。

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