关于因式分解那点事

关于因式分解那点事实验中学马贵荣

抓项数特征，选分解方法

因式分解在求解时，若能抓住多项式的项数特征，巧选分解方法， 会大大提高解题速度.下面举例说明.

一、二项式

对于二项式，首先考虑提公因式，若没有公因式，再考虑用平方差公式.常见类型有三种： 1.直接提公因式.

例1.分解因式：a2ab分析：本题为二项式，且各项有公因式a.因此可用提公因式法分解.

2.直接用平方差公式

例2.分解因式：a21＝． 分析：本题为二项式，且是两项的平方的差的形式，又没有公因式可提，因此可用平方差公式直接分解.3.先提公因式，再用平方差公式

例3.分解因式：2x218分析：本题为二项式，且有公因式2，提出公因式“2”后，可继续用平方差公式进行分解.

二、三项式

对于三项式，首先考虑提公因式，若没有公因式，再考虑完全平方公式.常见类型也有三种： 1.直接提公因式

例4.分解因式：2a2b2ab2ab分析：本题为三项式，各项含有公因式ab，可直接提公因式.2.直接应用完全平方公式

例5.因式分解：x24x4分析：本题为三项式，各项没有公因式可提，因此考虑用完全平方公式分解.3.先提公因式，再用完全平方公式

例6.分解因式ax3yaxy32ax2y2分析：本题为三项式，各项含有公因式axy，应先提公因式再运用完全平方公式分解.4.关于二次三项式x2pxq的分解

例6.分解因式x26x27分析：若pab,qab,则xpxq(xa)(xb)

三、含部分积的多项式

对于含部分积的多项式式的因式分解，方法灵活多变.要根据题目的具体情况选择合适的分解方法.1.直接提公因式

例7.分解因式：x(xy)(ab)y(yx)(ba)； 分析：本题可先变形，再“整体”提取公因式.

解：

22.先提取公因式，再分解

例8.因式分解：x2(y21)2x(y21)(y21)．

分析：本题含有公因式(y21)，提取后，可继续用完全平方公式分解.

解：3.先部分分解，再题公因式

例9.分解因式(x2)(x4)x24．

分析：本题应先把x24分解为(x2)(x2)，然后再提公因式分解.

解：4.先展开再分解

例10.分解因式x(x4)4．

分析：本题无法直接分解，可先把乘积部分展开，再根据特征分解因式.

解：

走进中考看“因式分解”

一、考查因式分解的意义和有关概念

例1 把x23xc分解因式得：x23xc(x1)(x2)，则c的值为（）

A．2B．3C．2D．3

解析：从因式分解与整式乘法的关系可知，因式分解是整式乘法的逆运算，所以我们只要把等式右边展开既可得：(x1)(x2)x3x2x3xc,所以c=2，故选A。 例2下列分解因式正确的是（）

A． 2xxyx2x(xy1)B． xy2xy3yy(xy2x3)C． x(xy)y(xy)(xy)D． xx3x(x1)3

解析：首先利用分解因式的定义排除D答案，因为分解因式的结果是整式乘积的形式，所以是错的。A答案中是所提的公因式出现错误，因为2并不是公因式，正确的公因式是x，B答案是提公因式后，符号出现错误，正确的应该是y(xy2x3),因此正确的只有C，所以选C.

二、考查因式分解的基本方法

1、考查提公因式法

例3 （1）分解因式：axay．

（2）分解因式：b2b2

22

22

22

．

解析：本题考查提公因式法分解因式，关键要弄清公因式是什么，再提公因式。

2、考查运用公式法 （1）直接运用公式

例4（1）因式分解：x4x4．

第1页【共4页】

2

（2）分解因式：x21

解析：这里所说的公式有两个：完全平方公式a22abb2,平方差公式a2b2,所以使用时一定要注意公式特征，不能用错。

二、系数变换后用公式

例2．分解因式：（1）169x24y2；（2）412(xy)9(xy)2.解：

三、去括号后用公式

例3．分解因式： (x1)(x2)

14

(2)先提公因式后再用公式

例5(1) 分解因式：a3ab2

（2）分解因式3a26a3.分析：对于复杂的多项式，分解因式的顺序应该是先考虑提公因式，再考虑运用公式。（3）先运用公式再提公因式 例6分解因式(x2)(x4)x24

分析：对于复杂的多项式，应先观察其特点再确定使用的方法，在(x2)(x4)x24的后半部分是平方差公式，所以考虑先使用公式局部分解，分解后发现有新的公因式，所以再提公因式，最后还要注意分解一定要彻底：也就是既没有公因式可提，也不能使用公式.

解：

三、利用因式分解巧求代数式的值

例7 （1）已知x(x1)(x2y)3，求x2y22xy的值．（2）已知y

13

x1，求

13

x2xy3y2的值．

.

解析：显然题目既没有公因式可提，也不能运用公式因式分解，只能把(x1)(x2)展开后再解题.解：

四、符号变换后用公式

有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点．

例4．分解因式：(2ab)22a(2ab)a2

分析：多项式中的两个平方项的符号都是负的，提出“－”号，加括号，将两个平方项的符号变为正的，使之符合完全平方公式的特点．

解：

五、提公因式后用公式

当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。 例5．分解因式：（1）x5y3-x3y5；（2）4x3y+4x2y2+xy3。

分析：观察这两个多项式都有公因式，其中(1)的公因式 x3y3,(2)的公因式为xy,可先提公因式,然后再看如何利用公式法分解因式.

解:

专练：

一、提取公因式法因式分解:

分析：利用已知条件求代数式的值，既要注意对代数式的化简，又要注意条件的使用.在化简代数式时，既可进行因式分解，也可在局部进行，以达到简化计算的目的.解：

运用公式法分解因式的“先后”策略

运用公式法分解因式的关键是将多项式进行适当的变形，使之符合公式的结构特点．下面举例说明几种常见的变形方法供大家参考．

一、指数变换后用公式

例1．分解因式：（1）p1；（2）

14

aa.24

分析：（1）表面上看不是平方差公式的形式，但对指数变形后就可以了；（2）把a变换为(a)可以运用完全平方公式。 解：

（1）3xy－2xy（2）12ab－9ab

2232

（3）x（a－b）＋y（b－a）

第2页【共4页】

（4）ax＋ay＋bx＋by（5）ab＋b2

－ac－bc（6）ax＋ax2

－b－bx

二、运用公式法分解因式

1、多项式x24xy4y2分解因式的结果是（） (A)(x2y)2

(B)(x2y)2(C)(x2y)

2(D)(xy)2

2、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（） (A)x2

y

2(B)x22xyy2(C)x22xyy2

(D)x2xyy2

3、x41的结果为（） Ａ．(x2

1)(x2

1)

Ｂ．(x1)2

(x1)2

Ｃ．(x1)(x1)(x2

1) Ｄ．(x1)(x1)3

4、代数式x481，x29，x26x9的公因式为（） Ａ．x

3Ｂ．(x3)

2Ｃ．x3

Ｄ．x29

5、25a2kab16a2是一个完全平方式，那么k之值为（） Ａ．40

Ｂ．40Ｃ．20

Ｄ．20

6、填空： m2

mn()2

．

7、利用因式分解计算

100992

1981

．

8、分解因式：4x21．分解因式：a24．1812

61

29、（1）运用公式法计算：301218

1．（2）用简便方法计算：80021600×7987982．

10、分解因式：（1）a2x2

16ax64（2）16(2a3b)

211、把下列各式分解因式．

（1）49x2；（2）4x2169y2；（3）125a2；（4）0.01m2625n2．

12、把下列各式分解因式．

（1）a28a16；

（2）(a2b)26(a2b)9；

（3）

122

x2xy2y2

；

（4）4mn4m2n2．

13、已知ab

112，ab

8

，

求2a2b2ab3a3

b的值．

14、把下列各式分解因式．

（1）x26x9；（2）4x220x25；（3）a2b28abc16c2；

（4）4a2

2ab

124

b；（5）(ab)2

4(ab)4．

15、把下列各式分解因式． （1）(mn)2 004

16(mn)

2 003

；（2）(x2y2)24x2y2

．

第3页【共4页】

16、把(x1)(x3)1分解因式．

17、利用分解因式进行简便运算

（4）9m－6m＋2n－n（5）4x－4xy－a＋y（6）1―m―n＋2mn

四、十字相乘法(符号规律:q＞0 时,a,b同号,且a,b符号与 q相同.q＜0时,a,b 异号,且绝对值大的因数的符(1) 已知2a－b=3,求－8a2+8ab－2b2 的值。

(2) 已知x+y=

1322

,xy=

38

,求xy＋2xy2+xy3的值。

18、已知x2+y2+2x－6y+10=0，求x、y的值。

三、因式分解之分组分解法

1.按字母特征分组（1）abab

12.按系数特征分组（1）7x23yxy21x

3.按指数特点分组（1）a29b22a6b

4.按公式特点分组（1）a2－2ab＋b2－c2

5．把下列各式分解因式(1 ) 5 x26 y  15x 2xy(2)7a2ab21a3b

2） a2

－ab＋ac－bc

2）2ac6adbc3bd 2）x2x4y22y 2）a24b212bc9c2 (3)ax23x2

4a12

号与p相同.)

1、分解因式.

1) x2-7x+12

4).x2+8x+12

2、分解因式:

1) x2+5xy-24y2

3、分解因式:

1).x2+8x-20

4、分解因式:

1).x2+6xy-16xy2

第4页【共4页】

2).x2-11x-125).x2+13x+122).x4-5x2-362).x2-5x-242).x4+13x2+363).x2-4x-126).x2-x-123).(2x+y)2+6(2x+y)-27

3).x2+12x+273).(a+b)2-15(a+b)+564).x2-3x-4 4).(a2+a)2-8(a2+a)+12

（ （ （（

全运会那点事

开学那点事

班主任那点事

大学生那点事

大学那点事

销售策略那点事

司考那点事

暑假那点事

班级那点事

上学那点事

《关于因式分解那点事.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便编辑。

推荐度：

点击下载文档