北师大版初二数学
2004/9/1 星期三
§1.1 探索勾股定理
(一)
教学目标:
1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推力意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点:
重点:了解勾股定理的由来,并能用它来解决一些简单的问题。 难点:勾股定理的发现 教学方法:讲练结合。 教学过程
一、创设问题的情境,激发学生的学习热情,导入课题
出示投影1 (章前的图文 p1)教师道白:介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献,并结合课本p5谈一谈,讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一,介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。
出示投影2 (书中的P2 图1—2)并回答:
1、观察图1-2,正方形A中有_______个小方格,即A的面积为______个单位。 正方形B中有_______个小方格,即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格,即A的面积为______个单位。
2、你是怎样得出上面的结果的?在学生交流回答的基础上教师直接发问:
3、图1—2中,A,B,C 之间的面积之间有什么关系?
学生交流后形成共识,教师板书,A+B=C,接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢?
二、做一做
出示投影3(书中P3图1—4)提问:
1、图1—3中,A,B,C 之间有什么关系?
2、图1—4中,A,B,C 之间有什么关系?
3、从图1—1,1—2,1—3,1|—4中你发现什么? 学生讨论、交流形成共识后,教师总结:
以三角形两直角边为边的正方形的面积和,等于以斜边的正方形面积。
三、议一议
1、图1—
1、1—
2、1—
3、1—4中,你能用三角形的边长表示正方形的面积吗?
2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗? 在同学的交流基础上,老师板书:
直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说:如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么abc
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾,较长的为股,斜边为弦,这就是勾股定
1 22
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理的由来。
3、分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形,并测量斜边的长度(学生测量后回答斜边长为13)请大家想一想(2)中的规律,对这个三角形仍然成立吗?(回答是肯定的:成立)
四、想一想
这里的29英寸(74厘米)的电视机,指的是屏幕的长吗?只的是屏幕的款吗?那他指什么呢?
五、巩固练习
1、错例辨析:
△ABC的两边为3和4,求第三边 解:由于三角形的两边为
3、4 所以它的第三边的c应满足c34=25 即:c=5 辨析:(1)要用勾股定理解题,首先应具备直角三角形这个必不可少的条件,可本题
△ ABC并未说明它是否是直角三角形,所以用勾股定理就没有依据。
(2)若告诉△ABC是直角三角形,第三边C也不一定是满足abc,题目中并为交待C 是斜边
综上所述这个题目条件不足,第三边无法求得。
2、练习P6 §1.1 1
六、作业
课本P6 §1.1
2、
3、4
七、教学反思
22222
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§1.1 探索勾股定理
(二)
教学目标:
1. 经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程,在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2. 掌握勾股定理和他的简单应用 重点难点:
重点: 能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 难点:用面积证勾股定理 教学方法:讲练结合。 教学过程
七、创设问题的情境,激发学生的学习热情,导入课题 我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系,究竟是几个实例,是否具有普遍的意义,还需加以论证,下面就是今天所要研究的内容,下边请大家画四个全等的直角三角形,并把它剪下来,用这四个直角三角形,拼一拼、摆一摆,看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形,并与同学交流。在同学操作的过程中,教师展示投影1(书中p7 图1—7)接着提问:大正方形的面积可表示为什么? (同学们回答有这几种可能:(1)(a2b2)
(2)
1ab4c
2 ) 2在同学交流形成共识之后,教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
a2b2=1ab4c2
请同学们对上面的式子进行化简,得到:
2a22abb22abc2
即 a2b2=c2
这就可以从理论上说明勾股定理存在。请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。
八、讲例
1.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处,过20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每时飞行多少千米?
分析:根据题意:可以先画出符合题意的图形。如右图,图中△ABC的c90,AC4000米,AB=5000米,欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程,即图中的CB的长,由于直角△ABC的斜边AB=5000米,AC=4000米,这样的CB就可以通过勾股定理得出。这里一定要注意单位的换算。
解:由勾股定理得BCABAC549(千米)
即BC=3千米 飞机20秒飞行3千米,那么它1小时飞行的距离为: 222223
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3600203540(千米/小时)
答:飞机每个小时飞行540千米。
九、议一议
展示投影2(书中的图1—9)
观察上图,应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长是否满足a2b2c2 同学在议论交流形成共识之后,老师总结。
勾股定理存在于直角三角形中,不是直角三角形就不能使用勾股定理。
十、作业
1、
1、课文 P9§1.2 1§1.1、2
2、选用作业。
十一、教学反思
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§1.2 能得到直角三角形吗
教学目标: 知识与技能
1.掌握直角三角形的判别条件,并能进行简单应用;
2.进一步发展数感,增加对勾股数的直观体验,培养从实际问题抽象出数学问题的能力,建立数学模型.
3.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形,并会辨析哪些问题应用哪个结论. 情感态度与价值观
敢于面对数学学习中的困难,并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验,进一步体会数学的应用价值,发展运用数学的信心和能力,初步形成积极参与数学活动的意识.
教学重点
运用身边熟悉的事物,从多种角度发展数感,会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形,并会辨析哪些问题应用哪个结论.
教学难点
会辨析哪些问题应用哪个结论. 教学方法:探索法。 课前准备
标有单位长度的细绳、三角板、量角器、题篇 教学过程: 复习引入:
请学生复述勾股定理;使用勾股定理的前提条件是什么? 已知△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13对吗? 创设问题情景:由课前准备好的一组学生以小品的形式演示教材第9页古埃及造直角的方法.
这样做得到的是一个直角三角形吗?
提出课题:能得到直角三角形吗 讲授新课:
⒈如何来判断?(用直角三角板检验)
这个三角形的三边分别是多少?(一份视为1)它们之间存在着怎样的关系?
就是说,如果三角形的三边为a,b,c,请猜想在什么条件下,以这三边组成的三角形是直角三角形?(当满足较小两边的平方和等于较大边的平方时)
⒉继续尝试:下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:
5,12,13;
6, 8, 10;
8,15,17.(1)这三组数都满足a2 +b2=c2吗? (2)分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗? ⒊直角三角形判定定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2 +b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形.
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满足a2 +b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
⒋例1
一个零件的形状如左图所示,按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示,这个零件符合要求吗?
CDABD54A3B
1312C
随堂练习:
⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长?说说你的理由.
⑴9,12,15;
⑵15,36,39; ⑶12,35,36;
⑷12,18,22.
⒉已知∆ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形,
______是最大角.⒊四边形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且∠ABC=900,求这个四边形的面积.
13D4A312BC
⒋习题1.3 课堂小结:
⒈直角三角形判定定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2 +b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形.
⒉满足a2 +b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.
教学反思:
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§1.3蚂蚁怎样走最近
教学目标: 知识与技能
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.教学思考
通过本节学习,使学生真正体会数学来源于生活,又应用于生活,增加如何在日常生活中用数学知识解决问题的经验和感受.
解决问题
如何将数学知识应用于生活实际,如何选择适当的数学模型解决数学问题. 情感态度与价值观
敢于面对数学学习中的困难,增加遇到困难时选择其他方法的经验,进一步体会数学的应用价值,发展运用数学的信心和能力,初步形成积极参与数学活动的意识.
重点和难点 重点
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题. 难点
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题. 教学方法:讲练结合。 课前准备
圆柱体、绳子、刻度尺、三角板 教学过程: 复习引入:
前几节课我们学习了勾股定理,你还记得它有什么作用吗? 欲登12米高的建筑物,为安全需要,需使梯子底端离建筑物5米,至少需多长的梯子?
这个问题我们用勾股定理获得了解决,许多同学都能想到.但在日常生活中,针对某个问题应该怎样选择相应的数学知识去解决,不是很明显,就算你知道了用哪个定理去解决,怎样解决还是个问题?今天我们就来研究这个问题.
提出课题:1.3蚂蚁怎样走最近讲授新课:
BB
A
⒈出示问题1:有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米.在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,需要爬行的的
7 A
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最短路程是多少?(π的值取3).
(1)同学们可自己做一个圆柱,尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢?(小组讨论)
(2)如图,将圆柱侧面剪开展开成一个长方形,从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗? (3)蚂蚁从A点出发,想吃到B点上的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?(学生分组讨论,公布结果)
⒉出示问题2:如图所示是一尊雕塑的底座的正面,李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺.
(1)你能替他想办法完成任务吗?
(2)李叔叔量得AD的长是30厘米,AB的长是40厘米,BD长是50厘米.AD边垂直于AB边吗?
(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺,他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?BC边与AB边呢?
随堂练习:
1.第14页,第1题(教师与学生共同完成画图,学生独立完成解答过程,并公布结果)
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00,甲、乙两人相距多远?
2.第15页,习题2; 3.第15页,习题3. 课堂小结:
⒈今天在解决数学问题时,我们用到了哪几个定理? ⒉通过今天的学习,你有什么收获?
教学反思
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课题学习
拼图与勾股定理
教学目标
1.经历综合运用已有知识解决问题的过程,在此过程中加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2.经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程,体验解决同一问题方法的多样性,进一步体会勾股定理的文化价值。
3.通过验证过程中数与形的结合,体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系,每一部分知识并不是孤立的。
4.通过丰富有趣的拼图活动,经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程,发展空间观念和有条理地思考和表达的能力,获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
5.通过获得成功的体验和克服困难的经历,增进数学学习的信心。通过丰富有趣拼的图活动增强对数学学习的兴趣。
教学重点
1.通过综合运用已有知识解决问题的过程,加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2.通过拼图验证勾股定理的过程,使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
教学难点
1.利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。 2.利用数形结合的方法验证勾股定理。
教学准备
剪刀、双面胶、硬纸板、直尺(或三角板)、铅笔、多媒体课件。 课时安排:2课时。
教学过程
第一课时
一、了解已有的知识和经验
1.你都知道关于勾股定理的哪些历史故事? 2.你知道勾股定理的内容吗?说说看。
3.你已知道的关于验证勾股定理的拼图方法有哪些?(教师在此给予学生独立思考和讨论的时间,让学生回想前面拼图。利用四个全等的直角三角形拼出的“弦图”和所示方法,并使之亲自验证勾股定理。教师可利用课件介绍“弦图”的历史,及“弦图”被定为2002年世界数学大会的会标等小知识。)
二、动手操作,合作探究
1.教师介绍“五巧板”的制作方法,学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板”。 步骤:做一个Rt△ABC,以斜边AB为边向内做正方形ABDE,并在正方形内画图,使DF⊥BI,CG=BC,HG⊥AC,这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿这些线剪开,就得了一幅五巧板。
2.取两幅五巧板,将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方形,将另外一幅五巧板
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拼成两个边长分别为a、b的正方形,你能拼出来吗?(给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验,对于有困难的学生教师要给予适当引导。)
3.用上面的两幅五巧板,还可拼出其它图形。你能验证勾股定理吗?(学生亲自实践,加深对五巧板拼图验证勾股定理的理解,在此,对以“a”为边的正方形在直角三角形的内侧不易理解,教师要适当地引导,不要限制学生思维。)
4.利用五巧板还能通过怎样拼图来验证勾股定理?(这个问题要给予学生充足的时间和空间进行讨论和拼图,教师在这要引导适度,不要限制学生思维,同时鼓励学生在拼图过程中进行交流合作。)
三、相互交流,整理结论,加深理解
了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证勾股定理的情况。教师在巡视过程中,相机指导,并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证勾股定理的方法,并根据不同学生的不同状况给予适当的引导,引导学生整理结论。
四、课堂总结
从这节课中你有哪些收获?
(教师应给予学生充分的时间鼓励学生畅所欲言,只要是学生的感受和想法,教师要多鼓励、多肯定。最后,教师要对学生所说的进行全面的总结。)
五、巩固
教科书第179页,习题第1题。
勾股定理的发现、验证过程蕴涵了丰富的文化价值,而它的验证方法非常之多,你想了解更多的勾股定理的验证方法吗?让我们下节课继续探讨“勾股定理”,一起走进神秘的勾股世界吧!
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拼图与勾股定理第二课时
一、引入
回顾上节课所学习的勾股定理的验证方法。
二、动手操作,合作探究
1.利用五巧板拼“青朱出入图”(教师利用课件介绍“青朱出入图”的历史)。你能利用“青朱出入图”验证勾股定理吗?(给学生提供充分实践、探索和交流的时间,鼓励他们积极思考解决问题的方法,并与他人进行合作与交流。)
2.教师可以利用课件介绍一些国外的勾股定理验证方法,重点介绍意大利文艺复兴时代著名画家达·芬奇对勾股定理的验证方法。
步骤:
(1)在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形,并连结BC、FE。 (2)沿ABCDEF剪下,得两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ。 (3)将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其它的图形。
(4)比较两个多边形ABCDEF和
的面积,你能验证勾股定理吗?(给学生充足的时间,进行独立思考,鼓励学生交流合作,教师巡视帮助,引导学习困难的学生。最后,验证方法让学生进行讲解、板演、叙述,教师做简单的总结。)
你还想了解其他的验证方法吗?
三、课堂总结
1.从两节课的课题学习中你有哪些收获? 2.你学到了哪些数学方法和数学思想?
(给出学生两个问题,让学生充分讨论、交流,得出结论,最后教师小结本课题。)
四、巩固
教科书第179页,习题第2题。 勾股定理有着悠久的历史,古巴比伦人和中国人看出了这个关系,古希腊毕达哥拉斯学派首先验证了这个关系。同学们,你们对勾股定理感兴趣吗?你想尝试自己验证勾股定理吗?请发挥你的才智,去探索勾股定理、去研究勾股定理吧!