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05秋期末复习辅导

发布时间:2020-03-02 18:32:17 来源:范文大全 收藏本文 下载本文 手机版

第2章 不等式

重点难点

1.熟练掌握常用的不等式的解法和不等式的证明方法。 2.掌握柯西不等式和均值不等式及其应用。

3.理解凸函数定义和性质,掌握它们的某些应用。

一、初等不等式的求解和证明

23的解集是(

).

x22(A) (―,―) (B)

(―,―)(0,+)

3322(C) (-,0)(0,+)

(D) (―,0) 33[分析]求解或证明含变量的不等式时,应注意函数的定义域和隐含条件。

22+3x解:设f(x)=+3= ,则f(x)的定义域为(∞,0)∪(0,∞),即x≠0

xx例1 不等式欲使f(x)>0,则必有(2+3x)x>0

22把实数分为区间(,),(,0),(0,), 显然

332在(,)和(0,)内,f(x)0;

32所以不等式的解为(,)(0,).

所以选择B。

3例2 解不等式x23x2x3 解 方法1 设f(x)x23x2x3 不等式的定义域为(,1)(2,),

7方程f(x)x23x2(x3)0的根为x,

9若x30,则x3,将定义域分为

77(,3),(3,),(,1),(2,)四个区间

997经讨论知在(,3),(3,)内f(x)0

977所以不等式的解区间为(,),即不等式的解为x。

99方法2 不等式的定义域为(,1)(2,), 解不等式x23x2x3等价于解

x23x20(Ⅰ)或

x30x23x2(x3)2x23x20 (Ⅱ) x30解不等式(Ⅰ)得解为3x所以不等式的解为x

7,解不等式(Ⅱ)得解为x3, 97。 9例3 试列出证明不等式常用的方法.

一般初等不等式的求解和证明方法有 方法1.欲证AB,可证A-B>0; 方法2.欲证A>B,可证

A>1, 其中A>0, B>0; B方法3.欲证AB,可证AC,CB; 方法4.可将某式变为平方项任何数的平方大于等于0; 方法5.用数学归纳法;

二、几个重要的不等式及其应用 例4.写出柯西不等式和均值不等式 1.柯西不等式

对于任意两组实数a1,a2,…,an和b1, b2,…bn,有

2222(a1b1a2b2anbn)2(a12a2an)(b12b2bn) 当aa1a2n时,等号成立。 b1b2bn2.均值不等式(算术平均数大于或等于几何平均数)

n个正实数的算术平均数大于或等于这n个数的几何平均数 即 a1a2anna1a2an;

n当a1a2an时,不等式的等号成立

例5.设x,y,z为非负实数,且满足

9x2+12y2+5z2=9 求f(x,y,z)=3x+6y+5z的极大值.

[分析] 利用柯西不等式可以求出某式的极大(极小)值或最大(最小)值 (1)若所给的式子含有带平方项的和式,则多考虑用柯西不等式 (2)求某式的极大(极小)值或最大(最小)值用放缩法。

当求极大值或最大值时,用不等式放到最大,则等号成立时,求得结果。 当求极小值或最小值时,用不等式缩到最小,则等号成立时,求得结果。

解 利用柯西不等式

125z5 212 (9x212y25z2)(15)=9981

4所求极大值是81. 3x+6y+5z=3x×1+12y

例6

若a1,a2,,an都是正数,求证:

(a1a2an)(111)≥n2 a1a2a1证明

构造两个实数列

则由柯西不等式得

a1,a2,an;111 ,,,a1a2an[(a1)2(a2)2(an)2][(121212)()()] a1a2an≥(a1a2an)(111) a1a2an即 (a1a2an)(111)≥n2 a1a2an

例7.设x,y,z为非负实数,且满足3x+2y+z=9, 求f(x,y,z)=xyz的极大值.

[分析] 利用均值不等式也可以求出某式的极大(极小)值或最大(最小)值 (1)若所给的式子含有一次乘积项,则多考虑用均值不等式 (2)求某式的极大(极小)值或最大(最小)值用放缩法。

当求极大值或最大值时,用不等式放到最大,则等号成立时,求得结果。 当求极小值或最小值时,用不等式缩到最小,则等号成立时,求得结果。

3x2yz33x2yz33213xyz 解:利用均值不等式

32332634xyz3,当3x2yz时,即x,y332,z2332

3633

3.其它著名不等式参看教材

三、凸函数及其应用

例8 叙述凸函数的定义:

(1)如果函数f(x)满足条件:对任意x1与x2,有f(q1x1q2x2)q1f(x1)q2f(x2)

其中q10,q20,且q1q21,则称f(x)是上凸函数. (2)如果函数f(x)满足条件:对任意x1与x2,有f(q1x1q2x2)q1f(x1)q2f(x2)

其中q10,q20,且q1q21,则称f(x)是下凸函数.

说明 1.上凸(下凸)函数的定义还可以推广到n个节点的情形。

2.记忆上凸(下凸)函数的定义时,把f(q1x1+q2x2)为曲线的纵坐标,q1f(x1)+q2f(x2)为端点连线的纵坐标,若满足f(q1x1q2x2)q1f(x1)q2f(x2)为上凸函数;若满足f(q1x1q2x2)q1f(x1)q2f(x2)为下凸函数.

22例9.若x1x2xn1,求x12x2的最小值。 xn解 设f(x)x2,已知f(x)是下凸函数,对任意的x1,x2,,xn 且x1x2xn1,有

22x12x2xnf(x1)f(x2)f(xn)nn

xx2xn11f(1)f()2nnn122所以x12x2的最小值为。 xnn例10 如果函数f(x)满足条件:对任意x1与x2,有

f(q1x1q2x2)q1f(x1)q2f(x2) 其中(

),则称f(x)是上凸函数.

(A) q10,q20

(B) q1,q20且q1q21

(C) q10,q20,且q1q21

(D) q10,q20且q1q21 答案:B

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