初三数学奥林匹克竞赛题及答案
已知3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=0，求……
已知实数a、b满足3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=0，求u=9a^2+72b+2的最小值 答案：
分解因式(a-2b)(3a-4b)+5a-10b=0 即(a-2b)(3a-4b+5）=0 从而a=2b或4b=3a+5带入u就可做了。 a=2b的u=-34 4b=3a+5的u=11 即u最小为-34
***从1，2，3，4……2010这2010个正整数中，最多有多少个数，可以在这些数中任选三个数的乘积都能被33整除？
答案：33的倍数共有60个
所以{3，11，33，66，99……1980,任意一个数} 所以最多63个数
***(1)五位数 abcde 满足下列条件它的各位数都不为0 (2)它是 一个完全平方数
(3)它的万位上的数字a 和 bc de 都是完全平方数 求 所有满足上诉条件的5位数
***怎样的四个点可以共圆，初三奥数题
这题奥数题的答案说。∠APB=∠BQR=90°，∴BQRP四点共圆，这是为什 1 么？？
这是因数四边形BQRP的两个对角BRP和PBQ的和是90°
依据是对角互补的四边形是圆内接四边形！
***如图，圆O中，AB,AC为切线分别切圆与D,E且BC过O点，F为弧DE上一点，过F作圆O的切线交AB,AC于M,N。求证，△MBO∽OCN
答案：少一个条件：AB=AC（△MBO∽△OCN 就意味着∠B=∠C，但是题目只说BC过O）
1) 显然
∠DOB=90°-∠B
，
∠EOC=90°-∠C
，
于
是∠DOE=180°-(∠DOB+∠EOC)=∠B+∠C=2∠B
2) 显然∠DOM=∠FOM，∠EON=∠FON，于是
2 ∠DOE=∠DOM+∠FOM+∠EON+∠FON=2(∠FOM+∠FON)=2∠MON
3) 比较1)、2)的结论可知∠MON=∠B=∠C
4) 根据3)的结论，以及∠BMO=∠OMN可知△MBO∽△MON 5) 根据3)的结论，以及∠CNO=∠ONM可知△OCN∽△MON 6) 由4)、5)的结论可知△MBO∽△OCN 证毕
***绝对值用（）表示。y=（x-1）+（x-2）+……+（x-2003）取最小值是，实数x的值为？？？答案：显然当x=1002时y最小。证明如下：
解
：y=[(x-1)+(x-2003)]+[(x-2)+(x-2002)]+...+[(x-1001)+(x-1003)]+(x-1002) 显然，当x=（1，2003）时[此时的（）表示区间],[(x-1)+(x-2003)]取最小值；
当x=（2，2002）时，[(x-2)+(x-2002)]取最小值；.........当x=（1001，1003）时，[（x-1001）+（x-1003）]取最小值； 当x=1002时，（x-1002）取最小值。
所以当y取最小值时，x满足x属于（1，2003）且x属于（2，2002)...且x属于（1001，1003），且x=1002.所以此时x=1002 ***a＜0，b≤0，c＞0，且√b2-4ac=b-2ac，求b2-4ac的最小值。要过程！！！！！！！
解：∵√b²-4ac=b-2ac ∴两边平方得：b²-4ac=(b-2ac)² ∴4a²c²+4abc-4ac=0
3 ∵4ac≠0 ∴ac+b-1=0 ∴ac=1-b ∴b²-4ac=b²-4(1-b)=b²+4b-4=(b+2)²-8 ∴当b=-2时，b²-4ac的最小值为-8 ***已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a=0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是
要过程！！！！！！！！！！！！！！！！！！详细点儿！！！ 解：x^2+a2x+a=0 (x+a)^2-a^2+a=0
a^2+a=0 a=0 或a=-2
x+a=0 x=-a x=2 不晓得作对没，错了给我说下，有正确的也给我说下
***a＜0，b≤0，c＞0，且√b2-4ac=b-2ac，求b2-4ac的最小值。要过程！！！！！！！
解：∵√b²-4ac=b-2ac ∴两边平方得：b²-4ac=(b-2ac)² ∴4a²c²+4abc-4ac=0 ∵4ac≠0 ∴ac+b-1=0 ∴ac=1-b ∴b²-4ac=b²-4(1-b)=b²+4b-4=(b+2)²-8 ∴当b=-2时，b²-4ac的最小值为-8 ***绝对值用（）表示。y=（x-1）+（x-2）+……+（x-2003）取最小值是，实数x的值为？？？解：显然当x=1002时y最小。证明如下：
解
：
4 y=[(x-1)+(x-2003)]+[(x-2)+(x-2002)]+...+[(x-1001)+(x-1003)]+(x-1002) 显然，当x=（1，2003）时[此时的（）表示区间],[(x-1)+(x-2003)]取最小值；
当x=（2，2002）时，[(x-2)+(x-2002)]取最小值；.........当x=（1001，1003）时，[（x-1001）+（x-1003）]取最小值； 当x=1002时，（x-1002）取最小值。
所以当y取最小值时，x满足x属于（1，2003）且x属于（2，2002)...且x属于（1001，1003），且x=1002.所以此时x=1002 ***已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a=0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是
要过程！！！！！！！！！！！！！！！！！！详细点儿！！！ 解x^2+a2x+a=0 (x+a)^2-a^2+a=0
a^2+a=0 a=0 或a=-2
x+a=0 x=-a x=2 不晓得作对没，错了给我说下，有正确的也给我说下
***a＜0，b≤0，c＞0，且√b2-4ac=b-2ac，求b2-4ac的最小值。要过程！！！！！！！
解：∵√b²-4ac=b-2ac ∴两边平方得：b²-4ac=(b-2ac)²
5 ∴4a²c²+4abc-4ac=0 ∵4ac≠0 ∴ac+b-1=0 ∴ac=1-b ∴b²-4ac=b²-4(1-b)=b²+4b-4=(b+2)²-8 ∴当b=-2时，b²-4ac的最小值为-8 ***锐角三角形ABC的三边是a，b，c，它的外心到二边的距离分别为m，n，p，那么m:n:p等于A 1/a:1/b:1/c B.a:b:c C.cos A:cos B:cos C D.sinA: sinB: sinC 选择什么？为什么？ 解：选择C m=r*cosA， n=r*cosB P=r*cosC ***1讨论 求二次函数y=x^+mx+m(-3
答案： 看图像，易知二次函数开口向上。可根据对称轴的位置分三类讨论：（1）对称轴在x=-3与x=-1之间，即-3-1,即m6。同样根据图像知最小值在x=-3时取到，y(min)=9-2m
2.抛物线y=x^+px+q有一点M（Xo，Yo)位于x轴下方
（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点 A（X1，0） B(X2,0) 其中X1
答案：2.(1)配方：y=(x+p/2)^2+q-(p^2)/4.将M(Xo,Yo)代入得Yo=(Xo+p/2)^2+q-(p^2)/44q,由判别式知
6 x^+px+q=0有两根（2）设y=(x-x1)(x-x2),将xo代入，则yo=(xo-x1)(xo-x2)0且(xo-x2)0,因为x1
(2.）（a的绝对值+b的绝对值+c的绝对值)的最小值 我需要详细的过程，谢谢 答案：不妨设a最大, (1)由题意b+c=2-a,bc=4/a,故b,c是方程x^2-(2-a)x+4/a=0的两根 则△=(a-2)^2-4*4/a≥0
因a 最大,必有a>0,去分母得a^3-4a^2+4a-16≥0,(a-4)(a^2+4)≥0 所以a≥4,即a,b,c,中最大者的最小值为4
7 (2)显然b,c均为负,|a|+|b|+|c|=a-b-c=2a-2, 当且仅当a取最小值4时,|a|+|b|+|c|最小,最小值为6 ：
***已知 4（x的平方）-2（根号2）mx+m=0 关于X的两根是直角三角形两锐角的正弦 求M的值 并求两锐角已知：2（sinA的平方）-5sinA*cosA+4（cosA的平方）=3 A为锐角 求tanA的值 要详细过程
答案：由题意，得
x1^2+x^2=(x1+x2)^2-2x1x2=1x1+x2=(根号2)m/2,x1x2=m/4m^2/2-m/2=1,m^2-m-2=0，m=-1或2当m-1时，两根之和小于0，不满足所以m=2,方程的解是x=（根号2）/2所以两锐角都是45度。
2（sinA的平方）-5sinA*cosA+4（cosA的平方）=（2（sinA的平方）-5sinA*cosA+4（cosA的平方））/（sinA的平方+cosA的平方)=（2（tanA的平方)-5tanA+4）/(tanA的平方+1)=3所以2（tanA的平方)-5tanA+4=3tanA的平方+3tanA的平方+5tanA-1=0因为A为锐角所以tanA的值是（根号29-5）/
***如图 ABC在l上 且AB=2BC 点M在l外 角AMB=90度 角BMC=45度 求sinMBA的值(图在下面）
答案设：BC=x,则AB=2x
由斯特瓦尔特定理可得：MB²=（MA²*BC+MC²*AB）/AC-AB*BC 化简，得：MA²-MC²=3x²
再由正弦定理得：BC/sin45°=MC/sinMBC
AB/sin90°=AM/sinMBA
sinMBA=sinMBC
两式相除，得：MA=根号2*MC
结合上式：MA=根号6*x sinMBA=MA/AB=(根号6)/2案：
***.已知 4（x的平方）-2（根号2）mx+m=0 关于X的两根是直角三角形两锐角的正弦 求M的值 并求两锐角
答案：易知x1²+x2²=1 由韦达定理知：x1+x2=（根号2）/2*m①
x1*x2=m/4②
①²-2*②：m²-m+2=0
m1=2,m2=-
1当m1=2时：x1=x2=根号2/2 所以两锐角皆为45° 当m2=-1时：x1=(根号2+根号
8 6)/
4x2=(根号2-根号6)/4 所以两锐角为75°和15°
***.已知：2（sinA的平方）-5sinA*cosA+4（cosA的平方）=3 A为锐角 求tanA的值
答案：把右式的3化为3sinA²+3cosA²
化简，得：-sinA²-5sinA*cosA+cosA²=0
然后有个很重要的技巧：两边同除以cosA²
然后化简：tanA²+5tanA-1=0 又因为A是锐角 所以tanA=(-5+根号29)/2 ***函数y=根号（x^2+9）+ 根号(x^2-8x+17)的最小值。求过程 答案：y=√(x²+9) + √[((x-4)²+1] 可以看成是：
x轴上的点（x，0）到点（0，3）和到点（4，1）的距离和。 点（0，3）关于x轴的对称点为（0，-3） 点（0，-3）到点（4，1）的距离为最小值 =√（4²+4²） =4√2
***A、B、C、D四点共圆，另一圆圆心在AB上，且与四边形ABCD其余三边都相切，求证：AD+BC=AB（AB和CD是对边）
9 答案：这道题先画个图。设出来∠B和∠C。然后根据四点共圆说明对角和为180°。
因为圆心O向BC,CD,DA作的垂线的垂足设为E,F,G。那么∠EOF+∠C=180°。 ∠FOG+∠B=180°。那么有∠EOF=∠A，∠FOG=∠D。
下面我设内切圆半径为r，一方面知道AB=AO+BO=r/sin∠A+r/sin∠D.AD+BC=AG+GD+CF+EB而AG=rcot∠A,GD=rtan(1/2*∠D),CF=rtan(1/2*∠A), EB=rcot∠D.这样用半角公式知道左边=右边。证毕。这是我直接的想法。 其实就是AO=AG+FC,BO=BE+DF。
当然可以转换成欧式几何的语言来说明，
将△OFC绕O点旋转，使得G与F\'重合并且AG与旋转后的FC(F\'C\')在一条直线上。那么我们考虑△AOC\'，∠OC\'A=90°-1/2*∠A那么有AO=AO=AG+FC.同理
BO=BE+DF。又由于DF=DG,CF=CE,所以有AB=AD+BC。
***△ABC中，角A=45度， D、E为AB的三等分点 ，a,b,c,分别为角A，角B，角C的对边，在AC上有一动点P，则DP，EP的距离和最小值为多少
答案：过A点做AB的垂线L，可以在L上找到一点F，使得AF=AD。显然AC是角DAB的角平分线，连接EF，与AC的交点即为所求的P点。
最短距离为（2/3*c)^2+(1/3*c)^2=5/9*c^2.再开方。根号5/3*c即为最短距离。
***若|2008-x|+√(根号)x-2009=x求x- 2008的二次方 答案：若|2008-x|+√(x-2009)=x 求x- 2008²
解：要使√(x-2009)有意义 则：x-2009≥0 故：x≥2009
10 故：|2008-x|=x-2008 因为：|2008-x|+√(x-2009)=x 故：x-2008+√(x-2009)=x 故：√(x-2009)= 2008 故：x-2009=2008² 故：x- 2008²=2009
***关于x的一元二次方程x2-x+a（1-a）=0有两个不相等的正根则a可取值为？
答案：解：因为有两个不相等的实根 所以 △>0
即 1-4a（1-a）=（1-2a)^2>0 所以 a≠0.5
又因为有不相等的正根 所以(1±|1-2a|)/2>0 即|1-2a|
***首项系数不相等的两个二次方程(a-1)x*x-(a*a+2)x+(a*a+2a)=0及(b-1)x*x-(b*b+2)x+(b*b+2b)=0(其中a、b为非负整数)有一个公共根.求a和b 答案：方程1：(a-1)x*x-(a*a+2)x+(a*a+2a)=[(a-1)x-(a+2)](x-a)=0x=a或x=(a+2)/(a-1)=1+3/(a-1)同理 方程2：x=b或x=(b+2)/(b-1)=1+3/(b-1)因为
两方程的首项系数不相等
所以
a≠b
所以
所以
a=1+3/(b-1)或1+3/(a-1)≠1+3/(b-1)而
两方程有公共根b=1+3/(a-1)由于对称性，我们只需考虑a=1+3/(b-1)即可又因为 a、b为非 11 负整数所以 (b-1)|3所以 b=2，4，0而 b=0时，a=-2，不符合要求，舍弃所以 a=2，b=4；a=4，b=2 ***在三个等圆上上各自有一条劣弧AB,CD,EF,如果弧AB+弧CD=弧EF 那么AB+CD与EF的大小关系是什么 求详细过程 答案：把两个小狐拼到一起，就是大弧 于是有AB+CD>EF 因为三角形两边之和大于第三边嘛
