单轮ABS建模与仿真
一、理论分析与数学建模
汽车在制动过程中，当制动器制动力大于轮胎-道路附着力时，车轮就会抱死滑移。只有汽车具有足够的制动器制动力，同时地面又能提供较大的附着力时，汽车才能获得较好的制动效果。
在汽车制动时，除车轮旋转平面的纵向附着力外，还有垂直于车轮旋转平面的侧向附着力。在汽车制动过程中，纵向附着力决定汽车的纵向运动，影响汽车的制动距离；侧向附着力决定汽车的侧向运动，影响汽车的方向稳定性和转向操纵能力。
当汽车匀速行驶时，实际车速V (即车轮中心的纵向速度)与车轮速度v (即车轮滚动的圆周速度)相等，车轮在路面上的运动为纯滚动运动。然而，在汽车实际运行过程中，当驾驶员踩下制动踏板后，在制动器摩擦力矩的作用下，车轮的角速度减小，实际车速与车轮速度之间就会产生一个速度差，轮胎与地面之间就会产生相对滑移。轮胎滑移的程度用滑移率slip来表示。车轮滑移率是指实际车速v与车轮速度w之差同实际车速v的比值，公式如下。
slip1w v
当v=w时，滑移率slip=0，车轮自由滚动；
当w=0时，滑移率slip=1，车轮完全抱死滑移；
当v>w时，滑移率0
试验证明，在地面附着条件差(例如在冰雪路面上制动)的情况下，由于道路附着力很小，使可以得到的最大地面制动力减小。因此，在制动踏板力(或制动分泵压力)很小时，地面制动力就会达到最大附着力，车轮就会抱死滑移。在制动过程中，车轮抱死滑移的根本原因是制动器制动力大于轮胎-道路附着力。
滑移率大于理想滑移率后的区域称为非稳定制动区域或非稳定区，如图所示。
横向附着系数是研究汽车行驶稳定性的重要指标之一。横向附着系数越大，汽车制动时的方向稳定性和保持转向控制的能力越强。
当滑移率为零时，横向附着系数最大；随着滑移率的增加，横向附着系数逐渐减小。当车轮抱死时，横向附着系数接近于零，汽车将失去方向稳定性和转向控制能力，其危害极大。
综上所述，为了获得最佳制动性能，应将滑移率控制在10%到30%范围内。 因此，通过采用ABS，使汽车在制动过程中自动调节车轮的制动力，防止车轮抱死滑移，从而缩短制动距离，提高方向稳定性，增强转向控制能力，减少交通事故的发生。
在车辆制动前，汽车本身具有一个初始车速，车轮即以初始角速度旋转。在此处进行运算和建模时用到的车速是以角速度的形式存在的。因此，滑移率的计算公式如下式。
vVv（无滑移时，车速等于轮速） Rr
slip1w v
v——汽车角速度（车速除以车轮半径）
Vv——汽车线速度
Rr——车轮半径
w——车轮角速度
在此，将理想的滑移率设置为0.2，这就意味着此时的轮速，是相同车速下未制动时轮速的0.8倍。在这种情况下，可以最大程度上地获得地面提供的摩擦力，以使轮胎附着于路面上，并将制动距离尽可能地缩短。
根据ABS系统的结构，以及单论模型的受力分析，我们可以得到下式。
IdwFfRrT dt
I——车轮转动惯量
dw——车轮角加速度 dt
Ff——摩擦力
Rr——车轮半径
T——制动力矩
二、Simulink建模
根据上述分析，在Matlab/Simulink中利用不同模块，分别建立各部分的计算公式的模型。
轮胎与路面间的摩擦系数mu是关于滑移率slip的经验曲线，即mu-slip曲线。建模时，可通过Simulink中的查表模块进行建立。在模型中，将摩擦系数mu乘以单轮承载的车重W，以得到作用在轮胎切向上的摩擦力Ff。再将摩擦力Ff除以整车质量，就得到了汽车的减速度，再进行积分运算就可以得到车速。
在此模型中，采用了理想防抱死控制器，基于实际滑移率与目标滑移率的差值进行 “bang-bang”控制（在子模块中）。我们设置在目标滑移率时查表可得到mu的峰值，利用此值以减少制动距离。但在实际车辆中，滑移率不能直接被测量，所以这种控制算法不具备实用性，仅仅在此模拟实际情况以简化仿真。
子模块通过车轮实际滑移率、目标滑移率和轮胎转矩，此子模块最后计算出车轮角速度。
为控制制动压力的变化率，模块中奖实际滑移率与目标滑移率的差值信号输入到“bang-bang”控制器（结果为+1或-1，这是根据偏差值计算得到的）。这个开关变化率经过一阶延迟系统。这个延迟是由制动液压管路造成的。再经积分得到实际制动压力。最后再乘以关于制动活塞面积和半径的系数Kf，可以得到输出作用在车轮上的制动力矩信号。
由前面得到的驱动车辆的摩擦力矩减去制动力矩，得到作用在车轮上的净力矩。再将其除以车轮的转动惯量I，就得到了车轮的角加速度。再经积分，便可获得轮速。为保证轮速和车速实际有效，在模型中使用有限积分器进行运算。
三、运行结果
运行建立好的ABS模型，仿真得到以下图形。
第一幅图显示了车轮角速度和相应的汽车角速度。轮速始终保持在车速一下，并没有抱死，最终在15秒之内车速下降为0。
第二幅图显示了汽车的滑移率在制动时迅速由0上升至0.2附近，并在其周围振荡。最终可以将汽车滑移率保持在0.2附近，以实现与路面间最大程度地附着，避免抱死，直至车速为0。
四、结论
此次通过Simulink建模仿真了ABS控制系统控制下的制动系统的工作情况，建模仿真结果符合要求。但此模型中的控制算法是理想化的，实际中可以采用其
他的控制算法来仿真系统的响应。
