课题：§2.4向量在立体几何中的应用
（一）
编写：审核：时间—、教学目标 ：
1、复习近平面几何图形的性质 。
2、理解用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。
二、问题导学：
1、平面几何图形的性质
2、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将证明线段相
等，转化为证明向量的相等，求线段的长，转化为求向量的； 证明线段、直线平行，转化为证明向量；
证明线段、直线垂直，转化为证明向量；
几何中与角相关的问题，转化为向量的问题；
对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立，通过代数（坐标）运算解决问题。 典型例题
例
1、如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2。
求证：AD⊥BC。
例
2、已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1）
（1）求,和ACB的大小，并判断△ABC的形状；
（2）若M为BC边的中点，求||。
三、作业
ABCD中，错误的式子是（）
A、B、
C、ABBCACD、ADABAC
2、已知A（2，1）、B（3，2）、C（-1，4），则△ABC是（）
A、等边三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、钝角三角形
3、△ABC是等边三角形，设a,b,当|atb|取最小值时，t=（）
13A、B、1C、2D、2
24、已知四边形ABCD的顶点坐标A（1，1），B（1，3），C（3，3），D（4，1），则
四边形ABCD为（）
A、直角梯形 B、等腰梯形C、矩形D、菱形
5、在平面上有A、B、C三点，设mABBC,nABBC,若m与n的长度恰好相等，则有（）
A、A、B、C三点必在同一条直线上B、△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C、△ABC必为直角三角形且∠B=90º D、△ABC必为等腰直角三角形
6、设向量a(1,3),b(2,4),c(1,2)若表示向量4a,4b2c,2(ac),d
的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为（）
A、（2，6）
B、（-2，6）
C、（2，-6）
D、（-2，-6）
7、已知点A(,1),B(0,0),C(3,0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有,其等于（）A、
2B、
C、-
3D、
1
38、如果直线xyt与圆x2y24相交于A、B两点，O为原点，如果与的夹角为
，则t 的值为。
39、如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于同一点。
§2.4向量在解析几何中的应用
（二）
执笔人：郑才红葛红时间—、自主学习例4—6填空：
（1）设直线l 的倾斜角为，斜率为k, 向量(a1,a2)平行于l ，则称为l
的，可以根据向量的知识得到向量（1，k）与向量共线，因此（1，k）也是l 的方向向量。
（2）已知直线l:AxByC0，则向量(A,B)一定和l，向量(A,B)
称为l 的。
（3）已知直线l1:A1xB1yC10， l1:A1xB2yC20，则n1(A1B1)与
l1垂直，n2(A2,B2)与l2 垂直，于是l1和l2的夹角便是n1与n2的夹角（或其
补
角
）
设
l
1与
l
2的
夹
角
是
，则
有
nn2
|cos|cosn1,n2||1|n1||n2|
二、典型例题：
已知点P（-3，0），点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线AQ上，满足
PAAM0,
，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程。
三、作业：
1、已知点A，B的坐标为A（4，6），B（-3，
）,与直线AB平行的向量的坐标可以
2是（）
①(
14,3)
3②(7,)③(
921
4,3)④（-7，9） 3
A、①②B、①③C、①②③D、①②③④
2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（1，0），B（2，2），若点C满
足t(),其中tR，则点C的轨迹方程为（）
A、(x2)2(y2)22C、2xy10
B、xy10 D、2xy20
3、直线3x2y60与向量n(2,3)的位置关系为（）A、平行
B、相交
C、垂直
D、重合
4、若对n个向量a1,a2,......,an,存在n个不全为0的实数k1, k2,„„，kn，使得
，依此k1a1k2a2.....knan0成立，则称向量a1,a2,...,an为“线性相关”
规定，能说明a1(1,0)，a2(1,1),a3(2,2)“线性相关”的实数k1, k2, k3依次可以取。（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）。
5、过点A（3，2）且与直线l:4x3y90平行的直线方程为，过点A且与l垂直的直线方程为。
2
6、已知向量a(x,x)与向量b(2x,3)的夹角为钝角，则实数x的取值范围
是
7、已知向量a,b的夹角为60º，|a|3,|b|2,若(3a5b)(mab)，则m的
值为
8、直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P(x, y)满足OPOA4，则点P的轨迹方程是。
§2.4向量在物理中的应用
（三）
执笔人：郑才红葛红时间
—、自主学习：
1、力向量包括大小、方向和作用点，如果大小和方向相同的两个力，作用点不同，它们是
2、同一平面上，作用于同一点的两个力f1,f2或三个力f1,f2,f3处于平衡状态，可分别用等式；来表示。
3、一质点在运动中每一时刻都有一个向量。
二、典型例题：
例
1、如图，一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河
水的流速为2km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。
例
2、某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为
2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。
三、作业
1、当两人提起重量为|G|的书包时，夹角为，用力为||，则三者的关系式为（）
|G|
A、|F|
2cos|G|C、F
2cos
|G|B、|F|
2sin
|G|D、|F|
2cos
2、已知作用在A点的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)且A（1，1），则合力F1F2F3的终点坐标为（）A、（9，1）
B、（1，9）
C、（9，0）
D、（0，9）
3、两个大小相等的共点力F1,F2，当它们夹角为90º时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120º时，合力大小为（）A、40N
B、2N
C、2N
D、N
4、一条河宽为400米，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的 B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需的时间为（）A、1.5分钟B、1.8分钟C、2.2分钟D、3分钟
5、河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（）A、10m/s
B、226m/s
C、46m/s
D、12m/s
6、一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知垂直到达对岸，则（）A、|v1||v2|C、|v1||v2|
B、|v1||v2|
D、|v1||v2|
