欧拉公式证明（精选多篇）

发布时间：2020-07-06 08:34:17 来源：证明收藏本文下载本文手机版

推荐第1篇：欧拉公式的推导

欧拉公式e=cosx+isinx中，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将函数的定义域扩

大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数里占有非常重要的地位！e=cosx+isinx的证明：

因为e=1 + x/1! + x/2! + x/3! + x/4! +……

cos x=1x/6!……

sin x=xx/7!……

在e的展开式中把x换成±ix.

因为(±i)=-1, (±i)=∓i, (±i)=1 ……

e+ix234x357246x234ixix=1 + ix/1!x/3! + x/4!…… =(1x/3!……)

+ix23423所以e=cosx+isinx ，

-ix将公式里的x换成-x，得到： e=cosx-isinx，

然后采用两式相加减的方法得到：

sinx=(e-e)/(2i)

cosx=(e+e)/2

这两个也叫做欧拉公式。 ix-ixix-ix

推荐第2篇：欧拉公式的证明方法和应用（优秀）

欧拉公式

eicosisin的证明方法和应用

i摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式ecosisin，举例说明欧拉公式在

数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数

1.欧拉公式意义简说

在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被ecosisin这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当时，有e1，即e10，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、

1、i、e、联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，

。它们在数学中各自都有发展的方面。因是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”

此e+1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。

iiii

2.欧拉公式的证明简述

在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。

2.1幂级数展开式的证明法

引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式ecosisin，

2.2复指数定义法

用复指数定义ee

2.3类比法求导法

通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造f(x)

ixzxiyie(cosyisiny)，证明欧拉公ecosisin xiixcosxisinx，f(x)0用lagrange微分中值定理推论[3]，从而证明f(x)1,使得ecosxisinx

2.4分离变量积分法

假设zcosxisinx，求导得dzdziz，通过分离变量得idx,，然后两边取积分得dxz

Lnzix，所以得ecosxisinx.

3.欧拉公式的证明方法

3.1幂级数展开式的证明方法：

3.1.1三角函数的“麦克劳林级数”[1] ： ix

sin(z)z3!355!

4(1)n12n2n1(zn1)!n, cos(z)122!24!(1)(2n)!, 3.1.2指数函数的“麦克劳林级数”：[1]

ez1z2!nn!, 当用iz代替 z时，那么 iz(iz)1iz2!2(iz)n!n

(12

2!4

4!)i(z3!355!)

coszisinz

当z时，得到ecosisin。

3.2复指数定义法：

对于任何复数zxiy (x,yR) ，有

ii（证完） ezexiye(cosyisiny)[2]，当x=0时，另xy,有ecosisin（证完）

3.3类比求导法：

3.3.1构造函数f(x)

3.3.2计算导数

f(x)

i(cosxisinx)(sinxicosx)(cosxisinx)2ixixixcosxisinx xR,i为虚数 ix(icosxsinxsinxicosx)

cos2xisin2x

3.3.3lagrange微分中值定理的推论 0

若函数f(x)在区间I上可导，且f(x)的导数恒等于0，x属于I，则f(x)为I上的一个常量函数[3]。根据这推论，所以有f(x)c,c为常量，又因为f(0)1, 所以f(x)1,有

eixcosxisinx.（附件②）（证完）

3.4分离变量积分法

dzicosxsinxi(cosxisinx)iz，分离变量得： dx

dz1idx, 所以两边同时积分得idx，即Lnzixc，当取x=0时，zz假设zcosxisinx, 难么

zco0sisin01，Lzl1i0c0nn，所以c0,所以Lzixn，Lnzzcosxisinxix，所以ixcosxisinx。（证完） eee

4.欧拉公式在数学中的应用

在对一些较难以证明和计算的题上，直接使用欧拉公式很容易就证明了，在高等数学中很广泛的应用，比如棣莫弗公式的证明，复变函数的求解等。

4.1公式证明和应用

4.1.1 证明棣莫弗（de Moivre）公式[4]cosnxisinnx(cosxisin

证明：由欧拉公式ecosxisinx可知：ixx)n； ix(cosxisinenx)即n

einxcosnxisinnx，所以有cosnxisinnx(cosxisinx)n

4.2.2用欧拉公式和棣弗公式证明[4]：e

zxcosacos(xsina)cosna;n0n!nxcosasin(xsina)sinnanon!n；证明：令zcosaisina,由欧拉公式可知 ee

xz(cosaisina)ecosaeisinaecosa(cos(sina)isin(sina)) xcosa即ee

ex(cosaisina)excosaeixsinae(cos(xsina)isin(xsina)) xcosacos(xsina)e

nnxcosaisin(xsina))又由于：

exzn0(xz)n!(cosnaisinna)

n0

n! cosnansinnanin!xn!xn0n0

比较实部和虚部的到 

excosacos(xsina)cosna;n0n!nn

sin(xsina)sinna

non!

4.2定义证明和应用

4.2.1证明复数z 的正弦函数和余弦函数 xcosa

sinziz2iiz,coszixiz2iiz.[2] 证明：由欧拉公式eixecosxisinxcosxisinx可得，， ixecosxisinx

ixixcosx2从而得到.对于任意的实数x成立，这两个公式中的x代以任意复数z后，ixixsinx2i

由eezxiye(cosyisiny)，右端有意义，而左端尚无意义，因而有：

izx

sinziz2i,cosziz2iiz.

4.2.2求sin(12i)的值[2]：

解：

sin(12i)



i(12i)2ii(12i)2(cos1isin1)(cos1isin1)2i

22 222

cosh2sin1isinh2cos1

此式为复数解正弦函数（附件③） sin1i22cos1

5.综合总结

ix对于欧拉公式ecosxisinx，在这里用了四种不同的方法证明其的成立，也举了几个

列子说明了欧拉公式在高等数学中的重要性，在这里，主要是提供给学生一种多方面学习和看问题的思想，比如在证明欧拉公式的方法中，都还有许多不同的证明方法，我所列举的这几种方法中，类比求导法是一种很好的证明方法，其的构造思想很巧妙，对于幂级数的展开证明方法，较容易弄懂，并且在实际的题目中，幂级数的展开用得比较多。我在下面所举的两类应用中，都是用到欧拉公式，且欧拉定理在这当中就像桥梁一样，如果不用到欧拉公式，这类问题也能求，但不是那么容易了。通过对欧拉公式的证明和应用的了解，我们对于e1i

也就不那么陌生了。

6.考文献

[1] 数学分析下册第三版华东师范大学数学系编第十四章幂级数 2001

[2] 复变函数论第三版钟玉泉编第二章解析函数 2004

[3] 数学分析上册第三版华东师范大学数学系编第六章微分中值定理及应用 2001

[4] 数学分析下册华东师大第三版同步辅导及习题全解 2006

[5] 生活与科学文库 e的奥秘 1991

7.附件

7.1附件① 因为对于实函数ae，dxaxaxd(cosxasinx)sinxacosxdxa为常数，所以对于复函数有ie,dxixixd(cosxisinx)i(cosxisinx)dx

7.2附件②对于构造的函数f(x)ix

cosxisinx是有意义的，因为

|cosxisinx|

有意义的。因为f(x)

ixcos2xsinx1所以cosxisinx0。因此，函数f(x)2ixcosxisinx是ixcosxisinx所以 ix

f(x)

i(cosxisinx)(sinxicosx)(cosxisinx)2ix (icosxsinxsinxicosx)

cos2xisin2x0

又根据lagrange中值定理可得 f(x)cc 为实常数，又因为f(0)i0

cos0isin0=1则有

f(x)1，所以有f(x)ix

cosxisinx1，

所以ecosxisinx

7.3附件③复函中规定：sinhz

zix2z,coshzz2z

推荐第3篇：复变函数中的欧拉公式的证明

复变函数中的欧拉公式的证明

一、欧拉公式：

eiπ+1=0

eix=cosx+isinx

二、证明

a) 将ex展开：

23ex=1+x+x

2!+x

3!x456784!+xxxx

5!+6!+7!+8!+···

b) 将x用ix替换：

2345678

eix=1+ix··c) 将cosx展开：

cosx=1-x2

2!+x4

4!x6

6!+x8

8!x10

10!+x12

12!··

d) 将sinx展开：

x3x5x7x9x11

3!5!-7!+9!-11!+x13

sinx=x-13!+···e) 上式等号两边同时乘i：

ix3ix5ix7ix9ix11

3!+5!-7!+9!-11!+ix13isinx=ix-13!··f) 联立Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ三式得： eix=cosx+isinxⅥ g) 同理可得：

e-ix=cosx-isinxⅦ h) 对于Ⅵ，令x=π便可得： eiπ+1=0 i) Ⅵ、Ⅶ二式联立可得：

eix-e-ix

sinx=eix+e-ix

2icosx=2 Ⅰ Ⅲ Ⅴ Ⅱ Ⅳ

推荐第4篇：欧拉常数的证明

调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：

由于ln(1+1/n)

于是调和级数的前n项部分和满足

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞

所以Sn的极限不存在，调和级数发散。

但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0

因此Sn有下界

而

Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)

将ln(1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故

ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0

即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此

S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求

lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）

=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）

-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

欧拉常数发现的历史

著名数学家莱昂哈德·欧拉(1707-1783)该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De

Progreionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。

推荐第5篇：欧若拉

欧若拉

欧若拉，北欧神话中掌管北极光的女神。古罗马神话里的曙光女神，掌管北极光，代表旭日东升前的黎明。北极光是大自然赐给人类的美好礼物，欧若拉则是令人充满希望与期盼的女神。另外歌手张韶涵2004年推出的一张音乐专辑也名为《欧若拉》。 1词语：欧若拉

北欧神话中掌管北极光的女神【释义】

以下是“卜辞”详细解释后的欧若拉

aurora

1、曙光[C]

2、极光[C]

3、【罗神】(大写)奥罗拉(即曙光女神) 【含义】

北纬66度34分以北的北极圈，天寒地冻的北国世界，神秘绚烂的极光“欧若拉”在那里悄然无声地上演着；“欧若拉”(Aurora)，古罗马神话里的曙光女神，掌管北极光，代表旭日东升前的黎明。北极光是大自然赐给人类的美好礼物，欧若拉则是令人充满希望与期盼的女神。

欧若拉是罗马神话中的黎明女神，身份等同于希腊神话中的爱欧丝。欧若拉是一位美丽的女神，每天早晨时分飞向天空，向大地宣布黎明的来临。

据说她排行第三，哥哥是太阳希理欧斯，姊姊是月神席琳。她有时候也被指为极光，不过大多数时间她还是被称为黎明女神，因为欧若拉的希腊文就是黑夜转为白天的那第一道光芒！

欧若拉有四个儿子，分别是四个风神，东风、西风、南风与北风，也有传说她的孩子其实是路西佛(不是那个恶魔，是罗马晓星)。神话中说她的眼泪是露水，当她悲伤时，一边飞上天空，一边掉泪，眼泪落下就变成了早晨的露珠。

欧若拉不算是很著名的女神，很少文学故事曾经提过她。仅有莎士比亚在罗密欧与朱丽叶中提到过她的名字。其中关于欧若拉最著名的故事，是她与她丈夫的故事。传说欧若拉爱上了凡人，明知道不能爱他，却又无法割舍爱情，于是她向天父宙斯祈求，请求宙斯赐予她的丈夫魔法，让他永远都不会死，这样他们就可以长相厮守！宙斯准许了欧若拉的不情之请，但是他再三告诫她，愿望许了就不可收回。欧若拉应许了。

然而欧若拉忘记向宙斯要求她的丈夫同时也不会老去，因此她的丈夫越来越老，但是又不会死。欧若拉发现自己错了，又奔去找宙斯，希望宙斯收回愿望。宙斯当然无法做到，欧若拉已经答应了咒语永远不能反转！

欧若拉伤心不已，她的丈夫痛苦不已，每日呻吟，却不能死去，于是欧若拉将他变成了蚱蜢，离他而去。

据说这也是为什么蚱蜢每天叫个不停的原因，因为他一直想死去却又不能，因此终日呻吟不停。【传说】

奥罗拉－或是奥拉－干的狠事

黎明女神奥罗拉(Aurora)爱上了年轻的猎人刻法罗斯(Cephalus)，她把他拐走，百般爱护，千方百计想讨他喜欢，可是白费心血。刻法罗斯爱他年青的妻子普洛克里斯(Procris)更甚于这位女神。最后，奥罗拉生气地把他打发走了，她说道：“滚吧，没有良心的凡人，守著你的妻子去吧，不过有一天你会为重新见到她而后悔的。”

刻法罗斯回到家里，像以前一样和妻子幸福相处。他的妻子很得宠于阿耳忒弥斯(Artemis)，女神送给一只狗和一杆标枪，供她在狩猎时使用。普洛克里斯把狗和标枪都交给了丈夫。据说那只狗在快要追上野外跑得最快的狐狸时，突然和狐狸一起变成了石头。这时因为创造这两个动物并欣赏它们的速度的神们不愿看到两者中的任何一个取胜。至于那支标枪，它命中注定要带来厄运。据说刻法罗斯打猎时打累了的时候，总要到某个荫凉的处躺下吹吹风。有时他会大声地说：“来吧，温柔的奥拉(Aura)，甜蜜的微风女神，来消消我身上炙人的热气吧。”不知道是谁，错以为他是在对一个少女说话，就把这个秘密告诉了普洛克里斯。她左思右想放不下心来，第二天早晨她偷偷地尾随丈夫出来并藏身在告密者指点过的地方。刻法罗斯在打猎打累之后像往常一样躺到了绿色的岸边并呼著奥拉的名字。突然他听到，他认为他听到了灌木丛中传出一声呜咽。他以为那是某种野兽的声音，就一枪掷了过去。一声尖叫使他明白标枪肯定准确地击中了目标。他跑过去，从地上抱起了受伤的普洛克里斯。她临终无力地睁开了眼睛，勉强地说出了这番话：“我求你，如果你爱过我的话，如果我确实值得你爱的话，我的夫君，答应我最后的一个请求吧，千万不要跟这个可恶的和风结婚！”说著，她躺在丈夫的怀抱中死去了。门农－奥罗拉之子

黎明女神奥罗拉仿佛常常要激发起对凡人的爱情。她最宠爱的人是特洛伊(Troy)国王拉俄墨冬(Laomedon)的儿子提托诺斯(Tithonus)。她把他拐走了并说服宙斯(Zeus)赐他长生不死，但她忘了请求宙斯同时赐他永葆青春。过了一段时期，她痛苦地发现，他变得衰老了。他头发全白的时候，她不再和他待在一起了，不过他仍然可以在她的宫殿内活动，吃神的食物，穿天国的衣裳。终于，他的四肢失去了活动能力，她就把他关在屋子里，有时从那里可以听到他微弱的声音。到最后，奥罗拉把他变成了蚱蜢。门农(Memnon)是奥罗拉和提托诺斯的儿子。他是埃塞俄比亚(Ethiopians)的国王，住在最东部大洋河海岸。在特洛伊战争中他带著勇士们来为父亲的亲戚助战。普里阿墨斯(Priam)国王以隆重的仪式接待他并以崇敬的心情聆听他讲述大洋海岸上的奇迹。

就在到达后的第二天，门农顾不上休息就带著人马上了战场。涅斯托耳(Nestor)勇敢的儿子安提罗科斯(Antilochus)倒在他的手下。希腊人四下溃逃。突然阿喀琉斯(Achilles)上场并扭转了局面。他和奥罗拉的儿子进行了一场难分难解的鏖战。最后，阿喀琉斯取得了胜利，门农被杀，特洛伊人溃不成军。

奥罗拉在天上怀著忧虑的心情注意到儿子的险境，看到他倒下，她指示他的弟兄风神们把他的尸体带到了帕弗拉戈尼阿(Paphlagonia)的厄塞普斯河(Esepus)的岸边。晚上，在时序女神(the Hours)和普勒阿得斯七姊妹(the Pleiads)的陪同下，她来到岸边为儿子哭泣哀悼。夜神(Night)同情她伤子之痛用乌云布满了天空，整个大自然都为黎明女神失去的儿子哀悼。埃塞俄比亚人在河边岸上水泽女神们居住的丛林里为他修了一座墓，宙斯把他葬礼篝火的火花和灰烬变成群鸟，这些鸟分成两群并在篝火的上空互相搏斗，直至角入火焰之中。每年他忌日的那一天它们都回来以同样的方式悼念他。奥罗拉由于失去了儿子悲痛不已，她的眼泪一直流著，每日清晨人们都可以在草叶上看到那些以露珠式存在的泪珠。守望“黎明女神奥罗拉”

北极朗伊尔城在北纬78度13分，号称“地球上最北端的小镇”。这个小镇最著名的恐怕是极光了。世界上对神秘莫测的极光有许多种说法。挪威老人说，极光是“死去少女的灵魂”，或者是“鱼鳞在北冰洋月光照耀下的反射”。更多人相信，那是“太阳的晨曦之光”。大科学家伽里略则把极光称作“黎明女神奥罗拉”，因此，极光的英文名称就叫“奥罗拉”。

许多人对北极的极光印象深刻，却不知道极光背后的故事。

杨惠根博士今年39岁，追逐极光却已12年。杨博士去过南极一次，到过北极已经3次，与极地结下了不解之缘。他是中国极地研究中心引进的第二个博士。

杨惠根是个苏州人，却是南人北相。他在武汉大学攻读高空物理，有一次在学校看了一个有关南极的纪录片，便发誓要进入极区，完成特殊使命。1992年毕业后，他去南极的日本昭和站越冬14个月，从此开始了漫长的追逐极光之旅。

我国是空间科学的小国，但可以毫不夸张地说，由于杨惠根等人的努力，我国在极光观测方面，已经取得长足进步。杨博士常戏称自己是个“坐井观天”之人，靠着180度的“全天空图像处理系统”，他说“地平线以上的东西，都可以纳入我的视野。”我和他开玩笑，你老是天南地北的跑，你的妻子和宝贝女儿怎么进入你的视野？他沉默着，一笑了事，似乎永远找不到两全其美的答案。

杨惠根说，搞极光观测的人很苦。研究极光不是好看，而是透过现象研究空间物理本质。杨博士有一种狂热，他认为12年研究远远不够，他带着他的11人研究小组，致力于追求一个答案。所谓极光，简单地说，就是“开放的磁力线与太阳风的作用”，南北极是解决这个问题的窗口。极光研究应用很广，比如我国的“西气东输”，其中一个很难解决的问题，就是空间变化的电流，对金属导管氧化很快，极光研究，有助于解决这些难题。

如今，北极科考站的建立，为我国的极地研究设立了一个新的基地，也为杨惠根找到了一个新的守望点。他要在世界上最先进的“井”里，守望他的“奥罗拉”.

欧若拉（Aurora），在北欧神话中是曙光女神的名字，据传说，她们都是英勇善战的女武神，每当她们奔赴战场时，身上穿的盔甲就会放射出夺人心魄的美丽光芒。

而一段时间以来，并非地处北欧的英国，却也在天地交界之间出现了一道神秘的欧若拉之光。据英国《卫报》６月２４日的消息就透露，长期以来，英国的民众都曾以为经常于黎明时分，在苏格兰的一些地区出现的一些神秘光芒是飞碟光临地球。而其实，这是美军在英国的空军基地秘密试飞一种代号为“曙光女神”的先进高空、高速战略侦察机。神秘面纱逐渐揭开

尽管英国政府和美国政府都一再否认这种飞机的存在，但大量目击者和其他事实证明，美国进行这项秘而不宣的计划已经行之有年。

1985年2月，在美国防部向国会提出的1986年预算报告中，包含了一份非机密的武器采购文件。其中“战略侦察”分类中，在U-2侦察机改良型TR-1的项目之下，有一个名为“曙光女神”的项目第一次引起了外界的兴趣。这个项目特别之处在于，U-2侦察机改良计划在1986财政年度仅要求8000万美金的预算，但是1987年度却突然剧增到22亿美金，其中巨额的资金空白，自然给人们留下了无尽的想象空间。对此，军事专家解读，认为唯一的解释就是这架飞机的发展已经隐藏在机密预算中多年，接近发展完成，此时要求巨额的公开预算以投入生产线，所以，从那时起，曙光女神就应该已经出现在天边了。

根据目前公开搜集的资料，军事科技界是这样描述“曙光女神”的神秘面容的：她是一个有着75度后掠角的巨大三角形升力体，侧面则是形似一鹰喙的巨大流线体。机长为32米，高为7米，全载重为83吨，其中三分之二以上是燃料。两具组合循环发动机在机腹部沿飞机长度方向一直向后延伸和三角翼紧密融为一体，在机体前下方形成一个庞大的“斜曲面”。“曙光女神”所独特的三角体本身就是一个升力面，对亚音速、跨音速及高超音速的飞行都比较有利，而且具备很强的隐形效果。该机可能使用液态甲烷燃料，飞行高度可达创纪录的３６０００米，航程预计达到1万公里，经过空中加油后，可以飞抵全球任何一个地方实施空中侦察。

20年间备受关注

从时间上推算，“曙光女神”的研制时间已经应该有将近２０年时间，而在这漫长的研制过程中，其不断引起过世界各大媒体的关注。早在1988年1月，美国《纽约时报》就刊出了美国研制新一代高速隐形侦察机的报道，报道宣称这是一架能以5马赫在10万英尺高空飞行的侦察机。文中，一位不愿透露姓名的研究人员指出“使用SR-71时，他们知道我们在哪里，但是碰不到我们。但使用新的科技后，他们甚至不会知道我们在哪里”。不过该报并未指明这就是“曙光女神”。

1988年2月，美国Gung-Ho杂志的报道则首次叫出了“曙光女神”的名字。报道指出，“曙光女神”是以７马赫在25万英尺飞行的超音速侦察机，乘员有三名，燃料是甲烷，故必须以特殊的KC-135Q油机进行空中加油。该报道引述不愿透露姓名的官员指出：“我们已经开始试飞这种飞机。SR-71与其相较，就好像是达芬奇设计的降落伞与现代的航天飞机相比。”而一位退役上校则更信心满满地表示：“相对于世界航太科技水准，我们的科技使我们看起来像是外星人。”

而1992年12月12日，军事界权威的《简氏防卫周刊》则获得了一位名叫吉布森的具有１２年从军经历的英国皇家侦察兵老兵的目击证明，吉布森本人还是国际飞机辨识团成员，因此在辨认飞机上具有比较权威的地位。他表示，当时他在远在北海的Galveston Key钻油平台上工作，当天出现了一架KC-135，两架F-111，与一架神秘的三角形飞机，他指出该架神秘飞机的后掠角达到75度，而完全不类似任何他所看过的飞机，而这与传说的“曙光女神”则十分相似。

“曙光女神”侦察中国？

众所周知，美国在抢占军事科技制高点上一贯不遗余力，而且尤其在高空高速战略侦察机方面，其更是注意更新换代，传承交替，以保持其领先地位。美国之所以如此重视这方面工作，在冷战前是主要针对苏联，冷战后，美国又将两极争霸的矛头人为的锁定在中国身上。随着美军的ＳＲ－７１退役，Ｕ－２从明年开始也将陆续退役，如何弥补空中侦察的空白是美军近些年来关注的重点，而“曙光女神”技术的日臻成熟，无疑将为美军提供一个理想的战略侦察替代工具。

推荐第6篇：大数学家欧拉

1 大数学家欧拉（1707—1783）

近年来，一种名为“数独”的填数游戏风靡全球。这种游戏规则极其简单，玩法却变化多端，令全世界的男女老少为之痴狂。2004年，英国《泰晤士报》开风气之先，在报上公布“数独”题目娱乐大众。从那时起，短短几年光景，如今全世界大约有60个国家的350多家报纸几乎天天刊登“数独”游戏题目。近两年来，中国各地的日报、晚报后起直追，划出专门的版面，天天报道有关“数独”竞赛的消息，刊载“数独”题目。各国各大城市纷纷举办“数独”竞赛。在英国，“数独”竞赛上了电视台的黄金档节目。2006年在意大利举行了第一届世界“数独”锦标赛，获奖者被认为“智商超群”，在全世界备受瞩目。

不少“数独”爱好者都知道，这种游戏的普及多亏了一位名叫戈尔德的新西兰人。此人曾在香港担任法官15年，1996年退休以后的一次旅行途经日本，在机场偶然发现介绍“数独”游戏的小册子。戈尔德立刻着迷，从此专注于“数独”游戏的开发推广，他也因此而发了大财。但鲜为人知的是，“数独”游戏本身虽非数学问题，但是其来源却是一种被称之为“拉丁方阵”的古老数学问题，最先对它展开研究的是18世纪传奇而又高产的大数学家莱昂纳德·欧拉。

对于“拉丁方阵”的研究，在欧拉的学术范围内并不占据主要位置。这个问题源自于当年普鲁士国王腓特烈为他的仪仗队排阵。国王有一支由36名军官组成的仪仗队，军官分别来自6支部队，每支部队中都有上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。国王要求这36名军官排成6行6列的方阵，每一行，每一列的6名军官必须来自不同的部队，并且军衔各不相同。问题看似简单，腓特烈绞尽脑汁却怎么也排列不出来，于是向著名的数学家欧拉求教。欧拉研究之后告诉国王，不必枉费心机，因为这个问题根本无解。欧拉之后，很多数学家开始研究“拉丁方阵”，并留下很多这方面的定理。

少年们正在兴致勃勃在玩数独游戏

欧拉是一位300年前的人物，可他始终距离我们不远，因为他为人类创造的智慧财富我们每天都在享用。今天所有的中学生都知道：在几何中用a、b、c与A,B,C分别表示一个三角形的三条边与三个内角，用π表示圆周率；在三角函数中使用基本的符号，例如sin A表示A角的正弦函数等等；在代数中用i表示虚数单位，也即是“-1的平方根”，用f(x)表示函数；在立体几何中揭示多面体的欧拉公式，即顶点数-棱数+面数=2。这些统统都是欧拉的创造。以欧拉冠名的定理、常数和公式随处可见。此外，欧拉还涉足物理、天文、建筑、音乐乃至哲学，并且成就辉煌。几乎在每一个数学领域里都可以看到欧拉的名字和影子。仅以数论为例，欧拉是“解析数论”的奠基人，“哥德巴赫猜想”就是在他与哥德巴赫的通信中产生的。更为重要的是他证明的“欧拉恒等式”，影响巨大。黎曼所提的、至今未能解决的世界难题“黎曼猜想”就源自于“数论”中的“欧拉恒等式”，它依然挑战着21世纪的数学家们。

欧拉成就斐然,著作等身，在人类科学发展史上的地位极其特殊，能与他相提并论的科学家只有阿基米德、牛顿和高斯。这四位先哲不仅创建发展理论，还应用他们的理论，跨越学科界限，解决了大量天文、物理和力学等方面的问题。因为他们的目光注视的并非是那些具体问题，而是整个宇宙，毕生致力于揭示宇宙的奥秘。

后世的数学家们无不推崇欧拉。大数学家拉普拉斯谦卑地说：“他是我们所有人的导师”；有“数学王子”之称的天才数学家高斯崇敬地说“欧拉的研究工作是无可替代的”。各国人民都以不同的方式纪念这位数学大师。瑞士法郎上就印着欧拉的肖像，目前在流通的货币上有其肖像的科学家只有两位，另一位是英镑上的牛顿。半个世纪前，民主德国和西德、前苏联和瑞士都分别发行过纪念邮票，纪念欧拉诞辰250周年。

2007年，适逢欧拉300年诞辰，瑞士再次发行了纪念邮票。中国与瑞士两国政府在北京

2 共同举办了隆重的纪念活动。这是十分罕见的，也是欧拉当之无愧的。瑞士教育与研究国务秘书查尔斯·克莱伯致词说：“若是没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”

巴塞尔：数学与神学困难抉择

欧拉于1707年4月15日出生在巴塞尔，一个瑞士西北部与法国和德国毗邻的小城。美丽的莱茵河蜿蜒穿城而过，瑞士最古老的高等学府巴塞尔大学就在这里。

欧拉的父亲是位专职的传道牧师，但是非常喜爱数学。在这位乡村牧师的书房里，除了神学书籍之外，就是数学书籍。他给童年的欧拉讲过许多有趣的数学故事。欧拉后来满怀深情地回忆父亲对他数学的启蒙，永远记得那些令他听得入迷的故事。例如，印度国王舍罕打算奖赏那发明了象棋的大臣，问大臣想要什么。聪明的大臣请求赏赐一些麦粒，要求的数量是：在棋盘的第一格里放1粒，第二格里放2粒，第三格里放4粒，第四格里放16粒……依此类推，把棋盘上的64格都放满。舍罕国王和众人都未曾料到，国库内的麦子都搬光了以后，棋盘格子的多一半还空着呢！

为纪念欧拉诞辰300周年，2007年瑞士发行的纪念邮票

这个“幂级数求和”问题的故事，深深震撼了欧拉的心灵，使他感到了数字的力量与迷人。在父亲的书房里，10岁的欧拉自学了德国数学家鲁道夫写的《代数学》，做完书里的全部习题，毫不吃力。辅导欧拉自学的是学识渊博的数学家约翰·伯克哈特，欧拉没齿不忘的启蒙恩师。

欧拉渐渐展现出他那过人的智慧，那善于解决实际问题的超级才能。他的牧师父亲不仅“牧人”也牧羊，羊群是他家的主要生活来源，欧拉则是牧童。当家里的羊群不断增多接近百只的时候，父亲决定扩大羊圈。他计划建造一个长方形新羊圈，长40米，宽15米，面积正好600平方米。算一下需要110米的材料做围栏，但他只有100米材料，于是打算缩小羊圈的面积。这时候，欧拉却告诉父亲，只要改变羊圈桩脚的位置，造一个25米见方的正方形羊圈，材料足够，面积还会增加到625平方米呢！

牧师认为儿子智力非凡，得让儿子接受优良的教育。他当然知道，良师益友对于一个人的成长何其重要。牧师年轻时曾在巴塞尔大学读神学，从而结识了那里的数学与物理教授雅各布·伯努利和约翰·伯努利，这两兄弟都是著名的大数学家。伯努利家族是个数学世家，三代人出了8个有名的数学家。约翰·伯努利有两个儿子，名叫尼古拉和丹尼尔，兄弟二人像他们的父亲和伯父一样，酷爱数学，日后也都成了世界著名的大数学家。他们把聪明的欧拉当成小弟弟，经常给他绘声绘色地讲那些有趣的数学知识，使欧拉受益匪浅。他们同欧拉的友谊延续了一生。

约翰·伯努利教授很快就发现了欧拉的天分，决定加意培养。他推荐欧拉进入了巴塞尔大学，那年欧拉仅仅13岁。欧拉主修神学，他花很多时间学习希伯来语和希腊语，为的是能念懂圣经《旧约全书》和《新约全书》的原文。

巴塞尔大学聚集着一大批欧洲著名的学者，例如大哲学家尼采当年在那里讲授“古典文献学”，他的代表作《悲剧的诞生》就是在巴塞尔大学任教期间写出来的。

在必修的神学课程之外，少年欧拉也学习令他入迷的数学，成为约翰·伯努利教授的学生。他在班上年纪最小，但最聪明。他勤奋好学，坐在最前一排，聚精会神地听讲。约翰·伯努利不愧是大数学家，讲课中尽情挥洒，旁征博引，给学生剖析展现数学的核心思想，还引导学生们思考当时数学家们所关注的尚未解决的难题。欧拉在大师的课上不仅学到丰富的知识，还逐渐认识到数学的真谛，对数学的兴趣与日俱增。

3 印有欧拉肖像的瑞士法郎

欧拉出众的才华得到进一步的展露，他常常成为班上唯一敢于向伯努利教授提出的难题冲锋，并且提出解决想法的学生。欧拉鹤立鸡群，这令伯努利教授非常惊喜，开始对欧拉因材施教，单独授课。欧拉在自传中回忆道：“著名的约翰·伯努利教授给了我许多宝贵的指教，引导我独立地阅读那些艰深的数学著作，研究其中的问题。他每星期六下午与我见面，和蔼地为我解答问题，严格地规定我必须读通与牢记的那些最重要的数学，指导我一步一步地走向数学的前沿。伯努利教授知道训练数学家的最好的方法，我受益终生。”欧拉对恩师的感激之情跃然纸上。顺便说一句，在古代数学家中间，我们对于约翰·伯努利的了解最多，这多亏了欧拉勤于写作，仔细地记载了许多有关他的恩师的故事。

1722年，15岁的欧拉在巴塞尔大学获得学士学位。次年，欧拉又获得了硕士学位。他是这所古老大学有史以来最年轻的硕士。

欧拉的父亲是一位虔诚的牧师，自然希望欧拉子承父业，把精力用在钻研神学上，日后能够成为职业传道人。欧拉笃信基督，愿意“为主做工”，何况这是父亲的强烈愿望。可他同样钟情数学，实在难以割舍。欧拉陷入两难局面，犹豫彷徨。约翰·伯努利教授也是一位虔诚的基督徒，既理解牧师，更了解欧拉，他知道该怎么办。这位大学者为此事亲自登门拜望牧师，坦诚地说：“亲爱的牧师，请相信我的眼力。您的儿子无疑将是瑞士有史以来最伟大的数学家。百里挑

一、才气横溢的青年，我见过不少，但无人能和您的儿子相比。我来府上是请求您重新考虑您的决定。” 欧拉的父亲虽被伯努利教授打动了，但对儿子是否会因埋头数学而远离基督，不无担心。伯努利教授明白牧师的心思，继续说：“数学不会动摇任何人虔敬的信仰，您的儿子应该成为数学家中的神学家!”

伯努利教授慧眼识珠，坚信欧拉日后必定是数学天空中一颗最明亮的星辰。16岁的欧拉成为伯努利教授的研究助理，从此与数学相伴一生。欧拉的恩师约翰·伯努利教授

大师的关键作用就在于此。尽管欧拉天赋过人，但要是没有伯努利教授慧眼独具的赏识、循循善诱的教育与苦心孤诣的栽培，也许欧拉会如一颗珍珠，永远淹没在大海里。

巴塞尔大学在当年是医药学的研究重镇，兴趣广泛的欧拉又涉猎生物医学，并且运用他的数学能力去解决生物医学问题。欧拉建立了一个耳膜结构与声波共振的数学模型，使得医学研究精确化，从而发展了生物医学理论，令巴塞尔的医学教授们惊叹。欧拉因其出色的研究工作，连续12年获得巴黎科学院的头等大奖。圣彼得堡：高压下自由驰骋

在欧拉的时代，瑞士和大多数国家一样，不重视理论数学的研究，也不为数学家提供生存与发展的机会。除去为数不多的大学教职之外，数学家能够赖以谋生并且施展才华的职位很少。而且18世纪以前的欧洲的大学也不是主要的学术研究机构。那些有才智、有抱负的数学家只好远离家乡，去法国、德国，甚至俄国寻求发展的空间。这些国家的君王具有远见，在他们的推动之下，巴黎科学院、柏林科学院和彼得堡科学院相继成立。拿破仑的数学很不错，自称是位几何学家，并与巴黎的许多数学家交上了朋友。数学史上最活跃的、值得大书特书的辉煌时期来临了。

俄国彼得大帝时代，国家的安定和君王的雄才大略为科学的发展创造了春天。叶卡捷琳娜继位后的两年内，完成了彼得大帝的遗愿，在首都圣彼得堡成立了国家科学院，在全国乃至欧洲网罗招聘人才。各国杰出的科学家们慕名前往。1725年约翰·伯努利教授的两个儿子丹尼尔·伯努利与尼古拉·伯努利双双应聘来到俄国科学院，担任专职的数学研究员，随后向女沙皇推荐了他们的年轻朋友，天才数学家欧拉。

受欧拉栽培提携的大数学家拉格朗日

1727年，欧拉踌躇满志地来到圣彼得堡。可是，就在欧拉踏上俄罗斯领土的那一天，5月17日，女皇叶卡捷琳娜一世去世了。继任沙皇疯狂地残杀异己，加之贵族纷纷武装起来，争权夺利，互相讨伐，俄国随之陷入长达20年内战的黑暗岁月。初到圣彼得堡的几年里，欧拉经常看到的是挂在绞刑架上的“罪犯”，一队队流放到西伯利亚去的“叛逆”。残酷内战中的俄国人，不仅袍泽之间彼此无情地杀戮，更加仇视外国人。外国人纷纷逃离俄国，科学院风雨飘摇。欧拉也曾经受到秘密警察的监视，处境十分艰难。“风雨如晦，鸡鸣不已。”那以后的6年时间里，欧拉埋头于自己的研究，完全沉浸于数学王国，新政权也不再为难他。尼古拉·贝努利在彼得堡溺水身亡，丹尼尔·贝努利在离开故国8年之后，思乡情切，决定离开俄国，返回瑞士。1733年，俄国进入了安娜·伊万诺夫娜女皇时代，疯狂的屠戮虽未结束，但局面略微好转。欧拉接替了丹尼尔·伯努利在圣彼得堡科学院的数学教授职位，持续研究数学长达15年之久。

同年，欧拉与格塞尔小姐结婚。她的父亲是位画师，是彼得大帝游历西欧国家时，把他从瑞士请来的。两家是同病相怜的异乡异客，欧拉与格塞尔相濡以沫。若干年后，妻子病逝，欧拉续娶的则是她的同父异母妹妹。两个女人一共生了13个孩子，欧拉常常一边抱着婴儿一边写论文，稍长的孩子们则围绕着父亲嬉戏。他是在任何地方、任何条件下都能工作的少数几位大科学家之一。

当时彗星轨道的计算问题是一个摆在所有天文学家面前的棘手的难题。为此，法国在1735年设立了一项天文学的大奖。欧洲数学家们估计，解决这个问题至少要几个月的时间。没有人想到，欧拉攻克这个难题仅仅用了三天三夜。他提出了一套计算彗星轨道的新方法，其计算的基本原则沿用至今。但欧拉为此付出了惨痛的代价，他累得病倒了，并从此失去了右眼的视力，那年他才28岁。

欧拉在这段时间里几乎与世隔绝，没有社交酬酢，没有会议交流，唯有闭门钻研，读书写作。《欧拉全集》中的一大部分就是他在这个时期的作品。欧拉能如此罕见地笔耕多产，很大程度上是因为他对数学的极度热爱与眷恋。他说：“数学家与艺术家是一样的充满激情。米开朗基罗以对上帝无比的眷恋，一笔一笔地在大教堂的天花板上描绘出那美轮美奂的图画，我则是一笔一笔地描述数学，它是上帝的花园中那些美丽迷人的花卉。”

欧拉虽然在高压与困苦中孤军奋战，但因其学富五车、著作等身，他的书籍和论文传遍欧洲，而被当世人称为“数学的顶梁柱”。柏林：冷眼中一往情深

世界科学的发展往往由一个时代的最重要的科学家所引领，他们的名字也因此而成为那个时代的里程碑。人们说17世纪是牛顿的时代，18世纪无疑属于欧拉，那时欧洲各国数学家们谈论的都是“欧拉的数学”，他的名声已经传遍欧洲大陆。在伊万诺夫娜女皇退位后，普鲁士国王腓特烈盛情邀请欧拉到柏林科学院担任数理学院院长，宫廷数学家，并兼任公主安哈特·蒂苏的老师。

普鲁士王太后对诚恳老实、稳重谦逊、淳朴温和的欧拉颇具好感，喜欢和欧拉聊聊天，但却谈不起来，因为欧拉非常紧张，只是用“是”与“否”回答王太后。王太后不解，这位举世闻名的大学者何以如此谨言慎行？欧拉回答说：“我在那样一个国家居住了十几年，那里的人若是说错了话就会被吊死。”

欧拉一生能取得伟大的成就原因在于：惊人的记忆力；聚精会神，从不受嘈杂和喧闹的干扰；镇静自若，孜孜不倦。

1726年，19岁的欧拉由于撰写了《论桅杆配置的船舶问题》而荣获巴黎科学院的资金。这标志着欧拉的羽毛已丰满，从此可以展翅飞翔。

欧拉的成长与他这段历史是分不开的。当然，欧拉的成才还有另一个重要的因素，就是他那惊人的记忆力！，他能背诵前一百个质数的前十次幂，能背诵罗马诗人维吉尔（Virgil）的史诗Aeneil，能背诵全部的数学公式。直至晚年，他还能复述年轻时的笔记的全部内容。高等数学的计算他可以用心算来完成。

尽管他的天赋很高，但如果没有约翰的教育，结果也很难想象。由于约翰·伯努利以其丰富的阅历和对数学发展状况的深刻的了解，能给欧拉以重要的指点，使欧拉一开始就学习那些虽然难学却十分必要的书，少走了不少弯路。这段历史对欧拉的影响极大，以至于欧拉成为大科学家之后仍不忘记育新人，这主要体现在编写教科书和直接培养有才华的数学工作者，其中包括后来成为大数学家的拉格朗日（J.L.Lagrange,1736.1.25-1813.4.10）。

欧拉本人虽不是教师，但他对教学的影响超过任何人。他身为世界上第一流的学者、教授，肩负着解决高深课题的重担，但却能无视\"名流\"的非议，热心于数学的普及工作。他编写的《无穷小分析引论》、《微分法》和《积分法》产生了深远的影响。有的学者认为，自从1784年以后，初等微积分和高等微积分教科书基本上都抄袭欧拉的书，或者抄袭那些抄袭欧拉的书。欧拉在这方面与其它数学家如卡尔·弗里德里希·高斯（C.F.Gau,1777.4.30-1855.2.23）、艾萨克·牛顿（I.Newton,1643.1.4-1727.3.31）等都不同，他们所写的书一是数量少，二是艰涩难明，别人很难读懂。而欧拉的文字既轻松易懂，堪称这方面的典范。他从来不压缩字句，总是津津有味地把他那丰富的思想和广泛的兴趣写得有声有色。他用德、俄、英文发表过大量的通俗文章，还编写过大量中小学教科书。他编写的初等代数和算术的教科书考虑细致，叙述有条有理。他用许多新的思想的叙述方法，使得这些书既严密又易于理解。欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先发现了对数是无穷多值的。他证明了任一非零实数R有无穷多个对数。欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，而在他以前是一直以线段的长作为定义的。欧拉的定义使三角学跳出只研究三角表这个圈子。欧拉对整个三角学作了分析性的研究。在这以前，每个公式仅从图中推出，大部分以叙述表达。欧拉却从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式，还获得了许多新的公式。欧拉用a、b、c 表示三角形的三条边，用A、B、C表示第个边所对的角，从而使叙述大大地简化。欧拉得到的著名的公式,又把三角函数与指数函联结起来。

在普及教育和科研中，欧拉意识到符号的简化和规则化既有有助于学生的学习，又有助于数学的发展，所以欧拉创立了许多新的符号。如用sin、cos 等表示三角函数，用 e 表示自然对数的底，用f(x) 表示函数，用 ∑表示求和，用 i表示虚数等。圆周率π虽然不是欧拉首创，但却是经过欧拉的倡导才得以广泛流行。而且，欧拉还把e、π、i 统一在一个令人叫绝的关系式中。

6 发布者：郭玉珍发布时间： 2012-10-19 15:55:26

1、数学成就

众所周知，欧拉是一位了不起的数学家，他的数学成就令人瞩目，为数学的发展做出了诸多贡献。而且，欧拉的研究领域一直非常广泛，在数学各个范畴里，都能看到欧拉的身影，其中主要几方面就有各种数学符号的引入，分析学的完善，数论研究，图论开拓。下面就这几个方面做详细介绍。

1.1常用数学符号的引入

在欧拉一生中，他引入了不少数学符号和定义，这些符号至今都被广泛运用，在各类数学书籍中，我们能经常遇到。首先，我们不得不提的就是用f(x) 来表示函数，欧拉是第一人，x表示参数，三角函数的符号也是他引进的。1727年，欧拉开始用小写字母e来作为自然对对数的底数，1775年提出用Σ表示加和，1777年提出用i表示虚数单位，π表示圆周率，Δy和Δ2y的引入也归功于欧拉……这些符号的引入为后来的数学运算及表示带来了了很多便捷，这是数学史上的一大进步。

1.2分析学的研究

在18世纪的数学研究里，微积分发展最为迅速，作为欧拉朋友的贝努力一家（约翰·贝努力、丹尼尔·贝努力、尼古拉·贝努力）亦是众多研究者中的一员，受他们的影响，欧拉从一开始就致力于分析学的研究。与其他人不同的是，欧拉没有用通常的方法来证明分析问题，他的独具一格让分析学前进了一大步。欧拉在解决分析问题时，频繁地使用了幂级数以及用函数的无限求和（the expreion of functions as sums of infinitely many terms.）

欧拉在分析学上的一个显著成就就是他直接证明了e的幂级数展开和反正切函数（原本在1670和1680年分别是牛顿和莱布尼兹在用逆幂级数间接证明过）。在1735年，他对幂级数的大胆使用让他解决了著名的贝努力问题，在1741年，他又再次给出了更详尽的解决方法解答。[9]

欧拉将指数函数和对数函数引入到分析学的证明中，并且找出很多方法用幂级数来表示对数函数。他成功定义了负数的对数和复数，拓展了对数函数的应用[10]他给出了复数指数函数的定义，并且找出它与三角函数之间的关系：对任意实数x，等式成立。

当时，得到是欧拉的公式的特殊情况，就是大家俗称的欧拉恒等式。

7 欧拉恒等式被理查德·费曼（Richard Feynman）称为“数学里最了不起的公式”,因为它只是运用了加法，乘法，取幂和常见的0,1，e,i建立了等式。[11]在1988年，它又当选为“数学史上最美的公式”。[12]在民意测评中，数学史上五个最顶级的工商公式，其中三个都源自欧拉。[12]

棣莫弗公式就是由欧拉公式直接推导而来。

在另一方面，欧拉在超越函数的高级理论中也有独到见解，他在其中引入了γ函数并且提出一种解决四次方程的新方法。在计算复杂的极限上，他找到了一种新的方法，为现代复变函数论奠定了基础，他发明了变分法，其中就包括著名的欧拉-拉格朗日方程。

欧拉倡导用解析法解决数论问题，在处理的时候，他联合了两个完全不同的数学分支，推出了一个新的领域——解析数论。在开拓这个新领域时，欧拉提出了超几何级数定理和q-级数、双区三角函数以及连续函数的解析理论。例如，他利用调和级数证明了素数的无穷性，用解析方法得到了素数的分散情况。欧拉的这些工作都为后来的素数定理发展提供了依据。

1.3数论研究

欧拉对数论的兴趣可以追溯到他圣彼得堡科学院挚友——哥德巴赫（Christian Goldbach克里斯汀·哥德巴赫）——对他的影响。欧拉早期的数论工作是建立在费尔马（Pierre de Fermat）工作的基础上。欧拉将费尔马的一些观点加以推广，同时也反驳他的一些猜想。

欧拉证明了牛顿恒等式，费马小定理，费马平方和定理，在四方和定理的证明中，欧拉做出了显著贡献。在1729年时，哥德巴赫曾和他讨论过费尔马猜想：当n=2k（k是自然数），则2n+1一定是素数。欧拉运算发现，在n=1,2,4,8,16时，猜想是正确的，然而，在1732年，欧拉计算得到232+1=4294967297可以被641整除，因此不是素数。欧拉对费尔马其它一些还未证明的猜想也进行了深入研究，并在研究的基础上向世人推出了欧拉ϕ函数：

φ（n）=n(1-p1)(1-p2)……(1-pk),其中，p1，p2……pk(1≤k≤n)是n的质因子。他在1749年成功证明了费尔马的另一个猜想：a和b互素，若m是a2+b2的因子，则不存在自然数n,使得m=4n-1。

在素数定理以及二次互反性的规律上，欧拉也做了不小贡献，这两个定理后来成为数论基本定理，为后来高斯（Carl Friedrich Gau卡尔·弗雷德里希·高斯）的研究奠定了坚实的基础。[2]

在1772年，欧拉证明了231-1=2,147,438,647，俗称梅森素数，到1867年为止，它一直是人们所知道的最大的素数。[11]

1.4图论研究

欧拉在图论研究上也有不小的成绩，其中最著名的要数哥尼斯堡七桥问题。

18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥——这就是哥尼斯堡七桥问题。这个问题一直困扰着大家，于是一些学生写信向欧拉求助。而欧拉，也不负重望的给出了解答，并发表了论文。欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七

8 桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.也就是，若想能一笔画完，几点个数必须是0或2.当然他也解说了，从始发点出发经过七桥分别一次并回到初始位置，这是不可能实现的的。

欧拉的这个理论被认为是图论的第一条定理，尤其在作为平面图形理论中有重要价值。[13]

除此之外，欧拉还得到了凸多面体的点、线、面公式：V-E+F=2。

[15]

[14]

在这个公式里的常量被称为图形中欧拉示性数，并且与数学对象的类别有很大关系。这个公式的出现和概括，柯西[16]和L.赫里尔（L\'Huillier）

[17]

称是拓扑学的起源。

1.5应用数学的研究

在数学研究上，欧拉不仅注重理论研究，同时也希望能实际问题结合研究，在这一方面，欧拉的主要成就在于他用了解析的方法解决实际问题并且论述了贝努力常数、傅里叶级数、维恩图解、e和π、连续函数和积分在实际问题中的应用。他将莱布尼兹的微分学理论和牛顿的流动理论加以结合，创造了一些新工具，它们使得用微积分解决物理问题更加简便容易。在数值逼近积分研究领域，他又再次跨越了一大步，尤其是欧拉近似法的引入，更是令人瞩目。值得一提的是，这些近似法是欧拉法，也是麦克劳林求和公式（欧拉和麦克劳林几乎同时发现）。而且他利用微分方程，又将麦克劳林公式简化了。

欧拉的另一项重要贡献就是数学在音乐上的应用。1739年，欧拉发表《音乐新理论尝试》一文，关于音乐学，欧拉也发表了一些理论，尤其是他1739年发表的《音乐新理论的尝试》，在此书中，他试图将数学与音乐结合：...part of mathematics and deduce in an orderly manner, from correct principles, everything which can make a fitting together and mingling of tones pleasing.

（……按照一些恰当的有序的数学计算和推导原则，任何事物都能组合成令人欢愉的音乐。）

然而，他的工作并没有受到瞩目，甚至被评到：...for musicians too advanced in its mathematics and for mathematicians too musical.

（对音乐家而言，这太过深奥了，而对数学二家而言，又太过音乐化。）[18]

2 物理学和天文成就

人们在谈及欧拉时，都会提到他是一位数学家，但不要忘记，欧拉也是一位杰出的物理学家。在数学领域上，欧拉的成就让世人瞩目和惊叹，而在物理学，尤其是力学上，他也做出了重要的贡献，在天体研究上，欧拉也功不可没。那么在物理学和天文学上具体都做了什么，我们一起来看：

欧拉为欧拉-贝努力射线理论的发展做出了不小的贡献，这一理论的成功建立为工程学的发展奠定了基础。除了在经典力学中成功引入了解析方法外，欧拉还将这些方法用来接解决天体问题。在天文学上，欧拉做了很多工作：...determination of the orbits of comets and planets by a few observations, methods of calculation of the parallax of the sun,

9 the theory of refraction, consideration of the physical nature of comets, ....His most outstanding works, for which he won many prizes from the Paris Académie des Sciences, are concerned with celestial mechanics, which especially attracted scientists at that time.

（……彗星和行星轨道的测定，太阳视差估计表，折射理论，彗星物理性质的考究。在那个时期，天体力学的研究吸引了许多科学家，欧拉在这方面的研究最是杰出，因此多次获[4]得巴黎科学院的大奖。）

欧拉的月球运动理论被托拜厄斯·迈耶（Tobias Mayer）用于构造了月球数据表，他的数据表解决了经线测定这一难题，在1765年，柏林政府奖励了他3000法郎，欧拉也因为他的理论贡献而得到300法郎的奖励。

另外，欧拉，在光学研究上也有重大贡献。他反对牛顿的光的微粒说，虽然那个时候牛顿的理论得到普遍的附和。在18世纪40年代，欧拉发表了多篇论文，为惠更斯（Christian Huygens）后来提出的光的波动理论奠定了理论基础。在光的量子理论出现之前，惠更斯的理论一直都占据着主导地位。对欧拉的这一成就和行为，我们不得不感慨，也不得不尊敬佩服。

3逻辑学成就

和其他领域相比，欧拉在逻辑学上只能算是小有成就，当然，他小有的成就对他人而言都是令人羡慕的。1768年的时候，欧拉将三段论推理限制在封闭曲线里。这些图解都成了后来著名的欧拉图。[19]

推荐第7篇：欧拉的故事

数学故事演讲

回望欧拉学习欧拉

尊敬的各位老师,亲爱的同学们: 大家好,今天我演讲的题目是《回望欧拉学习欧拉》。

在瑞士的钱币和许多国家的邮票上都有这位伟大科学家的身影，请大家猜猜他是谁？他就是被数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一——欧拉，1707年4月出生于瑞士，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。

不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校开除了的小学生。

小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。其实，天上的星星数不清，是无限的。这个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天上有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到天幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？”老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。

在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，小欧拉没有与教会和上帝“保持一致”，学校便开除了他。但是，在小欧拉心中，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住？他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。

欧拉回家后无事，他就帮助爸爸放羊，他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现只有100米的篱笆，还少10米。父亲感到很为难，要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。

父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。小欧拉仰头想了一会，又在地上用树枝画了一些什么，然后对父亲说：

“爸爸，您可以把长宽都定为25米，那羊圈面积成了625平方米，比您设计的还大了25平方米，但篱笆却只要100尺，您就不用愁了！”

父亲心里感到非常高兴，孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。在他的推荐下13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学。这在当时是个奇迹，整个瑞士大学校园里年龄最小的学生，曾轰动了整个数学界。

18世纪，在柯尼斯堡有条河，上面有两个小岛，从河的两岸分别有三座桥和它们相连；另外又有一座桥把两个小岛连接起来。有位爱思考的居民提出来一个问题，一个散步的人能不能一次走遍七座桥，而且每座桥只能走一次?这个问题谁也回答不了。有人说可以，可是走来走去，始终没有走通；有人说不行，可惜又说不出令人信服的理由。有位小学老师出来解围：为什么不写封信去请教鼎鼎大名的欧拉呢? 欧拉接到问题，先把柯尼斯堡七桥画成一

个线条图，在他的图形里，小岛和河岸变成了点，桥成了连接这些点的线。这样，问题就成为：从图上某一点开始，中间任何一条线不得画两遍，铅笔不准离开纸，能不能把这张图一笔画出来?经过一番思索，欧拉终于找到一个彻底而漂亮的答案。七桥问题的圆满解决使柯尼斯堡人心满意足。

在儿童游乐场里，大家一定见过滑梯吧。但有谁想过，从顶部A到着地处B，滑梯做成什么样才最省时间呢?有人说，这很简单，把滑梯做成直的就行啦，因为两点之间线段最短。可是，距离最短并不等于时间最省，因为他还没有考虑到速度大小呢。直的滑梯下滑的速度是增加得比较慢的。那么，滑梯该做成什么形状好呢?早在1696年6月号的《教师学报》上，欧拉的老师约翰·伯努利就把它提出来向其他数学家挑战。

第二年就由牛顿、莱布尼兹、雅各布·伯努利和约翰·伯努利本人先后给出了解答。可惜他们的工作只到这里为止。欧拉在1728年开始涉足这个困难的领域。他开始研究连接曲面上的两点，什么样的曲线距离最短?欧拉很快找到了答案。不久，他把最速降线问题加以推广，并且考虑了摩擦和空气的阻力。接着，他又致力于寻找解决这类问题的更一般的方法。经过前后16年的不懈努力，终于获得成功。于是他被公认为当时最伟大的数学家。他倡导的变分法也作为一个新的数学分支诞生了。

他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了。

欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），f(x)（1734年），欧拉公式等。

欧拉在他的一生中共著有886种之多，属于他生前发表的有530本书和论文，其中不少是教科书。

过度的工作使他得了眼病，在他28岁时，不幸右眼失明了， 1741担任科学院物理数学所所长，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明。不幸的事情接踵而来，一场大火灾把他的书房和大量研究成果全部化为了灰烬。他发誓要把损失夺回来．欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算继续进行研究，他还口述了几本书和400篇左右的论文．还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在兴奋中突然停止了呼吸，享年76岁。

正是由于少年时期的欧拉爱学习，爱思考，不惧畏权威，才为他走向成功的道路打下了良好的基础。

也正是由于他的严谨态度和锲而不舍的探索精神，才为数学打下了坚实的基础。

也正是由于从细微的事情中发掘数学的道理、发现问题的存在，从而产生莫大的兴趣与执着的研究精神。

也正是由于他顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神，引领数学科学向前发展，他永远是我们学习的榜样。

读读欧拉，他永远是我们可敬的老师。

推荐第8篇：听欧拉故事有感

听欧拉故事有感

今天，老师给我们讲了一个故事，故事中老师提到了一个让我们陌生的名字欧拉。对于一个小学四年级学生平时又不爱读书的我来说，他是陌生的，遥远的。但是，我还是保持着对故事的好奇和老师讲故事的用意认真听老师讲。

老师动情的讲了欧拉的生平，他的著作，他的遭遇。慢慢的他的故事感染了我。欧拉是数学史上著名的数学家，不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个因为星星的多少怀疑上帝而被学校除了名的小学生。在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考。欧拉就这样离开了学校。

回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110（15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。父亲听了直摇头，心想：\"世界上哪有这样便宜的事情？\"但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：\"那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。\"小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：\"现在，篱笆也够了，面积也够了。\" 父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生，我觉得欧拉太了不起了！欧拉没有按常人固有的思路去思考问题，而是开动脑筋另辟蹊径，用别人意想不到的方法解决了生活中的难题。跟欧拉比起来，我感到脸红。每当在学习中有了困难和问题时，我很少换一种方法去思考，总是直接求教于妈妈和老师。通过读欧拉的故事，我深深体会到勤思考、善观察、多角度思考问题的重要。同学们！当我们在学习和生活中被难题所困扰时，不仿学学欧拉，换一种方法去思考，很可能难题就迎刃而解了。

欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面都取得了辉煌的成就。欧拉一生能取得伟大的成就原因在于：惊人的记忆力；聚精会神，从不受嘈杂和喧闹的干扰；镇静自若，孜孜不倦。

由于过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而来，64岁那年带病而失明的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．欧拉完全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，：欧拉双目失明了，他17年生活在黑暗中，孩子也没了，大火还差点将他烧死，可是他仍然勤奋搞研究。

老师教育我们说:”欧拉是我们所有人的老师，他为了人类的进步、为了数学的发展，克服了双目失明的困难，创造了辉煌的科学成果。欧拉善于动脑筋思考考问题，他勤奋的学习态度、顽强的精神毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的。

推荐第9篇：三角公式证明

公式表达式

乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0 注：方程有一个实根

b2-4ac

三角函数公式

两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

正切定理:

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c\'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h\' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c\')h\'

圆台侧面积 S=1/2(c+c\')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S\'L 注：其中,S\'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

-----------------------三角函数积化和差和差化积公式

记不住就自己推，用两角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了

不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下

正加正正在前

正减正余在前

余加余都是余

余减余没有余还负

正余正加余正正减

余余余加正正余减还负

3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)

(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1

......

已知sinα=m sin(α+2β), |m|

解:sinα=m sin(α+2β)

sin(a+β-β)=msin(a+β+β)

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)

tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

推荐第10篇：公式及证明

初中数学几何定理

1。同角（或等角）的余角相等。 2。对顶角相等。 3。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 4。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

5。同位角相等，两直线平行。 6。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。 7。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

8。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

9。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

10。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

11。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

12。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

13。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

14。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 15。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 16。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

17。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

18．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

19。切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

20。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。 ②圆的切线垂直于经过切点的半径。 ③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

21。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

22。弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

23。相交弦定理；切割线定理；割线定理；

初中数学几何一般证题途径：证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等 2.同一三角形中等角对等边

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等

12.两圆的内（外）公切线的长相等 13.等于同一线段的两条线段相等

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等 2.同一三角形中等边对等角

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等 6.同圆（或等圆）中，等弦（或同弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

8.相似三角形的对应角相等 9.圆的内接四边形的外角等于内对角

10.等于同一角的两个角相等

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行

3.平行四边形的对边平行 4.三角形的中位线平行于第三边

5.梯形的中位线平行于两底 6.平行于同一直线的两直线平行 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平等行于第三边

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角

4.邻补角的平分线互相垂直 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条

6.两条直线相交成直角则两直线垂直

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上

8.利用勾股定理的逆定理 9.利用菱形的对角线互相垂直

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦 11.利用半圆上的圆周角是直角

证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同 2.利用角平分线的定义

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边 2.垂线段最短

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大

5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小 6.全量大于它的任何一部分

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角 2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大

4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大 5.全量大于它的任何一部分

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例 2.利用内外角平分线定理

3.平行线截线段成比例 4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理

5.与圆有关的比例定理：相交弦定理、切割线定理及其推论

6.利用比利式或等积式化得

证明四点共圆

1.对角互补的四边形的顶点共圆 2.外角等于内对角的四边形内接于圆

3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）

4.同斜边的直角三角形的顶点共圆 5.到顶点距离相等的各点共圆

二、空间与图形

A：图形的认识：

1：点，线，面

点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

3视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

弧，扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。

2：角

线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3：相交线与平行线

角：①如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。②同角或等角的余角/补角相等。③对顶角相等。④同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。②三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。③三角形三个内角的和等于180度。④三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形。⑤直角三角形的两个锐角互余。⑥三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。⑦三角形中，连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。⑧三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。⑩三角形的三条高所在的直线交于一点。

图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。全等三角形：①全等三角形的对应边/角相等。②条件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。

5：四边形

平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。③平行四边形的对边/对角相等。④平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形/一组对边平行且相等的四边形/两组对边分别相等的四边形/定义。

菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。

矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。②矩形的对角线相等，四个角都是直角。③对角线相等的平行四边形是矩形。④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一组邻边相等的矩形是正方形。

梯形：①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之亦然。

多边形：①N边形的内角和等于（N-2）180度。②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）

平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。

中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

B：图形与变换：

1：图形的轴对称

轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。

轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。

2:图形的平移和旋转

平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。3：图形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。。=M/N，那么A+C+。。。+M/B+D+。。。N=A/B。

黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比（根号5-1/2）。相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。②相似多边形对应

边的比叫做相似比。

相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。②条件：AA/SSS/SAS。

相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

D：证明

定义与命题：①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。②对事情进行判断的句子叫做命题（分真命题与假命题）。③每个命题是由条件和结论两部分组成。④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。

公理：①公认的真命题叫做公理。②其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。③同位角相等，两直线平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁内角互补，两直线；平行，反之亦然；内错角相等，两直线平行，反之亦然；三角形三个内角的和等于180度；三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和；三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。

第11篇：导数公式证明

导数的定义：f\'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n

证法一：（n为自然数） f\'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)

证法二：（n为任意实数）

f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))\'=(nlnx)\' f\'(x)/f(x)=n/x f\'(x)=n/x*f(x) f\'(x)=n/x*x^n f\'(x)=nx^(n-1)

（2）f(x)=sinx f\'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx

（3）f(x)=cosx f\'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx

（4）f(x)=a^x f\'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx （设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）

=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1) =lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna

若a=e，原函数f(x)=e^x 则f\'(x)=e^x*lne=e^x

（5）f(x)=loga^x f\'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx

=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx) =lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)

若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f\'(x)=1/(x*lne)=1/x （6）f(x)=tanx f\'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx =lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

（7）f(x)=cotx f\'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx =lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

（8）f(x)=secx f\'(x)=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx =lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx) =lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx

（9）f(x)=cscx f\'(x)=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx =lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx

（10）f(x)=x^x lnf(x)=xlnx (lnf(x))\'=(xlnx)\' f\'(x)/f(x)=lnx+1 f\'(x)=(lnx+1)*f(x) f\'(x)=(lnx+1)*x^x （12）h(x)=f(x)g(x) h\'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx =lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f\'(x)g(x)+f(x)g\'(x) （13）h(x)=f(x)/g(x) h\'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx =lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx)) =f\'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g\'(x)/(g(x)*g(x))=[f\'(x)g(x)-f(x)g\'(x)]/(g(x)*g(x))x （14）h(x)=f(g(x)) h\'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx =lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx （另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu） =lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu) =lim f\'(u)*Δu/Δx=lim f\'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f\'(u)*g\'(x)=f\'(g(x))g\'(x) 总结一下

（x^n）\'=nx^(n-1) （sinx）\'=cosx （cosx）\'=-sinx （a^x）\'=a^xlna （e^x）\'=e^x （loga^x）\'=1/(xlna) （lnx）\'=1/x (tanx)\'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)\'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)\'=tanx*secx (cscx)\'=-cotx*cscx (x^x)\'=(lnx+1)*x^x [f(x)g(x)]\'=f\'(x)g(x)+f(x)g\'(x) [f(x)/g(x)]\'=[f\'(x)g(x)-f(x)g\'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]\'=f\'(g(x))g\'(x)

第12篇：海伦公式的证明

与海伦在他的著作\"Metrica\"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

第13篇：狭义相对论公式及证明

狭义相对论公式及证明

单位符号单位符号

坐标：m(x, y, z) 力： NF(f)

时间：st(T)质量:kgm(M)

位移：mr动量:kg*m/s p(P)

速度：m/sv(u)能量: JE

加速度： m/s^2 a冲量：N*sI

长度：ml(L)动能：JEk

路程：ms(S)势能：JEp

角速度： rad/s ω力矩：N*mM

角加速度:rad/s^2α功率：WP

一：

牛顿力学（预备知识）

(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt

(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt

(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)

当v不变时，(1)表示匀速直线运动。

当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。

只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。

(二)：质点动力学：

(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。

(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt

(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。

(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。

F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)

动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)

动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。

动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)

机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)

二：

狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。)

(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。

(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。

(此处先给出公式再给出证明)

(二)洛仑兹坐标变换：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)速度变换：

V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c2))

V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c2))

(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ

(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

(光源与探测器在一条直线上运动。)

(七)动量表达式：P=Mv=γmv, 即M=γm.

(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt

(九)质能方程：E=Mc2

(十)能量动量关系：E2=E02+P2c2

(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)

三：

三维证明：

(一)由实验总结出的公理，无法证明。

(二)洛仑兹变换：

设(x, y, z, t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y, Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y, z, Y, Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)速度变换：

V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c2))

=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c2)

=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

同理可得V(y),V(z)的表达式。

(四)尺缩效应：

B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ

(五)钟慢效应：

由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c2),故△t=γ(△T+△Xu/c2),又△X=0,(要在同地测量)，故

△t=γ△T.

(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)

(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)

B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).

(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v2/c2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)

牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

牛顿力学中，v=dr/dt, r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x, y, z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv, 将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）

(八)相对论力学基本方程：

由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）

(九)质能方程：

Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv2-∫mv/sqr(1-v2/c2)dv=Mv2+mc2*sqr(1-v2/c2)-mc2

=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc2

=Mc2-mc2

即E=Mc2=Ek+mc2

(十)能量动量关系：

E=Mc2,p=Mv, γ=1/sqr(1-v2/c2),E0=mc2,可得：E2=E02+p2c

2四：

四维证明：

(一)公理，无法证明。

(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS2>0称类空间隔，dS2

由数学的旋转变换公式有：（保持y, z轴不动，旋转x和ict轴）

X=xcosφ+(ict)sinφ

icT=-xsinφ+(ict)cosφ

Y=y

Z=z

当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ

得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ, sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。

(七)动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v2/c2),下式中dt=γdτ)

令r=(x, y, z, ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。

则V=(γv, icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）

四维动量：P=mV=(γmv, icγm)=(Mv, icM)

四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF, γicdM/dt)(F为三维力)

四维加速度：ω=/dτ=(γ4a,γ4iva/c)

则f=mdV/dτ=mω

(九)质能方程：

fV=mωV=m(γ5va+i2γ5va)=0

故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F, v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式)) 故dEk/dt=c2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc2-mc2

故E=Mc2=Ek+mc2

关于第六条：

通过速度变换和质能方程（E=Mc2）可以导出两个坐标系间的能量变换公式（证明很简单，但很繁琐，就不写了）：E\'=γE(1-u*v/c2)

(注：u、v都是矢量，u为参考系速度，v为光源速度，*表示点乘，也可以写做： E\'=γE(1-uv（x）/c2))

上式对任意粒子都成立，对于光子：E=hν代入得：

ν\'=γν（1-ucosθ/c） (普遍公式)

对于θ=0可得：ν\'=νsqr((1-β)/（1+β）) （特例）

利用速度变换和动量关系（p=Mv）一样可导出两坐标系之间的动量变换公式：

p(x)\'=γp(x)(1-u/v(x))

p(y)\'=p(y)

p(z)\'=p(z)

动量变换与能量变换不仅仅适用于光子，对所有的粒子都是适用的。

第14篇：高中数学立体几何证明公式

线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

线面垂直→线线垂直线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

面面垂直→线面垂直如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

三垂线定理如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。

第15篇：数列求和公式证明

1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边

数学归纳法可以证

也可以如下做比较有技巧性

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+......+n^

2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/

3所以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

[前后消项]

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？

设n为奇数,

1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=

=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)

=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)

=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)

=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)/3

设n为偶数,

请你自己证明一下！

所以，

1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

设an=n×（n+1）=n^2+n

Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）

=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)/3

数列求和的几种方法

1.公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)dbn=a1·q^(n-1)Cn=anbn

Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)

=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)

3.倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n-1)+a(n-3)......+a1上下相加得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/

24.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例如：an=2^n+n-1

5.裂项法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。常用公式：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）

则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意：余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) =

[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明：当n=1时，有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1) = 2×3×4×5×6/5假设命题在n=k时成立，于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) =

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

7.通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。

8.并项求和：

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n（并项）

求出奇数项和偶数项的和，再相减。

第16篇：三角函数公式及证明

三角函数公式及证明

（本文由hahacjh@qq.com 编辑整理 2013.5.3）

基本定义

1.任意角的三角函数值：

在此单位圆中，弧AB的长度等于；

B点的横坐标xcos，纵坐标ysin ；

（由三角形OBC面积

sinatana （02））

2.正切：

tansincos

基本定理

1.勾股定理： sin2cos21 1.正弦定理：asinA2=2bsinB2=

csinC= 2R （R为三角形外接圆半径）

A2.余弦定理：a=b+c-2bccos3.诱导公试:

cosAbca2bc222

2k

sincostancot

奇变偶不变，符号看相线

4.正余弦和差公式: ①sin(②cos(

)sincoscossin)coscossinsin

推导结论

1.基本结论

(sincos)221sin21cos2

tan1

2.正切和差公式：

tan()sin()sincoscossin

cos()coscossinsintantan1tantan

3.二倍角公式（包含万能公式）：

2sincos2tansin22sincos222sincos1tan2222

1tan21tan2cos2sin2cos2cossin2cos112sinsin2cos2tan2sin2cos22tan1tan2

sin221cos221cos22tan1tan22

cos

4.半角公式：（符号的选择由

2所在的象限确定） sin21cos21cos21cos1cos sin221cos21cos2 1cos 1cos2sin22 cos2 cos222cos22tan2sincoincos2coscossinsin21cossin222sin1cos2

22

1sin(cos2sin2)2cos2sin2

5.积化和差公式：

sincos121sin()sin()cossin12sin()sin()coscos2cos()cos() sinsin12cos()cos

6.和差化积公式：

①sin③cos sin2sin2cos22 ②sin ④cossin2cos22sin22 cos2cos2coscos2sinsin7.三角形面积公式

S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111B

sinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=

csinAsinB2sinC2

=pr =p(pa)(pb)(pc) (海伦公式，证明见下文) (其中p 12(abc), r为三角形内切圆半径) 定理结论的证明

1.勾股定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷命题47.

2.正弦定理的证明：

做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；

同弧所对圆周角相等的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷命题20.直径所对圆周角为直角的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷命题31.3.余弦定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第II卷命题12,13.

4.诱导公式的证明：

同理可证

sin(cos(3232)sin()cos(2)sin(2)cos)sin

2)cos(2本证明选自人教版高中数学教材.5.正余弦和差公式的证明:

sin()sin(())可得sin()的结论

本证明选自人教版高中数学教材.5.海伦公式的证明:

本证明选自 http://wenku.baidu.com/

第17篇：蒙特斯欧法西拉干红

蒙特斯欧法西拉干红

来自欧法山谷的菲卡酒庄，1999年的佳酿成为首个西拉品种加入欧法系列，作此推荐是因其内在的优点和未来的潜力。欧法系列的不断丰富，说明欧法山谷的葡萄园蒸蒸日上。西拉品种使用的葡萄产量低，每公顷土地产量只有四吨。在法国橡木桶内至少要陈酿一年，只有一次轻微滤渣过程。在西拉品种中混调了10%的同地区产的赤霞珠，酒身呈稠密宝石红，带有强烈的花草、烟草和皮革的芬香，口感浓郁，丹宁柔和沉实，喝后余香长留，高雅怡情。呈深宝石红色，有浓郁鲜花、烟草及皮革芳香。

世界葡萄酒权威杂志《wine Spectator》评分：92分.蒙特斯酒庄，座落于南半球狭长国度智利中部的葡萄酒产区里，1988年由四位酿酒与销售经验丰富的酒界人士所创立。曾在全球酒界获奖无数，有智利国酒之称，她是智利的骄傲。而迪拜帆船酒店更是以蒙特斯--欧法西拉干红（Montes Alpha Syrah）作为店酒。蒙特斯酒庄只生产高质量的智利酒是他们成立的宗旨，经过十几年的努力，他们成功推出一系列的高质量葡萄酒，95%的总生产量销售至全球五大洲75个以上的国家，是智利前五大的葡萄酒出口酒厂之一。

第18篇：《遇见》东方《欧若拉》姊妹篇(下)

《遇见》东方《欧若拉》---姊妹篇（下）

《你记得吗》，《被风吹过的夏天》，《黄昏》，《坏天气》，《小薇》《你和我》，《第一次》登陆《爱情诺曼底》，去《河滨公园》。那是个《美丽新世界》，我送你《丁香花》时，鼓起《勇气》，说出了《最初的梦想》：《很爱很爱你》，《你是我老婆》。《小薇》《告白》：《你好周杰伦》，《我不是黄蓉》。《我们的爱》不是《广岛之恋》，也不是《蓝色生死恋》，而是《简单爱》，一场《野蛮的游戏》。《从开始到现在》，我只想《解脱》，《谢谢你，对不起》，不要《为爱痴狂》，愿《分手快乐》！不做《情人，只做《朋友》！《我难过》，《突然的自我》，《我的心太乱》。《爱你不是两三天》，《如果这都不算爱》，那《星空下的吻》是你《故意》《美丽的误会》。《太委屈》，《第一滴眼泪》《无法阻挡》。不是《莫斯科没有眼泪》，其时《爱很简单》，不必是《千年之恋》，只因那是《寓言》和《童话》。我只需《天天看到你》和《你的微笑》。

叫声《知心爱人》，《假装》《你听得到》。《希望》《懂你》，不要《安静》。《那一夜》，我《胡思乱想》，怕你《离开我》，怕被你《出卖》，《找不到》《依靠》。《忘不了你》，《亲爱的不要离开我》。《你到底懂不懂》，《你知道我爱你》，你是我《第一次爱的人》，《让我心动的人》。《希望》你《回心转意》。

《小薇》《一直很安静》，《突然》《宣言》《樱花的秘密》：《别傻了》，《我喜欢》《阿里郎》，他是《我爱的人》。《我开始懂了》她是《移情别恋》。《那一天》，《大约在冬季》，《小薇》和她的《情人》《阿里郎》去了《挪威的森林》和《布拉格广场》，一直《五天四夜》。而我《十年》与《小薇》培养的《盛夏的果实》却《找不到》。或许是《惩罚》《冲动的惩罚》，《我难过》，这不是《我和你》《两个人的烟火》。《我不懂》《我这个你不爱的人》，我说《我和你和他之间》，《爱我还是他》。《如果你还爱我》，不要《离开我》，《小薇》你是我的《唯一》。

《小薇》，你是没有《女人味》的《冷酷到底》的《灰姑娘》。《如果你爱他》，《你好毒》！《算你很》，《如果有一天》，《你和我》真的《分手》，请不要《忘记》我们《最浪漫的事》，我还会《爱上未来的你》。即使是《一辈子的孤单》，我将在《孤单北半球》，《一个人住》，只想《一生有你》。我想《我不后悔》，搭不上《末班车》，我这个《无名小卒》，就算有《一千个伤心的理由》，《一千零一个愿望》，《受了点伤》算什么。只因《真的爱你》，永远《你是我的玫瑰花》。在《花好月圆》之夜，有《两只蝴蝶》听《月亮代表我的心》……《后来》……《一千年以后》…………