积分证明（精选多篇）

发布时间：2021-01-11 08:33:30 来源：证明收藏本文下载本文手机版

推荐第1篇：上海市居住证积分证明

《上海市居住证》积分通知书兹有刘运韬（√），身份证号码430502197601250032，所在单位上海青山矿业投资有限公司，户口所在地址为广东省深圳市福田区八卦岭四路金阳大厦2-8层，上海居住地为浦东新区顾路镇金睦路353弄25号1401室，经审核积分达到标准分值，居住证有效期至2015年01月06日。

同住子女刘伟文，身份证号码500231201106112057。

上海市浦东新区人力资源和社会保障局

打印日期：2014年05月30日

兹有刘运韬（√），身份证号码430502197601250032，所在单位上海青山矿业投资有限公司，户口所在地址为广东省深圳市福田区八卦岭四路金阳大厦2-8层，上海居住地为浦东新区顾路镇金睦路353弄25号1401室，经审核积分达到标准分值，居住证有效期至2015年01月06日。

上海市浦东新区人力资源和社会保障局

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兹有刘运韬（√），身份证号码430502197601250032，所在单位上海青山矿业投资有限公司，户口所在地址为广东省深圳市福田区八卦岭四路金阳大厦2-8层，上海居住地为浦东新区顾路镇金睦路353弄25号1401室，经审核积分达到标准分值，居住证有效期至2016年01月06日。

同住子女刘九涵，身份证号码430231201208212057。

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同住子女刘伟文，身份证号码500231201106112057。

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★ 居住证积分专用章

刘运韬

王述琼 512322198101292069

刘坤一 500231200904132066 LS00163299797 刘伟文500231201106112057

推荐第2篇：珠海积分入户亲属关系证明

亲属关系证明

兹证明我单位员工**** ，性别：男，居民身份证号：*****************，与***，性别：女，居民身份证号： ************，二人系表亲关系。

特此证明

二○一三年一月六日

在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．

关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性

1 南通大学毕业论文

ABSTRACT

When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better.Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality, integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized．

Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem,

Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty

2 南通大学毕业论文

1.引

言

不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容．

实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来．

本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维．

在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的．

3 南通大学毕业论文

2.几个重要的积分不等式

在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz不等式,Young不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法．

2.1 Cauchy-Schwarz不等式

无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式．其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间,F,P中的以及n维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究．

定理2.1[1] 设f(x), g(x)在[a,b]上连续,则有

[f(x)g(x)dx]2{[f(x)]2dx} {[g(x)]2dx}．

aaabbb证明：要证明原不等式成立,我们只需要证



设Ftt2abaf2xdxat2bbgxdxfxgxdx0成立． a 222tfxdxgxdxfxgxdx,则只要证FbFa成立,

aa由Ft在[a,b]上连续,在a,b内可导,得

Ftf2tg2xdxg2tf2xdx2ftgtfxgxdxaaa2222ftgx2ftgtfxgxgtfxdx atttt

ftgxgtfxdx0．

(2.1) a由(2.1)式可知Ft在[a,b]上递增,由ba,知FbFa,故原不等式成立．

证毕

实际上关于Cauchy-Schwarz不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题．通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz不等式能够改写成以下行列式的形式 t2 4 南通大学毕业论文

fxfxdxgxfxdx0,

aabbbafxgxdxgxgxdxab由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出

CauchySchwarz不等式的推广形式．

定理2.2[2] 设fx,gx,hx在a,b上可积,则

hxfxdxfxgxdxgxgxdxhxgxdx0． fxhxdxgxhxdxhxhxdxaaabbbaaabbbaaabfxfxdxbgxfxdxb 证明：对任意的实数t1,t2,t3,有

bat1fxt2gxt3hxdx

bbbaaa2t12f2xdxt22g2xdxt32h2xdxbbaa

ba2t1t2fxgxdx2t1t3fxhxdx2t2t3gxhxdx0．注意到关于t1,t2,t3的二次型实际上为半正定二次型, 从而其系数矩阵行列式为

babbaf2xdxbagxfxdxabhxb2fxdx

xfxhfaxgxdxdxbab2agxdxbaxhag0x．d x证毕 xdxgxhxdxh以上的推广是将Cauchy-Schwarz不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用．

除了Cauchy-Schwarz不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young不等式,相较于Cauchy-Schwarz不等式我们对Young不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young不等式进行一些研究．

2.2 Young不等式

Young不等式,以及和它相关的Minkowski不等式,HÖlder不等式,这些都是在现代分

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析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young不等式的证明．

定理2.3[3] 设f(x)在[0,c]（c0）上连续且严格递增,若f(0)0,a[0,c]且b[0,f(c)],则0f(x)dx0f1(x)dxab,其中f1是f的反函数,当且仅当bf(a)时等号成立．

证明：引辅助函数g(a)abf(x)dx,

(2.2)

0aab把b0看作参变量,由于g(a)bf(a),且f严格递增,于是

当 0af1(b)时,g(a)0；当 af1(b)时,g(a)0；当 af1(b)时,g(a)0．因此当af1(b)时,g(a)取到g的最大值,即

gamaxgxgf1b

(2.3)

由分部积分得

f1(b)f1(b)0g(f(b))bf(b)作代换yf(x),上面积分变为

11f(x)dx0xdf(x),

g(f1(b))f1(y)dy,

(2.4)

0b将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得

abf(x)dxf(y)dyf1(x)dx,

000ab1b即f(x)dxf1(x)dxab．证毕

00ab 6 南通大学毕业论文

3.定积分不等式常见的证明方法

关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的．在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法．

3.1 利用函数的凹凸性

在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数．凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题．下面给出一个例子加以说明．

定理3.1 若t定义在间隔m,M内,且t0,则t必为下凸函数．

定理3.2 设fx在[a,b]上为可积分函数,而mf(x)M．又设t在间隔mtM内为连续的下凸函数,则有不等式

1b1bfxdxfxdx． aabababb例3.1[4] 设fx在a,b上连续,且fx0,求证：fxdxaa12dxba． fx证明: 取u112, 因为u20,u30,u0 uuu即在u0时,yu为凸函数,故有

1b1bfxdxfxdx， aabababa即fxdxabba1dxbbfx12dxba．

证毕，故fxdxaafxba在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式．然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题．

3.2 辅助函数法

辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明

7 南通大学毕业论文

的结论．在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨．

例3.2.1[5] 设函数fx在区间0,1上连续且单调递减,证明：对a(0,1)时, 有： fxdxaf(x)dx．

00a11x证明：令Fxf(t)dt 0x1,由fx连续,得Fx可导

x0则Fxfxxftdt0xx2 fxxfxfxf , (0x)． 2xx因为f(x)在[0,1]上单调减少,而0x,有fxf, 从而Ft0,Fx在(0,1]上单调减少,则对任意a(0,1),有F(a)F(1)．即

a111af(x)dxafxdx．证毕 a,两边同乘即得f(x)dxfxdx,0000a本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间(0,1)上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.例3.2.2 设函数fx在区间0,1上连续且单调递减非负,证明：对a,b(0,1),且0ab1时,有: fxdx0aabf(x)dx． ab证明：令FxFx1xf(t)dt,0x1,由fx连续,得Fx可导, 则 x0x0fxxftdtx2 fxxfxfxf , (0x)． 2xx因为f(x)在[0,1]上单调减少,而0x,有fxf,从而Ft0,Fx在(0,1]上单调减少,则对任意0ab1,有F(a)F(b),即

1a1b ftdtftdt．

(3.1)

a0b0由f非负,可得fxdxfxdx．

(3.2) 0abb结合(3.1)式和(3.2)式可得即a1a1bfxdxfxdx． a0ba0abfxdxfxdx．

证毕

babbaa例3.2.3[6] 函数f(x)在[a,b]上连续,且fx0 试证：f(x)dx 8

1dx(ba)2． f(x)南通大学毕业论文

在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程．

证明: 构造辅助函数xftdtaxxadt2xa, 则 ft xfxxaxdt1ftdt2xaftafx

xaxftxfxdtdt2dt

afxaftxfxft2dt0, aftfx

所以x是单调递增的,即ba0,故fxdxabba12dxba．证毕 fxabbxfxdxfxdx．

2a例3.2.4 设fx在a,b上连续且单调增加,证明：[7]

ba证明: 原不等式即为xfxdx则Fttft1t2a1taftf , a,t．

2abbfxdx0,构造辅助函数 aa2tattFtxfxdxfxdx ,ta,b,

a2atat1fxdxfttaftfxdxa 2 2b因为at,fx单调增加,所以Ft0．故Ft在a,b上单调递增,且Fa0, 所以对x(a,b],有FxFa0．当xb时,Fb0．即

baxfxdxabbfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2通过以上几道题目的观察我们可以发现：

1.当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明．

2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法．在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论．

3.3 利用重要积分不等式

在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上Cauchy-Schwarz不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用．

9 南通大学毕业论文

例3.3.1[8] 函数fx在0,1上一阶可导,f1f00, 试证明：10112fxdxfxdx．

402证明：由fxftdtf0和fxftdtf10x1x

可得

f2xx0ftdt2xx1112dtf2tdtxf2xdx, (x0,), 0002111112dtf2tdt(1x)f2xdx, (x,1)． xx02 f2xxftdt12因此 f2xdx 120112fxdx,

(3.3) 0811

2(3.4) fxdx．8010

112f2xdx将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到f2xdx[2]

112fxdx．

证毕 40b例3.3.2 设fx,gx在a,b上可积且满足：0mfxM,gxdx0,

a则以下两个积分不等式

bafxgxdx2b2f2xdxg2xdxm2bag2xdx及

aaabbb bafxgxdx2MmMmbaaf2xdxg2xdx成立．

ab证明：取hx1,由gxdx0及定理2.2知

babaf2xdxfxgxdxfxdxbagxfxdxfxdx0 gxdxaab2abb0bab bafab2xdxagxdxafxdxagxdxbaafxgxdx22bb2b0．

2因此

 bafxgxdx2baf2xdxab1gxdxba2bafxdxgxdx．

(3.5)

2b2a 10 南通大学毕业论文

由mfx可知 bafxdx2b22m2ba,

bb2因而bafxgxdxafxdxagxdxmbaag2xdx．

22MmMm由于0mfxM,因此fx．

22化简得f2xMmMmfx, 两边同时积分得 f2xdxMmbaMmfxdx, aabb22由算数-几何平均值不等式可知

于是2baf2xdxMmbaf2xdxMmba,

abbaabf2xdxbafxdx2Mm4Mm2．

1则ba bafxdxgxdxba2b2abfxdxba2af2xdxbaf2xdxag2xdx

b2Mma4Mmb

(3.6) f2xdxg2xdx．

ab由式(3.5)和式(3.6)可知

bafxgxdx2MmMm2baf2xdxg2xdx．

证毕

ab以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式．我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy-Schwarz不等式颇为有用,但要注意选取适当的fx与gx,有时还需对积分进行适当的变形．

3.4 利用积分中值定理

积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明．

定理3.3（积分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上可积且mf(x)M,则存在

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u[m,M]使f(x)dxu(ba)成立.特别地,当f(x)在[a,b]上连续,则存在c[a,b],使abbaf(x)dxf(c)(ba)成立．

定理3.4（积分第一中值定理的推广）若函数fx,gx在区间a,b上可积,fx连续,gx在a,b上不变号,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使得下式成立

fxgxdxfgxdx．

aabb定理3.5（积分第二中值定理的推广）若函数fx,gx在区间a,b上可积,且fx为单调函数,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使得下式成立 fxgxdxfagxdxfbgxdx．

aabb例3.4.1 设函数fx在区间0,1上连续单调递减,证明：对a,b(0,1),且0ab1时,有fxdx0aabf(x)dx,其中fx0． ab对于这道题目我们在3.2.2中给出了其利用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程．

证明：由积分中值定理知

0afxdxf1a, 10,a； fxdxf2ba,2a,b；

ab因为12,且fx递减,所以有f1f2, 1a1b1bfxdxfxdxfxdx, 0aaababaab故 fxdxfxdx．证毕

0ba即

例3.4.2 设fx在a,b上连续且单调增加,证明：baabbxfxdxfxdx．

2a同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第

一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程．

证法一

bababab2证明: xxfxdxxfxdxabfxdx． aa2222bab 12 南通大学毕业论文

abab由定理3.4可知,分别存在1a,,,b, 222使得 ab2aabab2xfxdxfx1adx, 22abbabab abxfxdxfx2abdx, 2222 babab因此xfxdxa28b2ff,由于fx在0,1单调增加的,且

210121,所以有 f2f10．

ab从而xfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2b证法二

证明:由定理3.5可知：存在a,b,

bababab使得 xfaxdxfbxfxdxdx aa222b fafbab．

由fx单调增加及a,b知fafb0,a0,b0．

bab可得xfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数．

3.5 利用积分的性质

关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理．

例3.5.1[9] 设fx在0,1上导数连续,试证：x0,1,

13 南通大学毕业论文

有 fxfxfxdx． 0证明：由条件知fx在0,1上连续,则必有最小值, 1即存在x00,1,fx0fx, 由ftdtfxfx0fxfx0ftdt, x0x0xx fxfx0ftdtfx0x0xxx0ftdtfx0ftdt

0101 fx0dt0110ftdtftdt01ftftftdtdt 0

1fxfxdx.故原不等式成立, 证毕

013.6 利用泰勒公式

在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法．

定理3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor公式) 设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n1阶连续导数,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0与x之间至少存在一点,使得：

f(x0)fn(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x)

(1)

2!n!f(n1)()其中Rn(x)(xx0)n1（在x与x0之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公(n1)!式．

例3.6.1[10] 设fx在a,b上有二阶连续导数,fafb0,Mmaxfx,

xa,b试证明:fxdxabba123M．

证明：对xa,b,由泰勒公式得

fafxfbfxf1xax21xbx2faxa,x, , 2fbxx,b, , 2ab122, 两式相加得 fxfxxfaxfbx24 14 南通大学毕业论文

两边积分得 fxdxabbaab1b22dx, fxxdxfaxfbxa24bbbabab其中 fxxdxxdfxfxdx, aaa22于是有 fxdx故 ba1b22dx, faxfbxaa8Mb22dxMba3．证毕 fxdxaxbx8a12b例3.6.2[6] 设fx在a,b上有二阶导数,且fx0,

ab求证 fxdxbaf． a2b证明：将fx在x0ab处作泰勒展开得到 22ab1abababab, fxffxfxx,．

222222

ababab因为fx0,所以可以得到 fxffx,

222babababb对不等式两边同时积分得到 fxdxfbafxadx． a222bab因为xdx0, 所以有afxdxbaa2babf．证毕

2通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征．一般情况下我们选定一个点xo,并写出fx在这个点xo处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题．

3.7 利用重积分

在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解．以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过3道例题来进一步说明．

15 南通大学毕业论文

3.7.1 直接增元法

命题一[11]：若在区间[a,b]上f(x)g(x),则f(x)dxg(x)dx．

bb例3.7.1[11] 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足：

xaf(t)dtg(t)dt,x[a,b],af(t)dtag(t)dt,证明：axf(x)dxaxg(x)dx．

axbbbb证明：由题得f(t)dtg(t)dt, aaxx从而可以得到dxf(t)dtdxg(t)dt,即dx[f(t)g(t)]dt0．

aaaaaabxbxbx左式dx[f(t)g(t)]dt [f(t)g(t)]dxdt (其中D{(x,t)|axb,atx}) aaDbx dt[f(t)g(t)]dx (bt)[f(t)g(t)]dt

atabbb b[f(t)dtg(t)dt][tf(t)dttg(t)dt][tf(t)dttg(t)dt]0．

aaaaaabbbbaaaabbbbbb则 tf(t)dttg(t)dt0 , 即xf(x)dxxg(x)dx．证毕

在本题中我们将一元积分不等式f(x)dxg(x)dx的两边同时增加一个积分变量

aaxxbadx，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方法达到证明一元积分不等式的方法.3.7.2 转换法

在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.1.将累次积分转为重积分

命题二[11] 若f(x)在[a,b]上可积,g(y)在[c,d]上可积,则二元函数f(x)g(y)在平面区域D{(x,y)|axb,cyd}上可积,且

Df(x)g(y)dxdyf(x)dxg(y)dyf(x)dxg(x)dx．

acacbdbd其中D{(x,y)|axb,cyd}

例3.7.2[11] 设p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的连续函数,在[a,b]上,p(x)0,f(x),g(x)为单调递增函数,试证：

16 南通大学毕业论文

babap(x)f(x)dxp(x)g(x)dxp(x)dxp(x)f(x)g(x)dx．

aaabbbaaabbb

证明：由p(x)f(x)dxp(x)g(x)dxp(x)dxp(x)f(x)g(x)dx可知：

babap(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx0,

aaabbaabbb令Ip(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx, ab下证I0；

Ip(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx

aaaabbbb

同理

p(x)dxp(y)f(y)g(y)dyp(x)f(x)dxp(y)g(y)dy

aaaabbbbbabbabp(x)p(y)f(y)g(y)dxdybabap(x)f(x)p(y)gydxdy

aap(x)p(y)g(y)[f(y)f(x)]dxdy．

(3.7) bbbIp(x)dxaabab(p)x(f)x(g)xdxab(p)x(f)xdx()pxgxdx

p(y)dybbap()xf()xg()xdxab(p)y(f)ydy(p) xgxdxab p(y)p(x)g(x)[f(x)f(y)]dxdy．

(3.8) aa

(3.7)(3.8) 得

2Ibabap(x)p(y)[g(y)g(x)][f(y)f(x)]dxdy, 因为f(x),g(x)同为单调增函数,所以[g(y)g(x)][f(y)f(x)]0 又因为p(x)0,p(y)0,故 2Ibabap(x)p(y)[g(y)g(x)][f(y)f(x)]dxdy0,即I0．

证毕

2.将常数转换为重积分的形式

在例3.7.2中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例3.7.3中我们将对常数转换为重积分来进行说明．我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数f(x,y)k,则可得到kdk(ba)2,其中D{(x,y)|axb,ayb}．

D例3.7.3函数f(x)在[a,b]上连续,且fx0试证：f(x)dx

abba1dx(ba)2． f(x)本题与前面的例3.1以及例3.2.3是同一道题目,在这里我们将利用重积分证明此题．证明：原题即为 f(x)dxabba1dyd, f(y)D 17 南通大学毕业论文

移项可得(Df(x)1)d0, f(y) 2(Df(x)f(x)f(y)1)d(1)d(1)d0, f(y)f(y)f(x)DDf(x)f(y)f(x)f(y)2)d0,因为f(x)0,f(y)0,所以20． f(y)f(x)f(y)f(x)所以即为证(D故 (Dbbf(x)f(y)12)d0 恒成立,即f(x)dxdx(ba)2成立, 证毕

aaf(x)f(y)f(x)通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法．

3.8 利用微分中值定理

微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别．

例3.8.1[12] 设fa0,fx在区间a,b上的导数连续,证明：

2baa1bfxdx1maxfx． x2a,b证明：应用Lagrange中值定理,a,x,其中axb,使得

fxfafxa, 因为fa0, 所以fxMxa, Mmaxfx,

xa,b从a到b积分得

a bfxdxMbaM2bxadxMxadxx2

aa2bM1122bamaxfxba．即222babafxdx1maxfx. 证毕 x2a,b 18 南通大学毕业论文

例3.8.2[13] 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00试证：

fxdxf121003xdx．

证明：令Fxx0ftdt,Gxf3tdt,

02xFx,Gx在0,1上满足柯西中值定理,则

fxdx10210f03xdxF1F0FG1G0G02fftdt0f32ftdt0f2 01

2ftdtftdtf2f0202f11 , 01．

2fff所以 10fxdx2f2xdx．

证毕

01通过以上两道题目可以发现：

1.在应用Lagrange中值定理时先要找出符合条件的函数fx,并确定fx在使用该定理的区间a,b,对fx在区间a,b上使用该定理．若遇到不能用该定理直接证明的,则从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange中值定理．

2.在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足Cauchy中值定理的两个函数fx,gx,并确定它们应用柯西中值定理的区间a,b,然后在对fx,gx在区间a,b上运用Cauchy中值定理．

无论是Cauchy中值定理还是Lagrange中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数,进而利用微分中值定理证明不等式．

19 南通大学毕业论文

4．总

结

我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料,并对其中的相关内容进行对比和分析后,将有关的内容加以整理并扩充形成了本文.在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法.然而由于自己的参考资料面不够广,参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法,而并没有给出进一步的分析,同时自己的知识面较窄,能力有限,导致还有很多难度较大的问题尚未解决．例如,在实际的问题中,还有一些证明方法是我们所不知道的,并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明,这就需要我们进一步的思考与研究.今后我们应该更多的参考其他资料,充分拓展思路,以便于提出新的观点．

20 南通大学毕业论文

参考文献

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21 南通大学毕业论文

推荐第4篇：Minkowski不等式的证明(积分形式)

闵可夫斯基不等式

在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski不等式）表明Lp空间是一个赋范向量空间

。设是一个度量空间

，

，那么

如果，等号成立

当且仅当，

或者

，我们有：

闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

对所有

实数，这里

是的维数；改成复数同样成立，没有任何难处。

值得指出的是，如果以变为。

积分形式的证明，

，则可

我们考虑

的次幂：

（用三角形不等式展开

）

用赫尔德不等式（见下文）继续运算可得

（利用

，因为）

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到

因为，我们最终得出：

这就是我们所要的结论。

对于序列的情况，证明是完全类似的。

赫尔德（Holder）不等式

设ai,bi1in是2n个正实数，

0,0,1,

a则

i1







aibii1i1





[证明] 令Aa

i1

,B

b

i1

那么







a

i1





aibi

i1AB



lg

aiA

lg

biB

lg



ailg

lg



ai

bi







aibi

利用Jensen不等式有AB



aiA



B成立



i1

aibi

AB







aA

i1





bB

i1

1



即

a

i1





AB



aibi

,得证。

i1i1



易知积分形式也成立

推荐第5篇：积分不等式的证明及应用

衡阳师范学院

毕业论文（设计）

题目：积分不等式的证明及应用

所在系：数学与计算科学系

专业：数学与应用数学

学号： 08090233 作者姓名：盛军宇指导教师：肖娟

2012年 4 月 27 日

积分不等式的证明及应用

数学与计算科学系数学与应用数学专业学号:08090233 姓名:盛军宇指导老师:肖娟

摘要

本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词积分不等式；中值定理；函数

0.引言

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等.1.积分不等式的证明方法

1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式

积分第一中值定理(定理1) 若fx在a,b上连续, 则至少存在一点a,b,

使得fxdxfba.ab积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用.例1 设fx在0,1上可微,而且对于任意x0,1,有|fx|M, 求证:对任意正整数n有

10fxdx1nn1ni1Mifnnn,其中M是一个与x无关的常数.分析由于目标式中一个式子为

i11if,另一个式子为fxdx0n,故把fxdx按

01区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证由定积分的性质及积分中值定理,有

10fxdxnini1ni1fxdxni1fi1,,i1,2,,n.,innni1i又因为fx在0,1上可微,所以由微分中值定理可知,存在ii,,使得, niiffifii,i1,2,,n.nni

因此10fxdx1nni11ifnnni1fi1nni1ifn

1n1n1n1nni1niffiniffinifiinM1nMn

i1n.

i1ni1在抽象函数fx的积分不等式中,若出现和号、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间a,bn等分,点i也可采用特殊的取法.1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式

拉格朗日中值定理(定理2) 若函数f满足如下条件:

if在a,b上连续；iif在a,b内可导, 则在a,b内至少存在一点,使得

ffbfaba.利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数f(x)和区间a,b,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2 设fx在a,b上连续.证明:若fafb0,则

fxdxabba24M,MMaxfx.

xa,b分析由条件fafb0,及fx与fx,故想到利用拉格朗日中值定理.证由拉格朗日中值定理得: 对任意的xa,ab, 2fxfxfaf1xa,a1x.,b, 对任意的x2abfxfxfbf2xb,x2b.

ababfxMxa,xa,,fxMbx,x,b22,

故

fxdxabab2afxdxbab2fxdx

ab2afxdxbab2fxdx

ab2aMxadxbab2Mbxdxba24M.注意到M是fx在a,b上的最大值,所以解题的关键是如何使fx与fx联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明.1.3 构造变上限函数证明积分不等式

作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x,式中相同的字母也换成x,移项,使

得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.

1例3 设函数fx在0,1上连续,证明不等式fxdx0210f2xdx.

x分析此例若令Fxftdt02x0f2tdt,则Fx的正负不易判断,需进一步的改进.证由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令

xxFxftdtxf0022tdt显然,F00,且Fx可导,有

f2Fx2fxxftdt02xx0tdtxf2t

fxftdt0,

0则Fx在x0时单调减小,即有FxF00,x0,

1特别地,F10,即证得不等式fxdx0210f2xdx.例4 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00, 1试证 fxdx0210f3xdx.

2131证问题在于证明fxdx00fxdx0, x令Fxftdt02x0fx3tdt,因为F00, Fx2fxftdt0f3xfx2x0ftdtf2x,

x0已知f00,0fx1,故当x0,1时,fx0, 记gx2ftdtf2x, 则g00,gx2fx2fxfx=2fx1fx0,x0,1, 于是gx2ftdtf2xg00,x0,1,故Fx0,x0,1, 0x4

1所以F1F00,即fxdx0210f3xdx.通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性.1.4 利用二重积分证明积分不等式

在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.

例5 若函数fx,px,gx在a,b上连续,px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,则pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.该不等式称为切贝谢

aabb夫不等式.分析只要证bapxdxpxfxgxdxabbbapxfxdxpxgxdx0

abb即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分.证因定积分的值与积分变量无关,故pxdxpydy,

aapxgxdxpygydy.

aabbbapydypxfxgxdxabbapxfxdxpygydy

abpypxfxgxpxpyfxgydxdyD

pxpyfxgxgydxdyD 1

其中,积分区域Daxb;ayb.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x与y的位置,得到

pypxfygygxdxdyD 2

将1式与2式相加,得12pxpyfxfygxgydxdy,由已知,

D可知px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,从而fxfy与gxgy同号,

于是在D上pxpyfxfygxgy0,从而,0.即pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.

aa101bb例6 若函数fx在0,1上不恒为零且连续增加,则

ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.

2200证由于在0,1上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于

10f2xdx10xff23xdx10xf10f3xdx10xf2xdx0, 而   10fff2xdx210xf3xdx130xdx2xdx

Dxyf3ydxdyDfxxf3ydxdy

D2xf3yyxdxdy 3

其中,积分区域D0x1;0y1因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有

Df2yf3xxydxdy 4

22将3式与4式相加,得1xyfyfxfxfydxdy, 2D由已知,函数fx在0,1上连续增加,从而对任意的x,y0,1,有

xyfyfxfxfy0,故22101ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.

2200从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题.1.5 借助于判别式来证明积分不等式

引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式.例7 设fx0,且在a,b上连续,试证fxdxabbdxfxaba.

2分析可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式.

证由题设对任意的,考察函数fx,因为fxfx0,有 fx2ba2bdxb2,即fx2dx02dxaafxfxfxdxab0, 不等式的左端可以看成的二次三项式,且对任意的上述不等式均成立, 故判别式2abdx4a2bdxfxbafxdx0,即fxdxabbdxfxaba.

2用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程gx,而g2x0,于是我们构造g2xdx0这样一个方程,

ab再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题.1.6 利用对称性证明积分不等式

命题1 当积分区域关于直线yx对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变.这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明.例8 函数fx在a,b上取正值且fx在a,b上连续试证:

fyhfxdxdyba,ha,b;a,b.

2证因为ha,b;a,b关于直线yx对称,从而Ifxfyhfxdxdyfxdxdyhfy, 所以Ifyhdxdy12hfxfydxdyfxfy1dxdybah2.由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式

积分第二中值定理的推论:设函数f在a,b上可积.若g为单调函数,则存在a,b,使得fxgxdxgafxdxgbfxdx.aabb应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.

babb例9 设函数fx在a,b上单调递增连续,则xfxdxfxdx.

a2a证假设函数gxxab2,显然gx在a,b上可积,又函数fx在a,b上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在a,b,使得

fxgxdxababfagxdxfbgxdx 

ab且式又可变为fxgxdxfagxdxfbgxdx.由定积分的几何意义

ab知gxdxbgxdx,abaa,b,同时,fafb,于是,

bfxgxdxfbfagxdx即xab0, bababb,故fxdx0xfxdxfxdxa22a.2.一些特殊积分不等式的应用

2.1 Chebyshew不等式及其应用

Chebyshew不等式设fx,gx同为单调递减或当调递增函数,则有

bafxdxgxdxbafxgxdx.

aabb若fx,gx中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为

Chebyshewbafxdxgxdxbafxgxdx.

aabb不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用.例10 设gx是1,1上的下凸函数,fx为1,1上的偶函数且在0,1上递增,则, 1fxdx1gxdx112fxgxdx.

11分析从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令xgxgx.

证令xgxgx,显然x也为1,1上的偶函数,由于gx是1,1上的下凸函数,故当0x1x21,

gx1gx2x1x2gx1gx2x1x2, 即gx1gx2gx2gx1,即x1x2,所以fx,x在0,1上为增函数, 由Chebyshew不等式知, 110fxdxxdx011101fxxdx21211fxdxxdx111211fxxdx, 可得fxdxgxdx2fxgxdx.1112.2 利用Schwarz不等式证明积分不等式

Schwarz不等式若fx,gx在a,b上可积,则

Schwarzbafxgxdx2baf2xg2xdx.不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及

b平方项的积分不等式时颇为有效.例11 已知fx0,在a,b上连续,fxdx1, k为任意实数,求证:

a abfxcoskxdxabfxsinkxdx1 5

22证 5式左端第一项应用Schwarz不等式得

bafxcoskxdx2abfxfxcoskxdxb2

2 同理afxsinkxdxb2fxdxfxcosaabkxdxfxcosab2kxdx6

bafxsin2kxdx 7

67即得5式.此题证明的关键在将fx写成2.3 Jensen不等式

fxfx的形式,以便应用Schwarz不等式.

定理3 设fx在a,b上连续,且mfxM,又t是m,M上的连续凸函数（指下凸函数）,则有积分不等式

ba1ba1fxdxbafxdx 8

ab注若t是m,M上的连续凹函数,则8式中的不等式号反向.定理4 设fx,px在a,b上连续,且mfxM,px0axb,t是

m,M上的连续凸函数,则有bapxfxdxbapxdxpxfxdx 9

pxdxabab注当t是m,M上的连续凹函数时,9式中的不等号反向.例12 设fx在a,b上连续,且fx0,则对任意的自然数n,有

1nlnbaba1fxdxba1t2banlnfxdx.证令tnlnt,那么tn,tnt10,故t为凹函数, 显然fx在t的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立.例13 设fx,px是a,b上的正值连续函数,则对任意的自然数n,有

banpxlnfxdxpxdxabnlnbapxfxdxbapxdx.证令tnlnt由上例知t为凹函数,故由定理4知结论成立.2.4 Young不等式的应用

Young不等式设fx是单调递增的,连续于0,a上,f00,a,b0,f1x表示fx的反函数,则abYounga0fxdxb0f1ydy,其中等号成立当且仅当fab.不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.

例14 证明:a,b1时,不等式abea1blnb成立.证设fxex1,则fx单调并连续,f等式有,

a1b11yln1y,因为a,b1,由Young不a1b10故abea1blnb.2.5 Steffensen不等式

Steffensenfxdx0f1ydyea1blnbab1, 不等式设在区间a,b上,g1x ,g2x连续,fx一阶可导,任给

xaxa,b,成立不等式g1tdtxag2tdt,且g1xdxabbag2xdx.若fx在a,b上单调递减,则fxg1xdxabfxgxdx;若fx在上单调递增上述不等式变号.

a2b例15 证明20sinx1x2dx20cosx1x2dx.证对任意的x0,22,因为cosx1sinx,所以有sintdt0xx0costdt;此外,显然有2sinxdx00cosxdx1且函数

在0,上单调递减,从而根据Steffensen不21x21等式,知20sinx1x2dx20cosx1x2dx.结论

总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式；以及巧妙的利用Schwarz不等式和Jensen不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决.参考文献

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[5]张瑞.定积分不等式证明方法的研究[J].内江科技,2001,(5):102.[6]丰刚.几个积分不等式及其应用[J].牡丹江大学报,2010,19(7):88-89.[7]刘玉记.再谈Young’s不等式的证明[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2009,(4):108.[8]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社,2005:108-109.[9]杨和稳.积分不等式证明技巧解析[J].高等数学研究,2009,12(6):38.[10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.The proof and application of integral inequality Department of Mathematics and Computational Science

Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233

Name:ShengJunyu

Instructor:XiaoJuan

Abstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discued the application of some special integral inequality.

Key word: integral inequality; theorem of mean; function

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定积分的证明是指证明题目中出现积分符号的一类题目，一般的解题思路和常见的证明题大同小异，但是由于积分符号的出现，往往使得同学们有这样那样的不适应，在这里呢，和同学们一起总结下关于这类题目的一般解题思路。常见的关于定积分的证明，主要包括以下几

类

问

题

。

2、定积分中值定理命题的证明。一般利用连续函数的介值定理、微分中值定理、积分中值定理等来证明，其关键是构造辅助函数。

3、定积分不等式的证明。一般有三种方法。 ①利用被积函数的单调性、定积分的保序性和估值定理证明。

②将定积分的上(下)限改为变量，从而将定积分不等式化为函数不等式，再用微分学方法证明。

③利用微分中值定理、积分中值定理(适用于已知条件中有连续性和一阶可导性)与泰勒公式(适用于题设中有二阶以上可导性)。

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一、积分入户义工服务政策依据

《深圳市人才引进实施办法》(深府办函[2013]37号)

关于印发《深圳市人才引进综合评价指标及分值表》的通知(深人社规〔2013〕5号)

二、办理时间

全年度工作日

三、办理条件

凡已办理深圳市居住证、并在深圳缴纳社会保险的注册义工，均可向所属义工法人组织申请开具义工服务证明，由深圳市义工联统一认证。

四、积分认定标准

(一)地域范围：深圳市;

(二)时间范围：近五年内(为距申请人在市人力资源局人才引进业务申报系统成功提交信息日的最近五年);

(三)义工服务要求：申请人提交申请材料时，注册义工须满6个月，单项义工服务时间不得超过12小时;

(四)积分标准：义工服务每满50小时积2分，积分最高不超过10分。

五、申请材料

1、《深圳市人才引进义工服务积分申请表》原件;

2、身份证或者居住证复印件;

3、义工服务时间明细证明材料复印件;

4、《深圳市人才引进信息校核表》(复印件)，此表在市人才引进业务系统填报信息并成功提交后自动生成，需由本人及呈报单位签字盖章。

以上材料一式两份，递交到市义工联，复印件需要验证原件。

六、办理流程

(一)申请人属于各区义工组织注册义工的，将《深圳市人才引进义工服务积分申请表》、个人身份证或居住证、义工证、义工服务时间证明或义工服务证书等材料提交至区级义工联审核，由区级义工联负责人在《深圳市人才引进义工服务积分申请表》签字并盖章确认其服务的真实情况后，再递交到市义工联最后盖章确认。如无区级义工联的也可提交至区级团委组织审核确认;

(二)申请人属于市义工联注册义工的，将《深圳市在职人才引进义工服务积分申请表》、个人身份证或居住证、义工证、义工服务时间证明或义工服务证书等材料，交至所属的市义工联各直属服务组或团体义工单位的负责人，由各直属服务组或团体义工单位负责人签字并盖章确认其服务的真实性，再递交市义工联盖章确认。

(三)市义工联负责最终核查申请资料，并盖章确认申报时间及积分。审查申请人数据库资料，符合条件者信息将录入数据库统一管理存档。

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（乡镇计生办章）

X年X月X日

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探讨定积分不等式的证明方法

摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。

关键词：定积分

不等式

证法

不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。

1．运用定积分中值定理证明

定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。

例1：设f(x)在[0,1]上连续且单调不增，证明a∈[0,1]有

a0f(x)dx≥af(x)dx．

01证明：由原不等式变形得即是要证：(1a)a0f(x)dx≥a（f(x)dxf(x)dx),

0010a1a0f(x)dx≥af(x)dx, 对左式，f(x)在[0,1]上连续，故a由定积分中值定理知：

10，a使

（1a)f(x)dxa(1a)f(1), 0同理对右式：2a，1使a0f(x)dxa(1a)f(2),

1显然，1＜2又f(x)在[0,1]上单调不增， ∴f(1)≥f(2) 故原不等式a0f(x)dx≥af(x)dx成立.

01定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。 2．运用辅助函数证明

构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。

例2：设f(x)在[a，b]上连续,且f(x)>0.试证：baf(x)dxba1dx(ba)2 f(x)xxaa证明：构造辅助函数F(x)f(t)dt则F(x)f(x)a

=\'x1dt(xa)2（将b换成x）， f(t)11xdtf(t)dt2(xa) af(t)f(x)xaxf(t)xf(x)dtdt2dt

aaf(t)f(x)f(x)f(t)2)dt

=a(f(t)f(x)xf(x)f(t)20， ∵f(x)＞0，∴

f(t)f(x)\'又a

即F(x)单调不减，又F(a)故

0，∴F(b)F(a)0，

baf(x)dxba1dx(ba)2． f(x)该题构造出积分上限函数，其目的是用单调性来证明不等式。这种方法开门见山、直截了当。 3．运用定积分的性质和几何意义证明

与定积分的概念相联系“以直代曲”的“近似代替”的思想，加上积分的几何直观使得不等式的证明变得更加简捷。

例３：证明不等式13sinxdx．

ex(1x2)12esinx1，两端积分得：

ex(1x2)e(1x2)证明：因为1x3时

31sinx131dxx221e(1x)e1x12e

a1例４：设a,b1时，证明不等式abe证明：blnblnxdxb1，e1ba1blnb．

a10exdx1，

根据定积分的几何意义知：

（a1)blnxdx1ba10exdxblnbea1b，

a1abeblnb.即本题关键在于深刻领悟定积分概念的由来，即求曲边梯形的面积问题推导的四个步骤：分割、取点、作和与求极限，这里充分运用了“近似代替”的几何直观来加以证明。

4．运用拉格朗日中值定理证明

利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先要构造满足中值定理条件的函数和区间，然后进行不等式放缩，再用定积分比较定理、估值定理或函数的绝对值不等式等。

M，f(a)0，例5：设f(x)在[a,b]上可导，且f\'(x）试证：abf(x)dxM(ba)2.2证明：由题设x[a,b]，f(x)在[a，b]上都满足拉氏中值定理的条件，于是有：

f(x)f(x)f(a)f\'()(xa)，(a,x)，

M， ∵f\'(x）∴f(x)M(xa) 两边在[a，b]上定积分得：

baMf(x)dxM(ba)dx(ba)2.a2b此题运用拉格朗日中值定理简直如行云流水，如果采用其他办法显然比较繁琐。

5．运用Taylor公式证明

当已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导且又知最高阶导数的符号时，通常采用泰勒展开式来证明。首先要写出f(x)的泰勒展开式，然后根据题意写出某些点的泰勒展开式，再进行适当的放缩以变成不等式，最后用定积分的性质进行处理。

例6：设f(x)在[a,b]上单调增加，且f\"(x)＞0，证明

(ba)f(a)＜abf(a)f(b)f(x)dx＜(ba)

2证明：先证左不等号：(ba)f(a)＜

baf(x)dx，

x[a,b]，x＞a，f(x)单调增加，所以f(x)＞f(a)

故baf(x)dx＞(ba)f(a) „（1）再证右不等号：baf(x)dx＜(ba)f(a)f(b)，

2t[a,b]，f(t)在点x处的Taylor展式为：

f(t)f(x)f\'(x)(tx)因

1f\"()(tx)2,其中在t与x之间， 2!f\"()＞0，

f(t)＞f(x)f\'(x)(tx)，所以将tb,ta分别代入上式并相加得：

f(a)f(b)＞2f(x)(ab)f\'(x)2xf(x)，将此式在[a,b]上积分得：

f(a)f(b)(ba)＞2af(x)dx(ab)af\'(x)dx2axf(x)dx，

有2[f(a)f(b)](ba)＞4故

bbbbaf(x)dx，

baf(a)f(b)f(x)dx＜(ba) „（2）

2综合（1）、（2），原不等式得证.Taylor公式的应用在大学数学的学习中是一个绝对的难点，往往很难掌握。一个题目在你用其他方式很难解决时，Taylor公式常会给你意想不到的突破。

6．运用柯西—斯瓦兹不等式证明柯西—斯瓦兹不等式：

例7：设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数且f(1)f(0)1，试证：0[f\'(x)]dx1.证明：∵f(1)f(0)1210f\'(x)dx，又f(1)f(0)1，所以0f\'(x)dx1，

因f(x) 在[0,1]上可导，所以f(x)在[0,1]上连续，

2dx[f\'(x)]dx(f\'(x)dx)1，由柯西—斯瓦兹不等式得：00011211即是0[f\'(x)]dx1.柯西—斯瓦兹不等式是大学数学中的又一难点，虽然记忆起来并不困难，但应用是灵活多变的。

7．运用重积分证明

重积分要化为定积分来计算，这是众所周知的事实，但反之定积分的乘积往往又可以化为重积分，将定积分不等式的证明化为重积分不等式来证明，也是一种常见的方法。

例8：设f(x)是在[0，1]上单调增加的连续函数， 12试证：xf0101xf(x)dx23(x)dx13101f3(x)dxf(x)dx122.

1102Ixf(x)dxf(x)dxf(x)dxxf证明：设(x)dx

00003232xf(x)f(y)dxdyf(x)f(y)ydxdy

=DD3

=DDf3(x)f2(y)(xy)dxdy„（1）

23If(x)f(y)(yx)dxdy„（2）同样

232I(xy)f(x)f(y)(f(x)f(y))dxdy，（1）+（2）可得D由于f(x)在[0，1]上单调增加，故(x∴I1y)(f(x)f(y))0，

131000，从而0xfxf(x)dx2313(x)dxf(x)dxf(x)dxxf2(x)dx

012即xf010(x)dx101f3(x)dxf(x)dx2

0总的来说，证明不等式是一门艺术，它具有自己独到的技术手法。在此，我研究了上述7种方法来证明不等式，使一些复杂不等式的证明变得更加简洁，也会使一些不等式的证明变得一题多解。

推荐第10篇：深圳积分入户(在校中学生证明样表

在校中学生证明

兹证明学生李某性别1992 年 9 月 9日出生，

现在我校XXX高级中学）初（高）中二年级X班就读。

父亲李某工作单位XXX有限公司母亲张某工作单位XXX有限公司

特此证明

班主任（签名）XXX电话：8541XXXX校长（签名）XXX电话：5481XXXX学校（盖章）

学校地址：XXX市XXX区XXXX

2012年 X 月X日

说明：随迁子女在16—20周岁以下仍在中学就读的，需填写此证明。

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第11篇：积分中值定理(开区间)证明的几种方法

积分中值定理（开区间）的几种证明方法

定理：设f在[a,b]上连续，则(a,b)，使得

b

af(x)dxf()(ba)。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），

[a,b]，使得

于是

bbaf(x)dxf()(ba)。 [f(x)f()]dx0.a

由于函数F(x)f(x)f()在[a,b]上连续，易证（可反证）：

(这还是书上例2的结论)

(a,b)，使得F()f()f()0，即f()f()。

[证二]：令F(x)x

af(t)dt，则F(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，故

(a,b)，使得F(b)F(a)F()(ba)，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）

[证三]：反证：假设不(a,b)，使得 b

af(x)dxf()(ba)，由积分第一中值定理，

知只能为a或b，不妨设为b，即

x(a,b),f(x)f(b)1bf(x)dx。 aba

)f(x)f(b)）由于f连续，故x(a,b),f(x)f(b（或，

（这一点是不是用介值定理来说明）

这样

（上限x改为b）xbaf(x)dxf(b)dxf(b)(ba).a

（这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）

矛盾。

[证四]：设f在[a,b]上的最大值为M，最小值为m。若mM，则fc，可任取。

若mM，则x1[a,b]，有Mf(x1)0，故

[Mf(x)]dx0，即 abb

af(x)dxM(b).a

同理有

m(ba)f(x)dx.ab

由连续函数的介质定理知：(a,b)，使得 f()1bf(x)dx.。 aba

注：以上方法有的能推广到定理9.8的证明，有的不能，再思考吧！

第12篇：柯西积分定理的一个简单证明

柯西积分定理的一个简单证明

摘要：本文用到零的同源环给出了柯西定理的一个证明。证明运用了解析函数基本的局部性质，没有额外的几何以及拓扑论证。

本文的目的是给出关于柯西定理for circuits homologous to 0的一个简洁明了的证明。

柯西定理：假设D是C的一个开子集，是D中的一个环。假设是与零同源的，并且每个E中的D都是确定的。那么对于每一个D中解析函数f：

（1）f(z)dz0

1（2）对于任意与无关且属于D的w，有Ind(,w)f(w)(2i)

(zw)1f(z)dz

证明：考虑DDC的函数g，且对zw满足g(w,z)(f(z)f(w))/(zw)，g(w,w)f\'(w)。可知g是连续的，并且对每个z,w，g(w,z)是解析的。给定h:CC，并且在D上h(w)g(w,z)dz，在E上h(w)(zw)1f(z)dz。假设CDE，由

于Ind(,w)0，则这两种h(w)的表示在DE是相等的。

那么可知h在D和E上都是可导的，所以h是整函数。由于的映射是有限的，并且E包含了的一个邻域，h(w)0时有w。这表明h是连续的（刘伟尔定理），并且h=0.则对于所有D不依赖于，。最后设u是D中g(w,z)dz=0。这样就证明了（2）

不依赖于的定点。将（2）用于函数zf(z)(zu)，计算wu的情况，便得到（1）。

第13篇：利用函数单调性证明积分不等式(修改)

利用函数单调性证明积分不等式

黄道增浙江省台州学院（浙江317000）

摘要：积分不等式的证明方法多种多样，本文主要利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。

关键词：函数单调性积分不等式辅助函数中图分类号O172.2

积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，其证明方法多种多样。如果题目条件中含“单调性”或隐含“单调性”的条件，利用函数单调性证明比较简单。本文主要讨论利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。 1 利用被积函数的单调性

证明方法根据----定积分性质之一：设f(x)与g(x)为定义[a,b]在上的两个可积函数，若f(x)g(x),x[a,b]，则f(x)dxg(x)dx.aabb

例1设f(x)为[0,1]上非负单调递减函数，

证明：对于01，有

证明：由f(x)的单调递减性得：

若0x1，有f(x)f()

所以f(x)dxf()dxf()（1） 000f(x)dxf(x)dx 

同理有 f(x)dxf()dx()f()（2） 

由（1）（2）得：

1

0f(x)dxf()1f(x)dx（3） 

将（3）式两边同乘以()，有 





0f(x)dxf(x)dx f(x)dx 1，所以f(x)dx因为0

例2试证：1cosx

x201sinxx20dx.

分析：不等式两边的积分是瑕积分。在两边的积分中分别作变换tarccosx与



00tarcsinx，原不等式可化为cos(sint)dt2sin(cost)dt，欲证不等式，只需证明

cos(sint)sin(cost)，t(0,)，而cos(sint)sin(sint)sin(cost)。 22

因为t(0,)时，0cost，0sint，而函数ysinx在(0,)上严格单调22222

递增，于是只要证明当t(0,)时，有costsint或costsint。当t(0,)时，2222

costsint2sin(t)2，于是问题得证。（证略） 42

2 利用辅助函数的单调性

证明方法根据----变微积分学基本定理和可导函数的一阶导数符号与单调性关系定理：

微积分学基本定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则由变动上限积分(x)f(t)dt,x[a,b]，定义的函数在[a,b]上可导，而且(x)f(x).也就a

是说，函数是被积函数f(x)在[a,b]上的一个原函数.

可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理：设函数f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，如果在(a,b)内f(x)0（或f(x)0），那么f(x)在[a,b]上单调增加（或单调减少）。

证明的一般过程：

（1）构造辅助函数f(x)，取定闭区间[a,b]；

（2）求函数f(x)的导数f\'(x)，再判别它的符号，利用可导函数的一阶导数符号与函数单调关系，判断函数的单调性；

（3）求函数在区间端点的函数值；

（4）根据第2步和第3步即可得证。

abbf(x)dx.a2a

分析：可将此定积分不等式中常数b变为变数x，利用差式构造辅助函数：x例3设f(x)在[a,b]上连续，且单调递增，试证明xf(x)dx

axxF(x)tf(t)dtf(t)dt，则要证F(b)F(a)0.a2axb

atxf(t)dt，则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， aa2

x11xF\'(x)[(xa)f(x)f(t)dt][f(x)f(t)]dt a22a证明：设F(x)tf(t)dtx

∵f(x)在[a,b]上连续，且单调增加，

∴g\'(x)0

即g(x)在[a,b]上单调增加，

∵F(a)0∴F(b)0 abbf(x)dx0 aa2

babbf(x)dx ∴xf(x)dxa2a∴xf(x)dxb

例4设f(x)，g(x)在[0,1]上的导函数连续，且f(0)0，f\'(x)0，g\'(x)0，证明：对任何a[0,1]，有g(x)f\'(x)dxf(x)g\'(x)dxf(a)g(1) 00a1

分析：可将此定积分不等式的常数a变为变数x，利用差式构造辅助函数：F(x)g(t)f\'(t)dtf(t)g\'(t)dtf(x)g(1)，则要证F(a)0.00x1

证明：令F(x)g(t)f\'(t)dtf(t)g\'(t)dtf(x)g(1)，x[0,1]，则F(x)在[0,1]上00x1

连续，在(0,1)内可导，且F\'(x)g(x)f\'(x)f\'(x)g(1)f\'(x)[g(x)g(1)]

∵g\'(x)0且f\'(x)0

∴g(x)g(1)，则F\'(x)0，

∴F(x)F(1)g(t)f\'(t)dtf(t)g\'(t)dtf(1)g(1) 0011

d[g(x)f(x)]f(1)g(1) 01

[f(1)g(1)f(0)g(0)]f(1)g(1)0

即F(x)0，x[0,1]。

∴对任何a[0,1]，有g(x)f\'(x)dxf(x)g\'(x)dxf(a)g(1).00a1

例5设f(x)在[0,1]上可微，且当x(0,1)时，0f\'(x)1，f(0)0，

试证：[f(x)dx]f3(x)dx 00121

分析：可将此定积分不等式看成是数值不等式，并将常数1变为变数x，利用差式构造辅助函数.

证明：对任意t[0,1]，构造函数F(t)[f(x)dx]2f3(x)dx,显然有F(0)0 00tt

F\'(t)2f(t)[2f(t)dxf2(t)]， 0t

不妨令H(t)2f(t)dxf2(t)，显然有H(0)0 0t

H\'(t)2f(t)2f(t)f\'(t)2f(t)[1f\'(t)]

0f\'(t)1

∴f(t)在[0,1]上严格单调递增。

∴f(t)f(0)0

∴H\'(t)0

∴对任意t[0,1]有H(t)H(0)0，F\'(t)0，t[0,1]

∴F(t)在[0,1]上严格单调递增，F(1)F(0)0

即[f(x)dx]2f3(x)dx 0011

评析：对于含有定积分的不等式，往往把某一常数变为变数，利用差式构造变上限辅助函数，再利用变上限积分f(t)dt及函数的单调性解决。 ax

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2] 张荣.辅助函数在不等式证明中的应用[J].数学的实践与认识,2007(10).

[3] 叶国菊，赵大方编.数学分析学习与考研指导[M].北京:清华大学出版,2009.

[4] 贾高.数学分析专题选讲[M].上海:上海交通大学出版社,2009.

第14篇：惠州积分计分标准和证明材料一览表

积分计分标准和证明材料一览表

（2014年）

- 1 -

（2014年）

- 2 -

（2014年）

- 3 -

第15篇：东莞市积分制入户社会保险年限的证明

附件一:

关于申请东莞市积分制入户人员参加

社会保险年限的证明

兹有我市参保人（姓名），身份证号码

为，在本市参加城镇基本养老保险实际缴费年限个月，城镇基本医疗保险实际缴费年限个月，失业保险实际缴费年限个月，工伤保险实际缴费年限个月，生育保险实际缴费年限个月，在本市最后参保缴费的年月是年月。

上述参保年限计算截止时间至______年____月____日，均不包括转入本市的异地缴费年限，但包括已转出本市的本市实际缴费年限。

市社会保险经办机构

（盖章）

二○年月日

第16篇：利用定积分证明数列和型不等式

利用定积分证明数列和型不等式

我们把形如(为常数)

或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型

例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)

已知正整数

，求证

.分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.

证明构造函数

数图象可知，在区间并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，

图

1即

，

因为

，所以.

所以

例2求证

证明构造函数而函数

在

，又，

上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和

小于曲边梯形的面积，

图

2即

，

所以

例3证明

。

证明构造函数知，在区间

上

，因，又其函数是凹函数，由图3可

个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，

图

3即

所以

二、

型

例4若

，求证:.证明不等式链的左边是通项为前

项之和，中间的

的数列的前项之和，右边通项为项之和.故只要证当

的数列的时这三个数

可当作是某数列的前

列的通项不等式

成立即可.

构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间

上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两

个矩形面积之间，即

，而，

故不等式

成立，从而所证不等式成立.

图

4例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数

处的切线方程为

的图象在点

（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若

；

在内恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明:

本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.

证明（Ⅲ）不等式

列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为

的数列的前项之和

，则当

的数时，

，此式适合，

故只要证当

时，即，

也就是要证

由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面

积，即

图5

而

故原不等式成立.

，所以，

第17篇：圆锥侧面积的几何证明和积分证明

圆锥侧面积的几何证明和积分证明

一、几何证明：

二、如上图所示为一圆锥的侧面展开平面图，有L`=

22ll①

ι`=2πr=αι

s=πι2

2②

因为αι=2πr,带入中②，

得s=πrι

二、积分证明：

如上图，y=kx绕x轴旋转成为圆锥，在距离原点x的地方取微量dx，设在x处圆锥底面半径为r,且有r=kx侧有圆锥底周长l=2πkx,以此处周长近似表达x处所切得的微量的面积的底边长，则其高度h=dxkdx=kdx

ds=2πkxkdx

2s= 2πkxkdx=πkx222222k③ 2

22因为ι=xr=kx带入③中得： 2

S=π

rι

第18篇：利用定积分证明数列和型不等式

利用定积分证明数列和型不等式

我们把形如(为常数)或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.

一、(为常数)型

例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数，求证

分析

这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.

证明构造函数数图象可知，在区间

并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函

上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，

图1 即

，

因为

，所以.

所以

.例2 求证

证明构造函数

而函数在

，又，

上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，

图

2即

，

所以.

例3 证明

。

证明构造函数可知，在区间上

，因，又其函数是凹函数，由图

3个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，

图3

即

所以

二、

型

例4 若，求证:.

证明不等式链的左边是通项为前项之和，中间的

的数列的前项之和，右边通项为项之和.故只要证当

的数列的时这三个数

可当作是某数列的前列的通项不等式

成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即

，而，

故不等式

成立，从而所证不等式成立.

图4

例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数处的切线方程为

（Ⅰ）用表示出；

的图象在点（Ⅱ）若在内恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.

证明（Ⅲ）不等式数列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为

的数列的前项之和

，则当

的时，，此式适合，故只要证当时，即，

也就是要证

由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积，即

图

5而

，所以，

故原不等式成立.

点评本解法另辟蹊径，挖掘新的待证不等式左右两边的几何意义，通过构造函数利用定积分的几何意义来解决问题，解法虽然综合性强，但由于数形结合解法直观便于操作.积分法是在新课标下证明不等式的一个新方法新亮点，很值得品味.由例4例5可知，要解决这类复杂问题的关键是要善于联想善于分析问题和转化问题，这样才能化繁为简、化难为易，

第19篇：积分奖励制度

1、为什么要进行这项评比：为了更好地调动孩子们积极性，激发孩子们的学习热情，综合考评孩子们的学习状态，我们班级准备实行学习积分奖励计划。通过对成绩优秀、表现努力、有明显进步的孩子以积分卡及奖品、奖状的形式鼓励，帮助孩子培养良好的学习习惯。通过巧妙设计的奖品让孩子从小就知道“努力会有收获”这样一个道理，同时培养孩子要怀有“感恩的心”。这是全班同学参与的一个积分游戏，让孩子在游戏中快快乐乐地做每件事情，让我们一同开始吧！

2、评比的周期：

每天按照孩子当天的表现发给孩子积分卡片；每周公布一次“积分银行”的分数；每月兑换一次奖状和奖品；期末按照得到的积分进行总评比。

3、我们怎么评比：

这是一个“积分卡——奖状加奖品\"的一个过程。根据学生的表现发给生动活泼的积分卡片，每天将卡上的积分存入“积分银行”。每月根据学生在“积分银行”的积分卡分数在班内开展评比，分别评出金奖、银奖、铜奖及努力奖。(或者是孩子们喜欢的小奖品）

4、如何得分：

国学、美术、手工课表现好，上课积极思考、积极发言的+2分。

课间表现好+2分。

学习成绩或各方面表现有进步+2分。

行为习惯好+1分，例如：读、写、站、坐姿端正，座位整洁干净，吃饭排队纪律好，讲礼貌。

5、奖品设定：

我们通过一些小小的创意奖品让孩子知道去回报、去感恩、去努力、去争取。我们精心设计了一些小奖品有: 小橡皮、铅笔等文具，当爸爸妈妈问“怎么多了一支铅笔、一块橡皮？”孩子说：“我努力得到的”，一定会有一份小小的自豪的。我们做的一切都是为了一个目的，就是能够让孩子爱上学习，让学习变得不枯燥，让孩子们都快乐起来，让我一同努力吧！

第20篇：积分管理

正阳二学区

关于落实《秦汉新城教育卫体局党员积分制管理办

法》的通知

为切实抓好党员积分管理的落实工作，进一步增强我学区全体党员的党性、提高素质为重点，加强和改进党员队伍教育管理，推动广大党员发挥先锋模范作用，结合“两学一做”学习教育，深入实施党员积分制管理，特制订本办法。

一、指导思想

以保持党员队伍先进性和纯洁性为主线，以“两学一做”学习教育为契机，充分发挥基层党组织战斗堡垒作用和共产党员先锋模范作用，通过实行党员积分制管理，实现党员日常管理的精细化、科学化、规范化，努力打造示范带动、奖优罚劣、动态管理新平台，引导广大党员自觉做到“四讲四有”，切实提升党员队伍的整体素质。

二、适用范围及总体要求本办法适用于全体党员。

年老体弱、生活不能自理的党员可不纳入党员积分制管理范围。

党员积分制管理考评，以周期内累计得分作为考评党员发挥先锋模范作用的一项管理制度，遵循“分类积分、量化考核；标杆引导、底线管理；奖优罚劣、激励奉献”三项基本原则。党员积分制管理实行百分制季度考评，年底总分为四个季度考评得分的平均分。以“七一”为界，一年为一个积分周期，按照周期初设定该周期分值、周期内实行加分、周期末进行累计积分确定考评等次的方式进行。新一轮积分周期开始时，原分值予以消除，积分结果作为第二年评先选优的基本依据。

三、积分标准积分设置

党员年度积分由三部分构成：日常分、评议分和奖励分。其中，日常分与评议分按照3:1的权重构成100分，奖励分为加分项目。各基层党组织要根据全区“4+1”基层党建工作思路的总体要求，结合实际，区分不同层面党员特点，详细制定积分量化标准。

积分构成

1、日常分：主要根据党员在日常工作生活中，履行党员义务、发挥党员作用、推动工作开展等表现情况，给予相应积分。日常行为积分原则上掌握在75分，各单位积分分值权重由基层党组织根据党员实际自行调整。日常分主要包括以下内容：

（1）学习提高方面。认真学习贯彻党的路线方针政策，能够用党的最新理论成果武装头脑，保持高度的政治敏锐性，提高洞察力和辨别力；带头参加各种主题实践活动，按要求参加“三会一课”，带头执行党组织决议，落实工作部署，与上级党组织保持高度一致。离退休党员要自觉参加所在党支部组织的学习教育活动。

（2）争创佳绩方面。认真学习岗位知识，刻苦钻研专业技能，成为业务工作的“明白人”和“行家里手”；结合岗位特点，制定承诺并认真进行践诺；爱岗敬业，踏实肯干，任劳任怨，不计条件；主动参与重大事项决策，为解决热点、难点问题出谋划策，具有较强的大局观念和团队协作精神；认真做好党组织分配的工作任务，尤其在急难险重任务面前，能够身先士卒、冲锋在前，发挥带头作用。

（3）服务群众方面。牢记全心全意为人民服务的宗旨，始终坚持群众立场，自觉践行群众路线；认真思考新形势下群众工作，提高调查研究、沟通交流和解决问题的能力，增强做好群众工作的本领；认真落实党员联系群众制度，帮助群众解决实际困难，维护群众正当权益；拓宽服务渠道、改进服务方式、提高服务质量，积极参加无职党员“设岗定责”，开展党员奉献日，带头参加志愿者服务、义务劳动等社会公益性活动，带头与困难群众“结对帮扶”。（4）遵纪守法方面。加强法律知识学习，严格遵守党纪国法，自觉遵守本单位规章制度，增强法纪观念和自律意识；带头遵守职业道德，严格遵守廉洁从政、计划生育等法律法规，做到以身作则；根据党费收缴规定，带头按时足额交纳党费；带头抵制法轮功等非法组织，协助党组织排查各种不稳定因素，敢于同违法犯罪行为作斗争，维护社会和谐稳定。

（5）弘扬正气方面。自觉践行社会主义核心价值观；带头反对封建迷信等不正之风，敢于同各种歪风邪气作斗争；党性原则强，工作作风严谨，遵守职业操守，杜绝弄虚作假、欺上瞒下行为；清正廉洁，克勤克俭，情趣健康，反对铺张浪费、奢靡享乐，保持共产党员的高尚情操；带头弘扬社会传统美德，维护社会公平正义。离退休党员要突出遵守社会公德、带头移风易俗、建立良好的人际关系和社会关系、甘于奉献余热等内容。

（6）合格党员标准执行方面。自觉对照《渭城区合格党员标准》对7个领域党员提出的要求，农村党员做到“六带头”：带头学习提高、带头履行义务、带头致富带富、带头服务群众、带头化解矛盾、带头遵守公德；社区党员做到“五自觉”：自觉宣传政策法规、自觉维护社区稳定、自觉参与社区管理、自觉服务社区居民、自觉弘扬社区文明；机关党员做到“五有”：有坚定的理想信念、有严格的规矩意识、有强烈的担当意识、有积极的进取精神、有高尚的道德情操；窗口单位服务行业党员做到“五个好”：思想政治好、业务能力好、工作作风好、遵纪守法好、服务群众好；执纪执法单位党员做到“五强”：思想政治强、纪律观念强、示范带头强、能力作风强、服务意识强；教师党员做到“五个表率”标准：政治坚定的表率、教书育人的表率、爱岗敬业的表率、师德师风的表率、社会公德的表率；“两新”组织党员做到“五具备”：具备坚定的理想信念、具备严明的纪律观念、具备高尚的道德情操、具备扎实的工作作风、具备优良的技能本领。

2、评议分（25分）：评议分结合党员年终总结或民主评议进行。原则上评议分掌握在25分。评议为“优秀”等次的，得25分；“合格”等次的，得15分；“基本合格”等次的，得10分；“不合格”等次的不得分。各级党组织每年“七一”之前和年终各进行一次党员民主评议并确定得分。

3、奖励分：奖励分为额外加分，即每人每年在日常积分、民主评议积分外，有以下行为表现，在100分以外额外加分。奖励分是指党员获得区级以上（包括区级）表彰的，由各党支部（小组）制定具体的奖励分加分标准，进行加分，最多不超过10分。

（1）获得中央、国务院表彰的，加10分。

（2）获得省委、省政府及国家部委表彰的，加6分。（3）获得市委、市政府及省委、省政府部门表彰的，加4分。

（4）获得区委区政府及市级部门表彰的，加3分。（5）在急难险重等工作中有突出贡献，受到区级以上表彰奖励的，加2分。

（6）向党报党刊投稿并被署名刊发的，按照区级、市级、省级及以上每篇加

1、

2、3分。

（7）有其他积极发挥党员先锋模范作用的，经支委会研究，酌情加分。

四、积分方式

党员积分原则上每季度进行一次，由党员所在党支部（小组）进行审核认定初步确定积分，并根据党员表现情况进行扣分，最终由党支部委员会进行审核并在党员活动室进行动态公示。各基层组织根据各自积分细则建立党员积分制管理记录卡，将每季度积分情况如实登记造册，年终，将党员累计的积分取平均值作为党员当年的积分总分，报党（工）委备案。

五、定级标准

党员积分制考核结果分为优秀、合格、基本合格、不合格4个等次。原则上优秀等次90分（含90分）以上、合格等次80分（含80分）以上、基本合格等次65分（含65分）以上、不合格等次65分以下。其中，优秀等次人数不超过本支部党员总数的20%。

有下列行为之一的，实行“一票否决”，直接认定为不合格党员：（1）侵占集体资产或挪用集体资金的党员；（2）受党内严重警告处分期间的党员；（3）受撤销党内职务、留党察看处分期间的党员；（4）参与“法轮功”等邪教组织、非法组织，参与封建迷信活动，经教育仍不改正的党员；（5）无正当理由，连续6个月不交纳党费、不参加党的组织生活、不做党组织所分配工作的党员；（6）本人违反计划生育政策的党员；（7）参与或组织群众非法上访或越级上访的党员；（8）有其他违法乱纪行为的党员；（9）工作上有重大失误，经媒体曝光，在全区造成重大影响的党员。

六、结果运用

党员积分考评结果，作为党员参加评先推优活动和对党员进行重点帮教以及组织处置的重要依据。具体可参照以下标准执行： 1.优秀共产党员，优先推荐参加评先树优活动；推荐区党代表、人大代表和政协委员时，优先考虑“优秀”等次党员。

2.“基本合格”及以下等次的党员，由各党（工）委采取警示提醒、批评教育、书面检查、公开检讨、诫勉谈话等方式予以帮教整改。

3.连续两年被确定为“基本合格”及以下等次的党员，由各党（工）委根据《渭城区处置不合格党员暂行办法（试行）》要求的相关程序予以处置。

七、措施要求

（一）加强组织领导。各级党组织负责人作为实行党员积分制管理工作的第一责任人和直接责任人，要切实履行职责，严格按照规定要求抓好组织实施和监督管理。全区各党（工）委要指导好基层党（总）支部进一步理顺党员组织关系，健全完善党员档案，明确分管党建的党组织成员作为党员积分管理具体责任人，确保党员积分制管理工作顺利实施。

（二）强化督导检查。区委组织部将不定期对各基层党组织落实党员积分制管理情况进行督导检查，检查结果列入党建考核中计分。各级党组织要及时总结交流经验，研究解决工作中出现的新情况、新问题。

（三）严格考核奖惩。将党员积分制管理列为党（工）委年终党建工作目标考核的重要内容。对工作落实到位，发挥作用明显的，及时给予通报表彰，并将经验典型在全区推广、交流、学习；对工作组织不力、流于形式的，在全区通报批评，取消其年度评先选优资格。

（四）发挥作用。党员积分制是考核党员日常工作优劣的标准，各党支部（小组）要号召党员重视起来，把党员积分制管理办法作为自己一言一行的准则。要充分发挥积分制管理的作用，刺激落后、激励合格、鼓励争优，充分调动党员的积极性、创造性。

本办法自印发之日起实施。