教学重点和难点
相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点;灵活运用圆幂定理解题
是难点. 教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1.根据图7-162(1)、(2)、(3),让学生结合图形,说出相交弦定理、切割线定理、割
线定理的内容.
2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考,在学生回答的基础上,教师用电脑或投影演示图形的变化过程,
从相交弦定理出发,用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163,⊙O的两条弦AB,CD相交于点P,则PA·PB=PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例:
一是如果圆内的两条弦交于圆心O,则有PA=PB=PC=PD=圆的半径R,此时AB,CD是直径,相交弦定理当然成立.(如图7-164)
二是当P点逐渐远离圆心O,运动到圆上时,点P和B,D重合,这时PB=PD=O,仍然有PA·PB=PC·PD=O,相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动,运动到圆外时,两弦的延长线交于圆外一点P,成为两条割线,则有PA·PB=PC·PD,这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166)
(3)在图7-166中,如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转,使C,D两点在圆上逐渐靠近,以至合为一点C,割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB=PC·PD=PC2,这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话,也会成为一条切线PA.这时应有PA2=PB2,可
得PA=PB,这就是我们学过的切线长定理.(图7-168)
至此,通过点的运动及线的运动变化,我们发现,相交弦定理、切割线定理及其推论和
切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线,如图7-169. 观察图7-169,可以得出:(设⊙O半径为R) 在图(1)中,PA·PB=PC·PD=PE·PF =(R-OP)(R+OP) =R2-OP2;
在图(2)中,PA·PB=PT=OP-OT
22 =OP-R
2在图(3)中,PA·PB=PC·PD=PT
22 =OP-R.
22 教师指出,由于PA·PB均等于|OP-R|,为一常数,叫做点P关于⊙O的幂,所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.
二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行) 例1 如图7-170,两个以O为圆心的同心圆,AB切大圆于B,AC切小圆于C,交大圆于D,E,AB=12,AO=15,AD=8,求两圆的半径. 分析:结合图形和已知条件,根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC也可考虑用上述方法,但AC未知,此时则可根据切割线定理先求出AE,再利用垂径定理便可求出AC,于是问题得解.(由学生讨论、分析,得出解决)
例2 如图7-171,在以O为圆心的两个同心圆中,A,B是大圆上任意两点,过A,B作小圆的割线AXY和BPQ. 求证:AX·AY=BP·BQ 分析:在平面几何比较复杂的图形中,往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题
2
22不直接含有这样的图形,我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形,以此为出
发点,师生共同探索,得出以下几种不同的辅助线的添法.方法1 在图7-172中,过点A,B分别作小圆的切线AC,BD,C,D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形,于是有
AC2=AX·AY,BD2=BP·BQ. 再连结CO,AO,DO,BO,
易证Rt△AOC≌△Rt△BOD,得出AC=BD 所以AX·AY=BP·BQ. 方法2 在图7-173中,作直线XP交大圆于E,F,分别延长AY,BQ,交大圆于C,D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有
AX·XC=EX·XF,BP·PD=FP·PE. 易证AX=CY,BP=DQ,EX=FP. 所以AX·XC=AX·AY,BP·PD=BP·BQ,EX·XF=FP·PE. 所以AX·AY=BP·BQ.方法3 如图7-174,由于点O是圆内的特殊点,考虑过O点的特殊割线,作直线AO交小圆于E,F,作直线BO交小圆于C,D,则出现了割线定理的基本图形.于是有 AX·AY=AE·AF,BP·BQ=BC·BD. 易证AE=BC,AF=BD,
所以AE·AF=BC·BD. 从而AX·AY=BP·BQ. 通过对以上方法的分析,将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来,
沟通了知识间的联系,最后可启发学生联想基本图形,思考还有哪些辅助线的作法来证明此
题?
三、强化练习
练习1 已知P为⊙O外一点,OP与⊙O交于点A,割线PBC与⊙O交于点B,C,且PB=BC.如果OA=7,PA=2,求PC的长. 练习2 如图7-175,⊙O和⊙O′都经过点A和B,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q,M,交AB的延长线于N.求证:PN2=NM·NQ.
四、小结
用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图7-176),让学生观察并说出相应的定理.
教师指出:以上定理形式虽然不同,但实质相同,它们是相互统一的.
五、布置作业
课本p.133习题7.4A组
13、14题. 思考题:课本p.130.想一想,p.134B组6题
板书设计
课堂教学设计说明
这份教案为1课时.课本没有给出“圆幂定理”这一名称,而是以“和圆有关的比例线
段”的形式出现的,教学时可根据学生的程度而定.圆幂定理十分重要,它是进行几何论证
、计算和作图常用定理,但是应用难度较大,所以在教学时应时刻注意启发学生进行思考,培
养学生的发散思维能力. 例题和练习题可根据学生实际选用.