全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

发布时间：2020-03-02 17:50:37 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

10．(2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题).如果正整数m可以表示为x24y2 (x，yZ)，那么称m为“好数”．问1，2，3，„，2014中“好数”的个数为．

解：设x24y2=m=ab,（b＞a），则有（x+2y)(x-2y)=ab.

所以x+2y=b、x-2y=a。解得：x=(a+b)/2，y=(b-a)/4。可见，b-a是4的倍数即可。分别对a为奇数、单偶数、双偶数的情况讨论。

（1）a为奇数2p+1时(p≥0)， m=ab=(2p+1)[(2p+1)+4q]=4(p^2+p+2pq+q)+1，即m是（4k+1)型（k≥0）。由2013=1+4（n-1),解得n=504；

（2）a为单偶数4p+2时(p≥0)， m=ab=(4p+2)[(4p+2)+4q]=8(2p^2+2p+2pq+q)+4，m是（8k+4)型，(k≥0)。由2012=4+8（n-1),解得n=252；

(3)a为双偶数4p时(p≥0)，m=ab=4p(4p+4q）=16p(p+q)，m是16k型，(k≥0)。由2000=16（n-1),解得n=126；

0到2014内可表示为x^2-4y^2的自然数m的个数为504+252+126=882。

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