例1 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0试证在(0,1)内存在点c使cf’(c)+f(c)=0 令F(x)=xf(x) 在[0,1]上利用洛尔定理可证：
变式1在例1的条件下，试证 在（0，1）内存在点c，使
f’（c）= -1/cf(c)
先将数证关系变形：两端同乘以c，移项，化为例1。
变式2在例1的条件下，试证在（0，1）内存在点c，使
cf’(c)+nf(c)=0
先将数证关系变形xf’(c)+nf(c)=0
两端同乘函数[] ，使x[]f’(x)+n[]f(x)=0使(x[])’=n[]可知令F(x)=x f(x)
变式3在例1条件下，试证在（0，1）内存在点c，使cf’(c)+1/nf(c)=0
先将数证关系变形，令F(x)=x 1/nf(x)
变式4设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，f’(0)=f’(1)=0，证明：存在点c （0，1）使
变式5设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，f(0)=f(1)=0证明：在例1的条件下，试证存在点c （0，1），使cf’(c)+kf(c)=f’(c)。仿变式2，F(x)=(x-1)kf(x)
例2 设f(x)可导，试证f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点。
设x1
变式1 设f(x)，g(x)可导，证明f(x)的两个零点之间一定有f’(x)+g’(x)的零点
仿例2令F(x)=f(x)e g(x)
变式2设f(x) 可导，g(x)连续，证明f(x)的两个零点之间一定有f’(x)+f(x)g(x)的零点。仿例2变式1，令F(x)=f(x)e ∫g(t)dt
变式3 设f(x)，g(x)都为连续函数，∫abg(x)dx=0
证明存在ζ属于（a,b），使
f(ζ) ∫aζg(t)dt=g(ζ)
仿变式3，令F(x)= e ∫g(t)dt·∫bx g(t)dt
