高教社杯数学建模A题解法

摘要

本文针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的实际问题，以理论力学（万有引力、开普勒定律、万能守恒定律等）和卫星力学知识为理论基础，结合微分方程和微元法，借助MATLAB软件解决了题目所要求解的问题。

针对问题（1），在合理的假设基础上，利用物理理论知识、解析几何知识和微元法，分析并求解出近月点和远月点的位置，即139.1097 。再运用能量守恒定律和相关数据，计算出速度v1（近月点的速度） =1750.78m/s,v2（远月点的速度）=1669.77m/s，，最后利用曲线的切线方程，代入点（近月点与远月点）的坐标求值，计算出方向余弦即为相应的速度方向。 针对问题（2）

关键词：模糊评判，聚类分析，流体交通量，排队论，多元非线性回归

一、问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。 （3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题分析

2.1问题（1）的分析 首先根据问题的假设、题目中所提供的数据及图片分析，可以知道嫦娥三号绕月球的轨道是由圆形轨道变为椭圆形轨道，借助开普勒定律、能量守恒定律求解出近月点的速度。

为了确定近月点和元月点的精确位置及相应的速度方向，我们建立以赤道（月球的赤道）平面为xoy平面、月心为原点、月心与零度经线和零度纬线交线的交点的连线为坐标轴的坐标系和赤道（月球的赤道）平面为xoy平面，为极轴（月球的极轴）为z轴建立空间直角坐标系，x轴与极坐标系的轴相重合。

首先根据着陆点的经度、纬度及月球的半径求解出着陆点和近月点（带参数)的空间直角坐标。 其次利用两点间的距离公式，并借助MATLAB软件求解出近月点与着陆点最短距离。从而计算出（近月点的经度）=。

最后利用卫星的轨迹是以月心为其中一个焦点，以近月点与远月点的距离为长轴的椭圆，从而求解出卫星的轨迹方程，再运用隐函数求导的应用的知识，求解出在近月点和远月点的方向导数，进而求解近月点和远月点方向余即为近月点和远月点的速度的方向。 2.2问题（2）的分析

首先在根据题意，将嫦娥三号软着陆问题，分为6个阶段依次为主减速、快速调整、粗避障、精避障、缓慢下降、自由下降，我们先将6个阶段分为4个阶段，依次为第一阶段（主减速和快速调整）、第二阶段（粗避障）

第三阶段(精避障),第四阶段（缓慢下降和自由下降）。 其次在第一阶段

粗避障阶段，嫦娥三号悬停在月球表面约2400米上方，对星下月表进行二维和三维成像，利用遗传算法的思想，从图像中先随机选取部分点，能直接从三维图像中得知该点的海拔高度，再分别扫描这些点附近的地貌，找出一些地势平坦的区域，我们用区域内所有点与中心点海拔的均方差作为地势判断依据之一，保留这些坐标， 并进行重新组合，并改变某些坐标以便能获得其他新区域的坐标，再次搜索地势平坦的区域，重复进行多次搜索，直到没有出现崎岖地势的时候， 我们将此时地势最平坦的地方作为全局最优降落地点

三、模型假设

1、不考虑空间飞行器上各点因燃料消耗而产生的位移；

2、在对卫星和空间飞行器进行轨道估计时，认为作用于其上的所有外力都通过其质心；

3、卫星和空间飞行器的运动是在真空中进行的；

4、卫星只受重力影响，空间飞行器除自身推力外只受重力影响；

5、卫星的观测图片及数据精准；

6、

四、变量与符号说明

C0 一条车道的基本通行能力 连续车流的车头间距 n 条车道的基本通行能力 排队长度 车流量

横断面通行能力系数车流量 持续时间 L C y x1 x2 x3

五、模型建立与求解

5.1 问题(1)的分析、模型建立与求解 5.1.1建模准备 （1）开普勒定律

开普勒第一定律开普勒第一定律开普勒第一定律，也称椭圆定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。开普勒第二定律开普勒定律开普勒第二定律，也称面积定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。 这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。用公式表示为开普勒定律开普勒第

三定律开普勒定律开普勒第三定律，也称调和定律：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。由这一定律不难导出：行星与太阳之间的引力与半径的平方成反比。这是牛顿的万有引力定

a3律的一个重要基础。用公式表示为2K开普勒定律 T 这里，是行星公转轨道半长轴，是行星公转周期，是常数 。 （2）万有引力

万有引力：任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。即： M1M2， r2 11 其中M1，M2为两物体的质量，G6.6710Nm.2kg.2（牛顿每平方米二次方千FG 克）

5.1.2 模型的建立

根据以上的分析，建立以月球赤道平面为xOy平面,月心为原点O、Ox为月心与零度经线和零度纬线交线的交点的连线，Oz为极轴（月球的极轴），Oy与Ox和Oz满足右手标架，建立空间直角坐标系(如图5-1所示）。 图5-1 卫星绕月轨迹及软着陆轨迹

由于着陆点在球面上且近月点与远月点是由月球的经度、纬度及高度唯一确定，在此为了便于计算 将极坐标转化为空间直角坐标，并代数题中相关数据，反解出经度。 极坐标转化为空间直角坐标 xrsincos即：yrsinsin zrcos （5.1.1）

x'rsin(90-）cos(-)'yrsin(90-）cos(-) （5.1.2） z'rcos(90-）

距离公式：

d （5.1.3） 其中：为纬度；为经度；r为嫦娥三号距月心的距离；d为嫦娥三号距着陆点的距离；根据能量守恒、开普勒第二定律（面积定律），建立以下模型 即： r1v1r2v2

 （5.1.4） 1122mv1mghmv2mgH22 则近月点的速度，近月点的速度：

v1 （5.1.5） v2

其中：m为卫星的质量，h1为海拔高度，h近月点距月球表面的距离； r1hr0h1，r2Hr0h1，r0月球半径，H远月点距月球表面的距离， g月球重力加速度，v1近月点的速度，v2近月点的速度。 5.1.3模型的求解

5.1.3.1 近月点与远月点的位置

根据题目所给数据以上分析，可知： 0,h15000m,r01737013m,h12641m 将以上数据代入（5.1.1）式可得，着陆点及近月点的空间直角坐标分别为：

x0r0sin(90)cosr0sin(9019.51)cos44.12y0r0sin(90)sinr0sin(9019.51)sin44.12 （5.1.6） zrcos(90)r0cos(9019.51)00 x'rsin(90-）cos(-)=(r0h)cos'yrsin(90-）sin(-)=-(r0h)sin z'rcos(90-）=0

（5.1.7） 再将（5.1.6）式和（5.1.7）式代入（5.1.3）式可得关于与d（近月点和着陆点距离）的函数，？利用Mathematica 5.0编程求解可得：-139.107 5.1.3.2近月点与远月点的速度大小及方向

近月点与远月点的速度方向，即为相应速度在x轴与y轴方向上的投影（如图5-2所示）

图5-2近月点与远月点的速度方向示意图 由图易知：

5.2 模型二的建立 5.2.1模型准备 5.2.1.1系统模型

1、着陆器的动力下降段一般从15km左右的轨道高度开始，下降到月球表面的时间比较短，在几百秒范围内，所以可以不考虑月球引力摄动。月球自转速度比较小，也可忽略。因此，可以利用二体模型描述系统的运动。建立图5-2所示的着陆坐标系，并假设着陆轨道在纵向平面内，令月心为坐标原点，Oy指向动力下降段的开始制动点，Ox 指向着陆器的开始运动方向。则着陆器的质心动力学方程可描述如下: rvv(F/m)sin/r2r2 [(F/m)cos2v]/r ⑴ mF/ISP 式中:r,,和m分别为着陆器的月心距、极角、角速度和质量；v为着陆器沿r 方向上的速度；F为制动发动机的推力(固定的常值或0）；ISP为其比

为月球引力常数；为发动机推力与当地水平线的夹角即推力方向角。冲；

图5-3 月球软着陆坐标系

动力下降的初始条件由霍曼变轨后的椭圆轨道近月点确定，终端条件为着陆器在月面实现软着陆。令初始时刻t00，终端时刻tf不定，则相应的

初始条件为 r0 终端约束为

rfrL,vf0,f0 ⑶ rLh0,v00,0o ⑵

式中:rL为月球半径；h0为初始轨道高度；o为轨道角速度。 月球软着陆的最优轨道设计就是要在满足上述初始条件和终端约束的前提下，调整推力大小和方向9使得着陆器实现燃料最优软着陆，即要求以下性能指标达最大。 Jmdt 0tf 5.2.1.2模型归一化

在轨道优化过程中，由于各状态变量的量级相差较大，寻优过程中可能会导致有效位数的丢失。通过归一化处理可以克服这一缺点[9]，提高。计算精度。令rrefr0,mtef

m0，则r/rref,v/vref,vrefISpI7 2F/Fref,Frefmrefvref/rref,m/mref,t/tref ,rref/vref,。那么，着陆器的动力学方程可改为： v22(F/m)sin/

  [(F/)cos2]/F/ISP相应的初始条件和终端约束变

为：

1,0, 000/ fr1/r0,vf0,f0 性能指标改写为：

第4期朱建丰等:基于自适应模拟退火遗传算法的月球软着陆轨道优

化 道优化问题转化为多参数优化问题,再利用SQP 方法求解。虽然避开了没有明确物理意义的参数 猜测,但是SQP的本质仍然会使该方法遇到病态 梯度、初始点敏感和局部收敛问题。曾国强[6]和徐 敏[7]分别用二进制和浮点数GA对着陆轨道进行 了优化,避免了初值猜测,得到的结果也比较满意。 但是,鉴于GA局部搜索能力较差的缺点,会使得 GA的优化精度不够或优化效率不高。相对而言, 国外对月球软着陆轨道的优化问题研究比较少。

GA最早是由Holland教授提出的[8],它是 一种随机优化方法,具有不依赖问题模型、适用面 广和鲁棒性强的优点,并已应用在航天器的轨道 优化设计中[1]。然而,GA在实际应用中存在收 敛速度慢和早熟等问题,不具备“爬山”的能力。 模拟退火算法(SAA)最早是由Kirkpatrick等提 出的,它是一种启发式随机搜索算法,具有很强的 局部搜索能力和“爬山”能力,但是SAA产生的 新解不及GA丰富,对全局的了解甚少,寻优过程 很慢。因此,可以将GA和SAA的优点结合起 来,扬长避短,构成高效、鲁棒的新算法。 本文将GA

和

SAA

有机地结合,形成自适应

模拟退火遗传算法(ASAGA),并将其应用到月 球1软着

陆

的

最系

优

轨统

道

设模计

中

。 型

着陆器的动力下降段一般从15 km左右的轨 道高度开始,下降到月球表面的时间比较短,在几 百秒范围内,所以可以不考虑月球引力摄动。月 球自转速度比较小,也可忽略。因此,可以利用二 体模型描述系统的运动。建立图1所示的着陆坐 标系,并假设着陆轨道在纵向平面内,令月心O 为坐标原点,Oy指向动力下降段的开始制动点, Ox指向着陆器的开始运动方向。则着陆器的质 心动力

学

方

程

可

描

述

如

下

:

•r= v

•v=(F /m)sinψ -μ /r2+ rω 2

•θ= ω

•ω = -[(F /m)cosψ+ 2vω] /r

•m= -F /ISP (1) 式中:r,θ,ω和m分别为着陆器的月心距、极角、角速度和质量;v为着陆器沿r方向上的速度;F 为制动发动机的推力(固定的常值或0);ISP为其 比冲;μ为月球引力常数;ψ为发动机推力与当地 水图平1线

的月

夹球

角软即着推

力陆

方极

向坐

角标

。 系

Fig.1 Polar coordinate system of lunar soft landing 动力下降的初始条件由霍曼变轨后的椭圆轨 道近月点确定,终端条件为着陆器在月面实现软 着陆。令初始时刻t0= 0,终端时刻tf不定,则相 应的

初

始

条

件

为

r0= rL+ h0,v0= 0,ω0= ωo(2)

终端约束为 rf= rL,vf= 0,ωf= 0 (3) 式中:rL为月球半径;h0为初始轨道高度;ωo为 轨道角速度。

月球软着陆的最优轨道设计就是要在满足上 述初始条件和终端约束的前提下,调整推力大小 和方向,使得着陆器实现燃料最优软着陆,即要求 以下性

能

指

标

达

最

大

。

J=∫tf0•mdt (4) 2 归一化

在轨道优化过程中,由于各状态变量的量级 相差较大,寻优过程中可能会导致有效位数的丢 失。通过归一化处理可以克服这一缺点[9],提高

计算精度。令rref= r0,mref= m0,则–r= r /rref, v= v /vref,vref= μ /rref, ISP= ISPrref/μ, F= F /Fref, Fref= mrefv2ref/rref, m= m /mref, ω=ω r3ref/μ,–t= t / tref,tref= rref/vref,–θ=θ。那么,着陆器的动力学方

程可改写为

–r= v

v=( F / m)sinψ -1 /–r2+–r ω 2

–θ= ω

ω= -[( F / m)cosψ+ 2 v ω] /–r

m=l);%步长dx x1 = x + dx; %下一个估计点

x1 = (x1

if df

end

if fx

end end

%模拟退火法中的mu^（-1）定理 function x = Mu_Inv(y,mu)

x = (((1+mu).^abs(y)- 1)/mu).*sign(y);

function [xo,fo] = genetic(f,x0,l,u,Np,Nb,Pc,Pm,eta,kmax) % 遗传算法求f(x）最小值 s.t.l

%f为待求函数,x0初值，l，u上下限，Np群体大小，Nb每一个变量的基因值（二进制数）

%Pc交叉概率，Pm变异概率，eta学习率，kmax最大迭代次数 N = length(x0);

%%%%%确定各变量缺省值 if nargin

kmax = 100; %最大迭代次数缺省为100 end

if nargin 1|eta

eta = 1; %学习率eta,(0

if nargin

Pm = 0.01; %变异概率缺省0.01 end

if nargin

Pc = 0.5; %交叉概率缺省0.5 end

if nargin

Nb = 8*ones(1,N);%每一变量的基因值（二进制数） end

if nargin

Np = 10; %群体大小（染色体数） end

%%%%%生成初始群体 NNb = sum(Nb);

xo = x0(:)'; l = l(:)'; u = u(:)'; fo = feval(f,xo); X(1,:) = xo; for n = 2:Np

X(n,:) = l + rand(size(x0)).*(ufX; %将函数值转化为非负的适合度值 fXm = fX1(nb);

if fXm

return;

end

%%%%%复制下一代

for n = 1:Np

X(n,:) = X(n,:) + eta*(fXmX(n,:));%复制准则

end

P = gen_encode(X,Nb,l,u); %对下一代染色体编码

%%%%%%随机配对/交叉得新的染色体数组 is = shuffle([1:Np]);

for n = 1:2:Np1;

X(n,m) = bin2dec(P(n,b1:b2))*(u(m)1) + l(m); %解码方程

end end

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