2017～2018年度第二学期期中学业质量监测
高一创新班数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合【答案】[1，2] 【解析】分析：根据一元二次不等式，求解集合，再利用补集的运算即可求解详解：由集合所以，即
．
或
，
．
，则
______.
点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 2.设数是虚数单位，若复数满足的模=______.
，则复【答案】1 【解析】分析：利用复数的运算法则，以及模的计算公式，即可求解． 详解：由，则
，所以
．
点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数模的计算，其中熟记复数的运算公式和模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3.函数的定义域为______.
【答案】
【解析】分析：根据函数的解析式，得到解析式有意义所满足的条件，即可求解函数的定义域． 详解：由函数可知，
实数满足即函数的定义域为，即．
，解得，
点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，其中根据函数的解析式得到满足条件的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 4.若【答案】 ，则的值为______.
【解析】分析：根据三角函数的诱导公式，即可求解对应的函数值． 详解：由则，
．
点睛：本题主要考查了三角函数的诱导公式的应用问题，其中熟记三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5.已知【答案】
【解析】分析：利用两角和与差的正切函数公式，即可化简求值． 详解：由， ，且
，
，则
的值为______.
则．
点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中把角转化为式是解答的关键，着重考查了转化意识和推理、运算能力． 6.已知双曲线同，则双曲线的方程为______.【答案】
，易得
，再由抛物线
的一条渐近线方程是y＝
和熟记两角和与差的正切公
x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相【解析】分析：先由双曲线的渐近线方程为双曲线
的焦点为，可得，最后根据双曲线的性质列出方程组，即可求解
，得，得
，
，
的值，得到双曲线的方程．
详解：由双曲线的渐近线方程为因为抛物线又由的焦点坐标为，联立可得
，所以双曲线的方程为．
点睛：本题主要考查了双曲线和抛物线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记圆锥曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
7.由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 【答案】156 【解析】分析：可分当末位为和末位不为两种情况分类讨论，再根据分类计数原理求得结果． 详解：可分为两类： （1）当末位为时，可以组成
个；
（2）当末位是或时，则首位有四种选法，中间可以从剩余的个数字选取两个， 共可以组成种，
个没有重复数字的四位偶数． 由分类计数原理可得，共可以组成点睛：本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理的应用，着重考查了分类的数学思想方法，对于数字问题是排列中常见到的问题，条件变换多样，把排列问题包含数字问题时，解答的关键是看清题目的实质，注意数列字的双重限制，即可在最后一位构成偶数，由不能放在首位． 8.用数学归纳法证明：“
…
即
，其中
，且
”时，
第一步需验证的不等式为：“______.” 【答案】
时，时，
，即可得到第一步需要验证的不等式． ，所以第一步需验证的不等式为“
”． 【解析】分析：由题意详解：由题意可知，当点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，其中熟记数学归纳法的基本步骤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 9.已知函数【答案】
和
的图象，即可求出参数的取值范有且只有一个零点，则实数b的取值范围是______.
【解析】分析：函数有零点是函数图象的交点，利用函数围．
详解：由题意，函数即函数和
有一个零点，
的图象只有一个交点， 与半圆相切的直线方程为，
， 如图所示，直线又过点的直线为所以满足条件的的取值范围是或，即．
点睛：本题主要考查了函数零点的应用问题，其中解答中把函数有零点转化为函数图象得交点是解答的关键，着重考查了转化与化归思想和数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力． 9x，12y，15z成等比数列，10.设x，y，z均是不为0的实数，且，，成等差数列，则【答案】
的值是______.
【解析】试题分析：由于列，
成等比数列，，得，又因为成等差数，，
.考点：等差数列和等比数列的性质.11.设满足约束条件
则目标函数
的取值范围为______.
【答案】
,因此当时
时
过点【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中C时，取最大值1，当的取值范围为考点：线性规划
12.如图，在△ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F．若 时
与直线
相切时取最小值，当
，综上目标函数
，则AE的长为______.
【答案】 【解析】分析：用，从而得到详解：因为所以所以因为所以所以所以所以
， ，所以
，所以
， ，即
． ，所以，
，
, 和的长．
,
表示出
得出
，在根据
和
的关系计算点睛： 本题考查了平面向量的基本定理，及平面向量的数量积的运算问题，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式、向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 13.设函数在上存在导数
,对任意的
有
,且在
上
.若
,则实数的取值范围______.【答案】【解析】令性质知：
，所以在R上上递增 .
，则
为奇函数 .
时，
，由奇函数则实数的取值范围是点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如，构造
构造等
，
构造
，
构造14.设【答案】是三个正实数，且．
，则的最大值为______.
【解析】分析：由已知条件可得是方程式，即可求解． 详解：由所以是方程，所以的正根，所以
，
的正根，求出，打入变形化简利用基本不等
，
所以
，当且仅当等号成立，
所以的最小值为．
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二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.如图，在正三棱柱证： （1）直线（2）直线∥平面平面； ．
中，已知，分别为
，
的中点，点在棱
上，且
．求 【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要利用平几知识，如本题利用平行四边形性质：连结是平行四边形，进而证得四边形
是平行四边形，即得
，可先证得四边形
，（2）证明线面垂直，一般利用线面垂
平面
，直判定与性质定理，经多次转化论证，而在寻找线线垂直时，不仅可利用线面垂直转化，如由得，而且需注意利用平几中垂直条件，如本题中利用正三角形性质得
试题解析：
（1）连结所以所以四边形所以所以所以四边形所以所以直线，因为，分别为且，
，的中点，
是平行四边形，…………………2分 且且，又，
是平行四边形，…………………4分 ，又因为平面
，
，
且
，
．…………………………………………………7分
中，
，
的中点，所以
，
，……………9分
平面
， （2）在正三棱柱又又又所以又又所以直线平面，所以是正三角形，且为平面平面平面，平面，， ，所以平面
，……………………………………11分 ，
，
．…………………………………………………14分
考点：线面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理 【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16.已知向量（1）求角的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.【答案】（1）（2）△ABC的面积最大值，得
,等边三角形.
，利用三角恒等变换的公式，求解
，与
共线，其中A是△ABC的内角．
【解析】分析：（1）由进而求解角的大小； （2）由余弦定理，得
和三角形的面积公式，利用基本不等式求得，即可判定当时面积最大，得到三角形形状． 详解：（1）因为m//n,所以所以即 因为故.
, 所以，.
，
，（当且仅当.
.又
，故此时△ABC为等边三角形
时等号成立）
.
，即
.，
（2）由余弦定理，得
又
而所以当△ABC的面积取最大值时，点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.17.已知椭圆：（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上的一个动点，且点在轴的右侧，直线径的圆与轴交于【答案】（1），求点横坐标的取值范围及（2）
的最大值．
与直线
交于
两点，若以
为直（
）的离心率为，椭圆与轴交于
两点，且
．
试题解析：（1）由题意可得，，，
得（2）设所以， 解得， 椭圆的标准方程为，
，
，
.，直线的方程为，同理得直线的方程为
， 直线与直线的交点为，
直线与直线的交点为，
线段的中点，
所以圆的方程为，令，
则， 因为，所以， 所以，
因为这个圆与轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以，解得．
设交点坐标，则（），
所以该圆被轴截得的弦长为最大值为2． 考点：直线与圆位置关系，两直线交点
18.如图，一个角形海湾AOB，∠AOB＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：
方案一
如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中
＝l；
方案二
如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD＝l；
（1）求方案一中养殖区的面积S1 ； （2）求证：方案二中养殖区的最大面积S2＝
；
（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．
【答案】（1）（2）见解析（3）为使养殖区面积最大，应选择方案一． 【解析】分析：（1）设（2）设；
（3）由（1）（2）得得，作出相应的选择．
，令
，求得
，求得函数
的单调性，得
，，利用弧长公式得
，再利用扇形的面积公式，即可求解；
，再利用三角形的面积公式，即可证得，由余弦定理和基本不等式得详解：解：（1）设OP＝r，则l＝r·2θ，即r＝， 所以 S1＝lr＝，θ∈(0，)．
(2)设OC＝a，OD＝b．由余弦定理，得l2＝a2＋b2－2abcos2θ，所以 l2≥2ab－2abcos2θ．
所以ab≤，当且仅当a＝b时“＝”成立．
＝
，即S2＝
．
所以S△OCD＝absin2θ≤ (3)－＝ (tanθ－θ)，θ∈(0，)，．
)－1＝
．
令f(θ)＝tanθ－θ，则f (θ)＝(当θ∈(0，)时，f (θ)＞0，所以f(θ)在[0，)上单调增，所以，当θ∈(0，)， 总有f(θ)＞f(0)＝0．所以－＞0，得S1＞S2．
答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．(没有作答扣一分) 点睛：本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式，及导数在函数中的综合应用，其中正确理解题意，利用扇形的弧长公式和面积公式建立函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 19.已知函数（1）设①若②若（2）设，，求在． 在处的切线过点(1，0)，求的值；
上的最大值； 两处取得极值，求证：或②0（2）见解析
，
不同时成立．
(a > 0，b，c
)．
在区间，【答案】（1）①【解析】（1）根据题意，在①中，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点代入即求出的值，在②中，通过函数的导数来研究其单调性，并求出其极值，再比较端点值，从而求出最大值；（2）由题意可采用反证法进行证明，假设问题成立，再利用函数的导数来判断函数的单调性，证明其结果与假设产生矛盾，从而问题可得证.试题解析：（1）当①若从而故曲线在，则，
处的切线方程为
时，，
.
.将点解得②若代入上式并整理得或，则令，则当时，.
，
，解得
，
或.（ⅰ）若所以从而为区间上的增函数，
.的最大值为，列表： （ii）若
所以综上，的最大值为.的最大值为0.，使得.的两个极值点，
（2）假设存在实数不妨设因为所以因为故从而，所以当为区间，，则为
与同时成立.
.时，
，
上的减函数， ，这与
矛盾，
故假设不成立.既不存在实数，，，使得
，
同时成立.点睛：此题主要考查了有关函数导数的几何意义、以及导数在判断函数单调性、求函数的最值等方面的知识和运算技能，属于中高档题型，也是高频考点.利用导数求函数单调区间的一般步骤：1.确定函数的定义域；2.求导数；3.在函数的定义域内解不等式确定函数的单调区间.
20.已知是数列（1）求数列的前n项和，
，且
．
和；4.根据3的结果的通项公式； （2）对于正整数（3）设数列，已知成等差数列，求正整数的值；
前n项和是，且满足：对任意的正整数n，都有等式
成立.求满足等式
的所有正整数n.
【答案】（1）（2）（3）1和3.【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义判断，最后根据等比数列通项公式求结果，（2）根据等差数列化简得质确定不定方程正整数解，（3）先根据定义求数列
，再根据正整数限制条件以及指数性
通项公式，再根据等差数列求和公式求，根据数列相邻项关系确定递减，最后根据单调性求正整数解.试题解析：（1）由.，，所以
，
，则
，所以数列
是首项为公比
得
，两式作差得
，即
为的等比数列，所以（2）由题意所以所以，，所以（3）由
所以所以又因为 ，其中 ，即
，， ，
；
，
，
，
， ，即
；
得，
， ，
，
， ，得
，所以
， 从而 ，，
当时；当时；当时；
下面证明：对任意正整数都有，
，
当时， ，即，
所以当时，递减，所以对任意正整数都有；
综上可得，满足等式
的正整数的值为和.
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