江苏省扬州中学09-10学年高一下学期期中考试
数学
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。）
1.sin15º·cos15º＝________．
2.若x＞0、y＞0，且2x＋y＝1，则x·y的最大值为______．
113.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为－2,3，则a－b＝________．
4.不等式(1－|x|)(1＋x)＞0的解集为_________________．
5.在△ABC中，若a2＋c2＝b2＋ac，则∠B＝_______．
6.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，则cosC的值为________．
ππ7.函数y＝3sinx＋cosx，x∈[―66]的值域是_________．
8.已知数列{an}是等差数列，且a4＋a7＋a10＝17，a8＋a9＋a10＝21，若ak＝13，则k＝
_________．
9.在△ABC中，b＝2，B＝45º，若这样的三角形有两个，则a的取值范围是______．
10.在△ABC中，A＝60º，b＝1，△ABC的面积为3，则a＝______．
11.等差数列{an}的公差d＜0，且a1＝a10，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n＝
(a＋a)2
12.已知x、y为正实数，且x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则bb1222______．
围是_________．
13.若等差数列{an}的前15项的和为定值，则下列几项中为定值的是________．
①a6＋a8；②a5＋a11；③a6＋a8＋a10；④a1＋a5＋a16；⑤a5＋a9＋a10．
14.已知数列{an}中相邻两项an、an+1是方程x2＋3nx＋bn＝0的两根，a10＝－10，则b50＝
__________．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15.（本小题满分14分）
ππ35已知2＜α＜π，0＜β2sinα5，cos(β－α)13，求sinβ的值．
16.（本小题满分14分）
如图，要测量河对岸两点A、B之间的距离，选取相距3km
的C、D两点，并测得∠ACB＝75º，∠BCD＝45º，
∠ADC＝30º，∠ADB＝45º，求AB之间的距离．
AB
C
17.（本小题满分15分）
已知数列{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a3＝5，a4·S2＝28． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}的通项bn＝|an－23|(n∈N*)，求数列{bn}的前n项的和Tn．
18.（本小题满分15分）
A＋C7在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足4sin22cos2B＝2．
（1）求角B的度数；
（2）如果b3，a＋c＝3，且a＞c，求a、c的值．
19.（本小题满分16分）
已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第
二、
三、四项．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
an(n为奇数)（2）令数列{cn}满足：cn＝，求数列{cn}的前101项之和T101；bn(n为偶数)
c1c2cn（3）设数列{cn}对任意n∈N*，均有bb＋…＋ban+1成立，求c1＋c2＋…＋c2010的值． 12n
20.（本小题满分16分）
已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得am＋3＝bn成立，求b的值；
（3）令cn＝an+1＋bn，问数列{cn}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．
命题、校对：章轶群、王喜
审核：姜卫东
参考答案
11．2．1＝2x＋y≥2xy∴xy≤83．－104．{x|x＜1且x≠1}
15．60º6．－47．3]8．189．2)10．13
11．由d＜0，a1＝a10，知a1＋a10＝0∴a5＋a6＝0，故Sn取得最大值时的项数n＝5．
(a＋a)2(x＋y)2xy12．∵a1＋a2＝x＋y．b1b2＝xybb＝xy＝y＋2＋x4．∴[4,＋∞) 1222
13．②③⑤
33314．提示：an＋an+1＝－3n；an·an+1＝bn；∴{an＋2n－4是公比为－1的等比数列，a10＋210
3173317－44an42＋(－1)n4a50＝－70； a51＝－80∴b50＝5600；
法二：∵an＋an+1＝－3n；an+2＋an+1＝－3n－3；∴an+2－an＝－3∴a50＝a10＋(－3)×20＝－70，a51＝－150－a50＝－80∴b50＝a50a51＝5600．
π34ππ15．解：∵2＜＜π，∴sinα＝5 ，cosα＝－5，又∵2＜α＜π，0＜β＜2，
5π12∴－π＜β－α＜0，∵cos(－)＝13＞0，∴－2＜β－α＜0∴sin(－)＝－13 ．
63∴sin＝sin[＋(－)]＝sin·cos(－)＋cos·sin(－)＝65．
16．解：在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°∴AC＝CD＝3km BA在△BCD中，∠BCD＝45°∠BDC＝75°∠CBD＝60°
3sin75º6＋2BCCD∵sin∠BDCsin∠CBD∴BC＝2， sin60ºC在△ABC中，由余弦定理得：
6＋226＋2AB232＋()－cos75°＝3＋2＋3－3＝5∴AB＝5km22答：A、B之间距离为5km．
17．解：（Ⅰ）a4·S2＝(a3－2d＋a3－d)·(a3－d)＝(10－3d)·(5＋d)＝28
11∴3d2＋5d－22＝0∴d＝2或d＝－3∵an＞0∴d＞0．∴an＝a3＋(n－3)d＝5＋2n－6＝2n－1．
24－2n (n≤12)（Ⅱ）bn＝|an－23|＝|2n－24|＝ 2n－24 (n≥13)
n(22＋24－2n)2①当n≤12时，bn＝24－2n ∴Tn＝23n－n； 2
②当n≥13时，∴Tn＝22＋20＋···＋2＋0＋2＋4＋···＋(2n－24)
＝[－22－20－···－2＋0＋2＋···＋(2n－24)]＋2(22＋20＋···＋2)
＝n2－23n＋2·12·11＝n2－23n＋264
23n－n2(n≤12)∴Tn＝n2－23n＋264(n≥13)
A＋C718．解：（1）在△ABC中，A＋B＋C＝180º，由4sin22－cos2B＝
21 所以，4cos2B－4cosB＋1＝0，于是，cosB＝2，B＝60°．
（2）根据余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB，又b3，a＋c＝3．
所以，3＝(a＋c)2－3ac，得ac＝2．又a＋c＝3，且a＞c，解得a＝2，c＝1．
19．解：（1）由题意得：(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d＞0)，
解得d＝2，∴an＝2n－1．∴b2＝a2＝3, b3＝a5＝9∴bn＝3n1
（2）∵a101＝201，b2＝3
51(a＋a)3(950－1)∴T101＝(a1＋a3＋…＋a101)＋(b2＋b4＋…＋b100)＝22
3(950－1)＝5151＋ 2
cn－1cnc1c2cnc1c2（3）当n≥2时，由bbb＋…＋b－(b＋b＋…＋＝an+1－an＝2 bn－1n12n12
得cn＝2bn＝2·3n1，
3(n＝1)当n＝1时，c1＝3．故cn＝n12×3(n≥2)
故c1＋c2＋…＋c2010＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×32009＝32010．
20．解：（1）由已知，得an＝a＋(n－1)b，bn＝ban−1．由a1＜b1，b2＜a3，得a＜b,ab＜a＋2b．
因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又b＞a，故b≥3．
再由ab＜a＋2b，得(a－2)b＜a．由a＜b，故(a－2)b＜b，即(a－3)b＜0．
由b≥3，故a－3＜0，解得a＜3． 于是2≤a＜3，根据a∈N，可得a＝2
（2）am＋3＝2＋(m－1)b＋3＝bn，∴bn＝(m－1)b＋5＝b·2n−1∴5＝b·(2n−1－m＋1) ∴5一定是b的倍数∵b≥3∴b＝5；此时，2n−1－m＋1＝1，即m＝2n−1．∴b＝5
（3）设数列{cn}中，cn,cn+1,cn+2成等比数列，
2由cn＝2＋nb＋b·2n−1，得2cn+1＝cncn+2，
即：(2＋nb＋b＋b·2n)2＝(2＋nb＋b·2n−1)·(2＋nb＋2b＋b·2n+1)．
化简得b＝2n＋(n－2)·b·2n−1．（※）
当n＝1时，由（※）式得：b＝1，与题意矛盾．
当n＝2时，由（※）式得：b＝4．即c
2、c
3、c4成等比数列，cn＝2＋4n＋2n+1， ∴c2＝
18、c3＝30、c4＝50．
当n≥3时，b＝2n＋(n－2)·b·2n−1＞(n－2)·b·2n−1≥4b，这与b≥3矛盾．
综上所述，当b≠4时，不存在连续三项成等比数列；当b＝4时，数列{cn}中的第
二、
三、四项成等比数列，这三项依次是
18、30、50．
