辅导第6讲大数定理和中心极限定理

发布时间：2020-03-03 01:54:22 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

第六章大数定律和中心极限定理

第1节马尔可夫不等式和契比雪夫不等式

马尔可夫不等式

定理 1设随机变量X，若E|X|k存在(k0)，则对任意0,成立

E|X|。 P{|X|}kk证明记A{eS:|X(e)|} ，令IA(e)kk则有IA(e)|X(e)|，

eA1, ，

0,eSAkkkk从而，有EIAE|X|，即得P(A)E|X|，

于是成立P{|X|}E|X| 。

kk对随机变量X，成立

E(|XEX|),(0,k0)。 P{|XEX|}kk

利用f(x)x在[0,)上是递增函数，可得

1xIA1|X|，

1|X|从而成立1P{|X|}E|X| ；

1|X|由IA|X||X|IA，(1IA)，

1|X|1|X|1|X||X||X|IA(1IA)，

1|X|1|X|1|X|得到E |X||X||X|E(IA)E[(1IA)]

1|X|1|X|1|X|119

E(IA)E即成立E1P{|X|}1 ，

|X|

。 P{|X|}1|X|1

切比雪夫不等式

定理2 设随机变量X存在数学期望EX和方差DX,则对任意正数成立

, P{|XEX|}E(|XEX|2)2DX2, P{|XEX|}1P{|XEX|}1

例 1设随机变量

DX2 。

X存在数学期望EX和方差DX，且DX0，则对任意a0，

DX1 ,(a0).22a(aDX)成立P{|XEX|aDX}

xmxe,x0例2 设随机变量X的概率密度为f(x)m! ，其中m为正整数，

0,x0证明 P{0X2(m1)}m .m1证明 EX 2xf(x)dx0xmx1xedx xm21exdx

m!0m!11(m2)(m1)!m1, m!m!20EXxf(x)dxxmx1xedxxm31exdx

m!0m!2 11(m3)(m2)!(m2)(m1), m!m!DXEX2(EX)2(m2)(m1)(m1)2m1 , 利用契比雪夫不等式,得

P{0X2(m1)}P{(m1)X(m1)(m1)}P{|X(m1)|(m1)}

120 P{|XEX|(m1)}1mDXm1 .122m1(m1)(m1)kn例 3设随机序列{Xn}和随机变量X，如果对某一k0，有limE|XnX|0，则对任意0,有 limP{|XnX|}0。

n证明因为对任意0，成立P{|XnX|}kE|XnX|kk，

利用条件limE|XnX|0，即得成立limP{|XnX|}0。

nn例4 设随机变量X的数学期望EX和方差DX均存在,且DX0, 则有 P{XEX}1 .证明由契比雪夫不等式P{|XEX|}DX2,得

1DX10P{|XEX|}0,n1,2,, P{|XEX|}0,n1,2,,

1nn()2n又{|XEX|0}1{|XEX|}, nn1110P{|XEX|0}P({|XEX|})P{|XEX|}0,

nnn1n1于是P{|XEX|0}0,P{|XEX|0}1,即P{XEX}1.( P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1A2)P(A1)P(A2), P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3), P(Ai)P(Ai)

i1i1).

第2节大数定律

定理一(契比雪夫大数定律) 设X1,X2,,Xn,是相互独立的随机变量序列,每一个Xi都有有限的方差,且有公共的上界,即D(Xi)C, i1,2,,n,则对任意0,成立

1n1nlimP{|XiEXi|}1 , nni1ni1

121

1n1nlimP{|XiEXi|}0 .nni1ni1 定义对于随机(变量)序列{Xn}和随机变量X(或常数a),若对任意0,有

nlimP{|XnX|}1(或limP{|Xna|}1)

n则称随机(变量)序列{Xn}依概率收敛于X(或常数a).

PP(等价于limP{|XnX|}0)简记为Xna,(n)) X,(n)(或Xnn推论 (辛钦大数定律)若随机变量序列X1,X2,,Xn,独立同分布,且存在有限的数学期望和方差EXi,DXin2, (i1,2,)，则对任意

0,有limP{|X|}1 , 1n其中 XXi .ni1定理二(贝努里大数定律 ) 设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对任意0,成立 limP{|nnAp|}1 .n例 1 设X1,X2,,Xn,是相互独立的随机变量序列,且其分布律为

P{Xnn}111,P{Xn},P{X0}1,(n1,2,)； nn2n12n12n1n记YnXi,(n1,2,)。证明: 对任给0，成立limP{|Yn|}1。

nni1证明由数学期望和方差的性质及条件,有

EXnnEXn211n00， 2n12n111n(n)2n1(n)2n10n，

2222DXnEXn1nn1nn1，EYnE(Xi)EXi0, 2ni1ni111nDYnD(Xi)n2ni1对任意

DXii1n11, n2nn0,由契比雪夫不等式,得

1P{|Yn|}P{|YnEYn|}1DYn2, 122 于是成立 limP{|Yn|}1 。

n定理设随机(变量)序列{X}依概率收敛于X，设随机(变量)序列{Yn}依概率收敛于Y，

则有{XnYn}依概率收敛于XY。

n证明对任意0，

由{|(XnYn)(XY)|}{|XnX||YnY|}

{|XnX|}{|YnY|}，

22利用条件，得P{|XnX|}0,P{|YnY|}0,(n)

220P{|(XnYn)(XY)|}

P{|XnX|}P{|YnY|}0,(n)，

22于是limP{|(XnYn)(XY)|}0n，

即得{XnYn}依概率收敛于XY。

第3节中心极限定理

定理三(独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2,,Xn,独立同分布,且存在有限的数学期望和方差

EXi,DXi0, (i1,2,) 记Yn2Xi,(EYnn,DYnn2), i1n Yn*YnEYnYnn称为Yn的标准化, FY*(x)nDYnn则对任意实数x,有

P{Ynx}

*limnYn*P{nx}limP{Ynx}limFnnnYn*(x)x12et22dt(x). 进一步，成立{FY*(x)}在(,)上一致收敛于(x)。

n定理四(De Moivre-Laplace定理)设n是n次独立重复试验中事件

A发生的次数,p是 123 事件A在每次试验中发生的概率, 则对任意区间[a,b],成立

lim近似计算公式: P{annpnp(1p)nb}ba1e2t22dt(b)(a) .由于NnMNnpnnpMnp，

np(1p)np(1p)np(1p)所以P{NnM}

P{Nnpnp(1p)nnpnp(1p)Mnpnp(1p)}(Mnpnp(1p))(Nnpnp(1p)) 。

例1 某计算机系统有120个终端,每个终端有5%的时间在使用,若各终端使用与否是相互独立的,试求有10个以上的终端在使用的概率.解方法一以X表示使用终端的个数, 引人随机变量

1,第i个终端在使用 Xi ,i1,2,,120 , 0,第i个终端不使用则 XX1X2X120 ,由于使用与否是独立的,所以X1,X2,,X120相互独立, 且都服从相同的(0—1)分布,即

P{Xi1}p0.05,P{Xi0}1p,i1,2,,120

于是,所求概率为

P{X10}1P{X10}1P{由中心极限定理得

P{XXnpnp(1p)10npnp(1p)}, 10}1P{X10}1P{10npnp(1p)Xnp10np}

np(1p)np(1p) 1()1(101200.05)1(1.68)10.95350.0465 .

1200.050.95方法二以X表示使用终端的个数,根据题意知

X~B(n,p),n120,p0.05,np6, 所求概率为 P{X10}1P{X10}1

124

Ck010knp(1p)knke66k 1k!k010e66k0.0426,(查泊松分布表).

k!k11例2 用契比雪夫不等式确定当投掷一枚均匀硬币时,需投多少次,才能使出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90％ .并用德莫弗-拉普拉斯定理计算同一问题,然后进行比较.解用契比雪夫不等式估计n,设n为投掷n次硬币出现正面的次数,则

n~B(n,) , E(n)np由题设 P{0.412nn , D(n)npq , 24nn0.6}P{0.4nn0.6n}

P{0.1nn0.5n0.1n}P{|n0.5n|0.1n} P{|nE(n)|0.1n}0.9, 又由契比雪夫不等式知(取0.1n), P{|nE(n)|0.1n}1由1D(n)0.25n, 1(0.1n)20.01n20.25n0.9,得n250.0.01n2用德莫弗-拉普拉斯定理估计n,设n为投掷n次硬币出现正面的次数,则

n~B(n,) , E(n)np由题设 P{0.412nn , D(n)npq , 24nn0.6}P{0.4nn0.6n}

P{0.1nn0.5n0.1n}P{|n0.5n|0.1n}

P{|nE(n)E(n)0.1n|}P{|n|0.2n}

D(n)D(n)D(n)(0.2n)(0.2n)2(0.2n)10.9, 即(0.2n)0.95,查表得0.2nz0.951.645,即n68.计算结果表明, 用契比雪夫不等式估计至少需要掷250次, 才能使出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率不小于0.9;而用德莫弗-拉普拉斯定理估计至少需要掷68次, 才能使出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率不小于0.9.说明用中心极限定理计算比用契比雪夫不等式估计精确. 125 例3 现有一大批种子,其中良种占的比例与

1.现从中任选6000粒,试问在这些种子中,良种所占61之误差小1%的概率是多少？ 6解设X表示良种个数, 则X 所求概率为P{|~B(n,p),n6000,p1 ,

6X1|0.01}P{|Xnp|n0.01} n6P{|Xnp60000.01Xnpn0.01|} |}P{|np(1p)15np(1p)np(1p)600066(2.078)(2.078)2(2.078)120.9810.96 .例4 设有30个电子器件D1,D2,,D30,它们的使用情况如下: D1损坏,D2接着使

1用; D2损坏,D3接着使用等等.设器件Di的使用寿命服从参数0.1(单位:h)的指数分布.令T为30个器件使用的总时数,问T超过350h的概率是多少？

解

设Xi为器件Di的使用寿命,Xi 服从参数0.1(单位:h1)的指数分布, 相互独立,TX1X2Xn, n30, EXi1X1,X2,,X30110 , 0.12DXi121100, 20.1由中心极限定理得

350300)

P{T350}1P{T350}1P{Tn350n}1(3010nn1(5)1(0.91)10.81860.1814 .30例5 某单位设置一电话总机,共有200架电话分机.设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话,假定每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的,问总机需要安装多少条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用.解方法一依题意设X为同时使用的电话分机个数, 则X~B(n,p),n200,p0.05,

1,第i个分机在使用设安装了N条外线,引人随机变量Xi ,i1,2,,200 ,

0,第i个分机不使用则XX1X2X200 , 由于使用与否是独立的,所以

X1,X2,,X200相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即

126 P{Xi1}p0.05,P{Xi0}1p,i1,2,,200,{XN}保证每个分机都能即时使用, P{XN}0.9 , 0.9P{XN}P{NnpXnpNnp) } (np(1p)np(1p)np(1p)(N2000.05N10N10) , )()(3.082000.050.959.5N10z0.91.28,N1.283.081013.94,取 N14, 3.08查标准正态分布表

答: 需要安装14条外线.方法二设X为同时使用的电话分机个数,则

X~B(n,p),n200,p0.05, np10; 设安装了N条外线, {XN}保证每个分机都能即时使用, P{XN}0.9 , 0.9P{XN}Cp(1p)knkk0Nnke1010ke1010k, 1k!k!k0kN1Ne1010k0.1,在列出的泊松分布表中没有10的情形,此法就解决不了这个问题.k!kN1方法一是用中心极限定理解决问题的,从而体会中心极限定理的作用.例6 作加法运算时,先对每个数取整(既四舍五进取作整数).设所有取整产生的误差是相互独立的,且都在区间(0.5,0.5]上服从均匀分布,求最多几个数相加,方能保证误差总和的绝对值小于15的概率大于0.90.解 X~U(0.5,0.5],EX0,DX1; 设Xi 为第i个加数产生的误差, 12Xi~U(0.5,0.5], X1,X2,,Xn相互独立, 由中心极限定理,

Xi1515P{|Xi|15}P{i1}

111i1nnn121212nn(30333)(30)2(30)10.90, nnn(30 333032)0.95, 30z0.951.65,()n,得 n992。

1.65nn127

nnkn1例7 利用中心极限定理证明 lime.nk1k!2证明：设Xk为相互独立同分布的随机变量序列，共同的分布为参数1的泊松分布，

服从参数为又由服从泊松分布的独立随机变量具有可加性，即Xk1nk1n的泊松分布，

k1nnnknnnnknn所以有PXkne ee，

k1k!k1k0k!又因为EXkDXk1，

由独立同分布的中心极限定理知

nlimPXkn nk1nXn11nn1k1k0limP， n2n1n1nnnkn1所以limee，

nk1k!2nkn1故有lime.

n2k1k!n例 8 设随机变量Xn的概率密度为

nfn(x), x, 1n2x2分布函数为Fn(x), 求limFn(x) 。