何处分类讨论？
分类讨论思想是数学中的一种重要的思想方法和解题策略，它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用，讨论时要注意“起点”的寻找和“层次”的划分，做到“起点”合理、自然，“层次”明确、清晰.分类的原则是“既不重复，也不遗漏.” 分类讨论在历年高考中，特别是在综合性的题目中常常出现，是重点考查的数学思想方法之一.这种数学思想方法几乎涉及中学数学内容的各个部分，点多面广、综合性强，不少学生在高考复习时，忽视分类讨论或讨论中发生逻辑错误的现象屡见不鲜.关于分类讨论的动因和方法，汪江松先生在其著作《高中数学解题方法与技巧》中已有精辟地阐述，本文就高中数学可能涉及分类讨论的主要知识点加以小结，期望对同学们的高考复习有所帮助.1 集合与简易逻辑
1.1 集合中的元素应满足互异性 例1 解析: 需分或
或
,若
,求实数a的值.
三种情况讨论，且须检验所求a值是否能保证集合中的元素满足互异性.答案a=0.1.2 求集合或元素的个数 例2 已知非空集合_____.解析: M可能含
个元素，讨论后得不同的M
共7个.1.3 因的特殊性而引起的讨论 例3 值范围.解析：
需分
讨论.当
时，
若
,求实数m的取
为
，且若
则
,那么集合M的个数为,即.2 函数
2.1 含参数方程 例4 设______.解析： 此题应分
当时，即综上知，m的范围是使方程有唯一实数解,则A用列举法可表示为和两种情况讨论.答案.
1 2.2 二次函数的对称轴与自变量区间相对位置的不确定性引起讨论 例5 设解析: （1）
的最小值为的对称轴为直线x=1.分三种情况讨论：
即
在
时，
,求
的表达式.（2） 当t>1时，上单调递增，在
上单调递减，（3） 当t+1
①对
的定义域为R，求a的范围.恒成立.当当时，应有时，
若
,则①为非绝对不等式;若
或.，则不等式①为
是绝对不等式，所以a的范围是2.4 涉及指数、对数函数，常对底数进行讨论 例7 求函数解析: 令则
的单调区间，并指出其增减性.的递减区间是
,递增区间是
.又当a>1时，在R上是增函数;当0
.时常需对
在R上是减函数，所以，当a>1时，函数的单
;当0
进行讨论
2 例8 已知解析: 时，
,则不等式不等式变为x+x
的解集为_________.
,即不等式解集
x
是在区间上的减函数，则解析： 当时，要使函数在区间上单调递减，则必有即当a=0时，函数3 数列 3.1 已知求,需分
和
显然符合题意.故a的范围是
讨论
例10 为数列的前n项和，且求数列的通公式.解析: n=1时，当时，
则立，故
讨论
时，又n=1时也成3.2 等比数列求和时，常分q=1和例11 求和解析: x=1时，①，
;时，
②,①
②
得- 3
=时仍成立).4 三角函数
4.1 三角函数中，涉及到形如
的角，常分n 为奇数或偶数讨论
(x=0例12 化简：解析：当k为偶数时，值为-1;当k为奇数时，值也为-1.4.2 已知三角函数值求角，常需对角的位置讨论 例13 已知
求
.
解析: 在第二或第四象限.讨论后得=或
5平面向量 5.1 考虑的特殊性 例14 若解析: 当是否一定有时，不一定有
;否则一定有
.5.2 已知两边和其中一边对角解三角形时，常需讨论解的个数 例15 解析: 中，
解三角形.,
三角形有两解.由正弦定理得,或.当时，当时，.5.3 使用定比分点公式时，常需分内、外分点两种情况讨论 例16 设,点P在直线
上，且
,求P分
所成的比.解析: 当P是内分点时，P分所成的比为;当P是外分点时，P分所成的比为
6 不等式
4 6.1 使用均值不等式时，常因因子符号的不确定性而讨论
例17 求函数的值域.解析: x>3时，（x=4时取“=”）; x
（x=2时取“=”）.综上函数值域为6.2 解含参数的不等式常需讨论 例18 解关于x的不等式
.解析: 原不等式等价于或
当时，解集为当时，解集为当时，解集为
.7 直线与圆的方程
7.1 求直线的斜率和倾斜角
例19 已知两点A(m,2)、B(3,1),求直线AB的斜率、倾斜角.解析: 设直线的斜率为k,倾斜角为.当m=3时，k不存在，当时，
.7.2 求直线方程时，常需考虑截距是否为零，斜率是否存在
例20 求经过点A（-5，2）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程.解析: 当截距为零时，直线方程为当截距不为零时，直线方程为
7.3 判断两条直线位置关系时，常需考虑斜率是否存在 例21 两条直线时，与(1)相交;（2）平行;(3)重合.
当m为何值 5 解析: (1) (2)m=-1或m=0; (3)m=3.（过程略）.8 圆锥曲线方程
8.1 含参数的二元二次方程所表示曲线类型的讨论
例22 讨论方程所表示的曲线类型.解析: (1)当时，即时，方程所表示的曲线是圆; (2)当时，方程所表示的曲线是椭圆; (3)当
,即
时，方程所表示的曲线是双曲线.8.2 求圆锥曲线方程时，常因焦点位置不确定而引起讨论 例23 已知双曲线C的两个焦点是
、
实半轴与虚半轴长的积为
直线过
且与线段夹角为,且与线段
,求双曲线方程.
垂直平分线交点为P,线段与双曲线的交点为Q,且解析: 当焦点在x轴上时，曲线方程为当焦点在y轴上时，曲线方程为（过程略）.8.3 在研究直线与圆锥曲线交点个数问题时，不仅要由数对交点个数的影响 例24 已知双曲线
,直线
讨论直线与双曲线公共点个数.
来判断，同时还要注意二次项系解析: 联立方程组(1) 当即
消去y得时，方程
化为2x=5,方程组有一解，故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行.(2) 当 即时，由得时，
6 方程有两解，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.(3) 当，由得时，方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.(4) 当与双曲线无交点.，由得方程组无解，故直线综上所述，当或时，直线与双曲线有一个公共点;当且时，直线与双曲线有两个公共点;当直线与双曲线没有公共点.9 直线、平面、简单几何体
9.1 由点与线、点与面、线与面、面与面的位置关系的不确定性而引起的讨论 例25 已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a、b、c、d共面.解析： 证明时需分有三线共点和无任何三线共点两种情形.例26 不共线的三点A、B、C到平面______________.
的距离相等，则平面
与平面ABC的位置关系是解析: 需分A、B、C三点在的同侧和异侧两种情形，答案：平行或相交.9.2 关于棱柱、棱锥与球的切接问题，常因圆心与所接切体的位置关系不确定而引起讨论
例27 在半径为15的球内有一个底面边长为锥，求此正三棱锥的体积.
的内接正三棱解析: 正三棱锥的底面半径为12，当球心在三棱锥内时，高h=24，当球心在三棱锥外部时，10 极限 10.1 求时常引起讨论
7 例28 已知常数均大于1，且都不等于2，求
解析： 当p>q时， 所以
当p
