数学家的故事

发布时间：2020-03-01 20:43:10 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

第一章數學家的故事 ............................2 第一節高斯.........................................2 第二節阿基米德.................................5 第三節畢達哥拉斯.............................6 第二章數學問題 ....................................8 第一節難題.......................................8 第二節合理否？.................................8 第三節超級蒼蠅.................................9 第四節單淘汰賽.................................9 第五節 GSP圖定義橢圓和極限定義 9 第三章笑話 ..........................................10 第四章對計概的的期許 ......................1

1 純數組 49531134 許孙儂

第一章

數學家的故事

第一節高斯

高斯－被譽為「數學王子」的德國大數學家，物理學家和天文學家。

德國大數學家高斯 ( Carl Friedrich Gau 1777-1855 ) 是德國最偉大，最傑出的科學家，如果單純以他的數學成就來說，很少在一門數學的分支裡沒有用到他的一些研究成果。

貧寒家庭出身

高斯的祖父是農民，父親除了從事園藝的工作外，也當過各色各樣的雜工，如護堤員、建築工等等。父親由於貧窮，本身沒有受過什麼教育。

母親在三十四歲時才結婚，三十五歲生下了高斯。她是一名石匠的女兒，有一個很聰明的弟弟，他手巧心靈是當地出名的織綢能手，高斯的這位舅舅，對小高斯很照顧，有機會就教育他，把他所知道的一些知識傳授給他。而父親可以說是一名”大老粗”，認為只有力氣能掙錢，學問對窮人是沒有用的。

高斯在晚年喜歡對自己的小孫兒講述自己小時候的故事，他說他在還不會講話的時候，就已經學會計算了。

他還不到三歲的時候，有一天他觀看父親在計算受他管轄的工人們的周薪。父親在喃喃的計數，最後長嘆的一聲表示總算把錢算出來。

父親唸出錢數，準備寫下時，身邊傳來微小的聲音：「爮爮！算錯了，錢應該是這樣.....。」

父親驚異地再算一次，果然小高斯講的數是正確的，奇特的地方是沒有人教過高斯怎麼樣計算，而小高斯帄日靠觀察，在大人不知不覺時，他自己學會了計算。

另外一個著名的故事亦可以說明高斯很小時就有很快的計算能力。當他還在小學讀書時，有一天，算術老師要求全班同學算出以下的算式：

1 + 2 + 3 + 4 + ....+ 98 + 99 + 100 = ? 在老師把問題講完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地寫下答案5050，而其他孩子算到頭昏腦脹，還是算不出來。最後只有高斯的答案是正確無誤。

原來

1 +100= 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101

. 50 + 51 = 101

前後兩項兩兩相加，就成了50對和都是 101的配對了即 101 × 50 = 5050。

按：今用公式

表示 1 + 2 + ...+ n

高斯的家裡很窮，在冬天晚上吃完飯後，父親就要高斯上床睡覺，這樣可以節省燃料和燈油。高斯很喜歡讀書，他往往帶了一梱蕪菁上他的頂樓去，他把蕪菁當中挖空，圔進用粗棉捲成的燈芯，用一些油脂當燭油，於是就在這發出微弱光亮的燈下，專心地看書。等到疲勞和寒冷壓倒他時，他才鑽進被窩睡覺。

高斯的算術老師本來是對學生態度不好，他常認為自己在窮鄉僻壤教書是懷才不遇，現在發現了「神童」，他是很高興。但是很快他就感到慚愧，覺得自己懂的數學不多，不能對高斯有什麼幫助。

他去城裡自掏腰包買了一本數學書送給高斯，高斯很高興和比他大差不多十歲的老師的助手一起學習這本書。這個小孩和那個少年建立起深厚的感情，他們花許多時間討論這裡面的東西。

高斯在十一歲的時候就發現了二項式定理 ( x + y )n的一般情形,這裡 n可以是正負整數或正負分數。當他還是一個小學生時就對無窮的問題注意了。

有一天高斯在走回家時，一面走一面全神貫注地看書，不知不覺走進了布倫斯維克 ( Braunschweig ) 宮的庭園，這時布倫斯維克公爵夫人看到這個小孩那麼喜歡讀書，於是就和他交談，她發現他完全明白所讀的書的深奧內容。

公爵夫人回去報告給公爵知道，公爵也聽說過在他所管轄的領地有一個聰明小孩的故事，於是就派人把高斯叫去宮殿。

費迪南公爵 ( Duke Ferdinand ) 很喜歡這個害羞的孩子，也賞識他的才能，於是決定給他經濟援助，讓他有機會受高深教育，費迪南公爵對高斯的照顧是有利的，不然高斯的父親是反對孩子讀太多書，他總認為工作賺錢比去做什麼數學研究是更有用些，那高斯又怎麼會成材呢？

高斯的學校生涯

在費迪南公爵的善意幫助下，十五歲的高斯進入一間著名的學院（程度相當於高中和大學之間）。在那裡他學習了古代和現代語言，同時也開始對高等數學作研究。

他專心閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日這些歐洲著名數學家的作品。他對牛頓的工作特別欽佩，並很快地掌握了牛頓的微積分理論。

1795年10月他離開家鄉的學院到哥庭根 ( Gottingen )去念大學。哥庭根大學在德國很有名，它的豐富數學藏書吸引了高斯。許多外國學生也到那裡學習語言、神學、法律或醫學。這是一個學術風氣很濃厚的城市。

高斯這時候不知道要讀什麼系，語言系呢還是數學系？如果以實用觀點來看，學數學以後找生活是不大容易的。

可是在他十八歲的前夕，現在數學上的一個新發現使他決定終生研究數學。這發現在數學史上是很重要的。

我們知道當 n ≧ 3 時，正 n 邊形是指那些每一邊都相等，內角也一樣的 n 邊多邊形。

希臘的數學家早知道用圓規和沒有刻度的直尺畫出正

三、

四、

五、十五邊形。但是在這之後的二千多年以來沒有人知道怎麼用直尺和圓規構造正十一邊、十三邊、十四邊、十七邊多邊形。

還不到十八歲的高斯發現了：一個正 n 邊形可以用直尺和圓規畫出當且僅當 n 是底下兩種形式之一：

k= 0,1,2, ...

十七世紀時法國數學家費馬 ( Fermat ) 以為公式在 k = 0, 1, 2, 3, ....給出素數。（事實上，目前只確定 F0,F1,F2,F4是質數，F5不是）。

高斯用代數方法解決了二千多年來的幾何難題，而且找到正十七邊形的直尺與圓規的作法。他是那麼的興奮，因此決定一生研究數學。據說，他還表示希望死後在他的墓碑上能刻上一個正十七邊形，以紀念他少年時最重要的數學發現。

1799年高斯呈上他的博士論文，這論文證明了代數一個重要的定理：任何一元代數方程都有根。這結果數學上稱為”代數基本定理”。

事實上在高斯之間有許多數學家認為已給出了這個結果的證明，可是沒有一個證是嚴密的，高斯是第一個數學家給出嚴密無誤的證明，高斯認為這個定理是很重要的，在他一生中給了一共四個不同的證明。高斯沒有錢印刷他的學位論文，還好費迪南公爵給他錢印刷。

二十歲時高斯在他的日記上寫，他有許多數學想法出現在腦海中，由於時間不定，因此只能記錄一小部份。幸虧他把研究的成果寫成一本叫＜算學研究＞，並且在二十四歲時出爯，這書是用拉丁文寫，原來有八章，由於錢不夠，只好印七章，這書可以說是數論第一本有系統的著作，高斯第一次介紹”同餘”這個概念。

第二節阿基米德

阿基米德最有名的名言，就是：「給我一個立足點，我就可以移動地球。」他一生專心研究科學上的體積和浮力問題，有一個有趣的故事，就是當時候國王叫金匠打造一頂純金的皇冠，國王因為懷疑金匠加了雜物，就請阿基米德鑑定，阿基米德一直在想鑑定的方法，就在他走進浴缸裡洗澡的時候，看見滿出去的水時，悟出體積的原理，他高興的跑出浴室，大叫：「我找到了！」一時忘了自己是光著身體呢！另外，阿基米德還有幾何方面的數學成就哩！

阿基米得是第一位講科學的工程師，在他的研究中，使用歐幾理得的方法，先假設，再以嚴謹的邏輯推論得到結果，他不斷地尋求一般性的原則而用於特殊的工程上。他的作品始終融合數學和物理，因此阿基米得成為物理學之父。

他應用槓桿原理於戰爭，保衛西拉斯鳩的事蹟是家喻戶曉的。而他也以同一原理導出部分球體的體積、迴轉體的體積（橢球、迴轉拋物麵、迴轉雙曲面），此外，他也討論阿基米得螺線（例如：蒼蠅由等速旋轉的唱盤中心向外走去所留下的軌跡），圓，球體、圓柱的相關原理，其成就，在古時無人能望其項背。

阿基米得將歐幾理得提出的趨近觀念作了有效的運用，他提出圓內接多邊形和相似圓外切多邊形，當邊數足夠大時，兩多邊形的周長便一個由上，一個由下的趨近於圓周長。他先用六邊形，以後逐次加倍邊數，到了九十六邊形，求π的估計值介於3.14163和3.14286之間。另外他算出球的表面積是其內接最大圓面積的四倍。而他最得意的傑作是導出圓柱內切球體的體積是圓柱體積的三分之二倍。這定理就刻在他的墓碑上，也成為他名垂千古的一大註記。

第三節畢達哥拉斯

畢達哥拉斯(Pythagoras)是希臘的哲學家和數學家。出生在希臘撒摩亞(Samoa)地方的貴族家庭，年青時曾到過埃及和巴比侖那裡學習數學，遊歷了當時世界上二個文化水準極高的文明古國。畢達哥拉斯後來就到意大利的南部傳授數學及宣傳他的哲學思想，後來和他的信徒們組成了一個所謂「畢達哥拉斯學派」的政治和宗教團體。

畢達哥拉斯是比同時代中一些開壇授課的學者進步一點；因為他容許婦女（當然是貴放婦女而不是奴隸女婢）來聽課。他認為婦女也是和男人一樣在求知的權利上帄等，因此他的學派中就有十多名女學者。這是其他學派所無的現象。

傳說他是一個非常優秀的教師，他認為每一個都該懂些幾何。有一次他看到一個勤勉的窮人，他想教他學習幾何，因此對此人建議：如果這人能學懂一個定理，那麼他就給他一塊錢幣。這個人看在錢份上就和他學幾何了，可是過了一個時期，這學生對幾何卻產生了非常大的興趣，反而要求畢達哥拉斯教快一些，並且建議：如果老師多教一個定理，他就給一個錢幣。不需要多少時間，畢達哥拉斯把他以前給那學生的錢全部收回了。

畢達哥拉斯是死在意大利科多拿城裡，在一場城市暴動中，他被人暗殺掉。他的墳墓現仍在意大利的這個古山城中，這墳墓就像中國的饅頭式墳。二千多年過去了，這墳還保留下來，可見人們對這學者的重視。

畢氏建立畢達歌拉斯兄弟會，崇拜整數、分數為偶像，他們認為透過對數的瞭解，可以揭示孙宙神秘，使他們更接近神，事實是一個宗教性社團組織。入會時需宣誓不得將數學發現公諸於世，甚至在畢氏死後，有成員因公開正12面體可由12個正五邊形構成的發現而被迫浸水致死。他們集中注意於研究自然數和有理數，特別是完美數，它是本身正因數（除了本身之外）之和，例如：6=1+2+

3、28=1+2+4+7+14。他們認為上帝因為6是完美的，因此選擇以6天創造萬物，且月亮繞行地球一週約28天。

畢氏建立畢達歌拉斯兄弟會後不久，撰造了「哲學家(philosopher)」一詞，在一次出席奧林匹亞競賽時，弗利尤司的里昂王子問他會如何描述自己，他回道：「我是一位哲學家。」他解釋說：「有些人因愛好財富而被左右，令一些人因熱中於權力和支配而盲從，但是最優秀的人則獻身於發現生活本身的意義和目的。他設法揭示自然的奧秘，熱愛知識，這種人就是哲學家。」

「在一個直角三角形，斜邊的帄方是兩股帄方和。」這個定理中國人（周朝的商高）和巴比倫人早在畢氏提出前一千年就在使用，但一般人仍將定理歸屬於畢達歌拉斯，是因為他證明了定理的普遍性。畢氏認為尋找證明就是尋找認識而這種認識比任何訓練所累積的經驗都不容置疑，數學邏輯是真理的仲裁者。

畢氏很少公開露面，他雖然向學生教授數學和哲學，但絕不允許學生將之是外傳，也因為兄弟會隱瞞數學發現，漸漸引起居民的畏懼、妄想和猜忌。後來因學派介入了政治事件，與學校所在地科落頓行政當局發生衝突，終於誘使居民毀了這學派，80歲時畢氏在一次夜間騷亂中被殺，而避居國外的信徒，繼續傳播他們的數學真理。

對畢達歌拉斯而言，數學之美在於有理數能解釋一切自然現象。這種起指導作用的哲學觀使畢氏對無理數的存在視而不見，甚至導致他一個學生被處死。這位學生名叫希帕索斯，出於無聊，他試圖找出根號2的等價分數，最終他認識到根本不存在這個分數，也就是說根號2是無理數，希帕索斯對這發現，喜出望外，但是他的老師畢氏卻不悅。因為畢氏已經用有理數解釋了天地萬物，無理數的存在會引起對他信念的懷疑。希帕索斯經洞察力獲致的成果一定經過了一段時間的討論和深思熟慮，畢氏本應接受這新數源。然而，畢氏始終不願承認自己的錯誤，卻又無法經由邏輯推理推翻希帕索斯的論證。使他終身蒙羞的是，他竟然判決將希帕索斯淹死。這是希臘數學的最大悲劇，只有在他死後無理數才得以安全的被討論著。後來，歐幾里德以反證法證明根號2是無理數。第二章

數學問題

第一節難題

美國一位著名的畫家威爾斯特有一幅名畫，畫名就叫「難題」。在畫面上畫著一塊黑板，上面有一道算題：

畫家在這幅畫中還畫有一個鏡框，內中放著一個半身人像，畫家畫這幅畫是為了讚揚這像中之人-----科學家與教育家沙爾哈斯，讚揚他出色的教學法的。沙爾哈斯是美國的一位教授，但是他情願放棄教授的職位，而到農村為兒童做啟蒙工作-----小學數學教師。沙爾哈斯知道數學常常使很多兒童頭痛，於是他利用數的一些特性，教給孩子們許多速算的方法，上面那畫中的難題就是他出的。請問聰明的各位，當你看到這個題目時，能馬上將答案脫口而出嗎？

第二節合理否？

甲、乙兩人去爬山，遇見一位山難者，甲拿出6條麵包，乙也拿出同樣款式、同樣價格的4條麵包，三人帄分這10條麵包。吃完後，山難者拿1000元給甲，這時，乙對甲說：「你出6條麵包，我出4條，所以你分600元，我分400元。」請問這樣合理嗎？

甲、乙兩人賭博，甲作莊，每次甲都從52張撲克牌中抽出一張，讓乙猜顏色為紅或黑，因此雙方每次獲勝的機率皆為1/2。雙方各拿出400元，約定先贏得5次的人可將這800元取走，當甲贏3次、乙贏2次時，此賭局因故中斷，這時乙對甲說：「因你已贏3次，我贏2次，所以你可得到800元的3/5，而我該拿800元的2/5，即你拿480元，我拿320元。」請問這樣合理嗎？第三節超級蒼蠅

兩列火車相向行駛，相距100公里，時速分別為30公里及40公里。有隻超級蒼蠅，以時速90公里，來往於兩火車頭之間。請問當火車碰頭時，此蒼蠅一共飛了多少公里？

第四節單淘汰賽

有37人參加桌球比賽，比賽採單淘汰制：抽籤捉對廝殺，若掛單就自然晉級。問須賽多少場才能產生冠軍？

第五節 GSP圖定義橢圓和極限定義

GSP圖定義橢圓

極限定義0,()0,0xa,xdomff(x)Llimf(x)L

xa第三章

笑話

不選字不是最糟的

打錯字又加上天才的新注音才好笑

哥 : 怎麼想到要定給我?

我 : 因為很難得見你一次啊回家也不一定看的到你