两角和与差的三角函数，解斜三角形·半角的正弦、余弦、正切
教学目标
1．使学生掌握半角的正弦、余弦和正切的公式内容及推导方法．
2．初步掌握公式的应用，能用联系的观点理解各公式，培养学生分析问题、解决问题的能力． 3．提高学生思维的严谨性． 教学重点与难点
教学重点是半角公式的推导过程． 教学难点是对公式的分析和理解． 教学过程设计
一、新课引入
师：这节课我们研究一组新的三角变换的工具——半角公式．什么
表示．
（尽快揭示课题，引导学生的思维尽快进入问题情境．） 板书：半角的正弦、余弦和正切
二、学习新课 1．公式的推导．
师：表示式中除有α角三角函数外，还有其它角的三角函数，能否只用α角的三角函数来表示？
师：以上两位同学的推导，虽然未能完成，但在思路上有一定的价
（对倍角公式的换元处理，体现了对“倍”的相对性的认识）
师：好．这一点很重要，这个等式正是我们所需要的，能否继续完成这种推导？
师：解释一下这里“±”号的含义，是正与负两个都要吗？
这就是半角的正弦公式，我们把它记下来．
师：这里又出现了“±”号，请举例说明这里“±”号的含义．
选负号．
师：也就是说这里“±”号选取方法与前面公式选取方法是相同的，这就是半角的余弦公式．
师：半角的正切公式该怎样来推导呢？
里的“±”号需稍加解释，由于分子、分母都是“±”号，能否把“±”号约掉？ 生：不能．
师：怎么理解结果中的“±”号呢？
生：应是分子，分母的“±”号搭配的结果．具体地说，共有四种情况：当分子，分母取同号时，结果为正；当分子，分母取异号时，结果为负．
师：也就是说这里的“±”号由分子，分母符号的选取共同决定的，
这就是半角的正切公式．
师：公式（3）从形式上似乎还有化简的余地，可以使它变得更简单，更便于使用．找一个同学试对公式（3）进行化简．
生：分子、分母同时乘以1+cosα，即
师：能乘1+cosα吗？
生：可以．因为在公式（3）中1+cosα在分母位置上，可以保证其不为零． 师：1+cosα开出根号，能保证它一定为正吗？
生：由-1≤cosα≤1及1+cosα≠0可以保证1+cosα一定为正．
师：从形式上看化简结果并不理想，如果没有“±”号和绝对值就好了，这样做行吗？ （对这个问题的解决，有一定难度，可以让学生讨论，研究一下，最终由老师加以解释．）
是等价的．简单分析如下，|sinα|去掉绝对值需看sinα的符号，“±”
师：对于公式（3）化简的方法应当是不唯一的，能否有其它的化简方法呢？
师：这个化简过程与刚才的很类似，而且“±”号和绝对值的处理
的正切公式的第三种形式记录下来．
取相应的推导方法．）
师：到此完成了半角公式的全部推导过程．回顾公式的推导，发现半角的正余弦公式推导是借助了倍角公式来完成的，说明倍角与半角公式是密切联系的，我们正是利用这种关系，应用方程思想得到了半角公式．
（给短暂的停顿，让学生从整体上记忆这组公式．） 师：下面对这组公式作初步理解与记忆． 2．公式的初步理解与记忆．
师：先明确何时能用这些公式，即公式成立的条件是什么呢？先看公式（1）、（2）． （板书（1）公式成立的条件） 生：公式（1）、（2）成立的条件是α∈R． （把条件同时板书在各公式的后面．） 师：再看公式（3）和（4）．
师：再看看公式（5）的条件．
k∈Z，即α≠kπ（k∈Z）．
师：公式（4）和公式（5）都是由（3）推出的，为什么成立的条件不同呢？
生：因为同乘1-cosα时不能保证它一定不为零，为保证变形的等价性，需添加上这个条件，即要求α≠2kπ，k∈Z，故增加了公式的使用条件，这与（4）有所不同．
师：了解它们成立的条件，在使用时请稍加注意． （板书（2）公式的恒等性）
师：这五个公式均为三角恒等式．恒等的含义具体指什么？ 生：公式中的α角可以取任意角．
师：准确地说，应当是在公式成立范围内的任意角均使公式成立，即公式具备恒等性． 正因为α是任意的，故公式中角可以有多种表示方法，如果用换元思想去认识公式中的角，左式中角可以用α，那么右式中角则应换为……
生：（共答）2α．
指左式中的角是右式中角的一半．自然，这种相对性还可以理解为右式中的角又是左式中角的2倍，这就是倍的相对性．从这个角度上又一次揭示了倍与半之间的密切联系，它们的实质是相同的，只是研究的角度不同罢了．
（板书（3）“半”的相对性） 下面我们简单谈一下公式的记忆．
（公式的记忆固然需要在理解的基础上去记忆，但有时一些技巧对公式记忆也很有帮助．） 师：公式（4）和（5）虽然形式简单，但很容易相互混淆．但仔细观察能发现（3），（4），（5）三个公式中出现了三个因式1+cosα，1-cosα和sinα，而1+cosα若出现一定会在分母上，1-cosα若出现则一定在分子上，（4）和（5）两个公式，一旦分子或分母确定了，另一个位置上一定是sinα．
通过这种方法，从公式中的联系出发，找到了记忆的方法，但是最好的记忆方法还是在公式使用时去熟练记忆．
（板书）
3．公式的应用． 先一起看一组小题． （板书）
师：打算用什么公式来求值？ 生：用半角公式．
师：为什么用半角公式？
计算最方便．
（有些学生想利用倍角公式来求值，此时应提醒学生这样做没有错，只不过又推了一次半角公式，而不是直接用公式，所以要注意倍、半公式的选择．）
师：用半角公式，仅有cosα值够不够？
师：现在这两个条件都具备，找个同学具体计算一下．
（板书）
（3）α是第三象限角．
师：对（2）和（3）只要求指出各值的符号即可．
师：对于这组题的计算还有什么问题吗？
第三象限角，为什么（1）只有一组解，而（3）却有两组解呢？ 师：问题提得好．有哪位同学能帮忙解决吗？ 生：（1）中α角是区间角，是第三象限角中很小的一部分，
师：好．区间角和象限角是不同的两个概念，在解题时注意加以区分．
师：这节课主要对半角公式进行了推导，并做了初步的理解与应用．在整个过程中有几点启示，需引起我们注意：
（1）在公式推导中发现，倍角和半角是紧密相联的，它们是同一种关系的不同表现形式．
（2）具体推导时，就是利用方程的思想和联系的观点得到半角的五个公式，同时我们也应能利用联系的观点把握其余各组公式间的联系．
（3）在正确记忆公式的同时，应注意公式在表达形式上存在着正负号的选择问题． 至于对公式进一步的综合应用将在下节课继续研究． 作业：课本P224第1，2，3题． 课堂教学设计说明
1．这节课是一节典型的公式课，传统的教学方法往往是以最快速度给出公式，然后展开大规模的练习，这样教学的结果会让学生只会死套公式，而不能灵活运用公式并合理选择公式．因此本节课采用启发式教学，让学生对公式的内容、推导进行独立思考、探索，使学生充分吸取公式推导中的营养成分．
2．对于半角第一个公式的推导是整套公式推导的起点，为充分引导学生思考，拓展思路，我事先做了多种方案的准备，其中有这样一条思
略或被轻易否定了．其实这条路也是很有价值的一种推导思路，下面简
在这里又出现了“±”号和绝对值并存的现象，需进一步化简，当cosα≥0时，|cosα|=cosα，此时α在第Ⅰ或第Ⅳ象限或y轴上，则
当cosα＜0时，|cosα|=-cosα，此时α是第Ⅱ或第Ⅲ象限角，此
后面几个公式推导略．
在这个推导过程中，同样用到方程思想，数形结合思想以及很多三角函数的旧知识，也是很有价值，值得向学生推荐的推导方法．
