金融数学4

发布时间：2020-03-02 04:07:11 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

价格向上变动的次数i为服从二项分布的随机变量；价格向下变动的次数ni也服从同样的分布。因此我们说，价格过程服从二叉树。对于n期二叉树所有状况的集合，在每一个时段上涨或者下跌共有2个元素。例如，两时段股票价格二叉树如图33所示；三时段二叉树如图34所示。

为简单起见，假设在这两个图中，S(0)1。

练习3.13 如果S(1)的可能值为87美元和76美元，S(2)的最大可能值为92美元，计算u和d。

练习3.14 假设在连续复合之下，无风险收益率为14%，时段为1个月，S(0)22美元，d0.01，计算与条件3.2一致的S(2)的中间值的范围。

练习3.15 假设28美元、32美元和x美元是S(2)可能值，计算x。假设股票价格服从二叉树，你能画出这棵树吗？画法是否唯一？

练习3.16 假设股票价格服从二叉树模型，S(2)的可能值是121美元、110美元和100美元。当S(0)100美元时，计算u和d；当S(0)104美元时，计算u和d。

3.2.1 风险中性概率

在二叉树模型中，即使不知道股票未来的确切价值，也可以计算出股票的期望价格。然后可将这些期望价格与无风险投资进行比较。我们可以将这个简单的思想应用于衍生证券（例如期权、远期、期货）中，这些应用是广泛且令人惊奇的，我们将在以后各章研究这个问题。

首先，我们研究股票价格期望E(S(n))的动态变化。当n1时，有

E(S(1))pS(0)(1u)(1p)S(0)(1d)

S(0)(1E(K(1))) 式中，

E(K(1))pu(1p)d

是单收益的期望，下面我们将其扩展到任意的n的情形。命题3.4 当n0,1,2,时，股票价格的期望为

nE(S(n))S(0)(1E(K(1)))

证明

因为单期收益K(1),K(2),是不相关的，于是随机变量1K(1),1K(2),也是不相关的，由此得出

E(S(n))E(S(0)(1(K(1))(1K(2))(1K(n)))

S(0)E(1K(1))E(1K(2))E(1K(n))

S(0)(1E(K(1)))(1E(K(2)))(1E(K(n)))

因为K(n)是同分布的，其期望相同，即

E(K(1))E(K(2))E(K(n))

于是我们就证明了E(S(n)) 的公式。

如果将S(0)的金额在时间0投资于无风险资产，n个时段以后，它将增长为S(0)(1r)。显然，要比较E(S(n)) 和S(0)(1r)，我们只须比较E(K(1)) 和r 即可。

股票投资存在风险，因为价格S(n) 预先是未知的。一个典型的风险厌恶的投资者要求E(K(1))r，因为他认为应该有更高的回报作为对风险的补偿。反之，当E(K(1))r时，如

nn果收益高的非零概率很小，收益低的非零概率很大（典型的例子是彩票，其收益为负），对某些投资者而言仍然有吸引力，我们称这样的投资者是风险偏好者。我们将在第5章讨论此问题，并给出风险的准确定义。市场的边缘情况，此时E(K(1))r，被认为是风险中性的。为方便起见，我们对风险中性引入特殊的概率符号p*以及相应的取数学期望的符号E*，满足条件

E*(K(1))p*u(1p*)dr

（3.4）

由式（3.4）即可推导出 p*rdud

我们称p*为风险中性概率；E*为风险中性期望。弄清楚p* 是一个抽象的数学概念，它可以不等于市场的实际概率p很重要，即仅在风险中性的市场上有pp*。风险中性概率p*甚至于可以与真实概率p没有任何关系；当出于衍生证券估值目的时，我们假设合适的不是p而是p* 。这是风险中性概率的重要应用，我们将在第8章中详细讨论。

练习3.17 令u210和r110，研究作为d的函数的p*的性质。

练习3.18时

证明当且仅当0p*1，dru。条件（3.4）意味着

p*(ur)(1p*)(dr)0

在几何意义上，这意味着把二元组(p*,1p*)看做是平面R中的向量，它垂直于坐

2标为(ur,dr)的向量。向量(ur,dr)表示如果投资者可能的收益或损失，如图3——5所示。连接点（1，0）和（0，1）线上的所有点的坐标为(p,1p)，其中0p1。这些点中的一个点对应于市场的真实概率，另一个点对应于风险中性概率。

风险中性概率的条件（3.4）的另一个含义如图3——6所示。如果把质量p*和1p*放在实轴上坐标为u和d的点上，那么质心在r。

3.2.2 鞅性质

由命题3.4可知，S(n)对于风险中性概率p*的期望为

E*(S(n))S(0)(1r)

（3.5）

因为rE*(K(1))。例 3.6 考虑一个两时段二叉树模型，S(0)1000美元，u0.2，d0.1，r0.1。那么，p*为风险中性概率，两个时段之后，股票价格的数学期望为

E*(S(2))S(0)(1r)1211（美元） 2n23一个时段以后，股票价格上升和下降已知，我们要重新计算S(2)的期望。假设一个时段以后，股票价格上升到120美元，在这样的情况下，可能状况集合会简化为S(1)120美元的那些状况，股票价格树会简化为3—7中的子树。给定S(1)1200美元，S(2)的风险中性2313期望将是 144108132 美元，等于120(1r)。形式上，可以写成给定S(1)120美元，S(2)的条件期望【1】

E*(S(2)|S(1)120)120(1r)

类似地，如果股票价格一个时段之后下降到90美元，则可能状况集合就会简化为S(1)90 美元的那些状况，股票价格树会简化为图3—8所示的子树。给定S(1)90美

2313元，则S(2)的风险中性期望为1088199，等于90(1r)，这可以写为

E*(S(2)|S(1)90)90(1r)

根据上面的两个公式，条件期望可以写成一个公式，非常容易理解，即

E*(S(2)|S(1))S(1)(1r)

这个分析可扩展到二叉树模型的任何阶段。假设n时段已经过去，股票价格变为S(n)，则下一个时段以后，价格S(n1)的风险中性期望是什么？

命题3.5 假设股票在时间n的价格S(n)是已知的，S(n1)的风险中性条件期望是

E*(S(n1)|S(n))S(n)(1r) 证明

假设n时段之后S(n)x，于是有

E*(S(n1)|S(n)x)p*x(1u)(1p*)x(1d)

因为S(n1)取值x(1u) 的概率为p*，取值x(1d)的概率为1p*，且由式（3.4）可知p*(1u)(1p*)(1d)(1r)，于是有