金融数学心得体会
金融数学，又称分析金融学、数理金融学、数学金融学，是20世纪80年代末、90年代初兴起的数学与金融学的交叉学科。它的研究对象是金融市场上风险资产的交易，其目的是利用有效的数学工具揭示金融学的本质特征，从而达到对具有潜在风险的各种未定权益的合理定价和选择规避风险的最优策略。它的历史最早可以追朔到1900 年，法国数学家巴歇里埃的博士论文“投机的理论”。该文中，巴歇里埃首次使用Brown 运动来描述股票价格的变化，这为后来金融学的发展，特别是为现代期权定价理论奠定了理论基础。不过他的工作并没有得到金融数学界的重视。直到1952 年马科维茨的博士论文《投资组合选择》提出了均值——方差的模型，建立了证券投资组合理论，从此奠定了金融学的数学理论基础。在马科维茨工作的基础上，1973年布莱克与斯科尔斯得到了著名的期权定价公式，并赢得了1997念得诺贝尔经济学奖。它对于一个重要的实际问题提供了令人满意的答案，即为欧式看涨期权寻求公平的价格。后两次发现推动了数学研究对金融的发展，逐渐形成了一门新兴的交叉学科，金融数学。
在本学期的金融数学课程当中，我们学习了二叉树无套利定价模型、条件期望、鞅过程、马尔科夫过程、风险中性定价与概率测度等知识。
下面就某些问题给出我的理解。
鞅理论的引入是现代金融理论最新的研究成果。1977 年，哈里森和柯瑞普斯提出了期权定价理论的鞅方法，他们用鞅论中的鞅测度概念来刻画无套利市场和不完全市场，并用等价鞅测度对期权进行定价和套期保值或对冲。他们证明了市场无套利的重要条件是等价鞅测度存在，市场完备的重要条件是等价鞅测度存在且唯一。在市场是有效的假定下, 证券的价格可以等价于一个鞅随机过程。他们利用等价鞅测度的概念研究衍生证券的定价问题,得到的结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规律,而且可以提供一套有效的算法,求解复杂的衍生金融产品的定价与风险管理问题。鞅表达了对未来股价贴现值的最好估计就是当前股价，这符合有效市场和完全市场的假设。有效市场要求当前价格反应了所有市场信息，因此，未来的信息不会对当前股价产生影响，其价格过程应该是个适应过程,适应是随机过程能够使用的基本条件；另外有效市场要求投资者个体行为不应对价格产生影响，因此这时的价格是合理价格，而合理的价格不应该有套利机会，如果当前价值不等于未来现金流的贴现，比如大于未来现金流，在完全市场下，我们可以通过较低的财富构建组合，复制股票未来的现金流，获得套利；反之同样可以构造套利策略。因此在风险中性测度下，股价的贴现过程是一个鞅，投资于股票和货币市场账户的任何资产组合的贴现价格都是鞅。在真实概率测度下，股票价格是一个下鞅，因为事实上其平均增长速度应该高于货币市场以补偿投资者的内在风险。利用鞅理论研究金融理论的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题，从而使现代金融理论取得了突破性的进展。目前基于鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主导地位,但在国内还是一个空白。
马尔科夫性就是过程（或系统）在时刻t所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t所处状态的条件分布与过程在时刻t之前所处的状态无关。通俗的说，就是在已经知道过程“现在”的条件下，其“将来”不依赖于“过去”。在有效市场下，股票应该满足马氏性，因为有效市场假设当前价格已经反映了所有市场信息，即所有历史信息和新发布的市场信息都已经反映在当前价格上，研究历史价格对未来的预测不会有帮助，自然对未来价格的估计只依赖当前的信息。股票价格的马尔科夫性保证了该衍生证券的价格过程不是路径依赖的。马尔可夫性的存在大大缩减了我们需要处理的信息量，为了预测未来，我们只需要直到今天的数据，而不用存储繁杂的历史数据。有限个马尔科夫过程的整体称为马尔科夫链,它可以看作在时间集上对状态过程相继观察的结果。马尔科夫链的运动变化分析，主要是分析研究链内有限马尔科夫过程的状态及相互关系，进而预测链的未来状况。马尔科夫预测法是根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。常用于对地理、天气、市场的预测。
最优停时理论是概率论体系中一个具有很强的实用性领域，近年来，不少金融学家和金融数学家将这一理论与现代的投资组合理论相结合，取得了不错的成绩。如果我们把停时定义为做某件事情的时间，则停时的定义表明我们要不要在t时刻做这件事取决于t时刻及之前我们所能获得信息。从这个意义上看，停时可以有很多应用：买入股票的时间；卖出股票的时间；一支股票被ST的时间；公司发生违约的时间。在违约停时的应用中，我们通过给出违约风险的结构模型中对违约时间的定义以及它与停时的关系，学习了两种信用风险模型：Merton(1973)和首中时模型(Black & Cox(1976))在二叉树模型中违约概率的估计原理。Merton的模型考虑违约只发生在到期时刻的概率，则该时刻就是一个停时。为了完善Merton模型对违约发生在该时间未结束情况下的漏洞，(Black & Cox)提出了首时中模型，假设违约可在到期前任何时刻发生。通过相同模型，我们可以给出不同公司的信用评估。在美式看跌期权的应用中，由于美式衍生证券允许持有人在到期日之前的任何时刻行权，这就使得美式衍生证券在任何时刻的价值至少不低于其持有人即刻行权所获得的支付，即所谓内在价值。在风险中性概率测度下，美式衍生证券的贴现过程是一个上鞅。其持有人应该在衍生证券衍生证券价值等于内在价值的第一时刻行权。它的行权策略就是一个停时。（即行权策略可以依赖于以往的股价变动，但必须在无法看到未来股价变动的情况下决策）。一旦停时被选定，就能计算相应于这一停时的衍生证券支付贴现过程的风险中性期望值。美式衍生证券的价值是（相应于所有停时）支付贴现过程风险中性期望的最大值。将鞅、上鞅、下鞅停止于停时所得到的停时过程仍然具有相同的倾向。
拉东——尼科迪姆导数为我们提供了一个从真实概率测度到风险中性概率测度的变换，以及在有限概率模型中从一个概率测度到另一个概率测度的变换。利用这个概念我们可以将不同概率测度下的期望和条件期望联系起来，使我们不再把风险中性环境和真实概率环境割裂开来，让我们知道对于真实概率下的金融问题如何和风险中性环境结合起来解决，比如最优投资决策问题。从拉东——尼科迪姆导数我们又推导出状态价格的概念。状态价格的意义在于当且仅当出现在w时在时刻N的支付为1的合约在时刻0的价格。这个价格不依赖概率测度，体现了资产价格与期望回报以及所承受的风险有关。状态价格有一个好处，如果我们知道了每一个状态的价格，任何N时刻支付的合约，其在0时刻的价格就等于状态价格的线性组合。拉东——尼科迪姆导数过程不但给出了在局部信息空间上测度变换的Radon-Nikodym导数，而且将不同测度下的条件期望联系起来。这样无论我们是现在对未来价值估计，还是在未来某个时刻对更长时间后的价值进行估计，我们都能够将风险中性下的估计和真实概率下的估计联系起来。
在最近的十几年里，金融数学的研究受到了前所未有的重视。人们越来越深刻的认识到，数学已成为金融学研究中随处可见的关键技术。而同时金融学的发展也为数学知识和技巧的运用提供了重要的平台。当今各种金融创新产品不断出现，对金融数学这一学科来说既是增加了新的动力又是对各种理论的挑战。金融危机的发生，一个很重要的因素就是对不断出现的金融创新产品的滥用，金融数学作为解决金融衍生产品定价的工具，需要创造出来既严谨科学又可造作运用符合实际的经济模型。因此我们在创造和使用金融数学理论时应该将其与实际金融产品和金融市场有机结合起来，这样，金融数学这一新兴的生命力强的创造力大的学科才能更好的给金融市场添加强有力的稳固的基石。
