统计与概率知识总结 考点
一、平均数（3分）
1、平均数的概念
（1）平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。 （2）加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，„，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。
2、平均数的计算方法 （1）定义法
当所给数据比较分散时，一般选用定义公式： （2）加权平均数法：
当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。 （3）新数据法：
当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，„，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）。
考点
二、统计学中的几个基本概念（4分）
1、总体
所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体
总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量
样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、总体平均数
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
考点
三、众数、中位数（3~5分）
1、众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 考点
四、方差（3分）
1、方差的概念
在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即
2、方差的计算 （1）基本公式：
（2）简化计算公式（Ⅰ）：
也可写成
此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 （3）简化计算公式（Ⅱ）：
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，，„，，那么，
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 （4）新数据法：
原数据的方差与新数据，，„，的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得的方差就等于原数据的方差。
3、标准差
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
考点
五、频率分布（6分）
1、频率分布的意义 在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。
2、研究频率分布的一般步骤及有关概念 （1）研究样本的频率分布的一般步骤是： ①计算极差（最大值与最小值的差） ②决定组距与组数 ③决定分点 ④列频率分布表 ⑤画频率分布直方图
（2）频率分布的有关概念 ①极差：最大值与最小值的差
②频数：落在各个小组内的数据的个数
③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。 考点
六、确定事件和随机事件（3分）
1、确定事件
必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：
在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 考点
七、随机事件发生的可能性（3分） 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。
考点
八、概率的意义与表示方法（5~6分）
1、概率的意义
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
2、事件和概率的表示方法
一般地，事件用英文大写字母A，B，C，„，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P 考点
九、确定事件和随机事件的概率之间的关系（3分）
1、确定事件概率
（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1 （2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0
2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小
0
1概率的值
不可能发生必然发生
事件发生的可能性越来越大 考点
十、古典概型（3分）
1、古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
2、古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）= 考点十
一、列表法求概率（10分）
1、列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
2、列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
考点十
二、树状图法求概率（10分）
1、树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
2、运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 考点十
三、利用频率估计概率（8分）
1、利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3、随机数
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。
10年陕西中考原题 2004 20.（本题满分8分） 某研究性学习小组，为了了解本校初一学生一天中做家庭作业所用的大致时间（时间以整数记.单位：分钟），对本校的初一学生做了抽样调查，并把调查得到的所有数据（时间）进行整理，分成五个时间段，绘制成统计图（如图所示），请结合统计图中提供的信息，回答下列问题：
（1）这个研究性学习小组所抽取样本的容量是多少？ （2）在被调查的学生中，一天做家庭作业所用的大致时间超过120分钟（不包括120分钟）的人数占被调查学生总人数的百分之几？
（3）这次调查得到的所有数据的中位数落在了五个时间段中的哪一段内？
22. （本题满分10分）
足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,得17分.请问: (1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场? (2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分? (3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目标.请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标?
2005
5．我省某市2005年4月1日至7日每天的降水概率如下表： 日期（日） 1 2 3 4 5 6 7
降水概率 30％ 10％ 10％ 40％ 30％ 10％ 40％
则这七天降水概率的众数和中位数分别为
（
）
A.30％，30％
B.30％，10％
C.10％，30％
D.10％，40％ 19．（本题满分7分）
某校对某班45名学生初中三年中戴近视眼镜人数进行了跟踪调查，统计数据如图①所示。 （1）如果用整个圆代表该班人数，请在图②圆中画出该班七年级初戴近视眼镜人数和未戴近视眼镜人数的扇形统计图，并标出百分比；
（2）如果用整个圆代表该班人数，请在图③圆中画出该班九年级末戴近视眼镜人数和未戴近视眼镜人数的扇形统计图，并标出百分比；
（3）今年，我省某区约有8000名九年级学生。如果这些学生中戴近视眼镜人数的百分率与这个班九年级末戴近视眼镜人数的百分率基本相同，请估计这8000名学生中戴近视眼镜的人数大约是多少？
22．（本题满分8分）
有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示。王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A与B；
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）。
③如果和为0，王扬获胜；否则刘非获胜。
（1）用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由。
2006 5．如图是某市5月1日至5月7日每天 最高、最低气温的折线统计图，在折7天 中，日温差最大的一天市
（
）
A．5月1日
B．5月2日
C．5月3日
D．5月5日
19．（本题满分7分）
2003～2005年陕西省财政收入情况如图所示，根据图中的信息，解答下列问题： （1）陕西省这三年财政收入共为多少亿元？
（2）陕西省2004～2005年财政收入的年增长率约为多少？（精确到1％）
（3）如果陕西省2005～2006年财政收入的年增长率与（2）中求得的年增长率基本相同。请估计陕西省2006年财政收入约为多少亿元？（精确到1亿元）
22．（本题满分8分）
有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下： ①分别转动转盘A、B ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）。
（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和为5的倍数的概率； （2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分。这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏双方公平。
2007 4．将我省某日11个市、区的最高气温统计如下： 最高气温 10 14 21 22 23 24 25 26
市、区个数 1 1 3 1 1 2 1 1
该天这11个市、区最高气温的平均数和众数分别是
（
）
A． B． C． D． 20．（本题满分8分）
2006年，全国30个省区市在我省有投资项目，投资金额如下表： 省区市 广东 福建 北京 浙江 其它
金额（亿元） 124 67 66 47 119
根据表格中的信息解答下列问题：
（1）求2006年外省区市在陕投资总额； （2）补全图①中的条形统计图；
（3）2006年，外省区投资中有81亿元 用于西安高新技术产业开发区，54亿元 用于西安经济技术开发区，剩余资金用 于我省其它地区．请在图②中画出外省 区市在我省投资金额使用情况的扇形统 计图（扇形统计图中的圆心角精确到， 百分比精确到1%）．
22．（本题满分8分） 在下列直角坐标系中，
（1）请写出在内（不包括边界）横、纵坐标均为整数的点， 且和为零的点的坐标；
（2）在内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为 整数的点，求该点的横、纵坐标之和为零的概率．
2008
5、在“爱的奉献”抗震救灾大型募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款。其中8位工作者的捐款分别是5万，10万，10万，10万，20万，20万，50万，100万。这组数据的众数和中位数分别是
（
）
A．20万、15万
B．10万、20万
C．10万、15万
D．20万、10万
19、（本题满分7分）
下面图①、图②是某校调查部分学生是否知道母亲生日情况的扇形和条形统计图： 根据上图信息，解答下列问题：
（1）求本次被调查学生的人数，并补全条形统计图； （2）若全校共有2700名学生，你估计这所学校有多 少名学生知道母亲的生日？
（3）通过对以上数据的分析，你有何感想？（用一句话回答）
21、（本题满分8分）
如图，桌面上放置了红、黄、蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏。 （1）随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；
（2）随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率。
2009 4．王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是（单位：小时）：1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，3.5．则这10个数据的平均数和众数分别是
（
）
A．2.4，2.5
B．2.4，2
C．2.5，2.5
D．2.5，2 19．（本题满分7分） 某校为了组织一项球类对抗赛，在本校随机调查了若干名学生，对他们每人最喜欢的一项球类运动进行了统计，并绘制成如图①、②所示的条形和扇形统计图．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校有1 500名学生，请你估计该校最喜欢篮球运动的学生人数；
（3）根据调查结果，请你为学校即将组织的一项球类对抗赛提出一条合理化建议．
22．（本题满分8分）
甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是
3、
4、
5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
2010 6.中国2010年上海世博会充分体/现“城市，让生活更美好”的主题。据统计5月1日至5月7日入园数（单位：万人）分别为20.3, 21.5 13.2， 14.6， 10.9， 11.3， 13.9。 这组数据中的中位数和平均数分别为
（
）
A 14.6 ,15.1
B 14.65 ,15.0 C 13.9 , 15.1
D13.9 , 15.0 19某县为了了解“五一”期间该县常住居民出游情况，有关部门随即调查了1600名常住居民，并根据调查结果绘制了如下统计图
根据以上信息，解答下列各题：
（1）补全条形信息统计图。在扇形统计图中，直接填入出游的主要目的是采集发展信息人数的百分数；
（2）若该县常住居民24万人，请估计出游人数；
22．某班毕业联欢会设计的即兴表演节目的摸球游戏，游戏采用一个不透明的/盒子，里面装有五个分别标有数字
1、
2、
3、
4、5的乒乓球，这些球出书字外，其他完全相同，游戏规则是参加联欢会的50名同学，每人将盒子乒乓球摇匀后闭上眼睛从中随即一次摸出两个球（每位同学必须且只能摸一次）。若两球上的数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节目；否则，下个同学接着做摸球游戏依次进行。
（1）用列表法或画树状图法求参加联欢会同学表演即兴节目的概率 （2）估计本次联欢会上有多少个同学表演即兴节目？
2011 6．某校男子男球队10名队员的身高（厘米）如下：179,182,170,174,188,172,180,195,185,182，则这组数据的中位数和众数分别是
（
）
A、181,181
B、182,181
C、180,182
D、181,182 19．（本题满分7分）
某校有三个年级，各年级的人数分别为七年级600人，八年级540人，九年级565人，学校为了解学生生活习惯是否符合低碳观念，在全校进行了一次问卷调查，若学生生活习惯符合低碳观念，则称其为“低碳族”；否则称其为“非低碳族”，经过统计，将全校的低碳族人数按照年级绘制成如下两幅统计图：
（1）根据图①、图②，计算八年级“低碳族”人数，并补全下面两个统计图；
（2）小丽依据图①、图②提供的信息通过计算认为，与其他两个年级相比，九年级的“低碳族”人数在本年级全体学生中所占的比例较大，你认为小丽的判断正确吗？说明理由。
22、（本题满分8分）
七年级五班在课外活动时进行乒乓球练习，体育委员根据场地情况，将同学分成3人一组，每组用一个球台，甲乙丙三位同学用“手心，手背”游戏（游戏时，手心向上简称“手心”，手背向上简称“手背”）来决定那两个人首先打球，游戏规则是：每人每次随机伸出一只手，出手心或者手背，若出现“两同一异”（即两手心、一手背或者两手背一手心）的情况，则出手心或手背的两个人先打球，另一人裁判，否则继续进行，直到出现“两同一异”为止。 （1）、请你列出甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现的所有等可能的情况（用A表示手心，B表示手背）； （2）、求甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的概率。
2012 4．某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100分）如下表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是
（
） 分数（分） 89 92 95 96 97
评委（位） 1 2 2 1 1
A．92分
B．93分
C．94分
D．95分 19．（本题满分7分）
某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书．为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计，结果如下图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图和扇形统计图； （2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？
（3）该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来相应地确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？
一周内该校学生从图书馆借出各类图书数量情况统计图
22．（本题满分8分） 小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局． 依据上述规则，解答下列问题：
（1）随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；
（2）小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和是7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．
（骰子：六个面分别刻有
1、
2、
3、
4、
5、6个小圆点的立方块．点数和：两枚骰子朝上的点数之和．）
2013 5.我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为：111，96，4/7，68，70，77，105.则这七天空气质量指数的平均数是
（
）
A.71.8
B.77
C.82
D.95.7 19.（本题满分7分）
我省教育厅下发了《在全省/中小学幼儿园广泛深入开展节约教育的通知》通知中要求各学校全面持续开展“光盘行动”.某市教育局督导检查组为了调查学生对“节约教育”内容的了解程度（程度分为：“A—了解很多”，B—“了解较多”，“C—了解较少”，“D—不了解”），对本市一所中学的学生进行了抽样调查.我们将这次调查的结果绘制了以下两幅统计图.根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查了多少名学生？ （2）补全两幅统计图； （3）若该中学共有1800名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对“节约教育”内容“了解较多”的有多少名？
22.（本题满分8分）
甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：ⅰ）每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指：ⅱ）两人伸出的手指中，大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小拇指，小拇指只胜大拇指，否则不分胜负.依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时.（1）求甲伸出小拇指取胜的概率； （2）求乙取胜的概率.
