小学数学应用题分类解题大全
求平均数应用题是在“把一个数平均分成几份，求一份是多少”的简单应用题的基础上发展而成的。它的特征是已知几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等。最后所求的相等数，就叫做这几个数的平均数。
解答这类问题的关键，在于确定“总数量”和与总数量相对应的“总份数”。 计算方法：总数量÷总份数＝平均数平均数×总份数＝总数量
总数量÷平均数＝总份数
例1：东方小学六年级同学分两个组修补图书。第一组28人，平均每人修补图书15本；第二组22人，一共修补图书280本。全班平均每人修补图书多少本？
要求全班平均每人修补图书多少本，需要知道全班修补图书的总本数和全班的总人数。 (15×28+280)÷(28+22)=14本
例2：有水果糖5千克，每千克2.4元；奶糖4千克，每千克3.2元；软糖11千克，每千克4.2元。将这些糖混合成什锦糖。这种糖每千克多少元？
要求什锦糖每千克多少元，要先出这几种糖的总价和总重量最后求得平均数，即每千克什锦糖的价钱。
(2.4×5+3.2×4+4.2×11)÷(5+4+11)=3.55元
例
3、要挖一条长1455米的水渠，已经挖了3天，平均每天挖285米，余下的每天挖300米。这条水渠平均每天挖多少米？
已知水渠的总长度，平均每天挖多少米，就要先求出一共挖了多少天。 1455÷(3+(1455-285×3)÷300)=291米
例
4、小华的期中考试成绩在外语成绩宣布前，他四门功课的平均分是90分。外语成绩宣布后，他的平均分数下降了2分。小华外语成绩是多少分？
解法一：先求出四门功课的总分，再求出一门功课的的总分，然后求得外语成绩。 (90–2)×5–90×4=80分
例
5、甲乙丙三人在银行存款，丙的存款是甲乙两人存款的平均数的1.5倍，甲乙两人存款的和是2400元。甲乙丙三人平均每人存款多少元？
要求甲乙丙三人平均每人存款多少元，先要求得三人存款的总数。
1 (2400÷2×1.5+2400)÷3=1400元
例
6、甲种酒每千克30元，乙种酒每千克24元。现在把甲种酒13千克与乙种酒8千克混合卖出，当剩余1千克时正好获得成本，每千克混合酒售价多少元？
要求每千克混合酒售价多少元，要先求得两种酒的总价钱和两种酒的总千克数。因为当剩余1千克时正好获得成本，所以在总千克数中要减去1千克。
(30×13+24×8)÷(13+8–1)=29.1元
例
7、甲乙丙三人各拿出相等的钱去买同样的图书。分配时，甲要22本，乙要23本，丙要30本。因此，丙还给甲13.5元，丙还要还给乙多少元？
先求买来图书如果平均分，每人应得多少本，甲少得了多少本，从而求得每本图书多少元。 1．平均分，每人应得多少本？ (22+23+30)÷3=25本
2．甲少得了多少本?25–22=3本 3．乙少得了多少本?25–23=2本 4．每本图书多少元?13.5÷3=4.5元 5． 丙应还给乙多少元? 4.5×2=9元
13.5÷［(22+23+30)÷3–22］×［(22+23+30)÷3–23］=9元
例
8、小荣家住山南，小方家住山北。山南的山路长269米，山北的路长370米。小荣从家里出发去小方家，上坡时每分钟走16米，下坡时每分钟走24米。求小荣往返一次的平均速度。 在同样的路程中，由于是下坡的不同，去时的上坡，返回时变成了下坡；去时的下坡，回来时成了上坡，因此，所用的时间也不同。要求往返一次的平均速度，需要先求得往返的总路程和总时间。
1、往返的总路程 (260+370)×2=1260米
2、往返的总时间 (260+370) ÷16+(260+370)÷24=65.625分
3、往返平均速度 1260÷65.625=19.2米
(260+370)×2÷［(260+370) ÷16+(260+370)÷24］=19.2米
例
9、草帽厂有两个草帽生产车间，上个月两个车间平均每人生产草帽185顶。已知第一车间有25人，平均每人生产203顶；第二车间平均每人生产草帽170顶，第二车间有多少人？
解法一：可以用“移多补少获得平均数”的思路来思考。
2 第一车间平均每人生产数比两个车间平均每人平均数多几顶？203–185=18顶；第一车间有25人，共比按两车间平均生产数计算多多少顶？18×25=450。将这450顶补给第二车间，使得第二车间平均每人生产数达到两个车间的总平均数。
6． 第一车间平均每人生产数比两个车间平均顶数多几顶？ 203–185=18顶 7．第一车间共比按两车间平均数逆运算，多生产多少顶？18×25=450顶 8． 第二车间平均每人生产数比两个车间平均顶数少几顶？185–170=15顶 9． 第二车间有多少人：450÷15=30人 (203–185) ×25÷(185–170) =30人 例
10、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行45千米，返回时每小时行60千米。往返一次共用了3.5小时。求往返的平均速度。(得数保留一位小数) 解法一：要求往返的平均速度，要先求得往返的距离和往返的时间。
去时每小时行45千米，1千米要 小时；返回时每小时行60千米，1千米要 小时。往返1千米要( + )小时，进而求得甲乙两地的距离。
1、甲乙两地的距离 3.5÷( + )=90千米
2、往返平均速度 90×2÷3.5≈52.4千米 3.5÷( + )×2÷3.5≈52.4千米
解法二：把甲乙两地的距离看作“1”。往返距离为2个“1”，即1×2=2。去时每千米需 小时，返回时需 小时，最后求得往返的平均速度。
1÷( + )≈51.4千米
在解答某一类应用题时，先求出一份是多少（归一），然后再用这个单一量和题中的有关条件求出问题，这类应用题叫做归一应用题。
归一，指的是解题思路。
归一应用题的特点是先求出一份是多少。归一应用题有正归一应用题和反归一应用题。在求出一份是多少的基础上，再求出几份是多产，这类应用题叫做正归一应用题；在求出一份是多少的基础上，再求出有这样的几份，这类应用题叫做反归一应用题。
根据“求一份是多少”的步骤的多少，归一应用题也可分为一次归一应用题，用一步就能求出“一份是多少”的归一应用题；两次归一应用题，用两步到处才能求出“一份是多少”的归一应用题。
解答这类应用题的关键是求出一份的数量，它的计算方法： 总数÷份数＝一份的数
3 例
1、24辆卡车一次能运货物192吨，现在增加同样的卡车6辆，一次能运货物多少吨？ 先求1辆卡车一次能运货物多少吨，再求增加6辆后，能运货物多少吨。 这是一道正归一应用题。192÷24×(24+6)=240吨
例
2、张师傅计划加工552个零件。前5天加工零件345个，照这样计算，这批零件还要几天加工完？
这是一道反归一应用题。
例
3、3台磨粉机4小时可以加工小麦2184千克。照这样计算，5台磨粉机6小时可加工小麦多少千克？
这是一道两次正归一应用题。
例
4、一个机械厂和4台机床4.5小时可以生产零件720个。照这样计算，再增加4台同样的机床生产1600个零件，需要多少小时？
这是两次反归一应用题。要先求一台机床一小时可以生产零件多少个，再求需要多少小时。 1600÷［720÷4÷4.5×(4+4)］=5小时
例
5、一个修路队计划修路126米，原计划安排7个工人6天修完。后来又增加了54米的任务，并要求在6天完工。如果每个工人每天工作量一定，需要增加多少工人才如期完工？ 先求每人每天的工作量，再求现在要修路多少米，然后求要5天完工需要工人多少人，最后求要增加多少人。
(126+54)÷(126÷7÷6×5)–7=5人
例
6、用两台水泵抽水。先用小水泵抽6小时，后用大水泵抽8小时，共抽水624立方米。已知小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量。求大小水泵每小时各抽水多少立方米？
解法一：根据“小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量”，可以求出大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量。把不同的工作效率转化成某一种水泵的工作效率。
1、大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量？5÷2=2.5小时
2、大水泵8小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量2.5×8=20小时
3、小水泵1小时能抽水多少立方米？642÷(6+20)=24立方米
4、大水泵1小时能抽水多少立方米？24×2.5=60立方米
4 解法二：
1、小水泵1小时的抽水量相当于大水泵几小时的抽水量2÷5=0.4小时
2、小水泵6小时的抽水量相当于大水泵几小时的抽水量0．4×6=2.4小时
3、大水泵1小时能抽水多少立方米？624÷(8+2.4)=60立方米
4、小水泵1小时能抽水多少立方米？60×0.4=24立方米
例
7、东方小学买了一批粉笔，原计划29个班可用40天，实际用了10天后，有10个班外出，剩下的粉笔，够有校的班级用多少天？
先求这批粉笔够一个班用多少天，剩下的粉笔够一个班用多少天，然后求够在校班用多少天。
1、这批粉笔够一个班用多少天 40×20=800天
2、剩下的粉笔够一个班用多少天 800–10×20=600天
3、剩下几个班 20–10=10个
4、剩下的粉笔够10个班用多少天 600÷10=60天 (40×20–10×20) ÷(20–10) =60天
例
8、甲乙两个工人加工一批零件，甲4.5小时可加工18个，乙1.6小时可加工8个，两个人同时工作了27小时，只完成任务的一半，这批零件有多少个？
先分别求甲乙各加工一个零件所需的时间，再求出工作了27小时，甲乙两工人各加工了零件多少个，然后求出一半任务的零件个数，最后求出这批零件的个数。
［27÷(4.5÷18)+27÷(1.6÷8)］×2=486个
在解答某一类应用题时，先求出总数是多少（归总），然后再用这个总数和题中的有关条件求出问题。这类应用题叫做归总应用题。
归总，指的是解题思路。
归总应用题的特点是先总数，再根据应用题的要求，求出每份是多少，或有这样的几份。 例
1、一个工程队修一条公路，原计划每天修450米。80天完成。现在要求提前20天完成，平均每天应修多少米？
450×80÷(80–20)=600米
5 例
2、家具厂生产一批小农具，原计划每天生产120件，28天完成任务；实际每天多生产了20件，可以几天完成任务？
要求可以提前几天，先要求出实际生产了多少天。要求实际生产了多少天，要先求这批小农具一共有多少件。
28–120×28÷(120+20)=4天
例
3、装运一批粮食，原计划用每辆装24袋的汽车9辆，15次可以运完；现在改用每辆可装30袋的汽车6辆来运，几次可以运完？
24×9×15÷30÷6=18次
例
4、修整一条水渠，原计划由8人修，每天工作7.5小时，6天完成任务，由于急需灌水，增加了2人，要求4天完成，每天要工作几小时？
一个工人一小时的工作量，叫做一个“工时”。 要求每天要工作几小时，先要求修整条水渠的工时总量。
1、修整条水渠的总工时是多少？7.5×8×6=360工时
2、参加修整条水渠的有多少人 8+2=10人
3、要求 4天完成 ，每天要工作几小时
4、360÷4÷10=9小时 7.5×8×6÷4÷(8+2) =9小时
例
5、一项工程，预计30人15天可以完成任务。后来工作的天后，又增加3人。每人工作效率相同，这样可以提前几天完成任务？
一个工人工作一天，叫做一个“工作日”。
要求可以提前几天完成，先要求得这项工程的总工作量，即总工作日。
1、这项工程的总工作量是多少？15×30=450工作日
2、4天完成了多少个工作日？4×30=120工作日
3、剩下多少个工作日？450–120=330工作日
4、剩下的要工作多少天？330÷(30+3)=10天
5、可以提前几天完成？15–(4+10)=1天
6 15–［(15×30–4×30) ÷(30+3)+4］=1天
例
6、一个农场计划28天完成收割任务，由于每天多收割7公顷，结果18天就完成 了任务。实际每天收割多少公顷？
要求实际每天收割多少公顷，要先求原计划每天收割多少公顷。要求原计划每天收割多少公顷，要先求18天多收割了多少公顷。18天多收割的就是原计划(28–18)天的收割任务。
1、18天多收割了多少公顷? 7×18=126公顷
2、原计划每天收割多少公顷? 126÷(28–18)=12.6公顷
3、实际每天收割多少公顷? 12．6+7=19.6公顷 7×18÷(28–18) +7=19.6公顷 例
7、休养准备了120人30天的粮食。5天后又新来30人。余下的粮食还够用多少天？
先要求出准备的粮食1人能吃多少天，再求5天后还余下多少粮食，最后求还够用多少天。
1、准备的粮食1人能吃多少天?300×120=3600天
2、5天后还余下的粮食够1人吃多少天?3600–5×120=3000天
3、现在有多少人?120+30=150人
4、还够用多少天? 3000÷150=20天 (300×120–5×120) ÷(120+30) =20天
例
8、一项工程原计划8个人，每天工作6小时，10天可以完成。现在为了加快工程进度，增加22人，每天工作时间增加2小时，这样，可以提前几天完成这项工程？
要求可以几天完成，要先求现在完成这项工程多少天。要求现在完成这项工程多少天，要先求这项工程的总工时数是多少。
10–6×10×8÷(8+22)÷(6+2)=8天
已知两个数以及它们之间的倍数关系，要求这两个数各是多少的应用题，叫做和倍应用题。 解答方法是：和÷（倍数+1）＝1份的数 1份的数×倍数＝几倍的数
例
1、有甲乙两个仓库，共存放大米360吨，甲仓库的大米数是乙仓库的3倍。甲乙两个仓库各存放大米多少吨？
例
2、一个畜牧场有绵羊和山羊共148只，绵羊的只数比山羊只数的2倍多4只。两种羊各有多少只？
7 山羊的只数：(148-4)÷(2+1)=48只 绵羊的只数：48×2+4=100只
例
3、一个饲养场养鸡和鸭共3559只，如果鸡减少60只，鸭增加100只，那么，鸡的只数比鸭的只数的2倍少1只。原来鸡和鸭各有多少只？
鸡减少60只，鸭增加00只后，鸡和鸭的总数是3559-60+100=3599只，从而可求出现在鸭的只数，原来鸭的只数。
1、现在鸡和鸭的总只数：3559-60+100=3599只
2、现在鸭的只数：(3599-1)÷(2+1)=1200只
3、原来鸭的只数：1200-100=1100只
4、原来鸡的只数：3599-1100=2459只
例
4、甲乙丙三人共同生产零件1156个，甲生产的零件个数比乙生产的2倍还多15个；乙生产的零件个数比丙生产的2倍还多21个。甲乙丙三人各生产零件多少个？
以丙生产的零件个数为标准(1份的数)，乙生产的零件个数=丙生产的2倍-21个；甲生产的零件个数=丙的(2×2)倍+(21×2+15)个。
丙生产零件多少个？(1156-21-21×2-15)÷(1+2+2×2)=154个 乙：154×2+21=329个 甲：329×2+15=673个
例
5、甲瓶有酒精470毫升，乙瓶有酒精100毫升。甲瓶酒精倒入乙瓶多少毫升，才能使甲瓶酒精是乙瓶的2倍？
要使甲瓶酒精是乙瓶的2倍，乙瓶 是1份，甲瓶是2份，要先求出一份是多少，再求还要倒入多少毫升。
1、一份是多少？(470+100)÷(2+1)=190毫升
2、还要倒入多少毫升？190-100=90毫升
例
6、甲乙两个数的和是7106，甲数的百位和十位上的数字都是8，乙数百位和十位上的数字都是2。用0代替这两个数里的这些8和2，那么，所得的甲数是乙数的5倍。原来甲乙两个数各是多少？
把甲数中的两个数位上的8都用0代替，那么这个数就减少了880；把乙数中的两个数位上的2都用0代替，那么这个数就减少了220。这样，原来两个数的和就一共减少了(880+220) ［7106-(880+220)］÷(5+1)+220=1221„„乙数 7106-1221=5885„„甲数
8 已知两个数的差以及它们之间的倍数关系，要求这两个数各是多少的应用题，叫做差倍应用题。
解答方法是：差÷（倍数-1）＝1份的数 1份的数×倍数＝几倍的数
例
1、甲仓库的粮食比乙仓多144吨，甲仓库的粮食吨数是乙仓库的4倍，甲乙两仓各存有粮食多少吨？
以乙仓的粮食存放量为标准(即1份数)，那么，144吨就是乙仓的(4-1)份，从而求得一份是多少。
114÷(4-1)=48吨„„乙仓
例
2、参加科技小组的人数，今年比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人。两年各有多少人参加？
由“今年的人数比去年的3倍少35人”，可以把去年的参加人数作为标准，即一份的数。今年参加人数如果再多35人，今年的人数就是去年的3倍。(41+35)就是去年的(3-1)份
去年：(41+35)÷(3-1)=38人
例
3、师傅生产的零件的个数是徒弟的6倍，如果两人各再生产20个，那么师傅生产的零件个数是徒弟的4倍。两人原来各生产零件多少个？
如果徒弟再生产20个，师傅再生产20×6=120个，那么，现在师傅生产的个数仍是徒弟的6倍。可见20×6-20=100个就是徒弟现有个数的6-2=4倍。
(20×6-20)÷(6-4)-20=30个„„徒弟原来生产的个数 30×6=180个师傅原来生产个数
例
4、第一车队比第二车队的客车多128辆，再起从第一车队调出11辆客车到第二车队服务，这时，第一车队的客车比第二车队的3倍还多22辆。原来两车队各有客车多少辆？ 要求“原来两车队各有客车多少辆”，需要求“现在两车队各有客车多少辆”；要求“现在两车队各有客车多少辆”，要先求现在第一车队比第二车队的客车多多少辆。
1、现在第一车队比第二车队的客车多多少辆? 128-11×2=106辆
2、现在第二车队有客车多少辆？ (106-22)÷(3-1)=42辆
3、第二车队原有客车多少辆？42-11=31辆
4、第一车队原有客车多少辆？31+128=159辆
例
5、小华今年12岁，他父亲46岁，几年以后，父亲的年龄是儿子年龄的3倍？
9 父亲的年龄与小华年龄的差不变。
要先求当父亲的年龄是儿子年龄的3倍时小华多少岁，再求还要多少年。 (46-12)÷(3-1)-12=5年
例
6、甲仓存水泥64吨，乙仓存水泥114吨。甲仓每天存入8吨，乙仓每天存入18吨。几天后乙仓存放水泥吨数是甲仓的2倍？
现在甲仓的2倍比乙仓多(64×2-114)吨，要使乙仓水泥吨数是甲仓的2倍，每天乙仓实际只多存入了(18-2×8)吨。
(64×2-114)÷(18-2×8)=7天
例
7、甲乙两根电线，甲电线长63米，乙电线长29米。两根电线剪去同样的长度，结果甲电线所剩下长度是乙电线的3倍。各剪去多少米？
要求“各剪去多少米”，要先求得甲乙两根电线所剩长度各是多少米。两根电线的差不变，甲电线的长度是乙电线的3倍。从而可求得甲乙两根电线所剩下的长度。
1、乙电线所剩的长度?(63-29)÷(3-1)=17米
2、剪去长度?29-17=12米
例
8、有甲乙两箱橘子。从甲箱取10只放入乙箱，两箱的只数相等；如果从乙箱取15只放入甲箱，甲箱橘子的只数是乙箱的3倍。甲乙两箱原来各有橘子多少只？
要求“甲乙两箱原来各有橘子多少只”，先求甲乙两箱现在各有橘子多少只。
已知现在“甲箱橘子的只数是乙箱的3倍”，要先求现在甲箱橘子比乙箱多多少只。原来甲箱比乙箱多10×2=20只，“从乙箱取15只放入甲箱”，又多了15×2=30只。现在两箱橘子相差(10×2+15×2)只。
(10×2+15×2)÷(3-1)+15=40只„„乙箱 40+10×2=60只„„甲箱 已知两个数的和与它们的差，要求这，叫做和差应用题。 解答方法是：（和+差）÷2＝大数 （和-差）÷2＝小数
例
1、果园里有苹果树和梨树共308棵，苹果树比梨树多48棵。苹果树和梨树各有多少棵？
例
2、甲乙两仓共存货物1630吨。如果从甲仓调出6吨放入乙仓，甲仓的货物比乙仓的货物还多10吨。甲乙两仓原来各有货物多少吨？
从甲仓调出6吨放入乙仓，甲仓的货物比乙仓的货物还多10吨，可知原来两仓货物相差6×2+10=22吨，由此，可根据两仓货物的和与差，求得两仓原有货物的吨数。
10 例
3、某公司甲班和乙班共有工作人员94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时，乙班比甲班少12人，原来甲班和乙班各有工作人员多少人？
总人数不变。即原来和现在两班工作人员的和都是94人。现在两班人数相差12人。 要求原来甲班和乙班各有工作人员多少人，先要求现在甲班和乙班各有工作人员多少人？
1、现在甲班有工作人员多少人?(94+12)÷2=53人
2、现在乙班有工作人员多少人?(94-12)÷2=41人
3、原来甲班有工作人员多少人?53-46=7人
4、原来乙班有工作人员多少人?41+46=87人
例
4、甲乙丙三人共装订同一种书刊508本。甲比乙多装订42本，乙比丙多装订26本。他们三人各装订多少本？
先确定一个人的装订本数为标准。如果我们选定乙的装订本数为标准，从总数508中减去甲比乙多装订4的2本，加上丙比乙少装订的26本，得到的就是乙装订本数的3倍。由此，可求得乙装订的本数。
乙：(508-42+26)÷3=164本 甲丙略
例
5、三辆汽车共运砖9800块，第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块，第二辆比第三辆汽车多运200块。三辆汽车各运砖多少块？
根据“三辆汽车共运砖9800块”和“第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块”，可求得第一辆汽车和其余两车各运砖多少块。
根据“其余两车共运砖块数”和“第二辆比第三辆汽车多运200块”可求得第二辆和第三辆各运砖多少块。
1、第一辆：(9800-1400)÷2=4200块
2、第二辆和第三辆共运砖块数：9800-4200=5600块
3、第二辆：(5600+200)÷2=2900块
4、第三辆：5600-2900=2700块
例
6、甲乙丙三人合做零件230个。已知甲乙两人做的总数比丙多38个；甲丙两人做的总数比乙多74个。三人各做零件多少个？
先把跽两人做的零件总数看成一个数，从而求出丙做零件的个数，再把甲丙两人做的零件总数看作一个数，从而求出乙做零件的个数。
11 丙：(230-38)÷2=96个 乙：(230-38)÷2=78个 甲略
例
7、一列客车长280米，一列货车长200米，在平行的轨道上相向而行，两车从两车头相遇到两车尾相离共经过15秒；两列车在平行轨道上同向而行，货车在前，客车在后，从两车相遇(货车车尾和客车车头)到两车相离(货车车头和客车车尾)经过2分钟。两列车的速度各是多少？
由相向而行从相遇到相离经过15秒，可求得两列车的速度和(280+200)÷15；由同向而行从相遇到相离经过2分钟，可求得两列车的速度差(280-200)÷(60×2)。从而求得两列车的速度。
例
8、五年级三个班共有学生148人。如果把1班的3名学生调到2班，两班人数相等；如果把2班的1名学生调到3班，3班还比2班少3人。三个班原来各有学生多少人？ 由“如果把1班的3名学生调到2班，两班人数相等”，可知，1班学生人数比2班多3×2=6人；由“如果把2班的1名学生调到3班，3班还比2班少3人”可知，2班学生人数比3班多1×2+3=5人。如果确定以2班学生人数为标准，由“三个班共有学生148人”和“1班学生人数比2班多3×2=6人，2班学生人数比3班多1×2+3=5人”可先求得2班的学生人数。
(148-3×2+1×2+3)÷3=49人„„2班 甲丙班略
已知两人的年龄，求他们之间的某种数量关系；或已知两人年龄之间的数量关系，求他们的年龄等，这类问题叫做年龄应用题问题。
年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变量。差是定值的两个量，随时间的变化，倍数关系也会发生变化。
这类应用题往往是和差应用题、和倍应用题、差倍应用题的综合应用。
例
1、小方今年11岁，他爸爸今年43岁，几年以后，爸爸的年龄是小方年龄的3倍？ 因为小方与爸爸的年龄差43-11=32不变。以几年后小方的年龄为1份数，爸爸的年龄就是3份的数。根据差倍应用题的解法，可求出小方几年后的年龄。
(43-11)÷(3-1)=16岁 16-11=5年
例
2、妈妈今年比儿子大24岁，4年后妈妈年龄是儿子的5倍。今年儿子几岁？ “妈妈今年比儿子大24岁“，4年后也同样大24岁，根据差倍应用题的解法，可求得4年后儿子的年龄，进而求得今年儿子的年龄。
24÷(5-1)-4=2岁
12 例
3、今年甲乙两人年龄和为50岁，再过5年，甲的年龄是乙的4倍。今年甲乙两人各几岁？
今年甲乙两人年龄和为50岁，再过5年，两人的年龄和是50+5×2=60岁。根据和倍应用题的解法 。可求得5年后乙的年龄，从而求得今年乙的年龄和甲的年龄。
例
4、小高5年前的年龄等于小王7年后的年龄。小高4年后与小王3年前的年龄和是35岁。今年两人各是多少岁？
由“小高5年前的年龄等于小王7年后的年龄“可知，小高比小王大5+7岁；他们俩今年年龄的和为：35+3-4=30岁，根据和差应用题的解法，可求得今年两人各是多少岁。 由第一个条件可知，小高比小王在5+7＝12岁。由第二个条件可知，他们的年龄和为35+3-4＝34岁。
“根据两个差求未知数”是指分析问题的思考方法。“两个差”是指题目中有这样的数量关系。例如：总量之差与单位量之差；时间之差与速度之差或距离之差等等。解题时可以找出题目中的两个差，再根据两个这间的相应关系使总量得到解决。
例
1、百货商场上午卖出洗衣机8台，下午卖出同样的洗衣机12台，下午比上午多收售货款6600元，每台洗衣机售价多少元？6600÷(12-8)=1650元
例
2、一辆汽车上午行驶120千米，下午行驶210千米。下午比上午多行驶1.5小时。平均每小时行驶多少千米？(210-120)÷1.5=60千米
例
3、新建一个图书室和一个办公室。室内地面共有234平方米。已知办公室比图书室小54平方米。用同样的砖铺地，图书室比办公室多用864块。图书室和办公室地面各用砖多少块？
由“办公室比图书室小54平方米”和“图书室比办公室多用864块”可求得“平均每平方米需用砖多少块”；由“室内地面共有234平方米”和“办公室比图书室小54平方米”，可求得“”。从而求得各用砖多少块。
例
4、甲乙两人同时从东村出发去西村，甲每分钟行76米，乙每分钟行68米。到达西村时，乙比甲多用了4分钟。东西两村间的路程是多少米？
甲乙两人同时从东村出发，当甲到达西村时，乙距西村还有4分钟的路程。乙每分钟行68米，4分钟能行68×4=272米。也就是说，在相同的时间内，甲比乙多行272米。这是路程这差。每分钟甲比惭多行76-68=8米，这是速度这差。根据这两个差，可以求出甲走完全程所用的时间，从而求得两村之间的路程。
76×［68×4÷(76-68)］=2584米
例
5、冰箱厂原计划每天生产电冰箱40台，改进工艺后，实际每天比原计划多生产5台这样，提前2天完成了这批生产任务外，还比原计划多生产了35台。实际生产电冰箱多少台？
13 要求“实际生产电冰箱多少台”，需要知道“实际每天生产多少台”和“实际生产了多少天”。
如果实际上再生产 2 天后话，还能生产(40+5)×2=90台，双知比原计划还多生产35台，实际上比原计划多生产了90+35=125台，这是一个总量之差。又知实际每天比原计划多生产5台，这是生产效率之差。根据这两个差可以求出原计划生产的天数。从而求得实际生产电冰箱的台数：40×{［(40+5)×2+35］÷5}+35=1035台
例
6、食品厂运来一批煤，原计划每天生产480千克，烧了预定的时间后，还剩下1680千克；改进烧煤方法后，实际每天烧400千克，烧了同样的时间后，还剩下4080千克。这批煤共有多少千克？
要求这批煤共有多少千克，先要求出预定烧的天数。计划烧后还剩1680千克，实际烧后还剩4080千克可求得实际比坟墓多剩多少千克，这是剩下总量之差，实际每天烧400千克，计划每天烧480千克，可求得每天烧煤量之差。根据这两个差，可求得烧了多少天。进而可求得烧了多少千克，这批煤共有多少千克。
400×［(4080-1680)÷(480-400)］+4080=16080千克
有关栽树以及与栽树相似的一类应用题，叫做植树问题。植树问题通常有两种形式。一种是在不封闭的线路上植树，另一种是在封闭的线路上植树。
1、不封闭线路上植树
如果在一条不封闭的线路上可不可能，而且两端都植树，那么，植树的棵数比段数多。其数量关系如下：
棵数＝总长÷株距+1 总长＝株距×（棵数-1） 株距＝总长÷（棵数-1）
2、在封闭的线路上植树，那么植树的棵数与段数相等。其数量关系如下： 棵数＝总长÷株距 总长＝株距×棵数 株距＝总长÷棵数
例
1、有一条公路全长500米，从头至尾每隔5米种一棵松树。可种松树多少棵？ 500÷5 +1=101棵
例
2、从校门口到街口，一共插有30面红旗，相邻两面红旗相隔6米。从校门口到街口长多少米？ 6×(30-1)=174米
例
3、在一条长150米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽了102棵。每相邻两棵树之间的距离相等。相邻两棵树之间的距离有多少米？ 150÷(102÷2-1)=3米 例
4、在一个周长为600米的池塘周围植树，每隔10米栽一棵杨树，在相邻两棵杨树之间每隔2米栽1棵柳树。杨树和柳树各栽了多少棵？
14 根据“棵数=总长÷株距”，可以求出杨树的棵数
在每两棵杨树之间可分为10÷2=5段，栽柳树4-1=4棵。由此，可以求得柳树的棵数。 杨树：600÷10=60棵 柳树：(10÷2-1)×60=240棵
例
5、一条马路一侧，原有木电线杆97根，每相邻的两根相距40米。现在计划全部换用大型水泥电线杆，每相邻两根相距60米。需要大型水泥电线杆多少根？
1、这条路全长多少米?40×(97-1)=3840米
2、需要大型水泥电线杆多少根?3840÷60+1=65根
例
6、一座大桥长200米，计划在大桥两侧的栏杆上共安装32块图案，每块图案长2米，靠近桥两端的图案离桥端10.5米。相邻两图案之间的距离是多少米？
在桥两侧共装32块图案，即每侧装16块，图案之间的间隔有16-1=15个。用总长减去16块图案的距离就可以知道15个间隔的长度。
相向运动问题
同向运动问题（追及问题） 背向运动问题（相离问题）
在行车、行船、行走时，按照速度、时间和距离之间的相依关系，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题，叫做行程应用题。也叫行程问题。
行程应用题的解题关键是掌握速度、时间、距离之间的数量关系： 距离＝速度×时间 速度＝距离÷时间 时间＝距离÷速度 按运动方向，行程问题可以分成三类：
1、相向运动问题（相遇问题）
2、同向运动问题（追及问题）
3、背向运动问题（相离问题）
十、行程应用题
相向运动问题（相遇问题），是指地点不同、方向相对所形成的一种行程问题。两个运动物体由于相向运动而相遇。
解答相遇问题的关键，是求出两个运动物体的速度之和。
基本公式有：两地距离＝速度和×相遇时间 相遇时间＝两地距离÷速度和 速度和＝两地距离÷相遇时间
例
1、两列火车同时从相距540千米的甲乙两地相向而行，经过3.6小时相遇。已知客车每小时行80千米，货车每小时行多少千米？
15 例
2、两城市相距138千米，甲乙两人骑自行车分别从两城出发，相向而行。甲每小时行13千米，乙每小时行12千米，乙在行进中因修车候车耽误1小时，然后继续行进，与甲相遇。求从出发到相遇经过几小时？
因为乙在行进中耽误1小时。而甲没有停止，继续行进。也可以说，甲比乙多行1小时。如果从总路程中把甲单独行进的路程减去，余下的路程就是跽两人共同行进的。
(138-13)÷(13+12)+1=6小时
例
3、计划开凿一条长158米的隧道。甲乙两个工程队从山的两边同时动工，甲队每天挖2.5米，乙队每天挖进1.5米。35天后，甲队调往其他工地，剩下的由乙队单独开凿，还要多少天才能打通隧道？
要求剩下的乙队开凿的天数，需要知道剩下的工作量和乙队每天的挖进速度。 要求剩下的工作量，要先求两队的挖进速度的和，35天挖进的总米数，然后求得剩下的工作量。 ［158-(2.5+1.5)×35］÷1.5=12天
例
4、一列客车每小时行95千米，一列货车每小时的速度比客车慢14千米。两车分别从甲乙两城开出，1.5小时后两车相距46.5千米。甲乙两城之间的铁路长多少千米？ 已知1.5小时后两车还相距46.5千米，要求甲乙两城之间的铁路长，需要知道1.5小时两车行了多少千米？要求1.5小时两车共行了多少千米。需要知道两车的速度。
(95-14+95)×1.5+46.5=310.5千米
例
5、客车从甲地到乙地需8小时，货车从乙地到甲地需10小时，两车分别从甲乙两地同时相向开出。客车中途因故停开2小时后继续行驶，货车从出发到相遇共用多少小时？ 假设客车一出发即发生故障，且停开2小时后才出发，这时货车已行了全程的 ×2= ，剩下全程的1- = ，由两车共同行驶。 (1- ×2)÷()-10分钟
例
5、甲乙两人骑自行车同时从学校出发，同方向前进，甲每小时行15千米，乙每小时行10千米。出发半小时后，甲因事又返回学校，到学校后又耽搁1小时，然后动身追乙。几小时后可追上乙？
先要求得甲先后共耽搁了多少小时，甲开始追时，两人相距多少千米 10×(0.5×2+1)÷(15-10)=4小时
例
6、甲乙丙三人都从甲地到乙地。早上六点甲乙两人一起从甲地出发，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。丙上午八点才从甲地出发，傍晚六点，甲、丙同时到达乙地。问丙什么时候追上乙？
要求“两追上乙的时间”，需要知道“丙与乙的距离差”和“速度差”。 要先求丙每小时行多少千米，再求丙追上乙要多少时间
1、丙行了多少小时18-8=10小时
2、丙每小时比甲多行多少千米5×2÷10=1千米
3、丙每小时行多少千米5+1=6千米
4、丙追上乙要用多少小时4×2÷(6-4)=4小时
例
7、快中慢三辆车同时从同一地点出发，沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，那么慢车每小时行多少千米？
18 快中慢三辆车出发时与骑车人的距离相同，根据快车和中车追上骑车人的路程差和时间差可求得骑车人的速度，进而求慢车每小时行多少千米。
单位换算略。6分钟= 小时 10分钟= 小时 12分钟= 小时
1、快车 小时行多少千米24× =2.4千米
2、中车 小时行多少千米20× = 千米
3、骑车人每小时行多少千米( -2.4)÷(）＝20天 解法二：
假定甲与乙一样工作3天，完成的工作量为 ×3＝ ，这时工作量必定超过20％，超过部分 +20％，就是甲队一天的工作量。
甲队单独完成这项工作所需时间1÷（ ×3-20％）＝20天 乙队单独完成这项工作所需时间1÷（）＝60天
5、乙队单独运完这批货物所需天数 1÷［ -（）＝
例
3、一项工程，原定100人，工作90天完成；工程进行15天后，由于采用先进工具和技术，平均每人工效提高了50％。完成这项工程可提前几天？
要求完成这项工程，可以提前几天，先要求出实际所用的天数；要求实际所用的天数，先要求出完成余下的工程所用的天数。全工程原定100人90天完成，那么，平均每人每天要完成全工程的 ；100人工作15天完成了全工程量的 ×100×15。余下全工程的（1- ×100×15）。采用先进技术后，每人工作效率是：［ ×（1+50％）］，进而求得余下的工程所用的天数。
1、100人工作15天后，还余下全工程的几分之几？1- ×100×15＝
2、改进技术后，100人1天可以完成这项工程的几分之几？×（1+50％）×100＝
3、余下的工程要用多少天？÷ ＝50天
4、可提前多少天？90-15-50＝25天
综合算式：90-15-（1- ×100×15）÷［ ×（1+50％）×100］＝25天
例
4、有一水池，装有甲乙两个注水管，下面装有丙管排水。空池时，单开甲管5分钟可注满；单开乙管10分钟可注满。水池注满水后，单开丙管15分钟可将水放完。如果在空池时，将甲乙丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，还要几分钟可以注满水池？
分析与解：先求出甲乙丙三管齐开2分钟后，注满了水池的几分之几，还余下几分之几。再求余下的要几分钟。
1、三管齐开2分钟，注满了水池的几分之几？（ +）＝4分钟
例
5、一队割麦工人要把两块麦地的麦割去。大的一块麦地比小的一块大一倍。全队成员先用半天时间割大的一块麦地，到下午，他们对半分开，一半仍留在大麦地上，到傍晚时正 33 好把大麦地的麦割完；另一半到小麦地去割，到傍晚时还剩下一小块，这一小块第二天由1人去割，正好1天割完。这个割麦队共有多少人？
分析与解：把大的一块麦地算作单位“1”，小的一块麦地为 。根据题意，一半成员半天割了 ，一天割了 ，全队成员一天可割 ×2＝ 。
1、全队成员一天可割几分之几？ ×2＝
2、所剩的一小块面积是几分之几？ -（ -1）＝
3、全队有多少人？（1+×3＝
4、一个女工独做需要多少天 1÷ ＝18天
例
8、一项工程，甲独做10天完成，乙独做12天可以完成，丙独做15天完成。现在三人合作甲中途因病休息了几天，结果6天完成任务。甲休息了几天？
34 如果甲没有休息，那么甲乙丙都工作了6天，完成了工程量的几分之几，超过了几分之几，然后求得甲休息了几天。
1、三人合做6天，完成了工程量的几分之几？（ + + ）×6＝
2、超额完成了工程的几分之几？ -1＝
3、甲休息了几天？ ÷ ＝5天
牛顿问题也叫牛吃草问题。由于这个问题是由伟大的科学家牛顿提出来的，所以以后就把这类问题叫做牛顿问题。牛顿问题的特点是随着时间的增长所研究的量也等量地增加，解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和增加的量各是多少。
牧场上长满牧草，每天匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛吃几天？
牧草的总量不定，它是随时间的增加而增加。但是不管它怎样增长，草的总量总是由牧场原有草量和每天长出的草量相加得来的。
10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的草量多，多出部分相当于10天新长出的草量。
设法求出一天新长出的草量和原有草量。
1、10头牛20天吃的草可供多少牛吃一天？10×20=200头、
2、15头牛10天吃的草可供多少 头牛吃一天15×10=150头
3、(20–10)天新长出的 草可供多少头牛吃一天？50÷10=5头
4、每天新长出的草可供多少头牛吃一天？50÷10=5头
5、20天(或10天)新长出的草可供多少头牛吃一天？5×20=100头
或5×10=50头
6、原有的草可供多少头牛吃一天？200–100=100头
或150–50=100头
7、每天25头牛中，如果有5头牛去吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，可吃几天？
100÷(25–5)=5天
例
2、有一水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3 台抽水机抽水，36分钟可以抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可以抽完。现在12分钟要抽完井水，需要抽水机多少台？
随着时间的增长涌出的泉水也不断增多，但原来水量和每分钟涌出的水量不变。
35
1、3台抽水机的抽水量。3×36=108台分
2、5台抽水机的抽水量。5×20=100台分
3、使用3 台抽水机比用5台抽水机多用多少分钟？36–20=16分
4、使用3台抽水机比用5台抽水机少抽的水量。108–100=8台分
5、泉水每分钟涌出的水量，算出需要抽水机多少台？8÷16= 台
6、水井分钟涌出的水量。 ×36=18台分
7、水井原有的水量。 108–18=90台分
8、水井原有水量加上12分钟涌出的水量。 ×12=6台分
9、水井原有水量加上12分钟涌出的水量。 90+
6、12台分
10、需要抽水机多少台？96÷12=8台
例
3、一片青草，每天生长速度相等。这片青草可共10头牛吃20天，或共60只羊吃10天。如果1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量，那么10头牛与60只羊一起吃，可以吃多少天？
先把题目进行转化。因为1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量。由此，题目可以转换成：这片青草可供(4×10)只羊吃20天，或供60只羊吃10天，问(4×10+60)只羊吃多少天？
1、(4×10)只羊20天吃的草可供多少只羊一天？4×10×20=800只天
2、60只羊10天吃的草可供多少只羊吃一天？60×10=600只天
3、(20–10)天新长出的草可供多少只羊吃一天？800–600=200只
4、每天的新长出的草可供多少只羊吃一天？200÷10=20只
5、20天新长出的草可供多少只羊吃一天？20×20=400只
6、原有草可供多少只羊吃一天？800–400=400只
7、可吃多少天？400÷(4×10+60–20)=5天
汉朝大将韩信善于用兵。据说韩信每当部队集合，他只要求部下士兵作1~
3、1~
5、1~7报数后，报告一下特各次的余数，便可知道出操公倍数和缺额。
这个问题及其解法，大世界数学史上颇负盛名，中外数学家都称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。
这类问题的解题依据是：
36
1、如果被除数增加(或减少)除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。例如： 20÷3=6„„2 (20-3×5)÷3=21„„2 (20+3×15)÷3=1„„2
2、如果被除数扩大(缩小)若干倍，除数不变，那么余数也扩大(缩小)同样的倍数。例如： 20÷9=2„„2 (20×3)÷9=6„„6 (20÷2)÷9=1„„1
例
1、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小的数。
1、求出能被5和7整除，而被3除余1的数，并把这个数乘以2。 70×2=140
2、求出能被3和7整除，而被5除余1的数，并把这个数乘以3。 21×3=63
3、求出能被5和3整除，而被7除余1的数，并把这个数乘以2。 15×2=30
4、求得上面三个数的和 140+63+30=233
5、求
3、57的最小公倍数 ［
3、
5、7］=105
6、如果和大于最小公倍数，要从和里减去最小公倍数的若干倍：233–105×2=23 例
2、一个数除以3余2，除以5余2，除以7余4，求适合这些条件的最小的数。 解法一： 70×2+21×2+15×4=242 ［
3、
5、7］=105 242–105×2=32 解法
二、35+21×2+15×4=137 ［
3、
5、7］=105 137–105=32 例
3、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这些条件的最小的数。
1、因为［
6、7］=42，而42÷5余2，根据第二个依据，42×4÷5应余8(2×4)，实际余3，所以取42×4=168
2、因为［
7、5］=35，而35÷6余5，则取35×2=70
3、［
5、6］=30,30÷7余2，则取30×4=120
4、［
5、
6、
7、］=210
5、168+70+120–210=148 例
4、我国古代算书上有一道韩信点兵的算题：卫兵一队列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。求兵数。
1、［
6、
7、11］=462 462÷5余2 462×3÷5余1 取462×3=1386
2、［
7、
11、5］=385 385÷6余5 385×5÷6余5 取385×5=1925
3、［
11、
5、6］=330 330÷7余1 220×4÷7余4 取330×4=1320
37
4、［
5、
6、7］=210 210÷11余1 210×10÷11余10 取210×10=2100
5、求四个数的和 1386+1925+1320+2100=6731
6、［
5、
6、
7、11］=2310
7、6731–2310×2=2111
38
