考研数学一真题

2013硕士研究生入学考试数学一试题

xarctanxc，其中k，c为常数，且c0，则（） x0xk

1111A.k2,c B.k2,c C.k3,c D.k3,c22331.已知极限lim

2.曲面x2cos(xy)yzx0在点(0,1,1)处的切平面方程为（）

A.xyz2B.xyz0C.x2yz3D.xyz0

113.设f(x)x，令S(则（） bn2f(x)sinnxdx(n1,2,)，x)bsninnx，0n12

A .3113B.C.D. 4444

4.设L1:x2y21，L2:x2y22，L3:x22y22，L4:2x2y22为四条逆时针

y3x3

方向的平面曲线，记Ii(y)dx(2x)dy(i1,2,3,4)，则maxI,1I,2I,3I463Li

A.I1B.I2C.I3D I4

5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（）

A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价

B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 

1a12006.矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为（）

1a1000

A.a0,b2B.a0,b 为任意常数

C.a2,b0D.a2,b 为任意常数

7.设X1,X2,X3是随机变量，且X1N(0,1)，X2N(0,22)，X3N(5,32)，P,2,3)，则（） iP2X12(i1

A.P3P2P2DP1P2P3B.P2P1P3C.P1P3P2

8.设随机变量X

t(n),YF(1,n)，给定a(0a0.5)，常数c满足PXca，则 1

PYc2()

（9）设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定，则limn[f()1]＝。 n01n

(10)已知y1=e3x –xe2x，y2=ex –xe2x，y3= –xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=。

xsintd2y（11）设(t为参数)，则2。 dxtytsintcost

（12）

1lnxdx。 (1x)2

（13）设A=(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝。

（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}=

三．解答题：

（15）（本题满分10分） 计算1f(x)

x0dx，其中f(x)＝x1ln(t1)dt.t

(16)(本题10分)

设数列｛an｝满足条件：a03,a1＝，1an2n(n1)an＝0(n2).S（x）是幂级数 ax的和函数.n

n

n0

（1）证明：S(x)S(x)0;

（2）求S(x)的表达式.

（17）（本题满分10分） n

x3

xy求函数f(x,y)(y)e的极值.3

(18)(本题满分10分)

设奇函数f(x)在1,1上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：

（0,1），使得f()1.（I）存在

）（1,1），使得f()f（1.（Ⅱ）存在

19.(本题满分10分)

设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面z0,z2

所围成的立体为。

（1） 求曲面的方程；

（2） 求的形心坐标。

20.（本题满分11分）

设A1a01当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。 ,B，101b

21.（本题满分11分）

a1设二次型f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)2，记a2，

a3

b1b2。

b3

（1） 证明二次型f对应的矩阵为2TT；

22（2） 若,正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y1。 y2

22.（本题满分11分）

x1,2,12x,0x3,设随机变量X的概率密度为f(x)a令随机变量Yx,1x2,

1,其他x20,

（1） 求Y的分布函数；

（2） 求概率PXY.

23.(本题满分11分)

2

3ex,x0,设总体X的概率密度为f(x;)x其中为未知参数且大于零，

0,其他

X1,X2，,Xn为来自总体X的简单随机样本。

（1） 求的矩估计量；

（2） 求的最大似然估计量。

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