考研数学一线性代数公式

1、行列式

1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2.行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n1)

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)③、上、下三角行列式（④、

◤

◥◣

2；

）：主对角元素的乘积；

n(n1)

2和

◢

：副对角元素的乘积(1)

AC

OBAO

CB

；、

CB

AO

OB

AC

(1)

mn

⑤、拉普拉斯展开式：

ABAB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 3.证明

①、

A0

的方法：

；③构造齐次方程组Ax

0

AA

，证明其有非零解；④证明r(A)

n

⑤证明0是其特征值；

2、矩阵

1.是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）；

A



r(A)n

A

（是满秩矩阵）

有非零解；

的行（列）向量组线性无关；

0

齐次方程组Ax

bR

n

，Ax

b

总有唯一解；

A

与E等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0；

T

AA



AA

A

是正定矩阵；

的行（列）向量组是Rn的一组基； 是Rn中某两组基的过渡矩阵；

AAAE

*

A

2.对于n阶矩阵A：AA*3.

(A



1无条件恒成立；

1

)(A)

T

T

**1

(A

1

)

T

(A)

*

*

T

(A)

*T

(A)

1

T*

1

(AB)BA

T

(AB)BA

*

(AB)B

1

A

4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

若

A1A



A

2

As



1，则：Ⅰ、

AA1A2As

；Ⅱ、A



1A1

1

1

A

2

As

O

11

1



；

A

②、

OA

④、

O

OBCB



1AOO1BA

1

O

；（主对角分块）③、

BCB



11

AO

1

O

1A

1

B

；（副对角分块）

O1B

1

AO

1

B

A

；（拉普拉斯）⑤、

COBA

1

1BCA

；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.一个m

n

矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F

ErOOOmn

；

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)

r(B)AB

；

2.行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(A,E)(E,X)，则A可逆，且X②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当

A

r

A

E



1；

就变成A

1

变为时，B

B

，即：(A,B)(E,A1B)；

r

c

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax

b

，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且x

A



1b

；

4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

1

②、





2

n

，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；

③、对调两行或两列，符号E(i,5.矩阵秩的基本性质：

①、0r(Amn)min(m

⑥、r(A

j)

，且E(i,

j)



1

E(i,j)，例如：1



1

1



1

1

；

,n)；②、r(A)r(A)

T；③、若A

B

，则r(A)r(B)；④、若P、Q可逆，则

；（※）

r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)

；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r(A),r(B))；（※）⑦、r(AB)

min(r(A),r(B))

r(A,B)r(A)r(B)

B)r(A)r(B)

n

；（※）

⑧、如果A是m矩阵，B是ns矩阵，且AB

0

n

0

，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AXⅡ、r(A)r(B)

解（转置运算后的结论）；

；

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)

r(A)r(B)n

6.三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

1

②、型如0

0

a10

cb1

的矩阵：利用二项展开式；③、利用特征值和相似对角化：

7.伴随矩阵：

n



①、伴随矩阵的秩：r(A*)

10

r(A)nr(A)n1r(A)n1

*

1

*

；

②、伴随矩阵的特征值：

A



(AXX,AAAAX

A



X)

；③、A*

AA



1、

A

*

A

n

18.关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)

n

，A中有n阶子式全部为0；③、r(A)

n

，A中有n阶子式不为0；

9.线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax

b

为n元方程；

10.线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

4、向量组的线性相关性

11.①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AXB是否有解；（矩阵方程）

12.矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14) 13.14.r(AA)r(A)

n

T

；(P101例15)

0

维向量线性相关的几何意义：

；③、,,线性相关 

,,

①、线性相关

②、,线性相关

共面；

,

坐标成比例或共线（平行）；

15.线性相关与无关的两套定理：

若1,2,,s线性相关，则1,2,,s,s1必线性相关；

若1,2,,s线性无关，则1,2,,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n

r

个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

16.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)向量组A能由向量组B线性表示

AXB

r(B)

s

(二版P74定理7)；

；（P86定理3）

r(A)r(A,B)

有解；

（P85定理2）

向量组A能由向量组B等价r(A)①、矩阵行等价：A~

cr

r(B)r(A,B)

（P85定理2推论）

P1P2Pl

17.方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使A

BPAB

；

0

（左乘，P可逆）

Ax0

与Bx同解

18.19.

20.21.

②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）；③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）； 对于矩阵Amn与Bln：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 若AmsBsnCmn，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解； 设向量组Bnr:b1,b2,,br可由向量组Ans:a1,a2,,as线性表示为：（P110题19结论）

（BAK）

其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法）

(b1,b2,,br)(a1,a2,,as)K

m

注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用； 22.①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm r(A)

②、对矩阵Amn，存在Pnm，PA

En

、Q的列向量线性无关；（P87）、P的行向量线性无关；

r(A)n

23.若*为Ax

b

的一个解，1,2,,nr为Ax

0

的一个基础解系，则*,1,2,,nr线性无关

5、相似矩阵和二次型

1.正交矩阵

AAE

T

或A

1A

T

（定义），性质：

10

ijij

(i,j1,2,n)

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj②、若A为正交矩阵，则A

1A

T

；

也为正交阵，且

A1

；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2.施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1a1；

b2a2

[b1,a2][b1,b1]

b

1

[b1,ar][b1,b1]

b1

[b2,ar][b2,b2]

b2

[br1,ar][br1,br1]

br1

brar

;

3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4.①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

PAQB，P、Q可逆； r(A)r(B)，A、B同型； ②、A与B合同 CTACB，其中可逆；

TT

xAx与xBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 P1APB； 5.相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6.n元二次型xTAx为正定：

T

A的正惯性指数为nA与E合同，即存在可逆矩阵C，使CACEA的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于0aii0,A0；(必要条件)

线性代数重要公式

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