人教版数学选修精品§2. 2 .1直接证明综合法与分析法

发布时间：2020-03-02 05:43:13 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

人教版数学选修精品——推理与证明

§2.2 .1直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:

学生探究过程：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：

已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

证明:因为b2c22bc,a0,

所以a(b2c2)2abc,

因为ca2ac,b0,

所以b(ca)2abc.因此, a(bc)b(ca)4abc.

P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

1.综合法

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式用综合法证明不等式的逻辑关系是： 2222222

2PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公例

1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是bac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之

2间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ①因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=． ⑧



由①② ，得B=.

由a, b，c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及③，可得

bac2accosBacac.

再由④，得a2c2acac.

(ac)0,因此ac.从而A=C.由②③⑤，得



A=B=C=.

所以△ABC为等边三角形．

解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

例

2、已知a,bR,求证aabbabba.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.ab0ababa

ab(a

bbab

b

ab

)0

，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设ab0,

aab()1.故原不等式得证。 ba

bbab注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。



1,ab0, 

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

2.分析法

证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，明尸 2 成立，再去寻求尸 2 成立的充分条件尸 3 件、定理、定义、公理等）为止．乞，再去寻求尸 1 成立的充分条件尸 2 ；为了证 „ „ 直到找到一个明显成立的条件（已知条即使 Q 成立的充分条件尸 1 ．为了证明尸 1 成立，

分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么用分析法证明不等式的逻辑关系是：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的思维特点是：分析法的书写格式：要证明命题B为真，

只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„„„

这只需要证明命题A而已知A为真，故命题B例

3、求证3证明：因为3只需证明(3

72

57和25都是正数，所以为了证明37)(25)

725

展开得1022120 即22110,2125 因为2125成立，所以

(3

7)(25)成立

即证明了3725

说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有„„ 这只需要证明命题B2为真，从而又有„„ 这只需要证明命题A为真而已知A为真，故B必真

在本例中，如果我们从“21

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特

‘‘

点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．



例4 已知,k(kZ)，且

sincos2sin①

sincossin②

求证：

1tan1tan



1tan2(1tan)

。

分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系

222

2(sincos)2sincos1，于是，由 ①一2×② 得4sin2sin1．把

4sin2sin1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：

统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为

cossincossin

1212

(cossin),再与4sin2sin1比较，发现只要把c(os

2222

sin中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．)

证明：因为(sincos)2sincos1，所以将 ① ② 代入，可得

4sin2sin1.③

另一方面，要证

1tan1tan



1tan2(1tan)

1

sin

2sincos

12(1

sincossincos

即证

1

，)

即证cos2sin2即证12sin2

(cossin)，

(12sin)，

即证4sin22sin21。

由于上式与③相同，于是问题得证。

例5 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为为(

4L2

，截面积为T1(

L2)

L2

)；周长为L的正方形边长为

，截面积

)(

(

证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为(方形的水管的截面面积为(

)，所以本题只需证明(

L2

)，截面是正

L2

)

(

)

为了证明上式成立，只需证明

L4



两边同乘以正数

L

因此，只需证明4

，得



上式是成立的，所以(

L2

)

(

)

这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索

巩固练习：第81页练习1, 2

31、a,b,cR,求证





abc)

2、ABC中，已知3bsinB，且cosBcosC求证：ABC为等边三角形



3、a,b,c为ABC的三内角的对应边试证明:

aAbBcCabc





2课后作业：第84页1，2,

3教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

通过本节的学习，学生积极参加课堂教学，顺利地完成了教学任务，达到了预期的教学目的。但由于学生的基础较差，知识遗忘严重，在一定程度上影响了教学进度，使课堂上进度比较紧张。所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保证课堂教学进度。通过本节的学习，使学生了解直接证明的基本方法----综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力。本节的教学应该是比较成功的。

例

1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

a(bc)b(ca)c(ab)6abc

证明：∵b2c2≥2bc,a＞0,

∴a(b2c2)≥2abc① 同理 b(c2a2)≥2abc②

c(ab)≥2abc③

因为a，b，c不全相等，所以b2c2≥2bc, c2a2≥2ca, a2b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=∴a(bc)b(ca)c(ab)6abc

例

2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：abc(abc) 证明：左－右=2（ab+bc－ac） ∵a，b，c成等比数列，∴bac 又∵a，b，c都是正数，所以0b

ac≤

ac

2ac