2017～2018学年度高三分科综合测试卷
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A.
B.
，
C.
D.
，则
（ ）
【答案】A 【解析】2.已知复数
的实部为，则复数
，则
，选A.
在复平面上对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 【答案】C 【解析】试题分析：因此复数三象限。
考点：复数的运算。 3.若A.，则
B.
C.
D.
（ ） ，则
，所以实部为
，在复平面内对应点的坐标为
，则
，
，位于第【答案】C 【解析】
，
.选C.
4.已知实数满足约束条件，则的最大值为（ ）
A.
2B.
3C.
4D.5 【答案】B 【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点
处取得最大值本题选择B选项.
.
5.一直线与平行四边形，A.，
中的两边分别交于点，则
，且交其对角线（ ）
于点，若
B.
1C.
D.
【答案】A 【解析】由几何关系可得：
，则： ，
，
即：则= .本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
6.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） 附：若，则
，
．
A.906 B.1359 C.2718 D.3413
【答案】B 【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积
，
则落入阴影部分（曲线为正态分布
.本题选择B选项.
的密度曲线）的点的个数的估计值为点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ
7.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为
二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的值为（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】B 【解析】根据二分法，程序运行中参数
值依次为：
，
，
，，，，
，因此输出的
，
，故选B．
，此时满足判断条件，输出，注意是先判断，后计算8.已知函数确的是（ ） A.定义域为
B.偶函数 ，其中
表示不超过的最大整数，则关于函数的性质表述正C.周期函数
D.在定义域内为减函数 【答案】C 【解析】由于为表示不超过的最大整数，如错误；当，
时，，
，，
是偶函数错误，由于
，则
，所以定义域，
，所以函数的的图象是一段一段间断的，所以不能说函数是定义域上的减函数，但函数是周期函数，其周期为1，例如任取选C.
9.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则（ ）
D.4 ，则
，
，则
，则
，A.
3B.
C.【答案】B
10.已知函数两个点的坐标分别为A. B.
和 C.
的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的
，则该函数图像距离轴最近的一条对称轴方程是（ ） D.
【答案】B 【解析】函数 ，
的图像过 又距离原点最近的两个点的坐标分别为
，则
和
，，则
，则，
或，过取，得，则，则， ，，即
，选B.
，
，当
，
，其对称轴为时，该函数图像距离轴最近的一条对称轴方程是11.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】
根据三视图恢复原几何体为三棱锥P-ABC如图，其中 ，接球中，把直角三角形径，分别过别为在和做圆
平面
，计算可得
，
，
，放在外
恢复为正方形，恰好在一个球小圆中，AC为球小圆的直
和矩形
，两矩形对角线交点分
共面且都
的垂面，得出矩形，连接并取其中点为，则为球心，从图中可以看出点
中，
，
的外接圆上，在
，利用正弦定理可以求出的外接圆半径 ， ， ，平面，则，则球的半径
，外接球的表面积为，选A.【点睛】如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.本题使用“套球”的方法，恢复底面为正方形，放在一个球小圆里，这样画图方便一些，最主要是原三视图中的左试图为直角三角形，告诉我们平面平面，另外作平面
和平面
平面
，和我们做的平面
是同一个
的作用是找球心，因为这两个矩形平面对角线的交点所连线段的中点就是球心，再根据正、余弦进行计算就可解决.12.已知是方程A.
B.
C.
的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）
D.
【答案】C 【解析】令
，则 ，函数 ，即
.
在定义域内单调递增， ， 方程即：结合函数的单调性有：本题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号． (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分， 共20分．
13.已知边长为的正
的三个顶点都在球的表面上，且
与平面
所成的角为，则球的表面积为__________． 【答案】
的外接圆圆心为，由正
，连接
，则
，所以
.
，角
在
是
与平中【解析】设正面所成的角为，
的边长为可知球的表面积为，故答案为14.若【答案】2 【解析】的展开式中含有常数项，则的最小值等于__________．
的展开式中， ，
令令 ，展开式中含有常数项，当 ，展开式中含有常数项，当
时，取最小值为 ； 时，取最小值为2；
综上可知：取最小值为2； 15.在中，角
的对边分别为
，且
，若
的面积为
，则的最小值为__________． 【答案】3 【解析】，又取等号，则的最小值为3.16.已知抛物线点分别为【答案】 【解析】设,即,即即.同理可得:
.所以，则
,由题意直线
,将
代入可得: ，若
的焦点为，准线为，过上一点作抛物线的两条切线，切，则
__________． ，
，
，
，则 ，则
，， ，
；当且仅当
时 ，
与抛物线相切,则其判别式
,.又
，所以切线的方程为
，即两切线都经过点可得,则是方程的两根,故,所以,因又因为
,同理可得,即共线,而,则,即,故在中,高,应填答案。
点睛:解答本题的思路是先确定两切线线，最后再证明高是,应。
的位置关系是互相垂直，进而确定三点
共
斜边上的高，然后借助三角形的面积相等巧妙地求出斜边上的
三、解答题 ：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22/23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知等比数列满足
，数列
满足
，，为数列的前项和．
（1）求数列（2）求【答案】（1）的前11项和； ． ；（2）．
解出，利用第二项的值和第五项的值解
，第二步分组求和，把数列【解析】试题分析：根据等比数列的性质出公比，从而写出等比数列的通项公式，于是写出的前11项和写成第1项、第2项与第3项的和、第4项与第5项的和、„第10项与第11项的和，然后利用已知分别求和，第三步与第二步类似采用分组求和.试题解析：
（1）设等比数列因为，所以的公比为，由
，即
．
，得
， 故所以
．
．
（2）由（1）可知．
则
．
因为所以，，
．
【点睛】本题提供等比数列的有关条件，可采用待定系数法求数列的首项和公比，借助等比数列的性质，运算会简单一些，写出等比数列的通项公式，于是写出采用分组求和，借助第一步的结果，求和显得更巧妙，把数列
，数列求和
的前11项和写成第1项、第2项与第3项的和、第4项与第5项的和、„第10项与第11项的和，然后利用已知分别求和.
18.如图所示，在四棱锥．
中，平面
平面
，
，
，
（1）求证：（2）若二面角为；
为
，求直线
与平面
所成的角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：
．
(1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有.
试题解析：
（1）解得所以所以因为平面所以所以平面.平面
，
平面
， .平面
，平面
平面
平面
，
，
， 中，应用余弦定理得，
，
，
，又因为（2）由（1）所以又因为所以因为所以所以因为在所以在.，平面是平面，平面是.与平面中，中，与平面，
平面，
.
所成的二面角的平面角，即
所成的角.
， .
19.某市为了制定合理的节电方案，对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：百千瓦时），将数据按分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有100万户居民，估计全市每户居民中月均用电量不低于6百千瓦时的人数及每户居民月均用电量的中位数；
（3）政府计划对月均用电量在4百千瓦时以下的用户进行奖励，月均用电量在户奖励20元/月，月均用电量在
内的用户奖励10元/月，月均用电量在
内的用内的用户奖励2元/月．若该市共有400万户居民，试估计政府执行此计划的年度预算． 【答案】（1）0.15；（2）4.08；（3）1.1136亿元．
【解析】试题分析：第一步根据频率分布直方图频率和为1，即小长方形条形面积和为1，求出m，第二步根据200户居民月均用电量不低于6百千瓦时的频率之和，估计全市100万户用电量不低于6百千瓦时的户数，计算中位数只需中位数左边条形面积为解出即可，第三步根据政府的奖励方法，分三段考查该市用电月奖励预算数，乘以12位年度的预算数.试题解析：
（1）由题得
，所以
． ，100万户居
；
，
，所以
．
内的用户数分别为
，所
元，故估计政府执行此计划的年
万元
亿元．
．
，列方程
内的用户数及每（2）200户居民月均用电量不低于6百千瓦时的频率为民中月均用电量不低于6百千瓦时的户数有设中位数是百千瓦时，因为前5组的频率之和而前4组的频率之和由，解得（3）该市月均用电量在以每月预算为度预算为【点睛】根据频率分布直方图的性质，频率和为1，可以求出未知数据或补全直方图，根据题意的要求可以计算部分条形图面积和，求出频率和，估计这部分的总体分布，根据直方图中的数据可以求出众数、平均数、中位数，计算中位数只需中位数左边条形面积为方程解出即可.20.已知分别是椭圆
的长轴与短轴的一个端点，
是椭圆的左、右
，列焦点，以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上一点，直线．
【答案】（1）；（2）见解析．
与轴交于点，直线
与轴交于点，求证：【解析】试题分析：根据题意列方程，利用待定系数法解方程求出椭圆的标准方程，第二步设出点P的坐标，满足椭圆方程作为条件（1），写出直线AP、BP的方程，表示点M、N的坐标，得到后恰好为试题解析：
（1）由题意得所以椭圆的方程为
，解得．
．设
，则
．
， .和
的长的表达式，两者相乘，代入条件（1）并化简所得的积，化简（2）由（1）及题意可画图，如图，不妨令
令，得，从而；直线的方程为， 令，得，从而．
所以
．
当所以时，,综上可知
,
．
的方程，解方程求【点睛】求椭圆的标准方程，常采用待定系数法，根据题意列出关于出，写出椭圆的标准方程，关于椭圆中的证明问题，根据题意设出点P的坐标，满足椭
和
的积为
，需要写出直线AP、BP
代入，圆方程，作为一个证明的重要条件，要证明的方程，表示点M、N的坐标，得到化简所得的积，恰好为21.已知函数（1）求函数（2）若在区间
和
的长的表达式，把重要条件中的
，问题得以解决.
．
上的最大值；
是函数
图像上不同的三点，且
，试判断
与之间的大小关系，并证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【解析】试题分析：（1），分三种情况讨论函数的单调性，进而分别求得其在时的最大值； (2 )分别求出与用表示，做差后得关于的函数，利用导数证明其大于零即可得结果.因为与在函数图象上，所以把和的坐标分别代入函数解析式中得 试题解析：（1）当当当①当所以②当在所以③当所以，即时，
在，即上是减函数，
上是减函数， 时，时，时，由，即时，时，，得
时，.
时，
在
上是增函数，
，在
，又，
，
，
，
，
，则有如下分类：
上是增函数，
综上，函数在上的最大值为
（2）
，
令所以当，在时，
，上是增函数，又，
，
， ，故
，
当时，，，，故
综上知，.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数最值的步骤：①确定函数是递增区间；令
的定义域；②对
求导；③令
的单调性进一步求函数，解不等式得的范围就
的极值，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
（二）选考题：共10分．请考生在第22/23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在极坐标系中，曲线
,曲线
．以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求（2）与的直角坐标方程；
交于不同的四点，这四点在上排列顺次为
,求
的值． ；（2）． 【答案】（1）的直角坐标方程为【解析】试题分析：（1）根据
，
，的直角坐标方程为，将
极坐标方程化为直角坐标方程，（2）将直线参数方程依次代入的直角坐标方程，由圆的几何性质以及参数几何意义得
，再由韦达定理得
，代入求得
的值.试题解析：解：（Ⅰ）因为所以曲线的直角坐标方程为由，得
，，由； ，
，得，
所以曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）如图，四点在直线上的排列顺序从下到上依次为，，，，它们对应的参数分别为，，，.连接，则为正三角形，所以
.
，
将代入，得：, 即，故，所以.
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是负、可为0) 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝＝|t|＝.
，中点M到定点M0的距离|MM0|
.(t是参数，t可正、可(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23.选修4-5：不等式选讲 已知为任意实数． （1）求证：（2）求函数【答案】（1）见解析；（2）1． 【解析】试题分析：
；
的最小值．
(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论； (2)利用题意结合不等式的性质可得试题解析：
（1），
因为所以（2），
.
.
.即.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需b|≤|a|＋|b|，通过求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±适当的添、拆项来放缩求解．
河北省衡水中学届高三上学期期末考试历史试题 Word版含答案
