任意角三角函数教学设计（精选多篇）

发布时间：2020-04-18 22:40:27 来源：教学设计收藏本文下载本文手机版

推荐第1篇：任意角的三角函数教学设计

任意角的三角函数（1）

一、教学内容分析：

高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）第12页1.2.1任意角的三角函数第一课时。

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。

二、学生学习情况分析

我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？

《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：

第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：

其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；

其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。

三、设计理念：

本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。

四、教学目标：

1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义；

2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。

五、教学重点和难点：

1.教学重点：任意角三角函数的定义. 2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.具体设计如下：

OPA

六、教学过程

第一部分——情景引入

问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为ho，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？

图1 【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。

第二部分——复习回顾锐角三角函数

让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”

【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运

BNOMPA图2 H动30秒后到达P点位置，由题意知AOP300，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝ho，所以本问题转变成求PH再次转变为求PM。

要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。问题2：锐角的正弦函数如何定义？【学生自主探究】：学生很容易得到

sin|MP||MP||MP|Rsin|PH|h0Rsin |OP|Rhh0Rsin

所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度h为多少？”

Ph1h0Rsin300 h2h0Rsin450

【教师总结】：t0在锐角的范围中，

OaYMPOMAXhh0Rsint0

第三部分——引入新课

问题3：请问t的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h为多少？能不能猜想

Bhh0Rsint0？

【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。

问题4：如图建立直角坐标系，设点P(xP,yP)，能你用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？

【学生自主探究】：sin|MP|yP R|OP|cos|MP|yP|OM|xP，tan |OP|R|OM|xP问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。

【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。

通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样。

问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？

【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到sin|MP|yP R|OP|PxyO学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度h？

通过摩天轮知道：

图3hh0Rsin1500h1h0Rsin300

由此得到：sin15001 2【设计意图】：通过这个，让学生检验sin正确？

问题7：sin|MP|yP在第二象限角是否R|OP||MP|在第三象限角或第四象限能成立吗？ |OP|【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差。

（可以让学生取t210，从而hh0Rsin2100,得到sin2100＝这与sin|MP||MP|不相符，实际上是sin） |OP||OP|1，发现2【教师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如何计算自已此时离地面的高度，用数学模型hh0Rsint0来表示，当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我更应该用点P的横坐标来代替|MP|或|MP|，那么这样就能够很好表示出正弦的函数任意角的定义。

第三部分——给出任意角三角函数的定义

如图3,已知点P(x,y)为角终边上的点，点P到顶点O的距离为R，则

ysin （R）

Rxcos （R）

Rytan （k）

x2【分析】：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。

问题8：当摩天轮的半径R＝1时，三角函数的定义会发生怎样的变化。【学生自主探究】：siny，cosx，tany。 x教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化。

教师进一步给出单位圆的定义给出下列表格，让学生自己补充完整。三角函数

sin 定义一：|OP|1

定义二：|OP|R

y Rx Ry x定义域

R R cos

tan

y x2k

及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。第三部分——例题讲解

例1.（课本P14例2）已知角终边经过点P0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值。

【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。

5例2.（课本P14例1）求的正弦、余弦和正

3切值。

【学生自主探究】：让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难

OMxyP图4点。

【教师讲解】：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚（任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离），因此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点P，如图4可以知道POM很容易得到本题答案。

不妨让学生取R|OP|4，能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。

第四部分——巩固练习练习1.例2变式求

7的正弦、余弦和正切值。 613，又点P在第四象限，得到P(,)，这样就可以322练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号?独立完成课本P15的“探究”。

【设计意图】：练习

1、练习2的设计与例

2、例3衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法。并在特殊情形中体会数形结合的思想方法。

第五部分——小结与作业学生自我总结

作业：P23习题1.2A组 1,2,3

七、教学反思

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。

2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。

3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。

4.《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一, 在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间, 促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力, 发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界, 是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器, 同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。

点评

本节课以新颖背景“摩天轮”引课，从直角三角形的锐角入手，引导学生尝试探究，逐次深入引出任意角的三角函数的定义，以问题形式巩固深化任意角三角函数值的计算，结合平位图直观作用，使学生经历了由浅入深，由易到难，清楚展现了任意角三角函数的生成过程，加深了对任意角三角函数的认识。

新课程教材强调了学生的探究能力的培养，但不意味着每个知识点都需要人为创设情景加以探究，现实的教学由于受教学时数限制，总是希望课堂教学效率高些，任意角的三角函数的定义是否一定要创设情景让学生探究？只要让学生理解有必要引入任意角三角函数概念，然后直接下定义，从课堂教学效率而言，可能会更好些。

推荐第2篇：任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》教学设计

一、教学内容分析

二、学生情况分析

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

三、教学目标

知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。

情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

四、教学重、难点分析：

重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。

五、教学方法与策略：

教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.

六、教具、教学媒体准备：

为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角三角函数与它的终边上点的坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．

七、教学过程

（一）教学情景

1．复习锐角三角函数的定义

问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图（课件2）在直角△ABC中，∠B是直角，那么根据锐角三角函数的定义，锐角A的正弦、余弦和正切分别是什么？

设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．

师生活动：教师提出问题，学生回答． 2．认识任意角三角函数的定义

问题2：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？

设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．

师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：

（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．

（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？

进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论。

（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角的三角函数呢？

（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角θ的终边不在第I象限又该怎么办？

问题3：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？

设计意图：引导学生在定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．

师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理．

问题4：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？设计意图：通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．

师生活动：学生求出定义域，教师进行整理．例1：（题目在课件8中）

设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．

3．练习（在课件9中）

设计意图：通过应用三角函数的定义，加强对三角函数概念的理解． 4．小结

问题5：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了．你能再回顾一下任意角三角函数的定义吗？

设计意图：回顾和总结本节课的主要内容．

八、作业设计：

教科书P106习题1.2题．

设计意图：根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面，从教科书中选择作业题．试图通过作业，让学生进一步理解三角函数的概念，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况．

九、教学反思：

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。

推荐第3篇：任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计

会宁县第二中学数学教研组

曹蕊

一、教学内容分析

二、学生情况分析

三、教学目标

方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。

情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

四、教学重、难点分析：

重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。

五、教学方法与策略：

教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.

六、教具、教学媒体准备：

为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．

七、教学过程

（一）教学情景

1．复习锐角三角函数的定义

问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．

师生活动：教师提出问题，学生回答． 2．认识任意角三角函数的定义

设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．

师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：

（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．

（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？

进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论。

（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角θ的三角函数呢？

（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角θ的终边不在第I象限又该怎么办？

问题3：大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？设计意图：为引入单位圆进行铺垫．

师生活动：教师提出问题后，可组织学生展开讨论．在学生不能正确回答时，可启发他们思考下列问题：

我们在定义1弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂些？

问题4：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？

设计意图：引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．

师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理．例1：（题目在课件中）

问题5：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？设计意图：通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．

师生活动：学生求出定义域，教师进行整理．问题6：上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？

设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想．

师生活动：学生回答，教师整理．例2：（题目在课件中）

设计意图：通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念．

师生活动：在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练．

问题7：既然我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？

设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想．师生活动：在教师引导下，由学生讨论完成．例3：（题目在课件中）

设计意图：将确定函数值的符号与求函数值这两个问题合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念．

例

4、例5（题目在课件中） 3．练习（在课件中）

设计意图：通过应用三角函数的定义，熟悉和记忆特殊角的三角函数值、三角函数值的符号、公式一，以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解．

4．小结

问题8：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了．我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数，借助直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆上点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数．你能再回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角三角函数的定义吗？

设计意图：回顾和总结本节课的主要内容．

八、作业设计：

教科书P.24习题1.2A组第

6、8题．

九、教学反思：

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

推荐第4篇：任意角三角函数定义

“任意角三角函数定义”的教学认识与设计

浙江金华第一中学孔小明

本文首先对三角函数定义的教学进行从整体到局部的分析，并在此基础上给出定义教学的主干问题设计.1．整体把握，使教学线索清晰，层次分明

三角函数是以函数为主线，刻画周期现象的数学模型.高中学习的三角函数是在初中学习锐角三角函数的基础上，通过用旋转的观点将角的概念推广到任意角，并使角与实数建立一一对应关系，然后结合坐标系和单位圆重新定义任意角的三角函数.因此，三角函数是函数的下位概念，同时又是锐角三角函数的上位概念，教学要以函数思想为指导，以坐标系和单位圆为定义工具，以初中锐角三角函数概念为认知的起点，促进任意角三角函数定义的有效生成.教科书在完成任意角三角函数定义基础上衍生出：(1)三角函数值在各个象限的符号；(2)单位圆中的三角函数线；(3)同角三角函数的基本关系；(4) 三角函数的诱导公式；(5)三角函数的图象与性质等.可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用.本节课的学习目标是理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系和单位圆的功能,丰富数形结合的经验.由于三角函数的定义内涵丰富、外延广泛等原因，同时，用单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数定义,与学生初中学习的锐角三角函数定义有一定的距离,一个侧重几何的边与边的比值表示,一个侧重代数的坐标（比值）表示.与学生熟悉的一般函数定义也有距离,一般函数是实数到实数的对应,而三角函数首先是实数（弧度数）到点的坐标的对应,然后才是实数（弧度数）到实数（横坐标或纵坐标）的对应.学生理解该定义很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高.促进学生理解定义的关键是让学生经历定义的形成过程,增强学习活动的体验,在教师的引导下独立思考、自主探究,完成定义的意义建构.教材中任意角三角函数定义的得出经历了以下四个循序渐进、不断深化的过程：（1）回忆用直角三角形边长的比产生的锐角三角函数的定义；（2）把锐角α放在直角坐标系中，用角的终边上点的坐标表示锐角α的三角函数；（3）由相似三角形的知识可知，三角函数值只与α的大小有关，与点在终边上的位置无关，因此可用单位圆上点的坐标表示锐角α的三角函数；（4）类比得出用单位圆定义任意角三角函数，并将它纳入到一般函数概念的范畴.教科书这样设计改变了以往纯学术形态的形式,一定程度上具有了教育形态的特征,体现了数学知识的产生、发展过程,反映了数学的“来龙去脉”,通过有效的铺垫,使之符合学生的认知规律,使从锐角三角函数到任意角三角函数过渡自然,有利于学生步步加深对三角函数定义本质的理解.因此,笔者认为,教学设计时无须“另起炉灶”,只要在此基础上,依据学生的认知特点,进行教学法的深加工即可.2．抓住关键，使教学精炼、简约而高效

由于教科书自身特点的限制,教科书还不能成为教师教学用的教学设计,根据教材的内容、要求以及编写意图,教师还需要一个再加工、再创造的过程.具体的,就是将教材中得出任意角三角函数定义经历的四个环节进一步教学化,使之符合学生的认知特点和规律,包括内容研究的必要性，坐标系、单位圆引入的自然性，以及用单位圆定义的可行性、合理性等.把它变成适合学生认知特点的具体的教育形态,使学生感受“数学是自然的、清楚的、水到渠成的”.当前,高中数学课标课程比大纲课程的内容有所增加，初中数学对高中数学支持减弱，新课程赋予数学教学更多的价值取向，要让课堂的所有环节都让学生有深度思考、自主探究并展示结果是不现实也是没必要的.事实上，学生在校以学习间接经验为主,学生的学习主要是“接受——建构”式的,因此,对教学起关键作用的内容，要留足时间让学生充分思考、交流与展示,其它内容教师可多讲授与引导，发挥先行组织者作用,使教与学达到平衡，让教学效益达到最大化.在引导学生回忆初中锐角三角函数定义之前,先解决“学习的必要性”问题,明确要研究的内容.教材将“三角函数”作为重要的基本初等函数,是周期现象的基本模型,教师可借助本章的章头语,完成课题的引入.由于初中的锐角三角函数定义不能推广到任意角的情形，从而引发学生认知冲突，激发学生进一步探究的欲望.用什么定义、怎样定义、这样定义是否合理等,成为继续研究的自然问题.之前,在任意角内容的学习中,学生已经有了在直角坐标系内讨论角的经验，但教学实践表明,学生仍不能自然想到引入坐标系工具,利用坐标来定义任意角三角函数.笔者认为，从帮助学生理解定义的实质，体会坐标思想与数形结合思想的角度，教师可利用适当的语言,引导学生重点解决“如何用坐标表示锐角三角函数”的关键问题.需要提及的是,陶老师的问题设计具有启示性：

现在，角的范围扩大了,由锐角扩展到了0°~360°内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中,你认为,对于任意角α，sinα怎样定义好呢？

上述问题提得“大气”，既能使学生的学习围绕关键问题展开，又突出正弦函数的概念分析.当然，若能依教材先作锐角情形的铺垫，教学更符合学生“最近发展区”，提高效率.这里，需要引导学生从函数的观点认识用坐标表示的锐角三角函数，有助于从函数的本质特征来认识三角函数.在第三个环节中，首先是如何自然引入单位圆的问题.用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点，其中最主要的是使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数，其次是使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论函数的性质奠定了基础.但单位圆的这些“优点”要在引入单位圆后才能逐步体会到.因此，引入单位圆的“理由”应该另辟蹊径，白老师在引导学生完成用角的终边上任意一点的坐标表示锐角三角函数之后，从求简的角度设置问题,不愧为“棋高一招”：

大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？

在学生得出时定义式最简单后,白老师引入单位圆,引导学生利用单位圆定义锐角三角函数.至此，学生就有了第四环节中用单位圆定义任意角三角函数的认知准备.由于“定义”是一种“规定”，因此，第四环节中，教师可类比用单位圆定义锐角三角函数情形，直接给出任意角三角函数定义，对学生而言，关键是理解这样“规定”的合理性，对定义合理性认知基础就是三角函数的“函数”本质——定义要符合一般函数的内涵（函数三要素）.3．精心设计问题，让课堂成为学生思维闪光的舞台基于上述认识，对定义部分的教学，给出如下先行组织者和主干问题设计.先行组织者1：周期现象是社会生活和科学实践中的基本现象，大到宇宙运动，小到粒子变化，这些现象的共同特点是具有周期性，另外，如潮汐现象、简谐振动、交流电等，也具有周期性，而“三角函数”正是刻画这些变化的基本函数模型.三角函数到底是一种怎样的函数？它具有哪些特别的性质？在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用？本课从研究第一个问题入手.意图：明确研究方向与内容.

问题1：在初中，我们已经学习了锐角三角函数，它是怎样定义的？意图：从学生已有的数学经验出发，为用坐标定义三角函数作准备.

问题2：现在，角的概念已经推广到了任意角，上述定义方法能推广到任意角吗？意图：引发学生的认知冲突，激发学生求知欲望.问题3：如何定义任意角的三角函数？意图：引导学生探索任意角三角函数的定义.

先行组织者2：我们知道，直角坐标系是展示函数规律的载体，是构架“数形结合”的天然桥梁，上堂课我们把任意角放在平面直角坐标系内进行研究，借助坐标系，可以使角的讨论简化，也能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的现象.坐标系也为我们从“数”的角度定义任意角三角函数提供有效载体.

意图：引导学生借助坐标系来定义任意角三角函数.

问题4：先考虑锐角的情形，如图1，在平面直角坐标系中，你能用点的坐标来表示锐角α的三角函数吗？

意图：引导学生用坐标表示锐角三角函数.

问题5：各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？

意图：扣准函数概念的内涵，把三角函数知识纳入函数知识结构，突出变量之间的依赖关系或对应关系，增强函数观念.

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，得出结论：三个比值分别是以锐角α为自变量、以比值为函数值的函数.问题6：既然可在终边上任取一点，那有没有办法让所得的对应关系变得更简单一点？意图：为引入单位圆进行铺垫.

教师给出单位圆定义之后，可引导学生进一步明确：正弦、余弦、正切都是以锐角α为自变量、以单位圆上点的坐标（或比值）为函数值的函数.问题7：类比上述做法，设任意角α的终边与单位圆交点为P（x，y），定义正弦函数为，余弦函数为，正切函数为 .你认为这样定义符合函数定义要求吗? 意图：给出任意角三角函数的定义,引导学生用函数三要素说明定义的合理性，明确任意角三角函数的对应法则、定义域、值域.

引导学生思考定义的合理性，先让学生作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明，得出结论：正弦、余弦、正切都是以任意角α为自变量、以单位圆上的坐标或坐标的比值（如果存在的话）为函数值的函数.接着给出任意角三角函数的定义域、值域.

“任意角三角函数的概念”教学设计

陶维林（江苏南京师范大学附属中学，210003）

一．内容和内容解析

三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础．

角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充．任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果．

比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心．这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便．

从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念．

任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数．

任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域．

任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义．

在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法．二．目标和目标解析

本节课的目标是，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．

学生已经学习过锐角三角函数sinα，cosα，tanα，了解三角函数是直角三角形中边长的比值，这个比值仅与锐角的大小有关，是随着锐角取值的变化而变化的，其值是惟一确定的，等函数的要素．这是任意角三角函数概念的“生长点”．

理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义的关键是由锐角三角函数这个线段长度的比值扩展为点的坐标或坐标的比值．因此，对锐角三角函数理解得怎样，对理解任意角三角函数有决定意义，复习锐角三角函数，加深对锐角三角函数的理解是必要的．

要实现让学生“理解”任意角三角函数定义的教学目标，莫过于让学生参与任意角三角函数定义的过程．让学生感受到因角的概念的扩展，锐角三角函数概念扩展的必要性，任意角三角函数是锐角三角函数概念的自然延伸．反过来，既然锐角集合是任意角集合的子集，那么，锐角三角函数也应该是任意角三角函数的特殊情况，是一个包含关系．让学生参与定义，可以感受到这样定义的合理性，感受到这个定义是自然的．

三．教学问题诊断分析

从锐角三角函数到任意角三角函数的学习，从认知结构发展的角度来说，是属于“下、上位关系学习”，是一个从特殊到一般的过程，“先行组织者”是锐角三角函数的概念．教学策略上先复习包容性小、抽象概括程度低的锐角三角函数的概念，然后让学生“再创造”抽象程度高的上位概念（参与定义），并形成新的认知结构，让原有的锐角三角函数的概念类属于抽象程度更高的任意角三角函数的概念之中．

学生过去在直角三角形中研究过锐角三角函数，这对研究任意角三角函数在认识上会有一定的局限性，所以学生在用角的终边上的点的坐标来研究三角函数可能会有一定的困难．可以让学生在原有的对锐角三角函数的几何认识的基础上，尝试让学生建立用终边上的点的坐标定义任意角三角函数，或者尝试用终边上的点的坐标定义锐角三角函数，然后再定义任意角的三角函数．

教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集）．因为学生刚刚接触弧度制，未必能理解“把角的集合与实数集建立一一对应”到底是为了什么．可以在复习锐角三角函数时，把锐角说成区间（0，四．教学支持条件分析

利用几何画板软件，可以动态改变角的终边位置，从而改变角的终边上点的坐标大小的特点，便于学生认识任意角的位置的改变，所对应的三角函数值也改变的特点，感受函数的本质；感受终边相同的角具有相同的三角函数值；也便于观察各三角函数在各象限中符号的变化情况，加深对任意角三角函数概念的理解，增强教学效果．

）内的角，以便分散这个难点．五．教学过程设计 1．理解锐角三角函数

要理解任意角三角函数首先要理解锐角三角函数．锐角三角函数是任意角三角函数的先行组织者．

问题1 任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教师用几何画板任意画一个锐角．要求学生自己任意也画一个锐角，利用手中的三角板画直角三角形，度量角α的对边长、斜边长，计算比值．

意图：复习初中所学习过的锐角三角函数，加深对锐角三角函数概念的理解，它是学习任意角三角函数的基础．突出：

（1）与点的位置的选取无关；（2）是直角三角形中线段长度的比值．问题2 能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？

意图：学生根据自己实际画图操作，以及计算比值的体验，会很快认为把斜边画成单位长比较方便，为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做铺垫．

问题3 锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？

意图：以便与后面的任意角三角函数的自变量是角（的弧度，对应一个实数），对应的函数值是α的终边与单位圆交点的纵坐标比较．

锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量是锐角．由于角的弧度值与实数可以一一对应，所以，α是（0，）上的实数．而与之对应的函数值sinα是线段长度的比值，是区间（0，1）上的实数．

问题4 你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”

意图：这个问题具有元认知提示的特点，引导学生勤于思考，逐步学会发现问题、提出问题、研究问题．

三条边相互比，可以产生六个比．还有哪三个呢？再把已知的三个倒过来． 2．任意角三角函数定义的“再创造”

教师利用几何画板，把角α的顶点定义为原点，一边与x轴的正半轴重合，转动另一条边，表现任意角．

问题5 现在，角的范围扩大了．在直角坐标系中，使得角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境下，你认为，对于任意角α，sinα，cosα，tanα怎样来定义好呢？

意图：可以打破知识结构的平衡，感受到学习新知识的必要性——角的范围扩大了，锐角三角函数也应该“与时俱进”，并不显得突然．把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程，发展思维．

有两种可能的回答．

可能一：在α的终边上任意画一点P（x，y），|OP|＝r．

可能二：设角α的终边与单位圆的交点为P（x，y）．

不论出现可能一还是可能二，都再问：“都是这样的吗？”

引导学生议论，以确认两种定义方法的一致性、各自特点．再问“你赞成哪一种？”，统一认识，建立任意角三角函数的定义．（板书）

因为前面已经有引导，学生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函数的认识（对定义的体验）

问题6（1）求下列三角函数值：

问题6（2）说出几个使得cosα＝1的α的值．意图：通过定义的简单应用，把握定义的内涵．

逐题给出，对于每一个答案，都要求学生说出“你是怎样得到的．”突出“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”的步骤．

问题6（3）指出下列函数值：

意图：角的终边位置决定了三角函数值的大小．终边位置相同的角同一三角函数值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα， cos（α＋2kπ）＝cosα，

tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）问题6（4）

①确定下列三角函数的符号：

②θ在哪个象限？请说明理由．反过来呢？

③角α的哪些三角函数值在第

二、三象限都是负数？为什么？ ④tanα在哪些象限中取正数？为什么？意图：认识三角函数在各象限中的符号．

问题7 做了这么多题，要反思．你是否发现了任意角三角函数的一些性质？还有些什么体会？意图：体验以后的概括，阶段小结．（1）抓住各三角函数的定义不放；（2）各象限中三角函数的符号特点，等．

教师板书学生获得的成果、感受． 4．任意角三角函数的定义域

问题8 α是任意角，作为函数的sinα，cosα，tanα，它们的定义域分别是什么？

意图：三角函数也是函数，自然应该关心它的定义域．

建立了角的弧度制，角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系，因此，sinα，cosα的定义域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定义域是

仍然紧扣定义，并引导以弧度制表示它的定义域． 5．练习

（1）确定下列三角函数值的符号，并借助计算器计算：

（2）求下列三角函数值：

6．小结

问题9 下课后，你走出教室，如果有人问你：“过去你就学习过锐角三角函数，今天又学习了任意角的三角函数，它们的差别在哪里呢？”你怎么回答他？

意图：通过问题小结．不追求面面俱到，突出锐角三角函数是三角形中，边长的比值，而任意角的三角函数是直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标，或者是坐标的比值．

若时间允许，再问：“还有其他收获吗？”比如，终边相同的角的同一三角函数相等；各象限三角函数的符号；任意角三角函数的定义域，等．六．目标检测设计

（1），写出α的终边与单位圆交点的横坐标，并写出tanα的值．

（2）求下列三角函数的值：

（3）角α的终边与单位圆的交点是Q，点Q的纵坐标是1/2，说出几个满足条件的角α．

（4）点P（3，－4）在角α终边上，说出sinα，cosα，tanα分别是多少？

（1）实际教学片段

上课始，教师用几何画板任意画一个锐角，提出问题1：“任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走进学生中间，观察他们的学习行为．结果发现，有一部分同学画出角之后，一片茫然．教师又不愿意把结果告诉学生，提示同桌的两位同学可以商量一下，并提示，完成的同学请举手示意，以便教师了解情况，结果举手的人很少．之后，教师提问一位举手的学生，问：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教师非常赞成．她在黑板上画出一个直角三角形，并不熟练地写出一个锐角的正弦是它的对边比斜边以及余弦、正切等三个三角函数．之后，教师又与学生讨论了问题2：能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？学生比较一致认为把斜边长画成单位长比较好，为“单位圆定义法”做必要的铺垫．接着讨论问题3：锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？在教师类比正方形的面积s＝a2的提示下，学生说出锐角三角函数中自变量以及与之对应的函数值分别是角、比值，最后讨论问题4：你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”有学生举手，表示想过这个问题，应该是六个，另外三个可以把现有的三个倒一下得到．至此，时间已经过去20多分钟．

教师本以为，学生在初中既然学习过锐角三角函数，对给出的一个锐角，借助三角板构造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在这一点上，学生耗费了大量的时间，而教师又不想越俎代庖地告诉学生，这就严重影响了后续建立任意角三角函数的概念，并通过特殊角的求值体验、把握内涵的时间保证，造成体验不够，概括

过早，应用更少的现象．

（2）问题出在哪里

问题在教学设计不够合理，当中的“教学问题诊断分析”不够准确．没有准确把握学生的知识基础与认识能力，对学生在学习中可能出现的困难估计不足．尤其是，对学生关于锐角三角函数的理解估计过高．主要表现在两个方面，一是初中学习锐角三角函数是在直角三角形中进行的，并不要求给出一个锐角，两边是射线，求出它的三角函数值．二是并不要求把“锐角三角函数”作为函数来认识，比如关注它的自变量是角，对应的函数值是比值，更不关心它的定义域、值域以及对应法则这些函数的要素．只要求运用符号sinA，cosA，tanA的意义来进行有关的计算，等．现在，要求学生从函数角度建立任意角三角函数概念这就失去了概念的上位支持．

关于锐角三角函数，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，是在“空间与图形”的“图形与变换”部分．标准指出：“通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．”以及“运用三角函数解决与直角三角形有关的简

单实际问题．”

笔者查阅了按照“课程标准”编写的几套初中教材，给出sinA的方式基本上一致，是：

如图（图略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即”（对cosA，tanA有类似的定义）并指出“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函

数．”

以后的内容（包括解实际问题），都是有关三角函数值的计算，并不强调它们的函数特征．有的教材虽然指出“对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．”作出了锐角三角函数是一种特殊的函数的提示，由于缺少必要的练习，作用并不大．应该说，这些都不违背“课程标准” 的要求．可见学生在初中学习过的函数有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，锐角三角函数并不纳入“函

数”这个系统．

初中学习锐角三角函数有一个特定的载体，这就是直角三角形，因此，当他们面对任意画出的一个锐角，其两条边是射线，要求出这个角的三角函数的近似值这个新情境时，竟不知如何是好，手足无措，无计可施，也说明学生对锐角三角函数并不理解．这样看来，画出一个锐角，要求学生会取点、画垂线、度量、计算比值的要求是必要的．

有教师认为，不必复习锐角三角函数，直接提出问题“同学们已经学习过锐角三角函数，你认为应该怎样来定义任意角的三角函数？”这种“大撒手”的问题跨度太大，学生更难回答．原因是对锐角三角函数的“函数”特征认识不足、理解不到位，要让学生直接建立任意角的三角函数，又要突出“函数”这一特征，很困难．因此，为建立任意角的三角函数的概念，需要先复习初中锐角三角函数的概念，因为从锐角（三角函数）到任意角（三角函数）又是由下位到上位的学习．教材要求首先把直角三角形中边长的比值扩展到坐标或者坐标的比值，在直角坐标系中认识锐角三角函数，并引导学生从“函数”的角度认识它，也就是弄清自变量以及与之对应的函数分别是什么是必要的．

（3）对教学的反思

高中教师应该了解义务教育阶段的数学课程标准，了解初中教材，了解学生在初中学习过哪些内容，尤其是相应的教学目标是什么，关注学生的认知结构．应该做好初、高中的衔接工作，不仅注意知识的衔接，还要注意思想方法、能力要求等各方面的衔接，为学习高中的相关内容做好铺垫．以为已经学习过锐角三角函数，学生就能够把它理解为一种特殊

的函数，是一个明显的例子．

教科书在节首提出的“思考”是：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗”其实，学生只知道锐角三角函数是直角三角形中边长的比值，并不完全知道“它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数”，这就需要通过复习，来帮助学生

补上这一点．

2．其他反思

（1）由于学生在复习阶段花了较多的时间，影响了新课的学习，用任意角三角函数概念解题的时间不多，体验不够，有教师提出“下课后练习不好做”，说明复习锐角三角函数没有必要．笔者认为，当“预设”与“生成”发生矛盾时，教师宁可选择“生成”．尊重学生的认知水平，尊重学生的认知心理过程，决不简单化，把结论直接告诉给学生，追求“结果”，追求“完成”教学任务．教师不能认为我已经把这个概念告诉你了，你就应该知道了．数学教学不是“告诉教学”，概念不能靠学生“复制”，对概念需要的是理解，需要学生用自己的体验建立起对概念的理解．什么是“教学任务”，不能仅限于知识要求，要注意学生的全面发展．比如，当学生不能正确选择在角的一边上取点，画垂线时，启示学生互相讨论、启发一下，借助于同伴的帮助解决问题．当学生不能说出“作为函数的锐角三角函数，自变量以及它的函数分别是什么”（属性）意义不清，不好回答时，教师降低难度，启发类比S＝a2中a表示边长，而S表示正方形

的面积．突出线段长、面积，等等．

“任意角三角函数的概念”与作为第一节课的“任意角三角函数的概念”不是同一个概念．对“任意角三角函数的概念”的认识、理解不是一蹴而就的，不是一节课可以完成的任务，需要一个长期的过程．比如，把角度化成弧度到底是为了什么？即便化成弧度，又为什么省略不写呢？建立角的弧度与实数间的一一对应有什么必要呢？任意角三角函数的自变量明明白白是角，为什么偏要把它说成实数呢？刚刚接触任意角三角函数就要求理解这一切是十分困难的．随着学习的深入，尤其是三角函数的应用，学生才能慢慢消除这些疑问，逐渐理解它．比如，在三相交流电路中，某一相电路中的电流强度IA＝Imsin（ωt）（其中Im是电路中电流强度的峰值），三角函数是刻画现实世界中周期现象的基本数学模型；再比如，当学生接触到函数y＝sin（cosx）后，再来看三角函数的定义域，会认识到抽象后的任意角三角函数的

自变量作为实数更具广泛性．

这一节课把教学的基本要求定位在，弄清任意角三角函数与锐角三角函数的区别，接受用坐标（或坐标的比值）表示三角函数就够了．如同在建立数轴之后，一个知道把向东2公里表示为2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是负数”的学生，就已经开始接受有理数，逐渐成为中学生了．

还需要注意的是，应该通过什么方式让学生建立起用坐标（或比值）表示任意角三角函数，以及领会建立这个概念过程

中所蕴涵的数学思想方法．

（2）在求cosπ时，一个学生说出的结果是0.9985．教师追问“你是怎么算出来的？”他回答：“用计算器．”后来，笔者用计算器做了实验，发现他用计算器计算时，把计算器中的角度模式（Mode）设置成了角度制（Degree）．在这种模式下，计算cosπ可以得到0.9985（即计算的是cosπ°）．如果把角度模式设置成了弧度制（Radian），计算cosπ仍可以得到－1．这件事的出现给我以及所有听课教师引发诸多思考．第一，这位同学没有关注到这节课刚学习过的概念，运用新概念解决当前的问题，而是停留在“三角函数值是能够用计算器算出来的”这个认识水平上；第二，反映了计算器的过度使用，会形成对学具的依赖，影响学生思维能力的发展．学具的功能越全面越强大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的计算器在初中使用可能会削弱解一元二次方程的学习；具有图象功能的计算器的过早使用可能会干扰函数的学习．因此，教师应该注意技术在教学中的“辅助”作用，适度使用教具，重视算理分析，重视算法

的来源，重视思维能力的培养，而不是追求计算结果．

借班上课，对学生的不熟悉是教师的苦恼，加上教学进度等问题，学生的知识储备不足（在教学任意角三角函数概念之前仅上过一堂“任意角”的课），是教学并不理想的一个重要原因．教学过程是师生双边活动的过程，离不开师生之间的交流，生疏是交流的障碍之一，生疏更难以做到师生之间配合默契．另外，学生对教师的教学风格的适应或认可也有一个过程，比如教师希望学生积极发言而不仅是听讲，等等．

（3）讨论中，老师们提出了许多有价值的教学应该遵循的一般规律以及一些先进的教学理念，但是，要求一节课全面体现各种先进教学理念，去承担反映数学教学规律中太多的东西是不现实，也是不应该的．

课堂教学是一项实践性很强的工作，除了认真的课前准备外，对教学过程中出现的“突发事件”，随机应变十分重要．教师需要关注学生的学习行为，关注学生的认识过程，随时修改自己的教学设计，调整教学内容、教学要求，改变策略，选择恰当的方法实施教学，以达到最佳教学效果．这一切都需要教师有很强的基本功．

推荐第5篇：《任意角的三角函数》教学反思

《任意角的三角函数》教学反思

市教育局举办的青年教师讲课比赛结束了，作为参赛选手，我觉得自己的课上得很失败。我不是一个逃避失败的人，但是心里真的很难受。关于比赛的种种总是在自己的脑海中萦绕着挥之不去，每次看到自己比赛的课件、教案、学案时，心里总是咯噔一下。也许，我真的该好好反思一下了，这种反思是方方面面的。从一定程度上讲，教学反思就是在课堂教学后的“自我揭短”，这对一般人来讲是痛苦的行为，对我也不例外。但我想，只有经历这种“痛苦”的洗礼，自己才能成长起来，业务能力才能更上一个新的台阶。

以前我写教学反思都是在教案的最后一个狭小的空隙里写上寥寥数笔，记录下自己当时上课的情况和学生的反应情况，真正静下心来写教学反思还是第一次。这也许就是我这次上课不成功的一个重要原因吧。因为不反思就没有进步，自己的确原地踏步太久了。

首先我非常感谢在这次比赛中给予我支持和帮助的各位领导和同事。在校内试讲的时候，符校长在百忙之中听我的课并给予指导。黄主任在听完课后写了一整张纸的建议，包括一些细节，并且当我不知如何处理突发状况时，黄主任给出了很好的建议。我们的组长符老师，有一次听我试讲完，很晚了都顾不上吃饭来给我指导，当时天气很冷，我真的非常感动。在处理知识的衔接方面，倪老师和曾老师给予了我很大的启发。高三的赵老师、王老师虽然教学任务很繁重，但当我在制作课件遇到难题请教他们时，他们都很耐心地给予我帮助。教研室的李主任在我准备的过程中一直给予我很大的帮助，甚至在比赛那天还到比赛现场告诉我一些比赛中需要注意的细节，包括如何利用有限的课间时间和学生沟通、拉近师生距离等。在这里我还要特别感谢学校生物实验室的管理员老师，每次我试讲要用多媒体时都有求必应。要感谢的人实在太多太多，真的很感谢同事、朋友给我的关心和帮助，在这里真诚地说一声：谢谢大家。

这次比赛失败的一个很重要的原因是缺乏实战经验。实战经验包含很多方面的内容，比如课题选择、授课容量、课件制作、师生互动、临场反应等，反映了平时上课的积累和学习情况。我的比赛课题是《任意角的三角函数》，属于概念课。概念课比较抽象，一般学生不容易理解，很难接受。尤其是当学生基础不是很好时，就很难互动起来。比如我这次的讲课内容是《任意角的三角函数》，它与高一数学必修一里面的《函数》的联系非常紧密。如果学生在当时的学习过程中没有很好地理解和掌握函数的有关概念，那么在后面的学习中就会遗忘，并且在学习新的函数时脑海中会有一种似是而非、模糊不清的感觉。所以我认为对于数学讲课比赛来说，选择上概念课对于教师尤其是青年教师来说是一个不小的挑战。

这次上课的容量也很大，针对三个知识点有三个例题，并有配套的课堂跟踪练习。在新课标要求下，学生是学习的主体，教师要充分发挥主导作用。由于学生实际认知水平达不到要求，授课容量过大，导致在比赛时很被动，很难完成课堂教学任务，且教学效果不理想。因为容量大会促使教师授课时语速过快，学生基础差就不好，因而难以跟得上教师的步伐，从而导致恶性循环。对于讲课比赛来说，我认为一个好的课件会给课堂教学插上一对腾飞的翅膀，起到事半功倍的作用，并且会让评委眼前一亮。我这次的课件制作得粗糙。在今后的学习和工作过程中，制作课件、熟练应用多媒体也是要努力的一个方向。关于师生互动、临场反应等，我认为自己在课堂上的积累远远不够，平时可能懒于创新，不善于发现、总结，这次比赛真的是一个很大的教训，对我触动很大。下面就授课具体内容做反思和总结。

在教学过程中我将教材内容进行整合：首先，让学生回顾初中相关内容――锐角三角函数的概念。然后将初中的锐角三角形放到直角坐标系中，出现了点的坐标，邻、对、斜变成了横、纵、r（=OP）。老教材上的定义自然推出；再次，将r特殊化令r=1，新教材上的定义立即出现；最后，进行定义的应用，教材例1考查新教材定义，例2考查旧教材定义。虽然教学设计得比较顺，自我感觉良好，但是在具体授课的过程中感觉很难，学生不动笔算。这一点值得深思。这节课从知识传授上看比较成功，但能力培养上显得不足，主要是在例题与练习的处理上投入的时间不足，没有使学生及时将知识内化为能力。这节课也许是我设计得太顺畅了，台阶过密、跨度太小，学生在学习过程中没有遇到陷阱，没有产生激烈的思维碰撞，因此，看似顺畅，实则效果不佳。今后我要注意梯度的设计，台阶不要过密，要有一定的思维跨度。

总之，通过这次比赛，我收获很多，受到的触动很大。这次讲课虽然不成功，但对我来说是一笔很宝贵的财富，对于促进我改进教学方法、提高教学水平、加强与学生沟通有着非常大的帮助。唯一不变的，是我热爱自己的职业。

推荐第6篇：“任意角的三角函数”教学反思

“任意角的三角函数”教学反思

在进行人教版高中数学必修（4）1.2.1任意角的三角函数的的教学过程中，我将教材内容进行整合:首先，让学生回顾初中相关内容－－锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值等；然后将初中的锐角三角形放到直角坐标系中，出现了点的坐标，邻、对、斜变成了横、纵、r(=OP)。老教材上的定义自然推出；再次，将r特殊化令r=1,新教材上的定义立即出现；最后，进行定义的应用，教材14页例1考查新教材定义，例2考查旧教材定义；强化练习、课堂小结、布置作业。课上的很顺，自我感觉良好。但针对上节内容布置当堂作业，却发现学生仍不能很好地理解掌握相关的知识点。过后，我在备课本的教学反思处写下了四条教学反思：

（1）知识与能力：这节课从知识传授上看比较成功，三个问题环环相扣，但从能力培养上显得不足，主要是在例题与练习的处理上，投入的时间不足，没有及时将知识内化为能力，但通过作业和调研题的讲解，师生对三角函数概念的理解都有了质的飞跃。

（2）循序渐进：在题目设计上相对于学生已有的知识是难了一点，因此出错率高。在今后的教学中要注意梯度的设计，跨度不要太大，贴近教材、贴近学生、贴近实际。

（3）教给与教会：这节课也许是我设计得太自然了，台阶过密、跨度太小，学生在学习过程中没有遇到陷阱，没有产生激烈的思维碰撞，因此，看似顺畅，效果不佳。下一步要注意梯度的设计，台阶不要过密，要有一定的思维跨度。

（4）脚踏实地：由于教师对新课改理解不深、盲目跟风，片面追求课堂气氛，将“满堂灌”变成了“满堂问”。学生为了表现自己，争抢回答问题，失去了对问题的深入思考，致使学生基础不扎实了，计算器的使用也降低了学生基本的运算能力。在今后的教学中要切实抓好落实，把数学解题真正落实到学生的笔头上。

反思是人类进步的阶梯，进步其实就是在没有极限的发现问题和解决问题的矛盾发展的过程中点滴积累起来的。努力让自己同时也鼓励自己的学生做生活工作的有心人，发现问题，在反思中促进自身的成长。

推荐第7篇：任意角的三角函数教学设计方案

任意角的三角函数教学设计方案师大附中

邓贵业

课题名称

任意角的三角函数

科

目数学年级高一

教学时间

一课时（40分钟）

学习者分析

在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

教学目标

一、情感态度与价值观 1.激发学生兴趣

2.激发学生探求新知欲望

3、数学数学概念的严谨性和科学性

二、过程与方法

1.通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

三、知识与技能

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数.

4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。

教学重点、难点

1.任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.2.

任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

教学资源

多媒体

《《任任意意角的三角函数的三角函数》》教学过程描述教学过程描述

教学活动1 导入新课

一、复习引入、回想再认

（情景1）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？

学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：

教学活动2

1.引伸铺垫、创设情景

（情景2）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！

留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.

能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答.用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数. 教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：

把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，构造一个RtΔOMP，则∠ MOP=α（锐角），设P（x,y）（x＞0、y＞0），α的临边OM =x、对边MP=y，斜边长|OP∣=r.根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：

（情景3）思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： ; ; .思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：引导学生观察图3，联系相似三角形知识，

探索发现：对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.

教学活动3

三、探究新知

1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?

显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: (1)叫做的正弦(sine),记做,即；

（2）叫做的余弦(coine),记做,即；（3）叫做的正切(tangent),记做,即.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.

教学活动4

1.探索定义域

（情景4）

1、函数概念的三要素是什么？函数三要素：对应法则、定义域、值域. 正弦函数sinα的对应法则是什么？

正弦函数sinα的对应法则，实质上就是sinα的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值y/r与之对应，即α→ y/r= sinα.

2、布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义域，填写下表：三角函数 sinα cosα tanα

定义域

引导学生自主探索：如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围. 关于sinα=y/r、cosα=x/r，对于任意角α（弧度数），r＞0，y/r、x/r恒有意义，定义域都是实数集R.

对于tanα=y/x，α= kπ+π/2 时x=0，y/x无意义，tanα的定义域是：{α|α∈R，且α≠kπ+π/2 }. „ „ „

教师指出: sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟。

教学活动4

五、符号判断、形象识记

（情景5）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！

引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：

sinα= y/r：上正下负横为0

cosα=x/r：左负右正纵为0

tanα=y/x：交叉正负

教学活动六

练习巩固、理解记忆

自学例1：求的正弦、余弦和正切值。角α的终边经过点P（－3，-4），求α的正弦，余弦及正切值.

教学活动七课堂练习： p17题

1、

2、3 处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义.

强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2、π、3π/2 等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值.

教学活动八

回顾小结、建构网络

要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：

1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，---，在终边上任意取定一点P，---） 2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？（根据定义，------）

3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？（根据定义，想象坐标位置， -----）

推荐第8篇：《任意角的三角函数》教学反思

《任意角的三角函数》教学反思

肥东县长临河中学赵治龙

任意角三角函数的第一节课，其中心任务应该是让学生建立起计算一个任意角的三角函数与其终边上点的坐标之间的关系，并在此基础上初步建立任意角三角函数概念的意义，《任意角的三角函数》教学反思。如，计算方法、定义域、值域、符号表示、有关结论（与点的位置的选取无关）后，首先提供“坐标系”作为脚手架，并引发学生的认知冲突—“在坐标系下，如何研究一个任意角的三角函数？”并以坐标系为平台，有层次的研究随角的变化，即第一象限下的锐角（认识研究方法的变化，以及符号表示的变化）——0~2π范围内的角（认识该范围内角的三角函数的表示方法，特别是值域的变化）——不同象限下终边相同的角（逐渐形成计算一个任意角的三角函数的操作过程）。

锐角三角函数概念教学时如果是先给一个锐角，再构造三角形，而不是象当前大多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下，对学生概念的迁移会更有帮助。

“任意角和弧度制”，应该完成用弧度制表示一个角α及其终边相同的角的集合如何表示，会对本节课“任意角的三角函数”概念的教学更有意义。

新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程,这节《任意角三角函数》的教案,主要围绕这一点来设计.

到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢让学生提出自己的想法,同时让学生去辨证这个想法是否是科学的因为一个概念是严谨的,科学的,不能随心所欲地编造,必须去论证它的合理性,至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突.在这个立-破的过程中,让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成,在形成的过程中可以从哪些角度加以科学的辩思.这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解.

让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中,是如何将直角三角形这个\"形\"的问题,转换到直角坐标系下点的坐标这个\"数\"的过程的.培养数形结合的思想.

《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一,在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间,促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断，教学反思《《任意角的三角函数》教学反思》。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略,使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界,是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器,同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。

推荐第9篇：《任意角三角函数》课后反思

谈《任意角的三角函数》的教学反思

金堂实验中学

吴华

一、本班学生认知水平

本班是高一年级的普通班，虽然有71人，有70%的人几乎不能听懂，有22%左右能听懂但不能把习题完全做对，有8%的人听懂也能正确完成习题，几乎没有人能超前思维，无主动自发学习习惯，这是本班的现状。

二、学习本节需要的基础知识

初中锐角三角函数知识；特殊锐角直角三角形三边关系；直角坐标系下坐标在四个象限的符号特征；弧度制和角度制的互化；终边落在Y轴的角表示方法；函数的定义和三要素。

三、教材设计安排

《任意角的三角函数》共分三个课时，第一课时主要是引入任意角的三角函数的定义，也是本节的教学重点和难点；第二课时诱导公式一的应用；第三课时利用单位圆有向线段表示三角函数。

（1）课堂设计安排

我上的是《任意角的三角函数》的第一课时，。第一节课定义占了本节课15分钟左右，在上课之前我认真看了教材上的李柏青老师课堂实录，并认真记录下他在每个知识点如何提问，如何由锐角三角函数过渡到任意角三角函数以及他在每个知识点上的时间分配。结合本班实际我在设计这堂课时改变了教材编排体系，在设计了任意角三角函数的定义和定义域之后我没有直接评讲例1“给定一个角求三角函数值”，我先给出一组“判断三角函数值的符号”练习，让更多的同学参加学习中来，通过练习学生很快总结出“任意角三角函数在四象限的符号特征”。比起求值，判断符号肯定更简单。同时我将例2“给定坐标求三角函数值”移至第二课时，例2用单位圆的方式解答会无形中增加本题难度，两种方法对比学更能让掌握此题的方法。第一课时的时间已经比较紧，即使能讲完，学生也不能完成课堂练习。对定义域和值域两个内容在指导老师的建议下分成两节学习。学生学习“任意角的三角函数这个概念是以顺应为主的认知过程，我把它分成如下四个阶段：直角三角形中的锐角三角函数---直角坐标系中的锐角三角函数---单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数---单位圆上点的坐标表示的任意角的三角函数---任意角终边上任一点坐标定义三角函数，层层引入，所以学生就理解了任意角的三角函数。

（2）本节内容的特点

（A）数学课堂的情景创设是关键。虽然这节课情景创设是老掉牙的复习导入初中锐角三角函数，但注重与义务教材的衔接，初中教材中只涉及正弦、余弦和正切，在本节的内容比老教材相比三角函数的定义减少了三个，这三个三角函数的删减大大降低三角函数一章的难度，由这三个也可以推导其他几个。（B）定义的引入还有一个最大的特点是利用单位圆定义三角函数是一个创新。我认为它有如下几个优点：一是使正余弦函数直接对应直角坐标系下一个点的横纵坐标更加清楚、简单，突出了三角函数的本质。有利于学生理解三角函数是函数的本质；二是使三角函数反映的数形关系更加明了，为后续内容奠定基础。（C）本节的重点和难点是对任意角三角函数定义的理解，一要阐述任意角三角函数定义来历，而要说明关系式是函数。在说明是函数上为了不让学生会被函数的概念搅昏，我提出了启发性的问题：给一个a值有一个点的坐标与之对应，所以它们是函数吗？比直接问他们是不是函数好判断多了。（D）锐角三角函数与任意角三角函数的关系是由特殊到一般的关系，首先，要建立锐角三角函数放在直角坐标系下，用终边上点的坐标来表示，再用终边与单位圆的交点的坐标表示。其次，角的概念扩大，学生在第一节学习了角的表示（过程的）：正角、零角、负角，象限角，与角α终边相同的角，{α+k·360°}到{α+2kπ}(结构的)，学生对角的概念扩充，后面学习了角度可以用弧度表示。将三角函数的定义域扩充到实数，

（3）本节渗透数学思想方法、思维能力

通过单位圆来定义三角函数，渗透数形结合思想。同时在说明三角函数是函数上体现了函数与方程思想。由锐角三角函数的坐标表示引到任意角的三角函数的坐标表示展示类比的思想。在探索四象限的三角函数的符号特征我采用探究式学习方式，锻炼了学生的独立思考的能力，也充分展现学生自学、探究学习的过程。

四、本课的学习和教学方式

课本中有些内容可以采用学生自主探究方法，但不适宜整课自学探究。结合本班学生实际让他们提前预习了该节内容，并且利用晚自习把本节需要的基础知识逐一补充。有些高中的内容如角度与弧度互化加强记忆，另一些初中的相关知识加以复习巩固，这样做到课前有准备，课上不慌张。新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式, 其关键在于要培养学生的探究意识。新课程强调探究式教学。但我们班的学生由于基础差，学习习惯不好要探究出某个数学问题或者定理,需要花费大量时间,甚至可能无从着手，白白浪费时间。高中学生的学习任务主要是学习前人的知识与方法, 任何脱离知识基础的探究都是盲目的。所以结合本班实际我采用了讲授式，讲授式教学有其优越性；因此在教法的选择上，教师应从教学的实际内容出发，从学生的实际学情出发，内容适宜学生探究的或者问题有探究的意义的，就让学生探究，内容适宜教师讲授的，就让学生“接受”。只有多种教学方式取长补短，平衡互补、相辅相成，才能取得相得益彰的教学效果。

五、其他启示

数学概念 (mathematical concepts)：是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。，三角函数的概念教学是本节难点，如果教师直接“告诉”学生什么是“任意角三角函数”，就会让学生处于茫然不知所日，在知识接受上有突兀感．在教学中应遵循高中数学新课标的要求，加强概念的引入，引导学生经历从旧知抽象出数学概念的过程．合理设置情境，使学生积极参与教学，了解知识发生发展的背景和过程，使学生感受到学习的乐趣，为了总结出一个结论要建立任意角三角函数概念，角的概念先扩大，即任意角三角函数的概念是抽象度更高、包摄范围更广的概念。产生与原认知结构不协调的方面是：首先，要建立锐角三角函数的一个等价的表示过程，即放在直角坐标系下，用终边上点的坐标来表示，进一步用终边与单位圆的交点的坐标表示。其次，在不同象限下，角β所对应的三角函数的表示，符号等；第三，任意角三角函数的定义域、值域。通过上课及课后的研讨，我的另一点体会是，教学设计既要重视“承上”，即与学生原有认知结构的联系，也要重视“启下”，即从后续知识发展的角度审视教学安排。锐角三角函数概念教学时如果是先给一个锐角，再构造三角形，而不是象当前大多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下，对学生概念的迁移会更有帮助。另一个是，给出角上一点坐标求三角函数值，用单位圆解理解困难，我建议两种方法对比学，学生可以因材施教，更利于学生掌握

以上是我对上这课的一点体会，总之无论上什么课对于教材都要认真钻研教材、挖掘教材中体现的新思维、新理念，又要根据学生实际情况创造性的使用教材，发挥教材应有的指导性的功效，使我们的教学日臻完美。

推荐第10篇：任意角的三角函数(教案)

1.2.1任意角的三角函数

授课人：何艳峰

教学目标：

（1）让学生理解任意角的三角函数的定义。

（2）让学生运用三角函数的定义求任意角的三角函数。重

点：运用任意角的三角函数的定义求值。

难

点：运用数形结合思想和分类讨论思想求任意角的三角函数。教学方式：讲练结合教学媒体：黑板课

型：新授课教学过程： 1.课题引入

问题1. 在直角△ABC中，sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？

问题2. 为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合。在角α的终边上取一点P（x，y），设点P与原点的距离为r，那么sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？

问题3. 为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，sinα，cosα分别等于什么？ 2.新课讲解

（1）单位圆的定义

思考：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。对于角α的终边上一点P，要使│OP│=1，点P的位置如何确定？

（2）三角函数的定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么

sinycosxytan（x0）x

对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的。故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数。

13练习：已知角的终边与单位圆交于点P（，-），求角的三角函数值。

22例1 求5的正弦、余弦和正切值。3

（3）利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数例2 已知角α的终边经过点P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值。

思考：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？

sinyrxcosrytanx其中r=xy22 练习：已知角α的终边经过点P0（-4a，3a）（a≠0），求角α的正弦、余弦和正切值。思考：设α是一个任意的象限角，那么当α在第

一、

二、

三、四象限时，sinα的取值符号分别如何？cosα，tanα的取值符号分别如何？ 3.课堂总结 4.课后作业 P20：T1，T2

第11篇：任意角三角函数教案（推荐）

问题1 本章研究的问题是三角函数，函数的研究离不开平面直角坐标系，这在第一节中已经有所感受。现在请你回忆初中学过的锐角三角函数的定义，并思考一个问题：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？

（设计意图：将已有知识坐标化,分化难点。用新的观点再认识学生的已有知识经验，发挥其正迁移作用，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，使知识有一个熟悉的起点，扎实的固着点。）

预计的回答：学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义，但是在用坐标语言表述时可能会出现困难——即使将角置于坐标系中但是仍然习惯用三角形边的比值表示锐角三角函数，需要教师引导学生将之转换为用终边上的点的坐标表示锐角三角函数。

解答过程：

：如图1，在直角△POM中，∠M是直角，那么

。

（2）坐标化：如图2，建立平面直角坐标系，设点P的坐标为（x，y），那么，于是。

问题2 回忆弧度制中1弧度角的几何解释，它是借助于单位圆给出的，能否从中得到启示将上述定义的形式化简，化简的依据是什么？写出最简单的形式。（设计意图：引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。该问题与问题1结合，分步推进，降低难度，基本尊重教材的处理方式。）

预计的困难：由于学生只接触过一次单位圆，对它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教师的引导。也可以引导学生从形式上对上述定义化简，使得分母为1，之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。

解答过程：

单位圆中定义锐角三角函数：如图3，线段OP=1，点P的坐标为（x，y），那么锐角α的三角函数可以用坐标表示为：

。

（说明：单位圆的定义建议在弧度制一节中给出。）

依据：三角形相似，比值与具体的点的位置没有关系。

问题3：上述定义是借助于单位圆，利用角的终边与单位圆的交点的坐标给出的，它可以推广到任意角的三角函数，请你写出任意角的三角函数的定义。分小组分别写出角α的终边位于第

二、

三、四象限和x轴、y轴上时的三角函数。（设计意图：具体认识任意角的三角函数，突现本课时的研究重点。如果问题太一般化，如设计为：上述定义可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。那么学生不知道“上述定义”是指哪个，而且不明白任意角该如何取。所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆，利用坐标，限定学生的思维，以免太发散。再者在一般要求“写出任意角的三角函数”之后，又提出具体的活动方式：分小组针对不同位置的角分别写出其三角函数。这样将问题具体化，学生容易着手解决。写出定义的过程也是巩固推广的过程，而且这样做尽可能避免出现学生用计算器算cosπ的现象。）

活动形式：由学生分组独立完成之后再展示交流，形成具体而全面的认识。学生可能会在写出任意角的三角函数的定义时出现困难，教师的帮助不要具体，而是在思维上引导——用坐标表示，并引导学生正确认识三角函数的定义域。

预计的答案：如图4，针对其中的图（1）（2）（3）学生写出

，针对其中的图（4）学生写出

，针对其中的图（5）学生写出

，tanα无意义。

结论：给出三角函数的定义：（略）。

问题4：根据上述过程，你能写出三角函数的定义域吗？你能用函数的定义对三角函数进行分析吗？

（设计意图：顺势而为形成定义，并将三角函数的定义进行同化，通过这样的活动强化学生对任意角三角函数定义的理解，达到对概念的初步精致。）

预计的困难：学生对三角函数的自变量认识可能会存在问题。

教师的引导：引导学生利用单位圆的几何意义解释正弦、余弦的值域。预计的答案：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）。

例1 求的正弦、余弦和正切值。

（设计意图：巩固对定义的理解。）

分析：根据定义求解，先利用锐角三角函数知识求出点P的坐标，再根据定义求解。

解：如图5，可知在RTΔOPC中，∠OPC=30o，所以OC=，CP=，所以点P的坐标是。

根据定义可得：

练习１（P15练习3）完成下列表格中的前两列：

例2 已知角α的终边经过点P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。

（设计意图：通过问题的转化，进一步加深对定义的理解。）

分析：通过相似求出角α的终边与单位圆的交点坐标，之后再根据定义求解。解：如图6，由已知可得： |OP0|=

。

设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）,分别过点P和P0作x轴的垂线MP，M 0P0，则

又|OP|=1，根据∽Δ，可得，即，

所以，。

所以。

（说明：上述书写过程基本与例1统一，这样可以将该题目的求解思路同化，降低学习难度。）

问题5 通过本课时的学习你有哪些收获，请从知识、思想方法经验等方面进行小结。此外你还有哪些需要质疑之处。

（设计意图：引导学生小结，并进一步思考。通过质疑引导学生全面认识三角函数，虽然在课堂上不研究其他3个三角函数，但是可以让学生有一个全面的认识，培养思维的严谨性。通过三角函数定义的一般化，引导学生用辩证的观点认识事物，理解三角函数。）

小结：知识：（略）；

思想方法：（略）；

经验：用函数的观点认识三角函数，用单位圆的几何特征研究三角函数。

拓展1：3个数可以形成6个比值，为什么只对其中的三个比值进行定义和研究，其他3个比值又能对应什么函数呢？有兴趣的同学可以自己查阅资料进行研究。

拓展2：通过求解例2，你能发现还可以怎么定义任意角的三角函数呢？请阅读教材的旁白。这是三角函数定义的等价定义。

六、目标检测设计 1．P15练习1，2，3；

（设计意图：初步应用定义和等价定义。） 2．习题1.2A组2。

（设计意图：培养学生类比、对比解决问题能力。）

3．完成教材P13的探究，之后完成P15练习4，6，把结果填在书上。（设计意图：将作业作为课堂教学的延伸，培养学生自主学习的能力和习惯。）七．设计思路 1．突出单位圆的作用。具体表现在三个方面：第一是将锐角三角函数坐标化，引入单位圆；第二是利用单位圆写出任意角的三角函数；第三是利用单位圆写出定义域及正弦、余弦的值域；第四是在例2的解决过程中建立单位圆与一般定义的关系。

2．用函数同化三角函数。给出任意角的三角函数的定义之后，用函数的定义对三角函数进行分析，将之纳入到已有的认知结构中，并使得原有认知结构发生顺应变化。

3．力求在数学的自然、必要和学生的认知之间寻找平衡点。根据听课时出现的问题，在本教学设计中采取了下列处理方式。（1）先坐标化再引入单位圆，降低认知台阶。

从锐角三角函数到任意角三角函数这一段的处理基本尊重教材，这是因为在听课过程中发现如果将“坐标化”与“单位圆”两个问题同时抛给学生，虽然能体现出做这两个工作的必要性，但是跨度较大，学生感到困难，解决问题的过程费时费力，不但不能使学生感受到学习的必要性，反而制约了学生的思维。

（2）将问题分解、具体化，通过具体认识一般。

在形成任意角的三角函数的定义时将问题解剖，并采取分组合作的组织方式，旨在将抽象的问题具体化，降低难度。让学生根据角的不同位置写出定义，特别是对于象限角也进行了相同的处理办法，这是因为学生的思维从具体问题开始，而且要形成“初始效应”，在新概念学习伊始就使得它植根于学生的已有认知结构中，并形成强烈的意识——用新定义解决问题，而不再用计算器或其他办法。

（3）解题思路求同，强化定义的作用。

例

1、例2两个题目的解决思路都是相同的：先求出角的终边与单位圆交点的坐标，之后再根据定义求解。差别在于求角的终边与单位圆交点的坐标的具体方法不同，这些求法都是学生已经具备的技能。据此建议教材中将例2的解题过程修改，将利用相似求线段长的计算前置，分步完成即降低了难度，又统一了思路，突出了定义的作用。

（4）将作业作为课堂教学的有效延伸，给学生思考的空间。

作业中的第3项的设计，其意是使得学生的作业不但有模仿的，更有需要独立思考的，培养学生的能力。

2009-04-09 人教网关闭打印

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第12篇：任意角的三角函数教案

§1.2.1 任意角的三角函数

合肥市二十八中学

漆学龙

教学目标知识目标

1、掌握任意角的三角函数的定义。

2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。

3、记住三角函数的定义域和诱导公式

（一）。能力目标

1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。

2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。

3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。德育目标

1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。

2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。教学重难点

任意角的正弦、余弦、正切的定义

（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。教学过程

问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?

在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆

即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示

推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则:

正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.

(由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为:

我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1：

解：

例2：

事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

问题4: 根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦,正切的值在四个象限内的符号?

例3：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角

解略

问题5:根据三角函数的定义，终边相同角的同一三角函数值是否相等？

课堂练习练习1：填表

练习2：教材第15页练习

1、

2、4 本课小结

1.任意角的三角函数定义直角三角形中的锐角三角函数

象限中的锐角三角函数

单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数

任意角终边上任一点（非原点）坐标定义三角函数 2.三角函数的定义域

3.正弦、余弦和正切函数在各个象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦 4.诱导公式一

课后作业 1.习题1.2

5 2.预习教材P15~17

第13篇：任意角教学设计

任意角教学设计

一．内容和内容解析

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具。本节课是三角函数的第一节课，学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。本节课的教学重点是：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角、象限角的表示方法及判断。二．目标和目标解析

1．结合实例体验角的概念推广的必要性；从运动的观点出发，进行角的概念推广，理解并掌握正角、负角、零角的定义；

2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，即掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；

3．能建立适当的坐标系来讨论任意角，理解象限角、坐标轴上的角的概念，并能用集合和数学符号表示；

4．在角的概念的推广的过程中，树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；

5．通过正角、负角、零角与正数、负数、零的类比，培养学生的类比思维能力； 6．通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；三．教学问题诊断分析

本节课的教学难点是：把终边相同的角、象限角用集合和数学符号语言正确地表示出来。 1．学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质；

2．学生在学习了教材例1后，做p6第4题，仍然感到困难，其原因是：当角为负角时，在00～3600范围内找出终边相同的角，不知怎样计算，教学时应给学生介绍计算方法； 3．学生在学习了象限角的概念后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角），会出现障碍，其原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步的解释k·3600的运用特点。四．学习行为分析

1．初中学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于00～3600。结合实际生活中的例子，由教材的“思考”问题出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性。让学生在好奇心的推动下，充分的调动学生的自主探究的内在动力，利用类比和数形结合的思想，借助信息技术工具（如：几何画板），让学生在动态的过程中体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确的刻画角的形成过程的道理。学习本节角的概念的推广困难不大。

2．“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，通过填空的方式，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受。这里可以借助信息技术工具（如：几何画板），建立适当的直角坐标系，画出任意角，并测出角的大小，同时旋转角的终边，让学生观察角的变化规律，从而将数与形联系起来，使角的几何表示和集合表示相集合。

五．教学支持条件分析

借助信息技术工具（如：几何画板），制作课件。【可参考人民教育出版社配套《教师用书》后的光盘中数学4的资源】

1．角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会；

2．动态的表现角的终边旋转过程，有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系，从特殊到一般，让学生发现并验证终边相同的角的表示方法。六．教学过程设计 1．教学程序与环节设计

创设情境

↓ 组织探究

↓ 例题分析

↓ 尝试练习

↓ ——

——

实际问题出发，激起学生的求知欲望。角的概念的推广，象限角的定义、终边相同的角的表示方法。

通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。

象限角的判断、终边相同的角的表示方法。让学生复习本节主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法。

作业与反馈，关注学生的能力差异。在实际生活中体验数学的应用价值。小结与反思 ——

↓ 评价设计

↓ 课外活动

——

2．教学过程与操作设计：

环节创教学内容设计

设计意图提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性

师生双边互动

学生：针对上述问题，组织学生进行讨论。学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题是会发现问题，从而引起认知冲突。思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了设

多少度？

情

境

教师：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于00～3600之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.1．任意角概念的引入

回顾已有知识教师：提出问题

学生：回答问题

教师：[展示课件]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位

置旋转到另一个位置所成的图⑴.问题：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？

组 ⑵.举出不在

织

探

究

⑷.给出任意角的定义例，并加以说明。

⑶.你认为刻画这些角的关键是什么？

让学生认识到

的角的实

举例，再说明所举例的结合具体的实形.学生：

00角为什么不在0～360。例，感受角的

概念推广的必要性

教师：提供教材中的几个例子。

学生：组织讨论

刻画这些角不教师：引导学生从旋转量、旋转仅要用旋转量，还要用旋转方向。

教师：引导学生通过类比正数、负数和零，定义角的正角、负角

利用新概念重和零角的概念。

新认识问题。

学生：观察图1.1－3，进一步认

方向这两个方面进行思考。

2．象限角

通过尝试探

识正角、负角。

教师：让学生利用任意角的定义，

究，由学生感回答本节开始的“思考”中的表受没有统一标的校正问题。

学生：画图探究，讨论、交流，不难给出合理的放法。

（先让学生以同一条射线为始边作出下列角：210?/span>，－150?/span>，－660?/span>）

⑵.给出象限角的概念

3．终边相同的角

探究：将角按照上述的方法放在直

探究终边相同的角之间的关

⑴.问题：如果把角放在直角坐标准时，角的表系中，那么怎样放比较方便、合示不方便。理？

系，理解并掌教师：在总结分析合理放法的基握改关系。础上，给出象限角的概念，并说

从具体问题入手，了解终边相同的角的关系。

然后通过具体例子使学生直接感受象限角的概念。

学生：思考每组角的数量关系。教师：引导学生用含有其中一个明在同一坐标系下讨论角的好处。

角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线从具体到一ob（如图1.1—5），以它为终边的般，认识终边角的关系式表示另外的角。角是否唯一？如果不唯一，那么终相同的角的关边相同的角有什么关系？ ⑴.在直角坐标系内标出

系及其表示。由几何位置“终边相同”210?/span>，－150?/span>角的终探讨其代数特

教师：[展示课件]让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现

“终边相同”的角的关系，并利边，你有什么发现？它们有怎样的征的“统一”。数量关系？328?/span>、－32?/span>、－392?/span>角的终边呢？

⑵.直角坐标系内，角α对应了唯一一条射线（终边），那么是否存在与角α终边相同的角？如果存在，如何表示？ 4．练习

教科书p6练习第1～2题例1.在00～3600范围内，找出与例 -950012′角终边相同的角，并判定题

分它是第几象限角.

例2.写出终边在y轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在y=x上的角

通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。

用集合表示出来。

学生：口答

教师：通过提问的形式向学生传递答案。

教师：分析、板书例1。

学生：自学例2。

教师：指出这两个集合求并集的关键是把2700改写成900+1800，然后重新组合。

师生：共同完成例3，注意k的正确取值是关键。析的集合s,并把s中适合不等式-3600≤α≤7200的元素β写出来.1．教科书p6练习第3～5题尝 2．补充：

学生：尝试独立完成练习

通过练习，掌试 ①时针经过3小时20分，则时针握象限角的判教师：巡视，个别辅导

断、终边相同转过的角度为，分针转过的练的角的表示方学生：回答结果

角度为。

法。

习教师：给出评价

②若角α是第二象限角，则180啊?i>α是第象限角。问题：1.你知道角是如何推广的小吗？象限角是如何定义的呢？

让学生复习本学生：回答，讨论交流，补充

结 2.你掌握了与角α终边相同的角节主要内容，的集合的表示方法吗？

完善学生的认与

知结构，体会3.本节课你体会到哪些数学思想教师：归纳总结，突出重点知识；

数学思想方反方法？

解决学生的疑惑点。法。

思 4．在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方？评作业与反馈：

教科书p10习题1.1a组第1～3 1．题价

2．选做题：

①.写出终边在坐标轴上的角的集设

②写出终边在y= 合。

3．【发展要求】

上的角的集能用集合和数

2．判断角是第几象限角；

1．终边相同角的表示；关注学生的能力差异。

计合s,并把s中适合不等式-3600≤学语言表示终α

件的角；

③若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是；若α与β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是。

在实际生活中1．你能举出一些日常生活中的“大于3600的角和负角”的例子吗？与课

同桌交流，并熟练掌握它们的表

体验数学的应用价值

外示，进一步理解具有相同终边的角的特点．活

2．【探究学习】如果角α是第二动

象限角，那么在哪里？

探究学习，激

等角的终边落发学习兴趣。

第14篇：《任意角》教学设计

《任意角》教学设计

教材分析：

本小节是人教版A版必修四第一章第一节的内容。角的概念的考查多结合三角函数的基础知识进行，对求角的集合的交、并等计算技能的考查，有一定综合性，涉及的知识点较多，不过多比较浅显。三角函数的意义与三角函数的符号一般在最基本的层面上用选择、填空题的形式考查。此节是三角函数的基础，在锐角三角函数的基础上，通过具体事例，再利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，并用集合与对应的语言来刻画。这样，在研究三角函数之前，就有必要先将角的概念推广，从而建立角的集合与实数集之间的对应关系。信息技术的使用可动态表现角的终边旋转的过程，有利于学生观察到角的变化与终边位置的关系，进而更好地了解任意角和弧度的概念，体会角的“周而复始”的变化规律，为

研究三角函数的周期性奠定基础。

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入大于的概念；

（2）理解任意角并掌握正角、负角、零角的定义；

（3）理解象限角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义； (4)掌握所有与角终边相同的角（包括

角）的表示方法；

角和负角，要求学生掌握用“旋转”定义角（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；

（7）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；

2、过程与方法

通过创设情境：“转体三周半，逆（顺）时针旋转”，角有大于

角、零角和旋转方向不同所形成的角等，说明角不够用了，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.

3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.

二、教学重、难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法；及象限角的含义.难点: 终边相同的角的表示.

三、学法与教学用具

之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、电子白板，粉笔，三角板

四、教学设计【创设情境】

思考:

1、初中时我们是如何定义一个角的？角的范围是多少？

2、如果你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

学生活动：

1、①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．范围（0°,360°）

2、[实际操作]看看我们教室的时钟，会发现，校正过程中分针需要顺时针方向或逆时针方向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说之前的之间的角已经不够用了，这就是我们这节课要研究的主要内容——任意角设计意图：形象，具体的让学生感知角可以通过终边不停的旋转得到，以前的角度范围明显不满足现实要求，所以要进一步推广【探究新知】

1、初中时，角可以看成平面内一条射线绕着端点

从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1一条射线由原来的位置着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置线叫做角的始边，

叫终边，射线的端点

，就形成角叫做叫

，绕

.旋转开始时的射的顶点.记做：∠AOB或说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．

图1

2、再如在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）、自行车车轮、两个齿轮旋转的示意图等都是按照不同方向旋转时成不同的角,要准确地描述这些角，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须要知道旋转量，又要知道旋转方向。为了区别起见，

我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).

[展示课件]看图读角，形象的感知任意角，理解其含义这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）。注意：（1）零角的终边与始边重合，如果是零角则 =0°；

o（2）角的概过推广后，括正角、负零角．

3、

念经已包角和在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).练习：①说出下列各角分别位于第几象限。175°，225°，-300°

②那 0°，90°，180°，270°呢？（电子白板演示）

注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为轴线角.

4、探究与发现

① -60°，-420°，300°与-660°的终边有什么关系？ ② 如图，与终边有什么特点，并说出角的终边落在射线OB上的角度是2多少？答案是否唯一，为什么？（演示动画）

分析：不难发现，-60°，-420°，300°与-660°的终边相同，且 -420°=-60°+（-1）×360° 300°=-60°+

1 ×360°

-660°= -60°+

2 ×360° 一般地,我们有:所有与角终边相同的角的表示：

所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合

终边相同的角,连同角

在内,可构成一个集合

S={ β | β = + k·360 ° ，k∈Z}，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．注意： ⑴

k∈Z ⑵ α是任一角；

⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；

⑷ 角 + k·720 °与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角．

5、[展示投影]例题讲评

例

1、下列说法是否正确，为什么？请举例说明。（1）第二象限的角一定比第一象限的角大；（2）锐角是第一象限的角，第一象限的角是锐角；（3）小于90°的角是锐角；

（4）终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个。

分析：不要混淆“锐角”“ 第一象限的角”“小于90°的角“等概念；注意终边在第一象限和第二象限的角，均可正可负，所以不能直接比较大小。例

2、在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.

分析：（1）用所给的角除以360，将余角作为β；（2）负角除以360，要保证余角为正角。

解：∵－950°12‘‘= 129048‘‘－3×360°

∴在0°~360°范围内, 与－950°12‘‘角终边相同的角是129°48‘‘, 它是第二象限角.练习①在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．

⑴－120° ⑵ 640 °

例

3、写出终边在y轴上的角的集合 (用0°到360°的角表示).解：在0°~360°范围内,在终边在y轴上的角有两个，90°，270° ∴与90°角终边相同的角构成的集合

S1={β|β=90°+k∙360°，kÎZ} ∴与270°角终边相同的角构成的集合

S2={β|β=270°+k∙360°，kÎZ}

={β|β=90°+180°+2k∙180°，kÎZ} 所以，终边落在y轴上的角的集合为

S=S1∪S2={β|β=90°+2k∙180°，kÎZ}∪{β| β=90°+(2k+1)180°kÎZ}

={β|β=90°+n∙180°，nÎZ} 例

4、写出终边在直线y = x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ β

分析：用终边相同的角表示集合S,然后求解不等式，取整数解。

6、[展示投影]练习

教材P5第

1、

2、

3、

4、5题.

7、课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：负角：按顺时针方向旋转形成的角

③象限角；

④终边相同的角的表示法．

8、经验交流

1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.

2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个.用β除以360°，若所得的商为整数k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角.

五、作业：

教材P9习题1.1 A组

1、

2、3 思考题：

（1）终边落在轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在轴正半轴上的角的集合如何表示？

（2）终边落在坐标轴上的角的角的集合如何表示？（3）各象限角的范围如何表示？

第15篇：任意角教学设计

1.1.1 任意角教学设计

设计教师营迎

教学目标

1．结合实例体验角的概念推广的必要性；能建立适当的坐标系来论任意角，并能熟运用集合和数学符号表示终边相同的角。

2．培养学生的类比思维能力和形象思维能力。

3．通过任意角概念的学习，体验角的概念扩展的必要性，促进学生对数学知识形成过程的认识，用数学知识认识世界，从而培养学生善于思考，勤于动手的良好品质。教学重难点

重点：将0～360的角的概念推广到任意角。难点：角的概念的推广，终边相同角的表示。教学方法

本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的教学过程

00一.创设情境（引入）：（互动）请两名同学起立，做由“面向黑板转体背向黑板”的动作，在这个过程中他们各转体了多少度？(引导学生关注旋转的方向和旋转的量着两个要点)。我们会发现角已不仅仅局限于0～360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容———任意角。

二．探究新知，建立概念 (1) 任意角概念的引入

问题1：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？

师生活动：教师：[展示课件]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.问题2：你能举出不在0～360的角的实例，并加以说明吗

学生：举例，再说明所举例的角为什么不在0～360。教师：提供教材中的几个例子。 (2)概念讲解

1.角的概念的推广：

(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。 2.正角、负角、零角概念（类比正负数的规定）

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射

- 1

四.练习

1．与-1778°的终边相同且绝对值最小的角是___________ 。 2．A={小于90°的角}，B={第一象限的角}则A∩B等于（） A.{锐角} C.{第一象限的角} B.{小于90°的角} D.以上说法都不对五.小结

1.任意角的概念 2.象限角 3.终边相同的角 4.象限角的判断

六．思考终边在第

一、

二、

三、四象限的角的集合分别如何表示？

七.作业：红对勾训练1课时八.板书设计：略九.教学反思：

第16篇：任意角三角函数定义的教学认识

1.整体把握,使教学线索清晰,层次分明

三角函数是以函数为主线,刻画周期现象的数学模型.高中学习的三角函数是在初中学习锐角三角函数的基础上,通过用旋转的观点将角的概念推广到任意角,并使角与实数建立一一对应关系,然后结合坐标系和单位圆重新定义任意角的三角函数.因此,三角函数是函数的下位概念,同时又是锐角三角函数的上位概念,教学要以函数思想为指导,以坐标系和单位圆为定义工具,以初中锐角三角函数概念为认知的起点,促进任意角三角函数定义的有效生成. 教科书在完成任意角三角函数定义基础上衍生出:(1)三角函数值在各个象限的符号;(2)单位圆中的三角函数线;(3)同角三角函数的基本关系;(4) 三角函数的诱导公式;(5)三角函数的图象与性质等.可见,三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用. 本节课的学习目标是理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系和单位圆的功能,丰富数形结合的经验. 由于三角函数的定义内涵丰富、外延广泛等原因,同时,用单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数定义,与学生初中学习的锐角三角函数定义有一定的距离,一个侧重几何的边与边的比值表示,一个侧重代数的坐标(比值)表示.与学生熟悉的一般函数定义也有距离,一般函数是实数到实数的对应,而三角函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应.学生理解该定义很难一步到位,需要分成若干个层次,逐步加深提高.促进学生理解定义的关键是让学生经历定义的形成过程,增强学习活动的体验,在教师的引导下独立思考、自主探究,完成定义的意义建构. 教材中任意角三角函数定义的得出经历了以下四个循序渐进、不断深化的过程:(1)回忆用直角三角形边长的比产生的锐角三角函数的定义;(2)把锐角α放在直角坐标系中,用角的终边上点的坐标表示锐角α的三角函数;(3)由相似三角形的知识可知,三角函数值只与α的大小有关,与点在终边上的位置无关,因此可用单位圆上点的坐标表示锐角α的三角函数;(4)类比得出用单位圆定义任意角三角函数,并将它纳入到一般函数概念的范畴. 教科书这样设计改变了以往纯学术形态的形式,一定程度上具有了教育形态的特征,体现了数学知识的产生、发展过程,反映了数学的\"来龙去脉\",通过有效的铺垫,使之符合学生的认知规律,使从锐角三角函数到任意角三角函数过渡自然,有利于学生步步加深对三角函数定义本质的理解.因此,笔者认为,教学设计时无须\"另起炉灶\",只要在此基础上,依据学生的认知特点,进行教学法的深加工即可. 2.抓住关键,使教学精炼、简约而高效

由于教科书自身特点的限制,教科书还不能成为教师教学用的教学设计,根据教材的内容、要求以及编写意图,教师还需要一个再加工、再创造的过程.具体的,就是将教材中得出任意角三角函数定义经历的四个环节进一步教学化,使之符合学生的认知特点和规律,包括内容研究的必要性,坐标系、单位圆引入的自然性,以及用单位圆定义的可行性、合理性等.把它变成适合学生认知特点的具体的教育形态,使学生感受\"数学是自然的、清楚的、水到渠成的\". 当前,高中数学课标课程比大纲课程的内容有所增加,初中数学对高中数学支持减弱,新课程赋予数学教学更多的价值取向,要让课堂的所有环节都让学生有深度思考、自主探究并展示结果是不现实也是没必要的.事实上,学生在校以学习间接经验为主,学生的学习主要是\"接受--建构\"式的,因此,对教学起关键作用的内容,要留足时间让学生充分思考、交流与展示,其它内容教师可多讲授与引导,发挥先行组织者作用,使教与学达到平衡,让教学效益达到最大化. 在引导学生回忆初中锐角三角函数定义之前,先解决\"学习的必要性\"问题,明确要研究的内容.教材将\"三角函数\"作为重要的基本初等函数,是周期现象的基本模型,教师可借助本章的章头语,完成课题的引入. 由于初中的锐角三角函数定义不能推广到任意角的情形,从而引发学生认知冲突,激发学生进一步探究的欲望.用什么定义、怎样定义、这样定义是否合理等,成为继续研究的自然问题.之前,在任意角内容的学习中,学生已经有了在直角坐标系内讨论角的经验,但教学实践表明,学生仍不能自然想到引入坐标系工具,利用坐标来定义任意角三角函数.笔者认为,从帮助学生理解定义的实质,体会坐标思想与数形结合思想的角度,教师可利用适当的语言,引导学生重点解决\"如何用坐标表示锐角三角函数\"的关键问题.需要提及的是,陶老师的问题设计具有启示性: 现在,角的范围扩大了,由锐角扩展到了0°~360°内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合.在这样的环境中,你认为,对于任意角α,sinα怎样定义好呢? 上述问题提得\"大气\",既能使学生的学习围绕关键问题展开,又突出正弦函数的概念分析.当然,若能依教材先作锐角情形的铺垫,教学更符合学生\"最近发展区\",提高效率. 这里,需要引导学生从函数的观点认识用坐标表示的锐角三角函数,有助于从函数的本质特征来认识三角函数. 在第三个环节中,首先是如何自然引入单位圆的问题. 用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点,其中最主要的是使正弦函数、余弦函数从自变量(角的弧度数)到函数值(单位圆上点的横、纵坐标)之间的对应关系更清楚、简单,突出了三角函数的本质,有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数,其次是使三角函数反映的数形关系更直接,为后面讨论函数的性质奠定了基础. 但单位圆的这些\"优点\"要在引入单位圆后才能逐步体会到.因此,引入单位圆的\"理由\"应该另辟蹊径,白老师在引导学生完成用角的终边上任意一点的坐标表示锐角三角函数之后,从求简的角度设置问题,不愧为\"棋高一招\": 大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点? 在学生得出时定义式最简单后,白老师引入单位圆,引导学生利用单位圆定义锐角三角函数.至此,学生就有了第四环节中用单位圆定义任意角三角函数的认知准备. 由于\"定义\"是一种\"规定\",因此,第四环节中,教师可类比用单位圆定义锐角三角函数情形,直接给出任意角三角函数定义,对学生而言,关键是理解这样\"规定\"的合理性,对定义合理性认知基础就是三角函数的\"函数\"本质--定义要符合一般函数的内涵(函数三要素). 3.精心设计问题,让课堂成为学生思维闪光的舞台

基于上述认识,对定义部分的教学,给出如下先行组织者和主干问题设计. 先行组织者1:周期现象是社会生活和科学实践中的基本现象,大到宇宙运动,小到粒子变化,这些现象的共同特点是具有周期性,另外,如潮汐现象、简谐振动、交流电等,也具有周期性,而\"三角函数\"正是刻画这些变化的基本函数模型. 三角函数到底是一种怎样的函数?它具有哪些特别的性质?在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用?本课从研究第一个问题入手. 意图:明确研究方向与内容. 问题1:在初中,我们已经学习了锐角三角函数,它是怎样定义的? 意图:从学生已有的数学经验出发,为用坐标定义三角函数作准备. 问题2:现在,角的概念已经推广到了任意角,上述定义方法能推广到任意角吗? 意图:引发学生的认知冲突,激发学生求知欲望. 问题3:如何定义任意角的三角函数? 意图:引导学生探索任意角三角函数的定义. 先行组织者2:我们知道,直角坐标系是展示函数规律的载体,是构架\"数形结合\"的天然桥梁,上堂课我们把任意角放在平面直角坐标系内进行研究,借助坐标系,可以使角的讨论简化,也能有效地表现出角的终边位置\"周而复始\"的现象.坐标系也为我们从\"数\"的角度定义任意角三角函数提供有效载体. 意图:引导学生借助坐标系来定义任意角三角函数. 问题4:先考虑锐角的情形,如图1,在平面直角坐标系中,你能用点的坐标来表示锐角α的三角函数吗? 意图:引导学生用坐标表示锐角三角函数. 问题5:各个比值与角之间有怎样的关系?比值是角的函数吗? 意图:扣准函数概念的内涵,把三角函数知识纳入函数知识结构,突出变量之间的依赖关系或对应关系,增强函数观念. 先让学生想象思考,作出主观判断,再用几何画板动画演示,得出结论:三个比值分别是以锐角α为自变量、以比值为函数值的函数. 问题6:既然可在终边上任取一点,那有没有办法让所得的对应关系变得更简单一点? 意图:为引入单位圆进行铺垫. 教师给出单位圆定义之后,可引导学生进一步明确:正弦、余弦、正切都是以锐角α为自变量、以单位圆上点的坐标(或比值)为函数值的函数. 问题7:类比上述做法,设任意角α的终边与单位圆交点为p(x,y),定义正弦函数为 ,余弦函数为 ,正切函数为 .你认为这样定义符合函数定义要求吗? 意图:给出任意角三角函数的定义,引导学生用函数三要素说明定义的合理性,明确任意角三角函数的对应法则、定义域、值域. 引导学生思考定义的合理性,先让学生作出主观判断,再用几何画板动画演示,同时作好解释说明,得出结论:正弦、余弦、正切都是以任意角α为自变量、以单位圆上的坐标或坐标的比值(如果存在的话)为函数值的函数.接着给出任意角三角函数的定义域、值域.

第17篇：任意角的三角函数教学案例1

任意角的三角函数教学案例

一、教学内容解析

这是一堂关于任意角的三角函数的概念课．

在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值．在此基础上，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么关系了．任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想．三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用．而任意角三角函数的概念又是整个三角函数内容的基础，所以它不仅是三角函数内容的核心概念，同时在高中数学中还占有重要的地位．本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的定义是这节课的重点，能够利用单位圆认识该定义是解决教学重点的关键．

二、教学目标解析

1．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义：（1）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数；（2）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数；（3）知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．

2．在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会数形结合的思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题．

三、教学问题诊断分析

1．学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，原因是学生在此之前都是研究直角三角形中锐角的三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比值来表示锐角三角函数．要克服这一困难，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系．

2．学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性．针对这一问题，应引导学生利用相似三角形的知识来认识，明白对于一个确定的角，其三角函数值也就唯一确定了，表示其三角函数的比值不会随终边上所取点的位置的改变而改变．

3．学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，还可能会出现障碍，主要原因还是受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题．要帮助学生克服这一困难，就要让学生知道，借助单位圆，用终边与单位圆交点的坐标来表示三角函数，就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，用单位圆统一定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函数定义的本质，同时还能定义任意角的三角函数．

四、教学过程设计

（一）教学基本流程

（二）教学情景

1．复习锐角三角函数的定义

问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1，在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

师生活动：教师提出问题，学生回答． 2．认识任意角三角函数的定义

师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．

如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义，那么可以进一步提出下列问题来启发学生进行思考：

（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？

进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论：

（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角α的三角函数呢？

如果学生仍用直角三角形边长的比值来定义，则可以作下列引导：

（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角α的终边不在第I象限又该怎么办？

（5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，比如把点用坐标表示，把线段的长用坐标算出来．我们还是回到锐角三角函数的问题上，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的三条边长呢？

渗透数形结合的思想．

（6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？问题3：大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？

师生活动：教师提出问题后，可组织学生展开讨论．在学生不能正确回答时，可启发他们思考下列问题：

（1）我们在定义1弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂些？（2）对于一个三角函数，比如y＝sinα，它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定以后，能不能取终边上任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单些？怎样取？

加强与几何的联系．

问题4：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理．

问题5：根据任意角三角函数的定义，要求角α的三个三角函数值其实就是分别是求什么？

师生活动：在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值．

例1：已知角α的终边经过点，求角α的正弦、余弦和正切值．

师生活动：在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识：

变式1：求的正弦、余弦和正切值．

变式2：已知角α的终边经过点P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值． 3．进一步理解任意角三角函数的概念

问题6：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？师生活动：学生求出定义域，教师进行整理．问题7：上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？师生活动：学生回答，教师整理．

例2：求证：（1）当不等式组成立时，角θ为第三象限角；

（2）当角θ为第三象限角时，不等式组成立．

师生活动：在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练．问题8：既然我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？师生活动：在教师引导下，由学生讨论完成．

例3：先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值：

师生活动：先完成题（1），再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题． 4．练习1．填表：

角α 角α的弧度数

sin α cos α tan α 0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

2．设α是三角形的一个内角，在sinα，cosα，tanα，是

．

3．选择“>”，“

中，有可能取负值的

4．选择①sin θ>0，② sin θ0，④ cos θ0，⑥ tan θ

（1）当角θ为第一象限角时，

，反之也对；（2）当角θ为第二象限角时，

，反之也对；（3）当角θ为第三象限角时，

，反之也对；（4）当角θ为第四象限角时，

，反之也对． 5．求的正弦、余弦和正切值．

6．已知角θ的终边经过点P（－12，5），求角θ的正弦、余弦和正切值． 7．求下列三角函数值（求非特殊角的三角函数值可用计算器）：

师生活动：根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容作具体调整． 5．小结

问题9：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了．我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数，借助直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆上点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数．你能再回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角三角函数的定义吗？

师生活动：在学生给出定义之后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点．问题10：今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用．你能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了哪些问题？

师生活动：在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数形结合思想．

6．作业教科书习题

第18篇：任意角的三角函数教学案例1

任意角的三角函数教学案例

一、教学内容解析

这是一堂关于任意角的三角函数的概念课．

二、教学目标解析

2．在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会数形结合的思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题．

三、教学问题诊断分析

四、教学支持条件分析

五、教学过程设计

（一）教学基本流程

（二）教学情景

1．复习锐角三角函数的定义

问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1，在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．师生活动：教师提出问题，学生回答． 2．认识任意角三角函数的定义

设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．

如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义，那么可以进一步提出下列问题来启发学生进行思考：

（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？

进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论：

（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角α的三角函数呢？

如果学生仍用直角三角形边长的比值来定义，则可以作下列引导：

（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角α的终边不在第I象限又该怎么办？

（5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，比如把点用坐标表示，把线段的长用坐标算出来．我们还是回到锐角三角函数的问题上，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的三条边长呢？渗透数形结合的思想．

（6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？问题3：大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？设计意图：为引入单位圆进行铺垫．

师生活动：教师提出问题后，可组织学生展开讨论．在学生不能正确回答时，可启发他们思考下列问题：

（1）我们在定义1弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂些？

（2）对于一个三角函数，比如y＝sinα，它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定以后，能不能取终边上任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单些？怎样取？

加强与几何的联系．

问题4：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？

设计意图：引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．

师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理．

问题5：根据任意角三角函数的定义，要求角α的三个三角函数值其实就是分别是求什么？

设计意图：让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角函数概念的本质．

师生活动：在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值．

例1：已知角α的终边经过点，求角α的正弦、余弦和正切值．

师生活动：在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识：

变式1：求的正弦、余弦和正切值．变式2：已知角α的终边经过点P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值． 3．进一步理解任意角三角函数的概念

问题6：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？

设计意图：研究一个函数，就要研究其三要素，而三要素中最本质的则是对应法则和定义域．三角函数的对应法则已经由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域．通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．

师生活动：学生求出定义域，教师进行整理．问题7：上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？

设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想．

师生活动：学生回答，教师整理．

例2：求证：（1）当不等式组成立时，角θ为第三象限角；

（2）当角θ为第三象限角时，不等式组成立．

设计意图：通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念．

师生活动：在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练．问题8：既然我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？

设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想．师生活动：在教师引导下，由学生讨论完成．

例3：先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值：

师生活动：先完成题（1），再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题． 4．练习1．填表：

角α 角α的弧度数

sin α cos α tan α 0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

2．设α是三角形的一个内角，在sinα，cosα，tanα，是

．

3．选择“>”，“

中，有可能取负值的

4．选择①sin θ>0，② sin θ0，④ cos θ0，⑥ tan θ

（1）当角θ为第一象限角时，

，反之也对；（2）当角θ为第二象限角时，

，反之也对；（3）当角θ为第三象限角时，

，反之也对；（4）当角θ为第四象限角时，

，反之也对．

5．求的正弦、余弦和正切值．

6．已知角θ的终边经过点P（－12，5），求角θ的正弦、余弦和正切值． 7．求下列三角函数值（求非特殊角的三角函数值可用计算器）：

师生活动：根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容作具体调整． 5．小结

设计意图：回顾和总结本节课的主要内容．

设计意图：回顾和总结三角函数定义在本节课中的应用．

师生活动：在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数形结合思想．

6．作业

教科书P.20习题1.2A组第1，2，3（1）、（3），4（1）、（3），5，6（1）、（2）、（3），7（1）、（3），8（1）、（3），9题．

设计意图：根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面，从教科书中选择作业题．试图通过作业，让学生进一步理解三角函数的概念，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况

第19篇：任意角的三角函数说课稿（优秀）

任意角的三角函数说课稿

各位评委老师你们好！我是__号考生，科别是高中数学。今天我要说的课题是《任意角的三角函数》。我将以新课程标准的理念指导本节课的教学，从教材分析，教法学法，教学过程，教学评价四个方面加以说明。

一、说教材

1.地位和作用：

本节课是人教版数学（必修）4 1.2.1任意角的三角函数.它是本章教学内容的基本概念, 也是学好全章内容的关键，对三角内容的整体学习至关重要，也是今后高考的必考内容之一。

2、教学目标：知识能力目标：

掌握任意角的三角函数的定义，会求角α的三角函数值；理解并掌握三角函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式

过程方法目标：

体验三角函数概念的产生、发展过程，通过对三角函数值的符号，诱导公式

（一）的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力

情感态度与价值观目标：

培养学生归纳类比数形结合的思想

3、重点、难点：

重点是正确理解任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判断法，终边相同角的诱导公式

（一）

难点是把三角函数理解，以及单位圆的应用。

二、说教、学方法

在教学过程中，我将通过复习锐角三角函数的定义结合前面角的概念的推广提出问题：如何定义任意角的三角函数？以“教师主导、学生主体”的原则，采用 “启发、引导发现式”教学方法组织教学.另一方面，教学中运用多媒体工具提高直观性.下面我具体来谈谈这一堂课的教学过程：

三、教学过程

1、复习回顾

我将开门见山，面对全体学生提问：

在初中我们初步学习了锐角三角函数和刚刚角推广后，这样的三角函数的定义是否再适用？下面探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回顾：

问题:我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数.那么这三个三角函数分别是怎样规定的？

学生口述，教师进行强调：

(设计意图：通过学生对锐角的三角函数概念的回顾，为后面探索任意角的三角函数作了铺垫) 2创设情景，讲授新知识

问题:前面我们已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，我们能否用直角坐标系来研究锐角三角函数？让学生独立思考或自由讨论。（教师可以做适当的引导）

把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴

1 重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，构造一个RtΔOMP，则∠ MOP=α（锐角），设P（x,y）（x＞0、y＞0），α的邻边|OM |=x、对边|MP|=y，斜边长|OP∣=r.根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个比值：

sinayrxcosa

rytanax引导学生发现对于角α的每一个确定值，比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化,从而下面我们令r=1,引入单位圆（在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆）定义锐角三角函数，P点就是α的终边与单位圆的

y交点，对于P（x,y），有：sinay，cosax，tana(x0)

x即：锐角三角函数可以直接用单位圆上点的坐标表示.然后引申到任意角的三角函数，对于a是一个任意角，他的终边与单位圆的交点为p(x,y),有

（1）正弦：sinay，（2）余弦：cosax，（3）正切：tana特别强调正切函数要使其有意义！

y(x0) x通过上面的学习得出这三个式子，然后提出问题：各个比值与角之间有怎样的关系？

在这里我先让学生想象思考，作出主观判断，老师再演示，同时作好解释：保持r不变，让P绕原点O旋转即角α在直角坐标系中变化，三个比值

随之变化的直观形象。

然后得出结论(强调)：，比值随α的变化而变化；但对于角α的每一个确定值，比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.所以，正弦.余弦.正切都是以角α为自变量、以终边上点的坐标的比值为函数值的函数.，我们将它们统称为三角函数

(设计意图：学生对函数理解较肤浅，在这让学生在思维上更上了一个层次，从函数知识演绎三角函数知识，是准确理解三角函数概念的关键) 讲解了知识，然后就要通过题目教会学生怎样求角α的三角函数值。下面开始讲解例题（课本例1）给定一个角，求三角函数值。

讲解了例1，然后我会让学生马上做练习1（练习1和例1完全类似）通过讲练相结合，让学生更好的消化知识。

然后再提出问题：对于给定已知角的终边经过点p点不在单位圆上，p(x,y)，要怎 2 么求三角函数值？

让学生思考教师引导得出结论：

一般的，角a终边上任意一点的坐标(x,y)，它到原点的距离为r,(rx2y2),有

y rxcosa

rytana

xsina3.符号判断、形象识记

如何判断三角函数值的正、负？

引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求.要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号。 4.诱导公式

（一）

这个公式很简单，我将直接讲给学生。

四、例题分析、练习巩固（课本例3，例4我采取的方式是直接让学生分组讨论，然后学生有问题直接下去引导）

（设计意图：及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习）五．课时小结

要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：（设计意图：在课堂内及时总结识记，让学生自己归纳识记本节课的主要内容，重点难点，及时建构知识网络）

六、布置作业

习题1.2 A组第1，2题和求0到360度特殊角的三角函数值

七、板书设计（在此不打了）

八、教学评价

各位评委老师，本节课我根据高一学生实际情况，采用直观教学，提问和讲练相结合的方法让学生对任意角的三角函数有了一个初步的概念，然后通过练习为以后的学习打下基础。我的说课完毕，谢谢大家。

第20篇：任意角三角函数的概念解读

“任意角三角函数的概念”教学设计

陶维林（江苏南京师范大学附属中学）一．内容和内容解析

在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法．二．目标和目标解析

本节课的目标是，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．

理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义的关键是由锐角三角函数这个线段长度的比值

扩展为点的坐标或坐标的比值．因此，对锐角三角函数理解得怎样，对理解任意角三角函数有决定意义，复习锐角三角函数，加深对锐角三角函数的理解是必要的．

教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集）．因为学生刚刚接触弧度制，未必能理解“把角的集合与实数集建立一一对应”到底是为了什么．可以在复习锐角三角函数时，把锐角说成区间（0，点．

四．教学支持条件分析

利用几何画板软件，可以动态改变角的终边位置，从而改变角的终边上点的坐标大小的特点，便于学生认识任意角的位置的改变，所对应的三角函数值也改变的特点，感受函数的本质；感受终边相同的角具有相同的三角函数值；也便于观察各三角函数在各象限中符号的变化情况，加深对任意角三角函数概念的理解，增强教学效果．五．教学过程设计 1．理解锐角三角函数

要理解任意角三角函数首先要理解锐角三角函数．锐角三角函数是任意角三角函数的先行组织者．

问题1 任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教师用几何画板任意画一个锐角．要求学生自己任意也画一个锐角，利用手中的三角板画直角三角形，度量角α的对边长、斜边长，计算比值．

意图：复习初中所学习过的锐角三角函数，加深对锐角三角函数概念的理解，它是学习任意角三角函数的基础．突出：

（1）与点的位置的选取无关；（2）是直角三角形中线段长度的比值．

）内的角，以便分散这个难问题2 能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？

问题3 锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？意图：以便与后面的任意角三角函数的自变量是角（的弧度，对应一个实数），对应的函数值是α的终边与单位圆交点的纵坐标比较．

问题4 你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”

意图：这个问题具有元认知提示的特点，引导学生勤于思考，逐步学会发现问题、提出问题、研究问题．

三条边相互比，可以产生六个比．还有哪三个呢？再把已知的三个倒过来． 2．任意角三角函数定义的“再创造”

教师利用几何画板，把角α的顶点定义为原点，一边与x轴的正半轴重合，转动另一条边，表现任意角．

有两种可能的回答．

可能一：在α的终边上任意画一点P（x，y），|OP|＝r．

可能二：设角α的终边与单位圆的交点为P（x，y）．

不论出现可能一还是可能二，都再问：“都是这样的吗？”

引导学生议论，以确认两种定义方法的一致性、各自特点．再问“你赞成哪一种？”，统一认识，建立任意角三角函数的定义．（板书）

因为前面已经有引导，学生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函数的认识（对定义的体验）

问题6（1）求下列三角函数值：

问题6（2）说出几个使得cosα＝1的α的值．意图：通过定义的简单应用，把握定义的内涵．

逐题给出，对于每一个答案，都要求学生说出“你是怎样得到的．”突出“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”的步骤．

问题6（3）指出下列函数值：

意图：角的终边位置决定了三角函数值的大小．终边位置相同的角同一三角函数值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα， cos（α＋2kπ）＝cosα，

tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）问题6（4）

①确定下列三角函数的符号：

②θ在哪个象限？请说明理由．反过来呢？

③角α的哪些三角函数值在第

二、三象限都是负数？为什么？ ④tanα在哪些象限中取正数？为什么？意图：认识三角函数在各象限中的符号．

问题7 做了这么多题，要反思．你是否发现了任意角三角函数的一些性质？还有些什么体会？

意图：体验以后的概括，阶段小结．（1）抓住各三角函数的定义不放；（2）各象限中三角函数的符号特点，等．

教师板书学生获得的成果、感受． 4．任意角三角函数的定义域

问题8 α是任意角，作为函数的sinα，cosα，tanα，它们的定义域分别是什么？

意图：三角函数也是函数，自然应该关心它的定义域．

建立了角的弧度制，角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系，因此，sinα，cosα的定义域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定义域是

仍然紧扣定义，并引导以弧度制表示它的定义域． 5．练习

（1）确定下列三角函数值的符号，并借助计算器计算：

（2）求下列三角函数值：

6．小结

（1），写出α的终边与单位圆交点的横坐标，并写出tanα的值．

（2）求下列三角函数的值：

（3）角α的终边与单位圆的交点是Q，点Q的纵坐标是1/2，说出几个满足条件的角α．

（4）点P（3，－4）在角α终边上，说出sinα，cosα，tanα分别是多少？

读书的好处

1、行万里路，读万卷书。

2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

3、读书破万卷，下笔如有神。

4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文

5、少壮不努力，老大徒悲伤。

6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿

7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

8、读书要三到：心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。

10、一日无书，百事荒废。——陈寿

11、书是人类进步的阶梯。

12、一日不读口生，一日不写手生。

13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。——高尔基

14、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游

15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈——歌德

16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。——笛卡儿

17、学习永远不晚。——高尔基

18、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。——刘向

19、学而不思则惘，思而不学则殆。——孔子

20、读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。——培根

《任意角三角函数教学设计.doc》

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