线性代数教学工作总结（精选多篇）

发布时间：2020-08-10 08:35:35 来源：教学工作总结收藏本文下载本文手机版

推荐第1篇：线性代数教学建议

关于线性代数的教学建议

张梦雅

一、引言：

《线性代数》是一门比较难懂难学的高等数学学科，作为软件学院的一员在学习线性代数的同时还要学习一元函数微积分课程。两门课程都不容易学习，而且同学们刚迈入大学大门，还不能很好地适应大学中的学习方式（即为自学占主要部分）。没有老师的督促和指引，同学们学起来比较困难，故而线性代数的学习更加需要两位老师的帮助。而我作为课堂成员的一员，在此结合我平常的学习经验和上课体会，来给老师提出一些建议。

二、线性代数学习教学方法的分析：

之优点：

1、课堂分为两个部分

部分一：星期

一、星期四的课上同学们学习课本上的知识内容，老师带领同学们过一遍新的知识点，讲解书本上的习题。

部分二：星期五的课上老师则带领同学们做一些有关上节知识点的习题（通常为课本上的或老师PPT上的），帮助同学们加深知识点的理解和记忆。

2、课堂老师提问

本学期的线性代数课全是上午的

1、2两节课程，往往这个时候大部分同学刚起床就赶过来。老师上课提问可以让同学们紧张起来，集中注意力，让同学们好好听讲，而不是继续趴在桌上睡觉。另外，提问这一环节能调动同学们课下复习的积极性，给同学们施加压力，让同学们及时的复习课本。并且，课上提问能让同学们加深对某些重要知识点的理解。

3、新颖的讲课内容或方式：

有次课上老师用自己和家人的图片为同学们讲解矩阵的排列问题，引起了同学们的好奇心和兴趣，让同学们更加地在课堂上集中精神。偶尔老师的几个冷笑话或其他的小幽默也能引起同学们的注意，但这些东西只是为了帮助同学们学习的小插曲，不宜过多而失掉课堂上应有的学术氛围，理应适当才有益处。

4、老师能够顾及同学们的听课感受：

当投影仪上的字体过小时，老师及时调整字体以便教室中的每位同学都能看清楚；当同学们跟不上老师讲课的节奏时，老师会适当地放慢讲课速度；当讲到某些关键内容时，老师总会提醒同学们此内容为重点等等以便同学们有重点的学习。三：线性代数学习教学方法的分析：之建议：

1、若时间充裕，我认为老师可以效仿张波老师，每每讲完部分知识点就会问同学们关于这部分的知识同学们有什么问题，而后老师再把同学们问的问题清楚地表达出来（赞！）然后进行讲解。私下认为这样的做法能让同学们及时的把疑惑问出来并解决，有时若是等到下课后再问同学们可能忘记刚才的疑惑或是因为要补觉而选择不去或等会去，这样可能导致同学们的问题不能及时解决，等到考试时遇见困难就追悔莫及了。

2、希望老师在讲课时语速能稍微放慢一些，声音更加大一些。个人提出几点建议：

（1）、老师号召同学们尽量坐在前排位置，不要过于分散（我注意到第一排的位置经常少有人坐，估计是害怕老师提问）

（2）、老师可以如李忠伟老师一样手中拿一个类似于扩音器的物品，以便于随时放大声音；或是佩戴扩音器等提高音量。

（3）、老师可以时不时的询问同学们是否听清，防止同学们错过某些知识。

3、关于某些难以记忆的知识点，老师可以传授自己的记忆技巧或在课堂上向同学们征集记忆方法，以便大家能够快速牢固的记住知识点。

在最近学习的第六章的“基变换和坐标变换”中，矩阵A（过渡矩阵）和新、旧坐标、基的位置容易混淆。比如

A在后

A在前，还有A的逆出现等等

这样有时就不能导出正确答案，同学们难以分辨出A的位置和A和A逆的使用。

4、希望老师能够在每节课上花费几分钟的时间或是用一节课的时间来串讲一下知识点，帮助同学们形成网络框架图，更加清晰的掌握所学内容。

个人认为随着学习内容的增多以及难度的增加，同学们学习的越来越吃力，内容混在一起乱成一团，在做题的时候往往不能准确而又迅速的找到合适的方法以及公式来解决问题。若是能够梳理一下所学内容则会大有益处。

5、建议老师把课后习题的答案发到教育在线上或是向同学们推荐有关书籍，老师推荐书籍更能与课本上所学内容相契合，避免了同学们盲目地选购复习资料而选择不当（我买了同济版的辅导书，但觉得内容有些不符合）还望老师多费一些心思帮助同学们选购以及推荐。

6、建议老师督促学生不要上课迟到或是踩着铃声来上课，有时再交作业则会出现上课铃响教室还嘈杂声一片的情况。（最近经常出现这种情况）也许适当的轻微惩罚或者督促能够改善这种不良现象。

7、老师偶尔点名时间一般在5分钟左右，本来课上时间仅仅只有45分钟，所以在课上点名浪费少许时间。个人建议老师可以在第一节下课课间或是第二节下课后（有20分钟的休息时间）点名，这样也能防止某些学生投机取巧，第一节课来，第二节课走。

四、总结：

已经学习线性代数大半年左右，但是有些同学还是不知如何去学习，足以见得这门课的难度和深度。况且，线性代数是极为重要的一门课程，培养同学们的计算能力以及逻辑分析能力，学好这门课程是必须且很有必要的。接下来的时间里，只有同学和老师的共同努力才能让大家更好地学习这门课程。

五、参考文献：

1 《高等代数》第四版北大王萼芳著 2 “基变换与坐标变换” 百度文库

六、作者介绍：

张梦雅（1997-12-21生），女，河南省周口人，毕业于河南省漯河市高级中学。南开大学软件学院2014级，学号1412706。多次获得市级三号学生称号，获得化学竞赛一等奖。

推荐第2篇：线性代数

线性代数在[参数1]数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们在这里，提醒广大的2012年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学

一、

二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，我们将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对2012年[参数1]的同学们学习有帮助。

行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.。矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程.

向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是[参数1]的重点.提醒2012年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题.

往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题.特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是[参数1]的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题.。由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础.重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法.重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。

推荐第3篇：线性代数教学体会[定稿]

《线性代数》教学的一点体会

线性代数历来是让学生感到既爱又恨的一门课程，刚学时做运算兴趣昂然，到后来发现该课知识结构错综复杂，就又束手无策，恐惧心理油然而生。分析原因，一方面是因为线性代数确实是一门较为抽象的课程，里面充斥着符号演算和逻辑推导；另一方面是线性代数教材多是基于理论的准确和证明的严格，以及知识内容的相对独立性来编写的，自然学起来就不太容易。

同微积分一样，线性代数是一门传统的课程，具有十分丰富的运用价值，特别是由于计算机技术信息技术的飞速发展，线性代数对于科技人员已经是必不可少的，若学好了它则能成为他们发展的有利工具，否则就是一种障碍。因而如何教好学好线性代数就是一项十分紧迫而重要的任务。

在教学过程中，经过思考，探索与改革，我有了一些教学体会。

1.注意保持学生的兴趣和好奇心

只有有了浓厚的兴趣，学生才会保持旺盛的学习激情。线性代数的前面部分特别是行列式计算对于学生来说还算是相当有趣的，因为只要做一做简单的加减乘除就能将一个个庞然大物化为一个数。这个阶段，我在教学中注意利用学生的这种情绪，碰到问题尽量让学生自己去想去猜测，去演算，在课上遇到较复杂的行列式（n阶），我也先不说明做法，而是在n阶行列式的旁边写上一个低阶的（如5阶，6阶）同类行列式，然后给学生留下三五分钟让他们自己思索，讨论，求解。最后当我将完整正确的解答阐述明白后，许多学生面露喜色，摇头晃脑不亦乐乎，看来他们想对了，做对了，而且之所以得意忘形是因为有了莫大的成就感。考虑到线性代数后面的知识较抽象和难于解释，所以保持学生学习的这种兴趣就是十分重要的。只有这样学生才能主动积极的学习，将全章的难点和疑点各个击破，赢取学习的胜利。

2.注意让学生从全局和总体把握课程

“线性代数要做什么？”这是我上第一次课时说的第一句话。当然学生们无法回答，但他们很期待答案。之所以这么问，我是想从一开始就给学生们树立一个观念，那就是这样一门课，这样一本书，虽然它的知识点很多，可能也较困难，但是它要达到的目的是简单的是容易把握的。

我自己回答了这个问题，线性代数的主要目的是寻求m个n元一次（线性）方程组成的方程组的求解方法：当n＝m时，我们会使用一种工具：矩阵；当n不等于m时我们要使用另一种工具：矩阵；为了使得到的解表达得更确切，我们要有新的一些观念：线性表达和线性空间等。当然这些工具和观念本身又成为除解方程但之外线性代数的主要内容。

在教学过程的始终，我总是让学生认清这一主要目的，而我们之所以做的一切不过是在发展一种符号系统，例如行列式其实只是高斯消元法的一种简化书写的记号，矩阵只是一个数表，它实际上就是没有写出变量的方程组，所以方程组消元和矩阵运算实际 1

上是一样的，我们研究矩阵的运算和运算技巧以及标准形，只是为了解决代数的问题。

学生了解了矩阵和行列式在代数中的地位和作用，自然学习就有了主线，有了方向性和目的性，就会去主动的考虑一些问题，总结和掌握一些方法。

3.注意将抽象内容直观化，几何化

单独地学习一套抽象的符号系统及演算，对于学生来说确实会存在一些困难，特别是非数学专业，本身对数学的演绎和推理就是模糊和陌生的，大多数情况下他们并不清楚这套体系后面所蕴涵的背景和实质。有些教师认为不敢给学生讲得太多，特别是有些观念和定理的几何背景。或许是怕学生无法理解和掌握，从而更加影响教学的效果。但我认为只有在讲解时把握适当的准确性和深入性，是有助于加深学生对知识点的理解的，也有助于他们数学思维的形式，从而为以后课程的学习奠定较好的数学基础。在讲到向量组的线性关系时，我会用“共线”、“共面”等概念来加深他们的印象，在讲到向量组的秩时，我会用“三个向量的一个平面上”，“四个向量在一个三维空间重”等来帮助理解；在讲施密特正交化过程时，我会在黑板上用简单的图形演示该过程的实质，以利于我们理解这些向量是怎样“逐个”正交地；在讲矩阵的特征值和特征向量时，我会简单的说明该矩阵代表的线性变换在各个特征方向是怎样“压缩”或“拉长”的。这些讲解当然不能太难，而且必须适可而止，只要达到学生能够理解的地步即可。学生学习一门课程的目的并不是单纯的会演算该门课的各样习题，而是要掌握课程的实质和思想而加以运用，我想在这方面做如此的尝试是有益的。

4．注重各知识点的衔接、使知识点组织成网，提高学生分析能力

就线性代数本身而言，虽然知识块不多，但各块的知识点却非常多，从内容上看纵横交错，前后联系密切，环环相扣，相互参透，学生要将如此多的知识点组织起来确实困难。因此，在课堂上除了要有对上次课内容精炼的复习之外，更要时刻注意提醒学生当前知识与以往知识的联系与区别，以利于学生对此掌握。如在讲线性方程组解的结构时，我会让学生回忆第一章的克拉默法则，第三章的用初等变换解题的方法，并用新的知识来看待旧的问题，找出联系，比较异同，在讲向量组的秩时，注意及时复习矩阵秩的各种判定法及行列式的若干性质，从而让学生弄清两种秩的关系。在课程的后半部分，我会让学生们下去后自己总结一下行列式、矩阵的各种用途，是他们能自主地将各种知识串接起来，以加深理解。

当然关于线性代数的教学方法很多，因人而异，也各有特点。我想不管什么方法，其主要目的都是为了帮助学生学好这门重要的课程，培养出学生良好的数学思维能力和运用这种思维去解决日后学习和工作中遇到的各种困难的能力。因此作为教师，我们应该学会在教学实践中不断地掌握，比较，总结，从而形成一套行之有效而独具特色的教学方法，是我们的数学教育生动起来。

线性代数教学体会

线性代数课程内容多，比较抽象，具有一套特有的理论体系、思维方法及解题技巧。通过第一章的教学，感觉学生在开始时不易接受。比方说在第一章学完后他们在求三阶行列式时仍用定义来求，计算量大，而且容易出错。这说明一方面对求行列式的基本技巧没有掌握，另一方面，对课本知识比如行列式的性质没熟练掌握，比较生疏。我感觉很大程度上是因为线性代数不同于高等数学的特点。

根据前一段时间的教学我觉得应作好以下几个方面的工作：

要学会正确处理教材。任何学科的教学都不是把教材照搬到课堂上，而是要分清难点和重点，从而有针对性地讲解，这样便于学生接受。由于课本例题较多，课时少，更应该突出重点，所以在教学过程中应分清主次，及时提醒学生注意重点掌握的知识点，在必要的时候还应对有关的知识点做一下总结传授给学生。特别是在上习题课时要准备的充分一些，把解决重要类型的题目的方法系统的传授给学生。从中能培养学生的数学素质，数学思维。

多与学生和其他教师交流。仅有教学理论还不够，在实践中我难免还是把握不住“度”的问题，于是这就要求我要多与其他有经验的教师交流，从中了解一些要注意的问题，我感觉在与其他教师的交流中学到了很多，比如教材如何处理，哪些知识学生不易接受，容易出现什么错误等。同时还要听取学生的反馈意见，以及时弥补教学中的漏洞。从学生的作业中，发现了许多细节问题，比如字母书写不规范，一些约定的表达方式不会用，有时还用错，做题步骤混乱等。多数学生都有这些小毛病，而且他们本身也意识不到。这就要求平时就要及时给他们指出。由于学生学习程度不同，因此在教学工作中一方面要照顾“吃不了，消化不好”的同学，另一方面又要兼顾“吃不饱，还嫌少”的同学。

在教学中，还应注意总结，注意概念，注意实际，注意方法，使同学们在学习中取得好成绩。在教学工作中，注意阶段性的总结和随时有针对性的小结。阶段性总结，是要在章，期中，或期末告一段落时，进行总结。其目的是让同学们掌握那些是重点，那些是难点，各种概念，定义，公式的联系及区别，使学习的知识系统化。注意概念，由于同学们的学习经历了从高等数学到线性代数的转化，在概念的掌握上就显得特别重

要。注意实际意味着注意实际的应用，线性代数从实际中来，应当让它回到实际中去。在教学中注意联系实际的问题，无论对掌握知识本身，还是将来的同学们运用这些知识，都是至关重要的。在教学中，如矩阵的引入，就可由注实际背景引入。注意方法，在教学中，针对学生的专业特点和个性，注意教学方法，由浅入深，由此及彼，努力扩大同学们的知识面，加强对学生数学素质的培养。

最后也是非常重要的一点就是要培养学生学习的兴趣。兴趣是最好的老师。往往学得好的学生都会有较强的学习欲望。所以平时要多鼓励他们，帮他们克服刚接触新知识时的畏难情绪。最后希望能变“要我学”为“我要学”。

推荐第4篇：32学时线性代数教学目标

1.学习线性代数的基本知识和基本理论，掌握常用的矩阵、行列式和线性方程组理论等基础知识，熟练掌握矩阵、行列式的基本计算，系统的了解方程组的解及解空间的结构，使学生能够掌握必要的数学运算技能和利用数学软件进行线性代数计算的能力。

2.通过对向量空间的学习，使学生能对向量空间的结构及一些抽象的代数知识得到了解，从而培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。通过相似矩阵和二次型的学习，使学生学会求矩阵的特征值与特征向量的方法，能化二次型为标准型，能判别二次型的正定性、负定性。

3.通过线性代数的学习，使学生在运用数学方法分析问题和解决问题（包括解决实际问题）的能力得到进一步的培养、训练和提高，为学生学习后继课程和数学知识的拓宽提供必要的基础为学生进行科学研究和实际工作提供了适用的数学方法和计算手段。

推荐第5篇：《线性代数》教学要求及教学要点

《线性代数》教学要求及教学要点

第一章

矩阵

【本章教学目的和要求】

1、理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的各种运算以及运算法则，熟悉几种特殊的矩阵。

2、理解行列式的概念，熟悉行列式的性质，会用降阶法计算行列式，掌握计算n阶行列式的几种常用技巧。

3、理解分块矩阵的概念，会利用分块矩阵进行矩阵的运算，了解两类特殊的分块矩阵。

4、理解可逆矩阵、逆矩阵的概念，了解矩阵可逆的充要条件；理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵法求逆矩阵。

5、理解矩阵的初等变换以及初等矩阵的概念，了解矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系；掌握求逆矩阵的初等变换法，会用初等变换法解简单的矩阵方程。

6、理解矩阵的秩的概念，会求矩阵的秩，会做基本的证明题。【本章重点、难点】

1、矩阵的各种运算、运算律。

2、矩阵可逆的条件，用伴随矩阵法求逆矩阵。

3、矩阵的初等变换和初等矩阵之间的关系，用初等变换的方法求逆矩阵、解矩阵方程。

4、矩阵的秩的概念以及有关结论。

第一节

矩阵的概念

一、理解矩阵的概念。

二、熟悉几种特殊的矩阵。

第二节

矩阵的运算

一、掌握矩阵的线性运算的定义，熟悉线性运算满足的运算法则，会进行有关计算。

二、理解矩阵乘法的定义，了解矩阵可乘的条件；能熟练进行矩阵的乘法运算；熟悉矩阵乘法满足的运算法则，了解矩阵的乘法不满足交换律和消去律，了解两个矩阵可交换的定义并会进行有关计算。

三、理解转置矩阵的定义，熟悉矩阵转置的运算法则。

第三节

方阵的行列式

一、熟悉二阶、三阶、n阶行列式的定义。

二、熟悉行列式的性质，知道矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零等结论。

三、会用降阶法计算行列式，掌握计算n阶行列式的几种常用技巧。

四、了解拉普拉斯定理。

第四节

矩阵的分块

一、理解分块矩阵的概念。

二、熟练掌握运用分块矩阵进行矩阵运算的方法。

三、了解两类特殊的分块矩阵。

第五节

可逆矩阵

一、掌握可逆矩阵以及逆矩阵的概念。

（一）理解可逆矩阵和逆矩阵的定义。

（二）熟悉非奇异矩阵和奇异矩阵的定义。

（三）熟悉矩阵可逆的充要条件。

二、掌握伴随矩阵的定义，会用伴随矩阵法求逆矩阵。

三、熟悉逆矩阵的性质，掌握一些做证明题的技巧。

四、会用分块矩阵的方法求逆矩阵。

第六节

矩阵的初等变换

一、熟悉矩阵的初等变换的定义，熟悉初等矩阵的定义和性质。

二、熟悉矩阵的初等变换和初等矩阵之间的关系。

三、熟练掌握求逆矩阵的初等变换法。

四、会用初等变换法解简单的矩阵方程。

第七节

矩阵的秩

一、理解并掌握矩阵的秩的概念。

二、知道矩阵经初等变换后秩不变。

三、会利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，并求矩阵的秩。

第二章

线性方程组

【本章教学目的和要求】

1、熟练掌握克莱姆法则及其推论；掌握线性方程组的消元解法；掌握线性方程组有解的判定定理。

2、掌握n维向量、向量的线性运算及运算法则；理解n维向量空间以及子空间的概念。

3、理解向量的线性组合，向量组的线性相关与线性无关等概念。掌握判断一个向量组是否线性相关的方法；熟悉有关向量组线性相关性的结论，掌握一些基本的证明方法。

4、理解向量组的极大线性无关组、向量组的秩的定义；理解矩阵的行秩和列秩的定义，了解矩阵的行秩、列秩和秩的关系；会求向量组的极大无关组并会用极大无关组线性表示其余向量；掌握一些基本的证明方法。

5、理解并掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的定义，会求齐次线性方程组的基础解系，会用基础解系表示齐次线性方程组的全部解；熟悉非齐次线性方程组解的结构，会求非齐次线性方程组的全部解。

6、理解基的定义；熟练掌握向量的内积及性质；掌握向量的长度及性质；掌握向量的正交、单位向量、标准正交基等概念；熟练掌握施密特正交化方法；理解掌握正交矩阵的定义、性质和有关结论。【本章重点、难点】

1、线性方程组的消元解法，线性方程组有解的判定定理。

2、向量的线性组合，向量组的线性相关与线性无关，向量组的极大无关组和秩。

3、线性方程组解的结构。

4、向量的内积、长度、正交，标准正交基；施密特正交化方法。

第一节

线性方程组

一、熟悉克莱姆法则的条件和结论；熟悉含有n个方程的n元齐次线性方程组仅有零解的条件。

二、会用对增广矩阵施行初等行变换的方法解线性方程组。

三、熟练掌握线性方程组有解的判定定理，掌握齐次线性方程组有非零解的判定定理。

第二节

向量及其线性运算

一、掌握n维向量的概念，掌握向量的线性运算及运算法则。

二、理解n维向量空间和子空间的概念。

第三节

向量间的线性关系

一、理解并掌握向量的线性组合、向量组的线性相关和线性无关的定义。

二、理解并掌握有关线性相关与线性组合的定理。

三、掌握判断一个向量组是否线性相关的方法；掌握一些基本的证明方法。

第四节

向量组的秩

一、理解并掌握向量组的极大线性无关组、向量组的秩的定义。

二、理解矩阵的行秩和列秩的定义，了解矩阵的行秩、列秩和秩的关系；会求向量组的极大无关组并会用极大无关组线性表示其余向量。

三、掌握一些基本的证明方法。

第五节

线性方程组解的结构

一、理解并掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的定义，熟练掌握求齐次线性方程组的基础解系的方法，会用基础解系表示齐次线性方程组的全部解。

二、熟悉非齐次线性方程组解的结构，会求非齐次线性方程组的全部解。

第六节

Rn的标准正交基

一、理解基的定义；熟练掌握向量的内积及性质；掌握向量的长度及性质；掌握向量的正交、单位向量、标准正交基等概念。

二、熟练掌握施密特正交化方法。

三、理解掌握正交矩阵的定义、性质和有关结论。

第三章

矩阵的特征值和特征向量

【本章教学目的和要求】

1、理解并掌握矩阵的特征值、特征向量的概念和性质，会求矩阵的特征值和特征向量。

2、理解并掌握矩阵的相似及性质；熟知矩阵可对角化的条件，会判断一个矩阵是否可对角化；对于可对角化的矩阵A，会求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

3、了解矩阵的若当标准形。

4、了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；对一个实对称矩阵A，会求正交矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。【本章重点、难点】

1、矩阵的特征值、特征向量的定义和计算。

2、矩阵可对角化的条件。

3、对可对角化的矩阵A，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

4、对一个实对称矩阵A，求正交矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。

第一节

矩阵的特征值和特征向量

一、理解并掌握矩阵的特征值、特征向量的概念。

二、理解特征矩阵、特征多项式的概念，会求矩阵的特征值和特征向量。

三、熟悉特征值和特征向量的性质，掌握基本的证明方法。

第二节

相似矩阵与矩阵可对角化的条件

一、理解并掌握矩阵的相似及性质；熟知矩阵可对角化的条件，会判断一个矩阵是否可对角化。

二、

三、对可对角化的矩阵A，会求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。了解矩阵的若当标准形。

第三节

实对称矩阵的特征值和特征向量

一、了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，理解关于实对称矩阵一定可对角化的定理。

二、对一个实对称矩阵A，会求正交矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。

三、掌握基本的证明方法。

第四章

二次型

【本章教学目的和要求】

1、理解并掌握二次型的定义，二次型与对称矩阵的对应关系；理解并掌握线性替换的定义以及矩阵合同的定义、性质；理解并掌握二次型经过非退化线性替换后化为新的二次型

后，两个二次型的矩阵之间的关系。

2、熟悉二次型的标准形、规范形、正、负惯性指数、符号差的定义；会用正交替换法、配方法、初等变换法将二次型化为标准形并写出所作的非退化线性替换；会用配方法、初等变换法将二次型化为规范形并写出所作的非退化线性替换。

3、理解并掌握二次型与对称矩阵的正定、半正定、负定、半负定等概念，掌握二次型与对称矩阵正定的充要条件，会判定二次型与对称矩阵是否具有正定性或负定性。【本章重点、难点】

1、二次型与对称矩阵、非退化线性替换、矩阵合同等概念

2、用正交替换法、配方法、初等变换法将二次型化为标准形；用配方法、初等变换法将二次型化为规范形。

3、二次型与对称矩阵的正定、半正定、负定、半负定，二次型与对称矩阵正定的充要条件。

第一节

基本概念

一、理解并掌握二次型的定义，二次型与对称矩阵的对应关系。

二、理解并掌握线性替换、非退化线性替换的定义以及矩阵合同的定义和性质。

三、熟悉二次型经过非退化线性替换化为新的二次型后，两个二次型的矩阵之间的关系。

第二节

二次型的标准形与规范形

一、熟悉二次型的标准形的定义，会用正交替换法、配方法、初等变换法将二次型化为标准形并写出所作的非退化线性替换。

二、熟悉二次型的规范形、正、负惯性指数、符号差等概念；熟悉惯性定理，会用配方法、初等变换法将二次型化为规范形并写出所作的非退化线性替换。

第三节

二次型与对称矩阵的有定性

一、理解并掌握正定二次型和正定矩阵的概念；理解可逆线性变换不改变二次型的正定性，掌握二次型与对称矩阵正定的充要条件，会判定一个二次型或对称矩阵是否具有正定性。

二、理解半正定、负定、半负定二次型与对称矩阵的概念，会判定二次型或对称矩阵是否具有负定性。

推荐第6篇：线性代数试题答案

2004年10月自学考试线性代数答案

第一部分选择题(共20分)

一、单项选择题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设行列式A．-81 B．-9 C．9 D．8l

等于 ( ) 2．设A是m×n 矩阵，B是S×n 矩阵，C是m×s矩阵，则下列运算有意义的是 ( ) A．AB B．BC

3．设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是( )

4．已知线性表出的是( ) A．(1，2，3) B．(1，-2，0) C．(0，2，3) D．(3，0，5) 5．设A为n(n>2)阶矩阵，秩(A)

( )

，则下列向量中可以由6．矩阵

2004年10月自学考试线性代数答案

的秩为( )

1 A．1 8．2 C．3 D．4 7．设是任意实数，则必有 ( )

8．线性方程组

的基础解系中所含向量的个数为( ) A.1 B．2 C．3 D．4 9．n阶方阵A可对角化的充分必要条件是 ( ) A．A有n个不同的特征值 B．A为实对称矩阵

C．A有n个不同的特征向量 D．A有n个线性无关的特征向量 10．设A是n阶正定矩阵，则二次型A．是不定的 B．是负定的

C．当n为偶数时是正定的 D．当n为奇数时是正定的

( ) 第二部分非选择题(共80分)

二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 11．行列式

2004年10月自学考试线性代数答案

2 的值为_________．

12．设A为2阶方阵，且

13．设向量α=(6，-2，0，4)，β=(一3，l，5，7)，则由2α+γ=3β所确定的向量y=_________． 14．已知向量组

线性相关，则k=___．

有解的充分必要条件是t=____．

16．设A是3阶矩阵，秩(A)=2，则分块矩阵

的秩为——．

17．设A为3阶方阵，其特征值为3，一l，2，则|A|=____． 18．设n阶矩阵A的 n个列向量两两正交且均为单位向量，则19．设A=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵20．实二次型

_______

必有一个特征值等于__________．的规范形为____

三、计算题(本大题共6小题。每小题8分，共48分) 21．计算行列式的值．

22．设矩阵23．已知向量组，求矩阵B，使A+2B=AB．

2004年10月自学考试线性代数答案

分别判定向量组24．求与两个向量25．给定线性方程组

的线性相关性，并说明理由。

均正交的单位向量．

(1)问λ在什么条件下，方程组有解?又在什么条件下方程组无解? (2)当方程组有解时，求出通解． 26．已知二次型数c及二次型经正交变换化成的标准形(不必写出正交变换)．

四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 27．已知A，B，c均为72阶矩阵，且C可逆．若

，若Aa≠0，但线性无关．

，证明：当|A|

，证明：向量组a，Aa的秩为2，求参

参考答案

一、单项选择题(本大题共l0小题．每小题2分，共20分) 1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10.B

二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分) 11．0 12．2 13．(-21，7，15，13) 14．2 15．1 16．5

2004年10月自学考试线性代数答案

4 17.-6 18．E

三、计算题(本大题共6小题，每小题8分，共48分) 21．解法一

解法二

经适当的两行对换和两列对换

22．解由A+28=AB，有(A-2E)B=A，

2004年10月自学考试线性代数答案

23．解

24．解设与均正交的向量为

，则

这个方程组的一个基础解系为

(一β也是问题的答案) 25．解

2004年10月自学考试线性代数答案

6 所以，当

方程组有无穷多解．

时，方程组无解；

(2)当

时

26．解此二次型对应的矩阵为

四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 27．证由行列式乘法公式

2004年10月自学考试线性代数答案

7 28．证

2004年10月自学考试线性代数答案

推荐第7篇：线性代数教学计划

《线性代数》教学计划

Linear Aigebra

课程性质：必修

适用专业：理工，，经管，医药，农林等专业

总学时数：32学时学分数：2

一、内容简介

内容包括：行列式，矩阵，线性方程组的基本理论及解法，向量的线性相关性与线性空间，特征值与特征向量的概念与计算，矩阵的相似对角阵及用正交变换化对称矩阵为对角阵的方法，化二次型为标准形。

二、本课程的地位、作用、目的和任务

线性代数是高等学校理工科和经济学科等有关专业的一门重要基础课。它不但是其它数学课程的基础，也是各类工程及经济管理课程的基础。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已经成为科技人员常遇到的课题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用各个学科，这就要求学生具备本课程有关的基本知识，并熟练地掌握它的方法。

线性代数是以讨论有限维空间线性理论为主的课程，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生获得应用科学中常用的矩阵方法、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

三、本课程与其它课程的关系

本课程的先修课是高等数学中的“空间解析几何与向量代数”部分。作为基础课，它是许多后继课，如计算方法、数理统计、运筹学以及其他专业基础课和专业课的基础。

随着对教学内容的改革，本课程可以与高等数学中的某些部分结合起来讲授，如向量代数；又可在多元函数的微分学中介绍其部分应用，如二次型的正定性。

四、本课程的基本要求、课时分配，教学计划

通过本课程的学习，要求学生熟练掌握行列式的计算，矩阵的初等变换，矩阵秩的定义和计算，利用矩阵的初等变换求解方程组及逆阵，向量组的线性相关性，利用正交变换化对称矩阵为对角形矩阵等有关基础知识，并具有熟练的矩阵运算能力和利用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础。

教学计划具体如下：第一章行列式（5学时）

1.了解行列式的定义，掌握行列式的性质。

2.掌握行列式的计算，知道克莱姆法则。

第二章矩阵（7学时）

1.了解矩阵的定义，掌握常见的特殊矩阵及其性质；2.掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其规律；

3.了解逆矩阵的概念、掌握逆矩阵的性质及其求逆方法；4.了解分块矩阵及其运算。

3.理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的计算；

4.熟练掌握矩阵的初等变换；了解初等矩阵的性质及与初等变换的关系；

5.熟练掌握用初等变换求逆矩阵。

第三章线性方程组（2学时）

1.理解线性方程组的基本概念

2.熟练掌握方程组的求解过程（高斯消元法）

3.熟练掌握线性方程组解的理论，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

第四章向量的线性相关性（8学时）

1．n维向量的概念；

2．了解向量组的线性相关、线性无关的定义及有关结论；

3．了解等价向量组、最大无关组与秩的概念，会求向量组的最大无关组与秩；

4．理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念； 5．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念； 6．掌握用初等变换法求线性方程组的通解；

7．线性空间的概念与基本性质，线性空间的维数、基与向量的坐标。第五章相似矩阵（6学时）

1．理解特征值、特征向量的概念及性质，掌握特征值、特征向量的计算法； 2．了解相似矩阵的概念与性质，理解矩阵可对角化的条件； 3．了解内积定义，标准正交基，正交矩阵。

4．了解实对称矩阵的特征值特征向量性质，掌握实对称矩阵正交对角化方法。

第六章二次型（4学时）

1．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法； 2．知道二次型的秩、惯性律、规范形；

3．掌握二次型和对应矩阵的正定性及其判别方法。

五、考核方式：平时作业和期末闭卷考试

六、教材《线性代数》，方卫东，吴洪武，华南理工大学出版社，广州，2008.2，第一版。

七、本课程的教学方式

本课程的特点是理论性强，逻辑性强，其教学方式应注重启发式、引导式，讲授时应注意以矩阵作为教学的主线，将其它的内容与矩阵有机联系起来。

八、执行大纲时应注意的问题

1、如果条件允许，可以安排一定学时的数学实验课，用MATLAB语言实现一些繁琐的计算，如矩阵求逆、线性方程组求解等。

2、本课程的概念较多，讲授时需注意前后概念之间的联系。

推荐第8篇：0910线性代数

2009年10月线性代数(经管类)试题

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，A表示方阵A的行列

式，r(A)表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

0111

1．行列式1011

1101第二行第一列元素的代数余子式A21=（）

1110

A．-2 B．-1

C．1 D．2

2．设A为2阶矩阵，若3A=3，则2A（）

A．1

2 B．1

C．4

3 D．2

3．设n阶矩阵A、B、C满足ABCE，则C1（）

A．AB B．BA

C．A1B1 D．B1A1

4．已知2阶矩阵Aab1

cd的行列式A1，则(A*)（）

A．abcd B．dbca

C．dbca D．abcd

5．向量组1,2,,s(s2)的秩不为零的充分必要条件是（）

A．1,2,,s中没有线性相关的部分组 B．1,2,,s中至少有一个非零向量

C．1,2,,s全是非零向量 D．1,2,,s全是零向量

6．设A为mn矩阵，则n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是（

A．r(A)n B．r(A)m

C．r(A)n D．r(A)m

7．已知3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（）

A．A B．EA

）

C．EA D．2EA

8．下列矩阵中不是初等矩阵的为（）．．

100A．010

101

100C．020

001100B．010 101100D．110 101

9．4元二次型f(x1,x2,x3,x4)2x1x22x1x42x2x32x3x4的秩为（）

A．1

C．3 B．2 D．4

00110．设矩阵A010，则二次型xTAx的规范形为（）

100

222A．z1 z2z3

222C．z1 z2z3222B．z1 z2z3222D．z1 z2z

3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．已知行列式a1b1

a2b2a1b1a4，则1a2b2a2b1b2______.

12．已知矩阵A(1,2,1),B(2,1,1)，且CATB，则C2=______.

1001113．设矩阵A220，则A______.2333

1011,B14．已知矩阵方程XAB，其中A2110，则X______.

15．已知向量组1(1,2,3)T,2(2,2,2)T,3(3,2,a)T线性相关，则数a______.

16．设向量组1(1,0,0)T,2(0,1,0)T，且112,22，则向量组1,2的秩为______.

211101，若该方程组无解，则a 的取值为______.17．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为0a1

00a10

18．已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=______.19．已知向量α(3,k,2)T与β(1,1,k)T正交，则数k______.

22220．已知3元二次型f(x1,x2,x3)(1a)x1正定，则数a的最大取值范围是______.x2(a3)x

3三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

x1111

1x11121．计算行列式D的值.11x11

111x1

2122．设矩阵A12，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BABE，求|B|.

x1x2a123．已知线性方程组x2x3a2

xxa133

(1)讨论常数a1,a2,a3满足什么条件时，方程组有解．

(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．

24．设向量组1(1,4,1,0)T,2(2,1,1,3)T,3(1,0,3,1)T,4(0,2,6,3)T，

求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．

1250TT,B25．设矩阵A，存在，使得A151, (1,2),(1,1)124321

A22；存在1(3,1)T,2(0,1)T,使得B151,B22.试求可逆矩阵P，使得P1APB.

26．已知二次型f(x1,x2,x3)2x1x22x1x32x2x3，求一正交变换xPy，将此二次型化为标准形．

四、证明题(本题6分)

27．设向量组1,2,3线性无关，且k11k22k33．证明：若k1≠0，则向量组,2,3也线性无关．

推荐第9篇：线性代数题

已知：A是三阶方阵，A*A不等于零向量，A*A*A等于零向量。

问：1）能否求出A的特征值？说明原因。

2）A能否和一个对角阵相似，若能侧求出；否则，说明原因。

2.证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系。

解：

（1）∵A^3=0 ∴|A|^3=0 ∴|A|=0，即|A-0E|=0,∴0是矩阵A的一个特征设λ为矩阵A的任一特征值，则存在非零向量x，使得Ax=λx

上式两边同左乘矩阵A，得AAx=(A^2)x=A(λx)=λAx=(λ^2)x

∴λ^2是3阶矩阵A^2的特征值。同理，λ^3是矩阵A^3的特征值。

即(A^3)x=(λ^3)x

又∵A^3=O,∴(A^3)x=(λ^3)x=0∵x≠0 ∴λ^3=0 即λ=0

即三阶方阵A的3个特征值全为0.

（2）这题我觉得不能。

∵矩阵A能和对角阵相似的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。对于题中的三阶方阵A，由（1）的讨论可知其三个特征值全为0.

下面用反证法证明。

假设三阶方阵A能与对角阵相似。

则A存在3个线性无关的特征向量。

则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中有三个向量，即Ax=0的解集的秩为3 设Ax=0的解集为S，则R(A)+R(S)=n=3

∵R(S)=3,∴R(A)=0

即矩阵A的秩为0.当且仅当A=O

又∵根据题设条件，A^2≠O,显然A≠O，与上面推出的A=O矛盾

∴假设不成立，即A不能和一个对角阵相似

2、证明：

设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1，α2，...，αr，设其基础解系的秩为r 设向量组β1，β2，...，βn是与Ax=0的基础解系等价的线性无关的向量组 ∵向量组β1，β2，...，βn线性无关∴向量组的秩R(β1，β2，...，βn)=n 又∵向量组α1，α2，...，αr与向量组β1，β2，...，βn等价

∴R(α1，α2，...，αr)=R(β1，β2，...，βn)=n即n=r

向量组β1，β2，...，βn中有r个向量β1，β2，...，βr

且向量组β1，β2，...，βr可由向量组α1，α2，...，αr线性表示

即对于其中任何一个向量βi=ki1*α1+ki2*α2+...+kir*αr

∴向量组β1，β2，...，βr中的每一个向量都是齐次线性方程组Ax=0的一个解向量又∵齐次线性方程组Ax=0的解集中的最大无关组的秩为r

∴向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的解集中的一个最大无关组

即向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的一个基础解系，命题得证

推荐第10篇：线性代数范围

1.1：求逆序数

1.2：五个性质和推理

1.3和1.4不考

习题一有选择和填空

2.2矩阵的乘法P46的性质P47第4题（选择、填空）

P52对称矩阵反对称矩阵（要会判断）

P62的逆矩阵

求逆（大题目给矩阵方程X,第

2、6节例

5、6的形式）

习题2（A组）

第三章：

1、n维基本单位向量组线性无关

一个向量构成一个向量组的情况

两个向量的情况

9、P100定理3.6推论

1、

2、3

P101例2线性相关和线性无关

3.3的性质

定理3.15P115P119定理3.16

P123性质1P126例10P127例11的结论

习题三（A组) P139第25题

证明题：

1、第三章

3、4和3.3中例题中的证明题

2、第二章习题二第20题

3、证明线性无关（看书上例题）

大题目：

1、计算行列式

2、矩阵方程

3、求方程的解（先划分行简化阶梯形矩阵，在求特解，在求导出组的基础解系，再求通解）

4、求特征值和特征向量

5、极大无关组：其余向量用极大无关组线性表示，先化成行简化阶梯形矩阵

第四章：

1、内积的计算

2、长度、夹角

3、正交向量组一定线性无关

4、向量空间要回判断

5、正交矩阵（定义和性质）

6、正交向量保持向量的长度

P161性质

第五章：

P176性质3性质4

第11篇：线性代数学习心得

怎样学好线性代数？

感觉概念好多，非常讨厌。

满意答案：

线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下 , 可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。

线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易.

一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。

线性代数的概念很多，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

我们不仅要准确把握住概念的内涵，也要注意相关概念之间的区别与联系。

线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：

行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。

二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有

r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n

进而可求矩阵A或B中的一些参数

上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。

三、注重逻辑性与叙述表述

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

第12篇：线性代数证明题

4.设A、B都是n阶对称矩阵，并且B是可逆矩阵，证明：AB1B1A是对称矩阵.A、B为对称矩阵，所以ATA,BTB

TTT11111证明：因为(AB1B1A)T(AB1)T(B1A)T(B)AA(B)BAABABBA则矩阵5.设T1

AB1B1A 是对称矩阵。

n1n阶矩阵的伴随矩阵为*，证明：**

0时，*0.*0，则知*可逆，

*1.证明：因为

⑴当用反证法：假设在等式**O左右两边同时右乘，得到O，

于是O，这与假设矛盾，

n1可知当0时, 有*0；

⑵ 当0时，在等式*两边同时取行列式，得

**n

两边同时约去，得*n1.6.设向量b能由1,2,3这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组1,2,3线性无关。证明：（反证法）如果a1,a2,a3线性相关，则有一组不全为0的系数1,2,3使1a1由已知设b（1）， 2a23a3=0 112233，结合（1）式得

b0b(11)a1(22)a2(33)a3 （2）

由于1,2,3不完全为零，则17.设1,2,3是1，22，33与1,2,3不同，这与b表示法惟一相矛盾，故向量组1,2,3线性无关。

n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123，证明：不是

A的特征向量。

证明：假设AAA123A1A2A3112233，

又： 123A112233

从而： 1122330，

由于特征值各不相等，所以1,2,3线性无关，所以的1230123，矛盾。故不是

A的特征向量。

8.已知向量组a1,a2,a3线性无关，b12a1a2，b23a2a3，b3a14a3，证明向量组b1,b2,b3线性无关.证明把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

20130 b1,b2,b3a1,a2,a31,记BAK，

014设Bx0，以BAK代入得A(Kx)0，

因为矩阵A的列向量组a1,a2,a3线性无关，知Kx0的系数行列式K250，知齐次线性方程组 Kx0只有零解x0。

0只有零解x0，故矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关。所以，齐次线性方程组Bx9.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2线性无关。

证由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑k0η0+k1η1+k2η2=0，

即（k0+k1+k2）η0+k1ξ1+k2ξ2=0.则k0+k1+k2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 k1ξ1+k2ξ2=0.又由Ax=0的一个基础解系, 所以，ξ1，ξ2线性无关，所以k1=k2=0，从而 k 0=0 .故η0，η1，η2线性无关。

10.设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，AE可逆，且f(A)(EA)(EA)1。

f(A))(EA)2E；（2） f(f(A))A。证明（1） (E证明：（1）(Ef(A))(EA)[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)(EA)(EA)2E

（2）f(f(A))[Ef(A)][Ef(A)]1

f(A)]1由（1）得：[E1(EA)，代入上式得 2111f(f(A))[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)22211(EA)(EA)A 2211.设A与B相似，证明：AT与BT相似。

A与B相似，故存在可逆矩阵P，使得证明：因为 B则 BTP1AP

(P1AP)TPTAT(P1)TPTAT(PT)1

T 且 P是可逆矩阵

于是

12.证明：矩阵AT与BT相似。

A与B是正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵.证明：由题设，对任意x0都有 xTAx0,AB也正定矩阵.

xTBx0xT(A+B)x0(x0)，

由正定矩阵的定义，则13.一个n级行列式，假设它的元素满足aijaji,i,j1,2,,n,证明，当n为奇数时，此行列式为零。

aa12a1na22a2nan2ann11aaanaaaan，则A21证明：设Aananannan1的元素满足

aijaji,i,j1,2,,n,

所以，

a11ATa12a1n于是，当a21an1a22an2a2nanna11a21an1a12a1nA(1)nA，

a22a2nan2annn为奇数时，由 AAT(1)nAA0.

14.设矩阵A正交，证明：对于数k，若kA也正交,则k1

证明：因为A正交，所以ATA1。从而

kA正交(kA)T(kA)111A， k又ATA1，所以，(kA)TkATkA1kA111A， kk21k1.15设

1，证明：矩阵AB、AB 是正交矩阵。 A、B为n阶正交矩阵，证明：因为A、B为n阶正交矩阵，所以AATE,BBTE

因为（AB)(AB)所以 ABBTATAEATAATE

AB是正交矩阵。

（即两个同阶的正交矩阵的乘积也是正交矩阵）

因为B是正交矩阵，所以B1也是正交矩阵（P115)

由以上结论得：AB1也是正交矩阵。

16.若0是可逆矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，

证明：1是A1的特征值，是A1的属于

1的特征向量；

证明：因为

1A1AA1 从而 A1

1111即是A的特征值，是A的属于的特征向量。 A，则

第13篇：线性代数教学大纲

《线性代数》课程教学大纲

一．课程基本信息

开课单位：数理学院

课程编号：05030034a

英文名称：linear algebra

学时：总计32学时，其中理论授课28学时，习题课4学时。学分：2.0学分

面向对象：全校工科专业

教材：

《线性代数》，同济大学教学教研室编著，高等教育出版社，2007年5月第五版

主要教学参考书目或资料：

1.线性代数》，奕汝书编著，清华大学出版社

2.《线性代数》，武汉大学数学系

3.《线性代数辅导》，胡元德等编著，清华大学出版社 4.《线性代数试题选解》（研究生试题选），魏宗宣编著

二．教学目的和任务

线性代数是高等学校理工科有关专业的一门重要基础课。它不但是其它数学课程的基础，也是各类工程课程的基础。为适应培养面向21世纪人才的需要,要求学生比较系统理解线性代数的基本概念,基本理论,掌握线性代数的基本计算方法.要求较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。本课程所讲的理论和方法，早已被广泛应用于各个学科和各个领域。它是建立在多维空间多元素基础上的，在计算机日益普及的今天，它作用更能充分发挥出来。所以本课程的社会地位和作用也日益显得突出和重要。工科大学生必须具备本课程的知识，才能更好地适应社会主义建设的需要。

通过本课程的学习，应使学生获得在应用科学中常用的矩阵方法，线性方程解法、二次型理论等实用性极强的基础知识，使学生能用这些方法解决一些实际问题，提高学生解决实际问题能力。同时，也为学生今后扩大知识面打下必要的数学基础。

三．教学目标与要求

通过对这门课的学习，使学生了解行列式、矩阵、向量组的定义和性质，掌握行列式的计算，矩阵的初等变换，矩阵秩的定义和计算，利用矩阵的初等变换求解方程组及逆矩阵、向量组的线性相关性，利用正交变换化对称矩阵为对角形矩阵等有关基础知识，并具有熟练的矩阵运算能力和利用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础。

四．教学内容、学时分配及其基本要求

第一章 n阶行列式（6学时）

（一）教学内容

1、二阶与三阶行列式

2、全排列及逆序数

3、n阶行列式定义

4、对换

5、行列式性质

6、行列式按行列展开

7、克莱姆法则

（二）基本要求

1、知道n阶行列式定义，了解行列式性质，熟练掌握

二、三阶行列式计算法。

2、了解按行(列)展开行列式的方法，掌握四阶和四阶以上行列式的计算法。

3、掌握用克莱姆法（Gramer法则）解线性方程组的方法。第二章矩阵及其运算（4学时）

（一）教学内容

1、矩阵

2、矩阵的运算

3、逆矩阵

4、矩阵分块法

（二）基本要求

1、理解矩阵概念，知道单位阵、对角阵、对称阵、三角阵、正交阵等常用矩阵及其性质。

2、熟练掌握矩阵加法、乘法、转置、方阵行列式的运算及其运算规律。

3、理解逆矩阵概念及逆阵存在的充要条件，掌握逆矩阵的求法。

4、掌握分块矩阵的运算和分块对角阵的性质及其应用。第三章矩阵的初等变换与线性方程组（6学时）

（一）教学内容

1、矩阵的初等变换

2、初等矩阵

3、矩阵的秩

4、线性方程组的解

（二）基本要求

1、掌握矩阵的初等变换和初等方阵的基本理论及其应用。

2、理解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩，知道满秩矩阵的性质。

3、掌握利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的大小比较及与未知元个数n的关系判别线性方程组有无解；有多少组解(即解的存在性与唯一性的判别)的基本方法

第四章向量组的线性相关性（8学时）

（一）教学内容

1、向量组及其线性组合

2、向量组的线性相关性

3、向量组的秩

4、线性方程组的解的结构

5、向量空间

6、习题课

（二）基本要求

1、理解n维向量的概念并掌握其运算规律。

2、理解向量组的线性相关、线性无关的概念。

3、了解向量组线性相关、线性无关的几个重要性质。

4、理解向量组的秩的概念，会求向量组的秩和最大无关组，并会用最大无关组表示其余的向量。

5、了解n维向量空间中的空间、基、维数、坐标等概念，会求基，会用基来线性表示所属空间的其余向量。

第五章相似矩阵及二次型（8学时）

（一）教学内容

1、向量的内积，长度及正交性

2、方阵的特征值与特征向量

3、相似矩阵

4、实对称阵的相似对角阵

5、二次型及其标准形

6、用配方法化二次型为标准形

7、正定二次型

8、习题课

（二）基本要求

1、理解矩阵的特征值和特征向量的概念，并掌握其求法。

2、了解相似矩阵的概念和性质。

3、了解矩阵对角化的充要条件，会求实对称阵的相似对角阵。

4、掌握将线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）法。

5、掌握二次型及其矩阵表示法。

6、掌握用正交变换法化二次型为标准形。

7、了解惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。

五．教学方法及手段

采用启发式教学方法，配合多媒体教学，充分使用现代化教学手段。

六．考核方式及考核方法

考核方式为“闭卷考试”。成绩评定：平时成绩30%+考核成绩70%。

七．其它说明

如果条件允许，可以安排一定学时的数学实验课，用MATLAB语言实现一些繁琐的计算，如矩阵求逆、线性方程组求解等。

（制定人：徐江审定人：章婷芳）

第14篇：线性代数教学大纲

《线性代数》教学大纲

课程名称：《线性代数》英文名称：Linear Algebra 课程性质：学科教育必修课课程编号：D121010 所属院部：城市与建筑工程学院周学时：3学时总学时：48学时学

分：3学分

教学对象（本课程适合的专业和年级）：给排水科学与工程与土木工程专业二年级学生

课程在教学计划中的地位作用：高等学校各专业的一门重要的基础理论课教学方法：讲授教学目的与任务

线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。

通过本课程的教学，使得学生在系统地获取线性代数的基本知识、基本理论与基本方法的基础上，初步熟悉和了解抽象的、严格的代数证明方法，理解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理的能力，并具有较熟练的运算能力。学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和能力，能运用所获取的知识去分析和解决问题，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。

课程教材：同济大学数学系编《工程数学线性代数》（第六版），高等教育出版社

参考书目：

1、上海交通大学数学系线性代数课程组编.线性代数（第二版）.北京：高等教育出版社， 2012.

2、吴赣昌主编.线性代数（理工类.第四版）.北京：中国人民大学出版社， 2011.

3、杨刚、吴惠彬主编.线性代数.北京：高等教育出版社， 2008.考核形式：考试

编写日期：2018年9月制定

课程内容及学时分配（含教学重点、难点）：第1章行列式（9学时）（1）教学目的和要求

了解行列式的定义和性质，掌握

二、三阶列式的计算法，会计算简单n阶行列式，掌握克拉默法则。（2）主要内容

二阶与三阶行列式定义，并用它们解二元、三元线性方程组。从二阶、三阶行列式概念入手，用展开法引出n阶行列式定义，并介绍从定义出发求简单行列式的值。行列式的性质，并举例如何应用这些性质求行列式的值，行列式按某行（列）展开法则及其结论的推论，克拉默法则及其推论。（3）重点、难点

重点：二阶、三阶行列式的计算，四阶数字行列式的计算。难点：n阶行列式的计算。第2章矩阵及其运算（9学时）（1）教学目的和要求

熟悉矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵及其性质，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律，理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆方法，了解分块矩阵及其运算。（2）主要内容

矩阵的定义、对角阵、单位阵、矩阵的加法及其运算规律，数与矩阵相乘及其运算规律、矩阵与矩阵的相乘及运算规律、矩阵的转置及运算规律、方阵的行列式及性质、逆矩阵定义、可逆条件、公式法求逆矩阵方法、分块矩阵定义及其运算。（3）重点、难点

重点：矩阵加、减、乘、逆的运算、逆矩阵存在条件与求逆矩阵的方法。难点：逆矩阵存在的充要条件。

第3章矩阵的初等变换与线性方程组（6学时）（l）教学目的和要求

掌握矩阵的初等变换，熟悉矩阵秩的概念并掌握其求法，了解满秩矩阵、初等阵定义及其性质，了解线性方程组的求解方法。（2）主要内容

初等变换、行阶梯形矩阵、等价类、矩阵的秩、两矩阵等价条件、满秩矩阵、齐次线性方程组有非零解条件，非齐次线性方程组有解判别方法、求解方法、初等矩阵定义及性质、求逆矩阵的第二种方法。（3）重点、难点

重点：矩阵初等变换、求矩阵秩、利用初等变换求逆矩阵。难点：含参数的线性方程组的求解。第4章向量组的线性相关性（12学时）（1）教学目的和要求

熟悉n维向量的概念，熟悉向量组线性相关、线性无关的定义，了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论，了解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，了解n维向量空间、子空间基底、维数等概念，理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念，理解非齐次线性方程组的解的结构及通解等概念，掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。（2）主要内容

n维向量及例子、线性组合、线性表示、向量组等价、线性相关、线性无关的概念及重要结论、最大线性无关组、有关秩的重要结论、向量空间、基、维数、齐次线性方程组的性质、基础解系概念及求法、非齐次性方程组的解的性质、解的结构．用行初等变换求线性方程组通解的方法。（3）重点、难点

重点：线性相关性、最大线性无关组、用行初等变换求线性方程组的通解的方法。难点：线性相关性证明。

第5章相似矩阵及二次型（12学时）（1）教学目的和要求

熟悉矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量，了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件，会求与实对称矩阵相似的对角形矩阵，了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特（Smidt）方法，了解正交矩阵概念及性质，了解二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念，会用正交变换法化二次型为标准型，了解二次型的正定性及其判别法。（2）主要内容

向量内积、正交向量组及性质、施密特正交化过程、规范正交基、正交变换、特征值、特征向量、特征方程、特征多项式、特征值、特征向量的性质、相似矩阵、相似变换、相似矩阵的性质、方阵的对角化条件、对称矩阵特征值性质、对称矩阵的对角化、二次型定义及矩阵表示、二次型的秩、二次型可化为标准型、配方法化二次型为标准到举例、正定二次型概念及判定。（3）重点、难点

重点：矩阵的特征值与特征向量、对称矩阵化为对角矩阵。难点：矩阵可对角化的有关结论。

第15篇：线性代数(21)

《线性代数》模拟试卷（二十一）

一、填空题(每小题3分，共15分) 1.当n阶矩阵A的秩小于n时,则|A|_______.x1x22x312.当常数____时,方程组2x1x27x32有解.x2xx12313.A32411,B21ab4.行列式cbc215.矩阵A00121bcaca201cabab221,C4011111______________.11002,则A(BC)________.111的特征值为2____________.二.选择题(每小题3分，共15分) 1.当n个向量1,2,...,n线性相关时成立的常数k1,k2,...,kn为()(B)任意一组不全为零的常常数(D)唯一的一组不全为零的1

,使等式k11k22....knn0数常数(A)任意一组常数(C)某些特定的不全为零的32.设A为n阶矩阵,且A0,则矩阵(EA)等于((A)EAA2)2(B)EAA2(C)EAA(D)EAA23.设有向量1(1,1,1,0),2(1,2,1,0),3(0,1,1,1),4(2,2,1,1),则以下结论正确的是(A)1线性相关(C)1,2,3线性相关()(B)1,2线性相关(D)1,2,3,4线性相关4.设A为n阶矩阵(n2),且其秩r(A)1,则下列命题中正确的是(A)r(A*)0(C)r(A*)n15.设A2()(B)r(A*)1(D)以上都不正确()E,则以下结论中正确的是(A)AE可逆(C)AE时,AE可逆(B)AE可逆(D)AE时,AE不可逆

111

三、（本题满分12分）设A=111111111114,求r(A),A.11

四、（本题满分16分,每小题8分）

1A241.已知AX=b，其中

111212,b4,求X.24

2.若A，B均为n阶可逆矩阵，且AT=A－1，BT=B－1，

T证明（AB）（AB）=E

五、（本题满分16分）

1设A201a23ax11b2,3,xx2,试就a,b各取值的可能性3xa2b31Ax的解,如有解,就求出解.,讨论非齐次线性方程组

六、（本题满分16分）

求正交变换把二次曲面化为标准方程222

方程2x15x25x34x1x24x1x38x2x31.,并指出其形状

七、（本题满分10分）

假设为n阶可逆矩阵(1)1A的一个特征值为A的伴随矩阵,证明:A的特征值.*

为A的特征值;(2)1|A| 答案

35一.1.0;2.1;3.172三.r(A)1,A4136195;4.0;5.1,3.二.1.C;2.B;3.D;4.A;5.D.064A.111四.1.X2.2.(AB)(AB)\'(AB)(B\'A\')ABB2AE.五.当ab,且a0时,方程有唯一解11ax11,x2ax30,当a0时,无解;.当ab0时,有无穷多组解11ax101,x2k1ax130

132六.XPY323255550251245222Y,10y1y2y31,旋转椭球面.1553

第16篇：线性代数发展史

线性代数发展史

线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。

线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是 “ 解行列式问题的方法 ” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（ Leibnitz ， 1693 年）。 1750 年克莱姆（ Cramer ）在他的《线性代数分析导言》（ Introduction d l\'analyse des lignes courbes alge\'briques ）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则）。 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。 Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 \' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。 Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西 (Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日（ Lagrange ）在 1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为 0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。

高斯（ Gau ）大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯约当”消去法中的约当。

矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。 1848 年英格兰的 J.J.Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育。 Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论，

数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代数是由 Hermann Gramann 在他的《线性扩张论》（ Die lineale Ausdehnungslehre ）一书中提出的。 (1844) 。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵，或简单矩阵。在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述。其后物理学家 P.A.M.Dirac 提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给出的。

矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到 19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由 Peano 于 1888 年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。

第17篇：《线性代数A》教学大纲

《线性代数A》教学大纲

课程中文名称：线性代数A

课程性质: 必修课程英文名称：Linear Algebra A

总学时：48学时, 其中课堂教学48学时先修课程：初等数学

面向对象：全校理工科学生（包括财经类等文科专业）开课系(室)：数学科学系

一.课程性质、目的和要求

线性代数是理工科及财经管理类本科生必需掌握的一门基础课，通过本课程的学习使学生掌握行列式的计算、矩阵理论、向量组和向量空间基本概念，用矩阵理论求解线性方程组、及用线性方程组解的结构理论讨论矩阵的对角化并进一步研究二次型，使学生掌握本课程的基本理论和方法，培养和提高逻辑思维和分析问题解决问题的能力，并为学习相关课程与进一步扩大知识面奠定必要的、必需的基础。

二、课程内容及学时分配 1.行列式(6学时) 教学要求:了解行列式的定义、掌握行列式的基本性质。会应用行列式性质和行列式按行（列）展开定理进行行列式计算。

重点：行列式性质

难点：行列式性质和行列式按行（列）展开定理的应用 2.矩阵（12学时）

教学要求:理解矩阵的概念、掌握单位矩阵、对角矩阵与对称矩阵的性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、方阵行列式、转置的定义及其运算规律。理解逆矩阵的概念及其性质，熟练掌握逆矩阵的求法。熟练掌握矩阵的初等变换及其应用。理解矩阵秩的概念并掌握其求法。了解满秩矩阵的定义及其性质。了解分块矩阵及其运算。

重点：矩阵的线性运算、矩阵的乘法、逆矩阵的求法、矩阵的初等变换难点：矩阵的秩，矩阵的分块 3.向量组和向量空间（10学时）

教学要求:理解n维向量的概念及其运算。理解向量组的线性相关、线性无关与线性表示等概念，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。了解向量组的极大线性无关组和秩的概念，并会求向量组的秩。了解n维向量空间及其子空间、基、维数与坐标等概念。了解向量的内积、长度与正交等概念，会用施米特正交化方法把向量组正交规范化。了解规范正交基、正交矩阵的概念、以及它们的性质。

重点：n维向量的概念、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组秩的概念难点：线性无关的相关证明、向量组秩的概念、向量空间 4.线性方程组（8学时）

1 教学要求:掌握克莱姆法则。理解非齐次（齐次）线性方程组有解（有非零解）的充分必要条件。理解非齐次（齐次）线性方程组解的结构与通解（基础解系与通解）等概念。熟练掌握用初等变换法解线性方程组。

重点：初等变换法解线性方程组、解结构理论难点：解结构理论及应用

5.相似矩阵与二次型（12学时）

教学要求:理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值和特征向量；理解相似矩阵的概念、性质与矩阵可对角化的条件。了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，掌握用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。了解正交变换的概念及其性质。掌握二次型的矩阵表示，掌握用正交变换化二次型为标准型的求法。了解惯性定律及二次型为正定的判别法。

重点：矩阵的特征值、特征向量，方阵的对角化，二次型化为标准型的方法难点：方阵的对角化及相关应用

三、说明

本大纲参照原国家教委颁发的高等学校线性代数课程教学要求编制，还参考2002年全国硕士研究生入学统一考试线性代数课程考试大纲。根据不同专业的特点和需要，内容和侧重点可有所不同。教学方法以课堂教学为主，如果时间允许，可介绍用Matlab求解线性代数中某些问题的方法。课程考试以闭卷考试形式；考查课可选用其它方式。行列式、矩阵、特征值、特征向量都是非常重要的知识，在学时有限的情况下，对这些内容应该重点讲解，务使学生理解和掌握。

四、推荐教材及参考书教材：

《线性代数简明教程》（第二版）陈维新编著科学出版社参考书：《线性代数》（第一版）苏德矿裘哲勇主编高等教育出版社《线性代数》（第四版）同济大学数学教研室编高等教育出版社《线性代数》清华大学编高等教育出版社《高等代数》北京大学编高等教育出版社

执笔：周永华

审稿：胡觉亮

审定：浙江理工大学理学院教学委员会

2008.10 2

第18篇：线性代数教案

第一章

线性方程组的消元法与矩阵的初等变换

教学目标与要求

1.了解线性方程组的基本概念

2.掌握矩阵的三种初等变换教学重点

运用矩阵的初等变换解一般的线性方程组教学难点

矩阵的初等变换

§1.1 线性方程组的基本概念

一、基本概念

定义：m个方程n个未知数的线性方程组为如下形式：

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn

2 (1) am1x1am2x2amnxnbm称(1)为非齐次线性方程组；当b1b2bm0时则称为齐次线性方程组。方程组(1)

a12a22am2a1na2n为系amna11a21TA的一个解为：x(c1,c2,,cn)（或称为解向量）；此时称am1a11a12a1na21a22a2n数矩阵，称Bam1am2amn

二、线性方程组的消元法

b1b2为增广矩阵。 bm2x1x23x31例1：解线性方程组4x12x25x34

2x2x6312x1x23x312x1x23x312x1x23x31解：4x2x32，x2x35，x2x35；

xx54xx23x18232332x1x23x312x1x2192x118x19

x2x35，x21，x21，x21

x6x6x6x63333从上面可以看出，整个消元过程和回代过程都只与x1,x2,x3的系数有关，且仅用了以下3种变换：①交换两行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行变换）。

故我们隐去x1,x2,x3,，得到一个数字阵（即矩阵B），对B进行初等行变换：

213121312131B425404120115

2026011504121213121019213011501150101 003180016001620018100901010101 0016001612131009其中0115称为行阶梯形矩阵，0101称为行最简形矩阵。

003180016

三、小结

例1告诉我们求解一般的线性方程组的基本方法：对其增广矩阵B进行3种初等行变换，把它变为行阶梯形矩阵，再最终变成行最简形矩阵，然后从中读出所需的解。

四、一般解和通解

x12x2x32x41例2：解方程组2x14x2x3x45

x2x2xx42341解：

212112121121211B241150033300333

12214003330000012121120120011100111 0000000000即x12x2x42x122x2x4，亦即一般解为，其中x2,x4为自由未知量。

x3x41x31x4x122c1c2xc21令x2c1,x4c2，得方程组的通解为

x31c2x4c2注意：自由未知量的取法并不唯一。

a11x1a12x2a1nxn0axaxax02112222nn

2、定理：在齐次线性方程组中，若mn（即方程

am1x1am2x2amnxn0的个数小于未知数的个数），则它必有非零解。

五、习题

P11 T1(2)

§1.2 矩阵的初等变换

一、矩阵及其初等变换

1、定义：称由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的m行n列的数表

a11a21Aam1a12a22am2a1na2n为矩阵，简记为A(aij)mn。 amn

二、矩阵的初等行(列)变换

①交换两行(列)； ②某行(列)乘k倍；

③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。

三、矩阵的标准形

定理：任意一个mn的矩阵A，总可以经过初等变换（包括行变换和列变换）化为如10下的标准形：F00000001000Er0100即AmnFO00000000O O其中1的个数r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。

四、习题

P18

T1(4) (5)

T2(1)

T3 P19 总复习题：T3

第二章

行列式

教学目标与要求

1.会用对角线法则计算二阶行列式和三阶行列式

2.理解排列、逆序数的概念，掌握n阶行列式的定义及其重要性质 3.理解并会灵活运用行列式的展开公式，掌握范德蒙德行列式的结论 4.掌握克拉默法则及其应用教学重点

1.n阶行列式的重要性质

2.n阶行列式展开公式的运用以及范德蒙德行列式的结论

3.克拉默法则的运用教学难点

1.n阶行列式的重要性质及其展开公式 2.克拉默法则的运用

§2.1 二阶和三阶行列式

一、二阶行列式

a11x1a12x2b1a11a12

1、引例：对于线性方程组（1），其系数矩阵为A a21x1a22x2b2a21a22

用消元法解得 (a11a22a12a21)x1b1a22b2a12（2）

(a11a22a12a21)x2b2a11b1a21a12a11a22a12a21称为二阶行列式，记DAdetA

a12a11b1，D2 a22a21b

22、定义：Da11a21a22a11a12b1Dx1D1那么（2）可以表示为，其中D，D1aab2DxD212222从而x1

二、三阶行列式 D1D,x22。 DDa11x1a12x2a13x3b1a11a12axaxaxb

1、定义：对于三元线性方程组211a222222332，记Aa21axaxaxba331a32311322333a11称DAdetAa21a13 a23，a33a12a22a32a13a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a33a

31a11a23a32a12a21a33a13a22a31 为三阶行列式。

a11

2、三对角线法则（记忆）：Da21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31

三、习题

P25 T1(2)(3)(5)

§2.2 n阶行列式的定义和性质

一、排列与逆序数

1.定义1：由1,2,,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。（n级排列共有n!个）定义2：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作。

)402107（奇排列）例：(25431； )1412108（偶排列）

(5243。

定理：对换改变排列的奇偶性；在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有

二、n阶行列式的定义

n!个。 21.定义：n阶矩阵A(aij)nna11a21am1a12a22am2a1na2n，则n阶行列式定义如下： amna11 DAa12a1np1p2pna21an1a22a2nan2ann(1)(p1p2pn)a1p1a2p2anpn

这里，表示对1,2,,n这n个数的所有排列p1p2pn求和。即n阶行列式是指n!项取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。

2、例：（常用结论）

a11（1）

a11a22ann0a11a22ann0n(n1)2a12a1na11000 a22a2na210annan1a22an2ann1（2）2(1)12n

n

3、n阶行列式的等价定义

定理：D12(1)ai1j1ai2j2ainjn；其中1为行标排列i1i2in的逆序数，2为列标排列j1j2jn的逆序数。

三、行列式的性质

设n阶矩阵A(aij)nn的行列式为DA，则D有如下性质：

T①AA；

②交换两行（列），则D变号；

③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。

特别地，若某行（列）为0，则D0；若某两行（列）成比例，则D0。 ④拆和：若D中某行（列）的元皆为两项之和，则D等于两个行列式的和。 ⑤某行（列）乘k倍加至另一行（列），则D不变。

123例：②如211111211234234；③如33932113

248124111123123123123④如456123333；

112112112111111111111⑤如23340120120120 45345012000

注意：计算行列式的常用方法： (1)利用定义；

(2)利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的值； (3)利用展开公式(下一节)。

四、习题

P36

T5(3)(4)(8)

T6(1)

§2.3 行列式的展开公式

一、余子式与代数余子式

1、定义：在n阶行列式det(aij)中，划去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原来的顺序所构成的n1阶行列式称为aij的余子式，记作Mij；又记Aij(1)ijMij，称Aij为aij的代数余子式。

142.如：322143321441233中，a111的余子式为M11412，代数余子式为 23411234A11(1)11M11M11，a214的余子式为M21412，代数余子式为

341A21(1)21M21M21，

二、展开公式

定理：n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。即可按第i行展开

Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)

或可按第j列展开

Da1jA1ja2jA2janjAnj(j1,2,,n)

14如：3221433214431A112A123A134A141A114A213A312A41 21

2、讲解P42例2和例3

三、范德蒙德行列式

1x1Dnx12x1n1 1x22x2n1x21x32x311xn2xn1ijn(xjxi)

n1n1x3xn推论：行列式某行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

ai1Aj1ai2Aj2ainAjn(ij) 或

a1iA1ja2iA2janiAnj(ij)

11例证：如3222433314441A112A123A134A14a21A11a22A12a23A13a24A140

21四、习题

P46

T2(3)(4)(5)

§2.4 克拉默法则

一、克拉默法则

定理1：含有n个未知数x1,x2,,xn与n个方程的线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn

2

(1)

an1x1an2x2annxnbn

称(1)为非齐次线性方程组；当b1b2bn0时称为齐次线性方程组。

如果线性方程组(1)的系数行列式DA0（这里A(aij)nn），那么(1)有唯一解，且解为xjDjD(j1,2,,n)，其中Dj(j1,2,,n)是把D中第j列元素用方程组右端的常数项替代后所得到的n阶行列式。

推论：

(1)如果线性方程组(1)无解或至少有两个不同的解，那么它的系数行列式D0。

(2)如果齐次线性方程组的系数行列式D0，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式D0。

注意：用克拉默法则解线性方程组的两个条件：①方程个数等于未知数个数；②系数行列式不等于零。克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系。它主要适用于理论推导。

二、习题

P50

T2 T3 ；

P51 总复习题：T1 T2 T3

第三章

矩阵

教学目标与要求

1.理解矩阵的概念，掌握矩阵的3种运算(加法、数乘、乘法)，以及它们的运算律

2.熟记几种特殊矩阵(单位阵、对角阵、数量矩阵、三角阵、转置矩阵、对称和反对称阵)及其性质，掌握方阵行列式的性质

3.掌握伴随矩阵和逆矩阵的定义及其性质，熟悉逆矩阵的运算规律 4.了解分块矩阵的运算律，以及常用结论

5.理解初等矩阵与初等变换之间的关系，掌握初等变换求逆矩阵的方法 6.掌握矩阵的秩的概念及其性质，会用初等变换求矩阵的秩教学重点

1.矩阵乘法的运算律和方阵行列式的性质

2.逆矩阵和伴随矩阵的运算性质，以及初等变换法求逆矩阵

3.矩阵的秩的性质，以及初等变换法求矩阵的秩教学难点

1.逆矩阵的概念，以及求逆的方法 2.矩阵的秩的概念，以及求秩的方法

§3.1 矩阵的概念及其运算

一、矩阵的概念

1、定义：称由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的m行n列的数表

a11a21Aam1a12a22am2a1na2n为矩阵，简记为A(aij)mnAmn。 amn矩阵的相等：AmnBmnaijbij(i1,2,,m;j1,2,,n)

b1b2行矩阵（行向量）：A(a1,a2,,an)；列矩阵（列向量）：A

bn

二、矩阵的运算

1、矩阵的加法

定义1：设A(aij)mn，B(bij)mn，则AB(aijbij)mn

注意：两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算。

矩阵的加法满足下列运算律(设A,B,C都是mn矩阵)： (1) 交换律：ABBA；

(2) 结合律：(AB)CA(BC) (3) 负矩阵A(A)0，规定减法运算：ABA(B)

2、矩阵的数乘

a11a21定义2：数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为Aam1a12a1na22a2nam2amn；

矩阵的数乘满足下列运算律(设A,B都是mn矩阵，,为数)： (1)()A(A)；

(2)()AAA； (3)(AB)AB；

(4)1AA； (5)A00或A0

3、矩阵的乘法

定义3：设A(aij)ms，B(bij)sn,那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个mn矩阵C(cij)mn，其中

cijai1b1jai2b2jaisbsjaikbkj(i1,2,,m;j1,2,,n)

k1s记为CmnAmsBsn（A的列数等于B的行数）。

例1：求矩阵A4242与B36的乘积AB与BA。 12 解：AB41632242 1612368

BA424002AB 361200例1说明：矩阵的乘法不满足交换律，即一般地ABBA。若ABBA，则称方阵A与B可交换。矩阵的乘法满足下列运算律：

(1)结合律：(AB)CA(BC)

(2)(AB)(A)BA(B) (3)分配律：A(BC)ABAC，(BC)ABACA

例2：举例说明下列命题是错误的（1）若A0，则A0；

2（2）若AA，则A0或AE； 2（3）若AXAY，且A0，则XY。

11101010

解：（1）A（2）A（3）AX11；00；00,Y01。



三、方阵的幂及方阵多项式

1、定义：设A是n阶方阵，则A1A,A2AA,,Ak1AkA

klklklkl方阵的幂满足的运算律：(1)AAA；(2)(A)A

2、方阵多项式

设f(x)a0xma1xm1am1xam(a00)为m次多项式，A为n阶方阵，则称f(A)为方阵A的多项式。 f(A)a0Ama1Am1am1AamE仍为一个n阶方阵，

四、习题

P61 T2(3)(4)(5)(8)

§3.2 特殊矩阵与方阵行列式

一、特殊矩阵

1、单位矩阵

10En01000010，性质：EAAEA 01nn0

2、对角矩阵

020diag(1,2,,n)

0nmm

性质：[diag(1,2,,n)]mdiag(1,m2,,n)，m为正整数。

3、数量矩阵

00EE00

4、三角矩阵

00，性质：EAAEA a12a1na11a22a2na21或0annan

1性质：Aa11a22ann

5、转置矩阵 a110A000a220 an2ann如果A(aij)mn，则AT(aij)nm。

性质：(1)(A)A；

(2)(AB)AB；

(3)(A)A；

(4)穿脱原理：(AB)BA

6、对称矩阵和反对称矩阵

TT设A(aij)nn，如果AA，则称A为对称矩阵；如果AA，则称A为反对称TTTTTTTTTT矩阵。

二、方阵行列式

性质：①ABABBA（A,B都是n阶方阵）

②AA n

③kAknA

三、伴随矩阵

定义：n阶行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵

A11A12A1n称为A的伴随矩阵。

A21An1A22An2

A2nAnnn1*

例1：试证：（1）AAAAAE；

（2）当A0时，AA

证明：（1）因为

a11a21*故AAan1A,ijai1Aj1ai2Aj2ainAjn(i,j1,2,,n)

0,ija12a1nA11A21An1A00a22a2nA12A22An20A0AE an2annA1nA2nAnn00A同理可得A*AAE。

（2）对A*AAE两边取行列式，得AAAE

即 AAAEA，

所以当A0时，AAnnn1。

四、习题

P69 T1

T8(2)

§3.3 逆矩阵

一、逆矩阵

1、定义：对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使

ABBAE



1 则称A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，记为BA。

2、可逆的判定定理

定理：方阵A可逆A0；当A可逆时，A11 A，其中A为A的伴随矩阵。

AE。证明：必要性.因为A可逆，即存在A，使AA111

1故AAAAE1，所以A0

充分性.由§3.3的例1可知 AAAAAE；因为A0，故有

A11AAAE AA1A。

A按照逆矩阵的定义，即有

A1注意：当A0时，称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵。可见，可逆矩阵就是非奇异矩阵。同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法——伴随矩阵法（公式法）。

1

3、推论：若ABE（或BAE），则BA。

证明：ABABE1，故A0，从而A存在，于是

1BEB(A1A)BA1(AB)A1EA1

二、逆矩阵的运算律

方阵的逆矩阵满足下列运算律：

①若n阶方阵A可逆，则A也可逆，且(A)②若A可逆，数0，则A可逆，且A1111A；

1A1；

1③若A,B均为n阶可逆方阵，则AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且ABAC，则BC； ⑤若A可逆，则A也可逆，且(A)T； B1A1（穿脱原理）

T1(A1)T；

⑥若A可逆，则A也可逆，且(A*)1(A1)*；

⑦若A可逆，则(A*)T(AT)*；

1⑧若A可逆，则AA1*

⑨若A,B均为n阶可逆方阵，则(AB)*B*A*（穿脱原理）

证明： ①因为AA1E，由推论可知，(A1)1A

②因为A1A1AA1E，由推论可知，A11A1

1③(AB)(B1A1)A(BB1)A1AEA1AA1E，由推论有，(AB)11④因为A可逆，则AABAAC，即EBEC，故BC

B1A1

⑤AT(A1)T(A1A)TETE，由推论有，(A)⑥因为A可逆，故A1T1(A1)T

1*AA1A，且AAE，从而(A*)1A； AAAA

1又A(A)(A)A11*1*A1E，即(A1)*AA1E1A A

所以(A)*1(A1)*。

T*TT11T⑦因为(A*)T(AA1)TA(A1)T， (A)A(A)A(A)

所以(A)(A)

111⑧因为AAE1，即AA1，所以A*TT*11A A⑨由ABAB0可知，AB也可逆。又(AB)(AB)*ABE，

所以(AB)*AB(AB)1ABB1A1BB1AA1B*A*

ab1例

1、问Acd满足什么条件时可逆，并求A。

解：Aadbc，Acdb，当Aadbc0时，A可逆； a且

11db adbcca例

2、设A是三阶方阵，且A解：(3A)118A*11*，求(3A)18A 271112A18AA1A1A1 333(1)A1(1)3A11

1 3327A1

例

3、解矩阵方程2571913X411 解：X25171935719113411124111

三、习题

P75 T2

T3(3)

23 §3.4 分块矩阵和初等矩阵

一、分块矩阵

设AnnOA1OB1，BnnOA2O，其中Ai与Bi(i1,2)是同阶的子方块，则 B2O A2B2O 1A21A2 OA1B1①ABOA1k③AOkA1B1；

②ABOA2B2OA11O1；

④AkOA21O⑤AA；

⑥A12A2A1O1AO1

二、初等矩阵

1、定义：由n阶单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵。

2、三种初等变换对应三种初等矩阵

(1)交换第i行和第j行；

对应En(i,j) (2)第i行乘k倍；

对应En(i(k)) (3)第j行乘k倍加至第i行；

对应En(i,j(k))

24例

1、将A13化为标准形。

解：A2413131310B 1324020101则

0100113101/22110AB 0112即 E2(1,2(3))E2(2())E2(2,1(2))E2(1,2)AB

3、初等变换与初等矩阵的关系

定理1：设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等矩阵。

三、初等变换求逆矩阵

定理2：对任意一个mn矩阵A，总存在有限个m阶初等矩阵P1,P2,,Ps和n阶初等矩阵Ps1,Ps2,,Pk，使得P1PsAPs1PkO

ErOFmn Omn定理3：对于n阶可逆矩阵A，总存在有限个n阶初等矩阵P1,,Ps,Ps1,,Pk，使得P1PsAPs1PkEnn

定理4：设A为可逆矩阵，则有限个初等矩阵P1,P2,,Pk，使得AP1P2Pk 推论：mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使

PAQB，记为AB。（等价关系具有反身性、对称性、传递性）

因此，由定理3可知，方阵A可逆AE

由定理4可知，方阵A可逆AP,2,,k为初等矩阵) 1P2Pk(Pi,i

1由推论可知，AB存在可逆矩阵P,Q，使PAQB

1、求逆方法的推导：

111由定理4的AP1P2Pk，得

PkP2P1AE

（1） 1111（1）式两端分别右乘A，得

PkP2P1EA

（2）



1上述两式表明，用一样的初等行变换将A变成E的同时，会将E变成A。

2、求逆矩阵的基本方法

初等变换法：(A|E)初等行变换(E|A1)或(

3、解矩阵方程AXB或XAB（A可逆）

初等变换法：(A|B)初等行变换(E|A1B)或()(

四、习题

P91 T1

T2(1)(2)

1AE)初等列变换(1) EAAB初等列变换E) BA1§3.5 矩阵的秩

一、k阶子式的概念

2m,n})，其交叉处的k个元素定义：在mn矩阵A中，任取k行k列(1kmin{按原来的位置构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。

11111111例：A1234，1,0等都是A的一个2阶子式。

12000000kk可知，mn矩阵A的k阶子式共有Cm个。 Cn

二、矩阵的秩

定义：矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记为R(A)。若R(A)r，则A中至少有一个r阶子式不为0，且所有r1阶子式都为0。

三、矩阵秩的性质

m,n} ① 1R(A)min{② R(A)R(A)

③ R(A)rA的行阶梯形含r个非零行A的标准形FO④ 若A~B则R(A)R(B)（矩阵的初等变换不改变矩阵的秩）

⑤ 若P,Q可逆，则R(PAQ)R(A)

⑥ max{A,B}R(A,B)R(A)R(B)；

特别地，当B为列向量b时，有R(A)R(A,b)R(A)

1⑦ R(AB)R(A)R(B)

⑧ R(AB)min{R(A),R(B)}

⑨ 若AmnBnsO，则R(A)R(B)n

例

1、设A为n阶矩阵A的伴随矩阵，证明 *TErO OR(A)nn,R(A*)1,R(A)n1

0,R(A)n1

证明：

** (1)当R(A)n时，则A可逆，即A0；由AAAE知AAn10。故A*可逆，从而R(A)n

(2)若R(A)n1，则AAAE0。故R(A)R(A)n，R(A)nR(A)1。又由R(A)n1知矩阵A中至少有一个n1阶子式不为零，也就是说A中至少有一个元素不为零。所以R(A)1，从而有R(A)1。

*(3)若R(A)n1，则A的任意一个n1阶子式都为零。故A0，即R(A)0。

********21113例

2、求A42232的秩

21561211132111321113解：422320045400454

215610045200006

故R(A)3

12例

3、已知矩阵A1212a32314的秩为3，求a的值

01153554a3112a311200112a200112a2解：A 0111a20111a201152a200063a0a31120111a2

因为R(A)3，所以63a0，即a2 00112a200063a0

四、习题

P96 T2

T3(2)

P97 总复习题：T1 T2

第四章

线性方程组理论

教学目标与要求

1.掌握齐次和非齐次线性方程组解的判定定理和解的结构定理

2.理解向量组的线性相关与线性无关的概念，以及它们的判定方法

3.掌握向量组的秩和最大无关组的概念，会求向量组的秩

4.理解基础解系的概念，会求齐次与非齐次线性方程组的通解教学重点

1.齐次与非齐次线性方程组解的判定定理以及通解的求法 2.向量组线性相关与线性无关的判定方法

3.向量组的最大无关组的求法和秩的求法教学难点

1.齐次与非齐次线性方程组解的判定方法

2.向量组秩的概念及其求法

3.基础解系的概念及其求法

§4.1 线性方程组有解的条件

一、线性方程组解的判定

1、非齐次线性方程组

定理1：对于非齐次线性方程组Amnxb（1），则

① 有唯一解R(A)R(A,b)n

② 有无穷多解R(A)R(A,b)n

③ 无解R(A)R(A,b)

2、齐次线性方程组

定理2：对于齐次线性方程组Amnx0（2），则 ① 仅有零解R(A)n ② 有非零解R(A)n

推论：当mn时，Annx0有非零解R(A)nA0

定理3：矩阵方程AXB有解R(A)R(A,B)

二、线性方程组的解法

x12x23x30例

1、求下列线性方程组的通解2x15x23x30

x8x041301090123012解：253001300130

1008023800980100810900108/3

0130018/90018/9x18x4x18

x8/382x2x4，令x41，得通解为：k(kR) x8/933

1x84x3x49

例

2、问取何值时，下列线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

x1x22x3

1x1(21)x23x31

x1x2(3)x32122解：A213011(1)(1) 3001由克拉默法则知，当0,1,1时，方程组有唯一解。

当0时，B002101310101310021000031003100因R(A)2，R(B)3，R(A)R(B)，所以方程组无解。

1121112当1时，B133110210

11230004因R(A)2，R(B)3，R(A)R(B)，所以方程组无解。

11211121当1时，B1131001011010010114100200000因R(A)R(B)23，所以方程组有无穷多解。

即xxx11k112x0，令x2k，得其通解为：x2k（kR） 3x30

三、习题

P106 T1 T2 T3(2) T4 T5 T6 T7

312105

2

§4.2 向量组的线性相关性

一、n维向量及其线性运算

1.定义：由n个数a1,a2,,an组成的有序数组称为n维向量。称n1矩阵

a1a2a为n维列向量；其转置aTa1,a2,,an称为n维行向量。其中ai称为a的第ian个分量(i1,2,,n)。

2.运算

①n维向量的相等；②零向量；③负向量；④加法；⑤数乘

二、向量组的线性组合

1.向量组

定义：由若干个同维的列向量(或行向量)所组成的集合，称为一个向量组。

2.向量组与矩阵

a1ja2j(j1,2,,n)为矩阵A的列设A(aij)mn，则A1,2,,n，其中jamj12向量组；或A，其中iai1,ai2,,ain(i1,2,,m)为矩阵A的行向量组。

m3.向量组与线性方程组

一个线性方程组Amnxb可以写成：x11x22xnnb

4.向量组的线性组合

定义：设向量组A:1,2,,m，对于数k1,k2,,km，我们称k11k22kmm为向量组A的一个线性组合，k1,k2,,km称为这个线性组合的系数。

5.线性表示

给定向量组A:1,2,,m和向量b，若存在一组数1,2,,m，使得

b1122mm 则称向量b是向量组A的线性组合，也称向量b可以由向量组A线性表示。

例：任何一个n维向量aa1,a2,,an都可以由n维单位向量组：

Te1(1,0,0,,0)T，e2(0,1,0,,0)T，，en(0,0,,0,1)T

线性表示。即aa1e1a2e2anen。

显然，向量b能由向量组A线性表示，也就线性方程组：x11x22xnnb有解。

6.定理1：向量b能由向量组A:1,2,,m线性表示的充要条件是R(A)R(A,b)，其中A(1,2,,m)。

三、向量组的线性相关与线性无关

设齐次线性方程组Amnx0，写成向量形式：x11x22xnn0。若它有非零解，即存在一组不全为零的数k1,k2,,kn，使得k11k22knn0。因此，我们引入如下概念。

1.线性相关与线性无关

定义：设有n维向量组A:1,2,,m，如果存在一组不全为零的数k1,k2,,km使

k11k22knn0

则称向量组A线性相关；否则称它线性无关。

注意：（特殊情形）

① 只有一个向量a的向量组线性相关a0

② 两个向量a,b的向量组线性相关ab(即两向量共线：对应分量成比例) ③ 三个向量线性相关：几何意义是三个向量共面。

④ 含有零向量的向量组一定线性相关。

定理2：向量组1,2,,m(m2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示。

定理3：设向量组A:1,2,,m构成矩阵A(1,2,,m)，则向量组A线性相关的充要条件是R(A)m；向量组A线性无关的充要条件是R(A)m。

推论1：当向量的个数等于向量的维数时，向量组A线性相关的充要条件是A0；向量组A线性无关的充要条件是A0。

推论2：m(mn)个n维向量组成的向量组一定线性相关。推论3：任一个n维向量组中线性无关的向量最多有n个。

定理4：

(1)设向量组A:1,2,,m线性无关，而向量组B:1,2,,m,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示法是唯一的。

(2)若向量组1,2,,r线性相关，则向量组1,2,,r,r1,,n(nr)必线性相关；反之，若向量组1,2,,r,r1,,n(nr)线性无关，则向量组1,2,,r必线性无关。（部分相关，整体相关；整体无关，部分无关。）

(3)若m个n维向量1,2,,m线性相关，同时去掉其第i个分量(1in)得到的m个n1维向量也线性相关；反之，若m个n1维向量1,2,,m线性无关，同时增加其第i个分量(1in)得到的m个n维向量也线性无关。

四、习题

P116 T1(3)(4) T2 T3 T4(1)(2) T5 T6 T7 T8 T9(1)(3)

§4.3 向量组的秩

一、向量组的等价

定义1：设有向量组A:1,2,,m；向量组B:1,2,,s，若向量组A中的每一个向量都能由向量组B线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示。如果向量组A和向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

命题1：若A,B为有限个列向量组成的向量组，则向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵方程BAX有解。

命题2：若矩阵A经过初等行(列)变换变成B，则矩阵A的列(行)向量组与矩阵B的列(行)向量组等价。

定理1：设向量组A:1,2,,m和向量组B:1,2,,s均为列向量组成的向量组，则向量组B能由向量组A线性表示的充要条件为R(A)R(A,B)

推论：向量组A:1,2,,m和向量组B:1,2,,s等价的充要条件是

R(A)R(B)R(A,B)

其中A和B是向量组A和向量组B所构成的矩阵。

讲教材P118例1

二、向量组的秩 1.最大无关组

定义2设向量组A0:1,2,,r是向量组A:1,2,,m(mr)的一个部分组，若 (1)向量组A0:1,2,,r线性无关；

(2)A中的任意向量均可由向量组A0:1,2,,r线性表示；则称A0:1,2,,r为A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）。

显然，最大无关组一般不唯一；任意向量组都与它的最大无关组等价。

2.最大无关组的求法

定理：矩阵的初等行变换不改变(部分或全部)列向量之间的线性关系；矩阵的初等列变换不改变(部分或全部)行向量之间的线性关系。

注意：上述定理提供了求向量组最大无关组的方法定理2：设向量组B:1,2,,r可由向量组A:1,2,,s线性表示， (1)若向量组B线性无关，则rs； (2)若rs，则向量组B线性相关。

推论1：两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量。推论2：两个等价的向量组的最大无关组含有相同个数的向量。推论3：一个向量组的任意两个最大无关组所含向量个数相等。

3.向量组的秩

定义3：向量组的最大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩。

定理2\'：若向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。

三、矩阵的秩与向量组的秩的关系

定理3：对矩阵A(aij)mn，则 R(A)A的行秩A的列秩。即矩阵的秩等于它的行向量组的秩也等于它的列向量组的秩。

四、矩阵的秩的性质

性质1：R(AB)R(A)R(B)

性质2：R(AB)min{R(A),R(B)}

性质3：若P,Q可逆，则R(PAQ)R(PA)R(AQ)R(A)

五、习题

P124 T1

§4.4 线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组解的结构

1.解的性质

对于齐次线性方程组

Amnx0

(1) 性质1：若1,2都是Ax0的解，则12也是Ax0的解。性质2：若是Ax0的解，则k也是Ax0的解。

2.解的结构

定义1：设1,2,,k是Ax0的非零解，且满足

(1)1,2,,k线性无关；

(2)Ax0的任一个解都可由1,2,,k线性表示，即c11c22ckk 则称1,2,,k是齐次线性方程组Ax0的基础解系；且Ax0的通解可表示为如下形式：c11c22ckk(c1,c2,,ck为任意常数)。

定理1：若n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A的秩R(A)rn，则Ax0的基础解系恰含有nr个线性无关的解向量。

讲教材P128 例1和例2

二、非齐次线性方程组解的结构

1.解的性质

对于非齐次线性方程组

Amnxb

(2) 性质1：若1,2都是Axb的解，则12是Ax0的解。

性质2：若是Ax0的解，是Axb的解，则是Axb的解。

2.解的结构

*定理2：设是非齐次线性方程组Axb的一个解，1,2,,nr是对应的导出组Ax0的基础解系，则Axb的通解为

*k11k22knrnr

其中k1,k2,,knr为任意常数。

讲教材P132 例3和例4

三、习题

P134 T1 T2(1) T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 总复习题：T1 T2 T4 T5 T6至T13

第五章特征值和特征向量

矩阵的对角化

教学目标与要求

1.理解内积和正交向量组的概念，掌握施密特正交化方法和正交矩阵的性质 2.理解特征值与特征向量的定义，掌握它们的性质及其求法 3.理解相似矩阵的定义，掌握相似矩阵的性质

4.掌握矩阵可对角化的条件，熟悉实对称矩阵的对角化方法教学重点

1.施密特正交化方法的运用 2.特征值与特征向量的求法 3.实对称矩阵的对角化方法教学难点

1.施密特正交化方法

2.特征值与特征向量的性质及其求法 3.实对称矩阵的对角化方法

§5.1 预备知识

一、向量的内积

定义1：设有n维向量xx1,x2,,xn，yy1,y2,,yn，令

TTx,yx1y1x2y2xnyn，称x,y为向量x与y的内积。

内积的性质：

(1)x,yy,x

(2)x,yx,y

(3)xy,zx,zy,z

(4)x,x0，当且仅当x0时等号成立

定义2：令xx,x22x12x2xn，称为n维向量x的长度（或范数）。当x1时，称x为单位向量。

向量的长度具有以下性质：

(1)非负性：x0

(2)齐次性：

定义3：当x0，y0时，称arccosxx

(3)三角不等式：xyxy

(4)柯西不等式：x,yxy

x,yxy为n维向量x与y的夹角。

定义4：当x,y0时，称向量x与y正交。

定义5：若一个向量组中任意两个向量都正交，则称此向量组为正交向量组。若正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称此向量组为规范正交向量组或标准正交向量组。

定理1：若n维向量1,2,,r是一组两两正交的非零向量，则1,2,,r线性无关。

二、施密特正交化方法施密特正交化方法是将一组线性无关的向量1,2,,r，化为一组与之等价的正交向量组1,2,,r的方法。令

2,1；；

1,11,,r,r1。 rrr11r221,12,2r1,r1r111； 22

讲教材P147 例2和例3

三、正交矩阵

定义6：如果方阵A满足AAAAE（即Acos例如：En， sinAT），则称A为正交矩阵。

01/21/2sin， 2/61/61/6都是正交阵。 cos1/31/31/3TT1

定理2：A为正交矩阵A的行(列)向量组为规范正交向量组。即

1,ijATAEiTj(i,j1,2,,n)（其中A(1,2,,n)）

0,ij

定理3：设A,B都是n阶正交方阵，则

(1)A1； (2)A,A,AB也是正交方阵。

定义7：若P为正交矩阵，则线性变换yPx称为正交变换。

四、习题

P149 T1(2) T2(2) T3 T4 T5

§5.2 特征值和特征向量

T

1一、特征值与特征向量的概念

定义1：设A是n阶方阵，如果存在数和非零列向量x，使得Axx，称为方阵A的特征值，非零列向量x称为A的属于特征值的特征向量。

特征方程：Axx(AE)x0 或者 (EA)x0

(AE)x0有非零解AE0特征矩阵：(AE) 或者 (EA)

EA0

a11特征多项式：AEa12an2a1na2n()

a21an1a22annnn1aaan1an0

1 [a0(1)n]

二、求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤

(1) 求出特征方程()AE0的全部根1,2,...,n，即是A的特征值； (2) 对于每个特征值i求解线性方程组AiEx0，得出的基础解系就是A的属于特征值i的特征向量；基础解系的线性组合就是A的属于特征值i的全部特征向量。

讲教材P152 例3和例4

三、特征值与特征向量的性质

性质1：设A是n阶方阵，则A与A有相同的特征值。性质2：设是方阵A的特征值，k,mN，则 (1)是方阵A的特征值；

(2)f()a0a1am是f(A)a0Ea1AamA的特征值。

性质3：设n阶方阵A(aij)nn的n个特征值为1,2,...,n，则 (1)

mmkkTaii1i1nnii，其中

ai1niitr(A)称为A的迹；

(2)iA

i1n

证明：由特征值的定义可得

a11

a12a1na2n ()AEa21an1a22an2ann

(a11)(a22)(ann)

(1)nn(1)n1(a11a22ann)n1

由题设可知 ()AE(1)(2)(n)

(1)nn(1)n1(12n)n1(12n) 比较多项式同次幂的系数可得

a11a22ann12n， A(0)12n

推论：A0 0是A的特征值；A可逆A0A不含零特征值。

讲教材P154 例5和例6

性质4：1,2,,m是方阵A的互异特征值，其对应的特征向量依次为

p1,p2,,pm，则向量组p1,p2,,pm线性无关。

四、习题

P157 T1

§5.3 相似矩阵

一、相似矩阵的概念

定义1：设A,B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使PAPB，则称矩阵A与B相似，记为A~B，可逆矩阵P称为相似变换矩阵。

相似矩阵的基本性质：

1、(1) 反身性：对任意方阵A，都有A~A

(2) 对称性：若A~B，则B~A

(3) 传递性：若A~B，B~C，则A~C

2、定理1：若A~B，则

① A与B有相同的特征多项式和特征值；

② AB； ③ R(A)R(B)；

mm④ A与B也相似（m为正整数）；

1⑤ tr(A)tr(B)

二、矩阵可对角化的条件

定义：n阶方阵A可以相似于一个对角矩阵，则称A可对角化。

定理2：n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量。

推论：n阶方阵A有n个互异的特征值A可对角化。

定理3：n阶方阵A可对角化A的每个k重特征值对应有k个线性无关的特征向量（或R(AE)nk）。即A的几何重数nR(AE)等于代数重数k。

讲教材P160 例1和例2

三、小结

n阶方阵A对角化的步骤：

(1) 解特征方程AE0，求出A的全部特征值1,2,...,s，其中i是ni重特征值（i1,2,,s），sni1in。

(2) 对每个i，解齐次线性方程组AiEx0，得基础解系i1,i2,...,ini； (3) 令P(11,12,,1n1,21,22,,2n2,,s1,s2,,sns)，则PAP，其中diag(1,,1,2,,2,,s,,s)，这里i的个数为ni个（i1,2,,s）。

四、习题

P162 T1

§5.4 实对称矩阵的相似矩阵



1一、实对称矩阵的特征值性质

定理1：实对称矩阵的特征值都是实数。

定理2：实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交。

定理3：设是n阶实对称矩阵A的r重特征值，则R(AE)nr，即对应特征值恰有r个线性无关的特征向量。

二、实对称矩阵的相似理论

定理4：任意实对称矩阵A都与对角矩阵相似。即实对称阵一定可以对角化。

1T定理5：设A是n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使PAPPAP。其中diag(1,2,,n)，且1,2,...,n是A的n个特征值。

三、实对称矩阵对角化方法

n阶实对称矩阵A对角化的步骤：

(1) 解特征方程AE0，求出A的全部特征值1,2,...,s，其中i是ni重特征值（i1,2,,s），sni1in。

(2) 对每个i，解齐次线性方程组AiEx0，得基础解系i1,i2,...,ini； (3) 利用施密特正交化方法将i1,i2,...,ini正交化，得正交向量组i1,i2,...,ini，再单位化得规范正交向量组i1,i2,...,ini（i1,2,,s）；

(4) 令P(11,12,,1n1,21,22,,2n2,,s1,s2,,sns)，则P为正交矩阵，且P1APPTAP，其中diag(1,,1,2,,2,,s,,s)，这里i的个数为。 ni个（i1,2,,s）

讲教材P164 例1和例2

四、习题

P167 T1

T4 P167 总复习题：T1 T2 T3 T4 T5 T6；

T8 T9 T10 T11

T12 T13 T14 T15 T16

第六章特征值和特征向量

矩阵的对角化教学目标与要求

1.理解二次型及其秩的相关概念，了解矩阵的合同关系

2.掌握二次型的标准形，以及用配方法、正交变换法和初等变换法化二次型为标准型

3.理解惯性定理和二次型的规范形，掌握二次型正定的判别方法教学重点

1.用正交变换法化二次型为标准型 2.二次型正定的判别方法教学难点

1.用正交变换法化二次型为标准型 2.二次型正定的判别方法

§6.1 二次型及其矩阵表示

一、二次型及其矩阵表示

定义1：含有n个变量的二次齐次函数：

22f(x1,x2,...,xn)a11x12a22x2annxn 2a12x1x22a13x1x32an1,nxn1xn称为二次型。当aij全为实数时，f称为实二次型。

为了便于用矩阵讨论二次型，令aijaji，则二次型为：

f(x1,x2,...,xn)a11x12a12x1x2a1nx1xn2 a21x2x1a22x2a2nx2xn .................................................2 an1xnx1an2xnx2annxn

a11a21记

Aan1a12a22an2i,j1anijxixj

a1nx1a2nx2x，

， xannnT则二次型f(x1,x2,,xn)xAx，其中A为对称矩阵。

由此可见，对称矩阵A与二次型f是一一对应关系，故称对称矩阵A为二次型f的矩阵，也称二次型f为对称矩阵A的二次型，R(A)也称为二次型f的秩。

讲教材P173 例1和例2

二、线性变换 x1c11y1c12y2c1nynxcycycy22112222nn

定义2：称为由变量x1,x2,,xn到变量y1,y2,,yn.................................................xncn1y1cn2y2cnnyn的一个线性变量替换，简称线性变换。

c11c21其中，矩阵Ccn1c1nc22c2n称为线性变换的矩阵。 cn2cnnc12x1y1x2y2记x，y，则线性变换可用矩阵形式表示：xCy。

xynn若C0，则称线性变换xCy为非退化的(或满秩变换)；否则，称为退化的(或降秩变换)。若C是正交矩阵，则称线性变换xCy为正交变换。因此，我们有

f(x)xTAx(Cy)TA(Cy)yTCTACyyTBy，其中BCTAC，而且 BT(CTAC)TCTATCCTACB

三、矩阵的合同

1．定义3：设A,B为两个n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C，使得CACB，则

TB。称矩阵A与B合同，记为：A~B（合同）定理：若A~，则AB（等价），且R(A)R(B)。

2．合同的性质

A

① 反身性：对任意方阵A，都有A~B，则B~A

② 对称性：若A~C B,B~C，则A~③ 传递性：若A~3．定理：任何一个实对称矩阵A都合同于一个对角阵（是以A的n个特征根为对角元的对角阵），即存在可逆矩阵C，使得CAC。

四、习题

P175 T1

§6.2 二次型的标准形

一、二次型的标准形

222定义：形如d1x1的二次型称为二次型的标准形。 d2x2dnxn

二、化二次型为标准形

（1）配方法

对任意一个二次型fxTAx，都可用配方法找到满秩变换xCy，将f化为标准形。步骤：若f中含变量项xi的平方项，则先将所有含xi的项合并在一起配成完全平方，依次类推直到都配成完全平方项；若f中不含任何平方项，则令x1y1y2,x2y1y2，xkyk，使f中出现平方项，再按照前面的思路进行配方。

（2）正交变换法

定理：任给二次型f(x)xTAx，总存在正交矩阵Q，使QTAQQ1AQ，其中diag(1,2,,n)，1,2,,n是A的全部特征值。

22即存在正交变换xQy使f化为标准形：（其中1,2,,n1x122x2nxn是对称矩阵A的全部特征根）

讲书上P176 例1

（3）初等变换法

由于任意对称阵A都存在可逆矩阵C，使CAC为对角阵；由于C是可逆阵，故可表

TTTT示一系列初等矩阵的乘积。设CP1P2PS，则CPsP2P1，因此

TCTACPsTP2TP1AP1P2Ps

①

CP1P2PSEP1P2PS

②

①式表示对实对称矩阵A施行初等列变换的同时也施行相应的行变换，将A化为对角阵；②表示单位阵E在相同的初等列变换下就化为C。即(

三、习题

P181

§6.3 惯性定理和二次型的正定性

A)合同变换() EC

一、惯性定理和规范形

定理1：设实二次型fxTAx的秩为r，有两个实满秩线性变换xCy及xPz，222使得 fk1y1kpy2,2,,r)

（1） pkp1yp1kryr(ki0,i12222及

f1z1qzqq1zq,2,,r) 1rzr(i0,i1则pq；且称p为二次型f的正惯性指数，rp为二次型f的负惯性指数。

对二次型f的标准形（1）式再作满秩线性变换

(y1,,yr,yr1,,yn)Tdiag(11,,,1,,1)(t1,,tr,tr1,,tn)T k1kr2222则有ft1tptp1tr，称之为二次型f的规范形。

惯性定理的等价表述：任意一个秩为r的实二次型f都可以经过满秩线性变换化为规范形，且其规范形是唯一的。即规范形中正项的个数p与负项的个数rp都是唯一确定的。

定理2：实对称阵A与B合同A与B的正负惯性指数相同

A与B的规范形相同R(A)R(B)，且A与B的正惯性指数相同

二、二次型的正定性

定义1：设实二次型f(x)f(x1,x2,,xn)xTAx，若对任意x0，都有f(x)0，则称f为正定二次型，并称其对称矩阵A为正定矩阵。

三、二次型正定的判别方法

定理3：设A是n阶实对称矩阵，则

fxTAx正定（或A正定）A的n个特征值全为正；

f的标准形的n个系数全为正f的正惯性指数pn； 存在可逆矩阵P，使APTPA与单位矩阵合同； A的各阶顺序主子式全为正，即

a11a1na11a120

a110， 0，  ， a21a22an1ann讲教材P184 例3

四、习题

P185 T1(1)(3)

T2(3)

T6 P186 总复习题： T4

T7 ；

T12

T13

第19篇：线性代数心得体会

线性代数心得体会

本学期选修了田亚老师《线性代数精讲》的课程，而且这个学期我们的课程安排中也是有线性代数的，正好和选修课相辅相成，让我的线性代数学的更好。

本来这门学修课是准备面向考研生做近一步拔高的，但是有很多同学没有学过线性代数，或者说像我们一样是正在学习线性代数的，所以老师还是很有耐心的从基础开始讲，适当的增加一些考研题作为提高，这样就都可以兼顾大家。

线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下, 可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。

我觉得线代是一门比较费脑子的课，因为这门课中的概念、运算法则很多，而且大多都很抽象，所以一定要注重对基本概念的理解与把握，应整理清楚不要混淆，正确熟练运用基本方法及基本运算。而且，线代作为一门数学，各知识点之间有着千丝万缕的联系，其前后连贯性很强，所以学习线代一定要坚持，循序渐进，注意建立各个知识点之间的联系，形成知识网络。除此之外，代数题的综合性与灵活性也较大，所以我们在平时学习中一定要注重串联、衔接与转换。一定要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题才能左右逢源，举一反三，化难为易。

在此我要感谢田亚老师细心、认真的教育和无微不至的照顾。田老师大一时教我们高数，从那时起就是这样认真，负责，上课准备的很充分，讲课也很细致，有问题也会耐心、认真的为我们讲解。本学期选修田老师的课还是很开心的，一是讲课方式比较熟悉，二是田老师的课确实讲的细致有条理。除了讲授课本的知识以外，田老师还会讲一些有关考研，人生规划之类的事情，我觉得这对激励我们努力学习有很大的帮助。

线代本身作为数学，其实是比较枯燥乏味的，所以如果在选修课中能加入一些比较有趣味性的东西，那讲课效果应该更好。

微风细雨，润物无声。再次感谢田老师本学期的教诲。老师辛苦了！

第20篇：线性代数心得体会

浅谈线性代数的

心得体会

系别：XXX系班级：XXX班姓名：XXX

线性代数心得

姓名：XXX 学号：XXX 通过线性代数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力。同时，该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。

在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。但是线性代数教学却对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的应用只有算解线性方程组，但这只是线性代数很初级的应用。而线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。

线性代数被不少同学称为天书，足见这门课给同学们造成的困难。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代数也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。

线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和向量。这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种中去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性。由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易。

线性代数课程特点比较鲜明：概念多、运算法则多内容相互纵横交错正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，线性代数题的综合性与灵活性较大，

线性代数的概念多比如代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，矩阵的秩，线性组合与线性表示，线性相关与线性无关等。

线性代数中运算法则多比如行列式的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解等。

应用到的东西才不容易忘，比如高等数学。因为高等数学在很多课程中都有广泛的应用，比如在开设的大学物理和机械设计课中。所以要尽可能地到网上或图书馆了解线性代数在各方面的应用。也可以试着用线性代数的方法和知识证明以前学过的定理或高数中的定理。

线性代数作为数学的一门，体现了数学的思想。数学上的方法是相通的。比如，考虑特殊情况这种思路。线性代数中行列式按行或列展开公式的证明就是从更简单的特殊情况开始证起；解线性方程组时先解对应的齐次方程组，这些都是先考虑特殊情况。高数上解二阶常系数线性微分方程时先解其对应的齐次方程，这用的也是这种思路。

通过思想方法上的联系和内容上的关系，线性代数中的内容以及线性代数与高等数学甚至其它学科可以联系起来。只要建立了这种联系，线代就不会像原来那样琐碎了。

在线性代数的学习中，注重知识点的衔接与转换，努力提高综合分析能力。线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。