推荐第1篇：奥数教学工作总结
四年级二班奥数教学工作总结
我担任的是四年级二班奥数课。我努力适应新时期教学工作的要求，从各方面严格要求自己，虚心向 老师学习，在 老师的身上我学到了教学经验。我的教学成功离不开她的亲切指导和帮助。立足现在，放眼未来，为使今后的工作取得更大的进步奠定了基础，现对本学期教学工作作出总结，我决心发扬优点，克服不足，总结检验教训，为取得更好的教学成绩努力工作。
一、教学为主，认真钻研。
本学期我担任四年级二班的奥数教学工作，为了提高我自身的专业素质，我在教学方面认真努力学习，主要从以下几个方面做起。
（1）认真备课，根据学校要求的内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，课后及时对该课作出总结。
（2）虚心请教其他老师。在教学上，有疑必问。本学期在学校所有老师的关心下，我的教学工作又有了一些进步。在各个环节的教学上都积极征求优秀老师的意见，学习他们的方法，同时，多听课学习老师们的优点，克服自己的不足，改进工作。
（3）认真批改作业：布置作业做到有针对性，有层次性，力求每一次练习都起到最大的效果。同时对学习的作业批改及时、认真。分析并记录学生的作业情况，将他们的作业过程出现的问题作出分类总结，进行透切的讲评，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的
放失。
（4）在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，避免了一刀切的弊端，同时加大了后进生的辅导力度。对后进生的辅导，并不限于学习知识性的辅导，更重要的是学习思想的辅导，要提高后进生的成绩，首先要解决他们心结，让他们意识到学习的重要性和必要性，使之对学习萌发兴趣。要通过各种途径激发他们的求知欲和上进心，让他们意识到学习并不是一项任务，也不是一件痛苦的事情。而是充满乐趣的。从而自觉的把身心投放到学习中去。
二、反思
部分学生以前形成的一些不良学习方法和习惯，还有待进一步规范和引导；学习成绩进步的同学，也还有许多方面还有很大的提升空间。在一个班里学生的反映速度不一，反映快的学生能和快学会新的知识，而反映慢的总是反复教才能学会。以后要根据学生的实际情况教学。
总体来说,取得的成绩还不够理想，在今后的教育教学工作中，我将更严格要求自己，努力工作，发扬优点，改正缺点，开拓前进，为美好的明天奉献自己的力量。
推荐第2篇：数学奥数[材料]
胜不骄败不馁
尊敬的老师们，亲爱的同学们：
大家好! 我今天要讲的主题————“胜不骄败不馁”。
在我们现实生活中，每个人都会有成功的经历，也有遇到失败的苦涩，取得成功的时候，脸上露出的时灿烂的笑容;遇到挫折的时候，有的一败涂地，有的是努力奋进，迎难而上。对于我们学生来说，应该怎么面对学习和生活的成功和失败呢?
这就引出来我今天要讲的主题————“胜不骄败不馁”。古人曾说过：“胜者不骄傲，败者不气馁。”讲的就是这个道理，当你经过自己的一番努力取得成功的时候，决不可沾沾自喜，骄傲于世，目中无人，而应该总结成功的经验，再接再厉，向更高、更好的目标而努力奋斗;当你遇到挫折与失败的时候，决不能灰心伤气，破罐子破摔，而应该仔细检查自己做的事情，从中找出原因，不断总结，就会从一个失败走向成功。失败并不可怕，可怕的是我们不能从中意识到自己的不足。我们常说“失败是成功之母”，讲得就是通往成功的道路上，失败有时也是不可避免的，伟大的发明家爱迪生不就是经过无数次的失败才走向成功的吗?经历了无数次的失败-成功，在失败在成功，最终发明了电灯。
爱迪生是这样，雅典奥运会冠军刘翔也是一样，他也是经过了无数次的失败之后才取得了如此骄人的战绩，实现了亚洲人短跑金牌零的突破，为中国人争了光，也为亚洲人争了光!但是要从失败中不断汲取教训，多向成功的人士学习，从心理上要认识失败是暂时的，只要你能调整心态，找出问题的所在，在加上自己的刻苦努力，你一定能取得自己满意的结果。
我们刚刚进行了月考，由于各个学生的基础不一样，有的同学通过自己的努力取得了优异的成绩，而有的同学觉得自己的成绩不理想，没有达到自己的目标。这样就出现了两种心态的同学。考试好的同学会欢欣鼓舞，但绝不可骄傲，还要继续前进;考试暂时不理性的同学不要悲观失望，查漏补缺，终究会取得优异的成绩。我想告诉大家的是：考试只是一种检测手段，通过它反映开学以来你对所学知识的掌握程度，分数的高低只能代表过去，不能代表将来。只要你能从考试中分析自己的失败的原因，总结自己的不足之处，相信在以后的考试中你一定会名列前茅的。
在我们的日常学习和生活中，要保持一个良好的心态，做到胜不骄败不馁。我真心地希望每位同学，在以后的学习中，要克服学习上的困难，知难而上，勇攀高峰，力争做到：课前要认真预习，准备好必备的学习用品;课上要积极思考，大胆发言，不懂就问;课后要及时复习，认真完成老师布置
的课堂、家庭作业。作业书写工整，作业要独立完成，作业要尽量不错，错了要立即订正。我们坚信，只要同学们努力去做，期中，期末考试一定能考出优异的成绩。
胜不骄，败不馁。让我们永远保持一颗奋斗的心，总结今天的成功与失败，展望明天的辉煌，经过大家的努力学习和拼搏，相信大家都能达到自己理想的彼岸。
请牢记：“胜不骄，败不馁，”这句名言，相信它会为你的人生带来极大的鼓励和帮助。
谢谢大家! 我的演讲完毕！
推荐第3篇：下学期奥数教学工作总结
2011年下学期奥数教学工作总结
转眼一学期又接近期末。本学期，我由六年级奥数的教学任务转向五年级的教学任务，在教学工作中我从各方面严格要求自己，勤勤恳恳，兢兢业业，使教学工作有计划、有组织、有步骤、有实效地开展，顺利并圆满地完成了教学任务。现就本人一学期教育教学工作做以下总结。
一、学生基本情况，工作开展情况
上半学期学期，本人继续担任小学六（3），六（9）和六（14）班的奥数教学工作。从考二附的情况来看，总体还是不错的，其中一层次六（14）班33人。A档的有十人，B档的有11人，三层次6（3）班B档1人，C档2人，D档6人，三层次6（9）班C档2人，D档4人，这成绩还是令人比较欣慰的。二附考试结束我立即转向五年级的教学工作，现担任5（2）以及5（5）班奥数教学。从学生基础及智力水平来看，5（2）班的奥数在四个一层次的情况来看还是比较弱的，主要原因是低分层次的人员太多，高分层次不多，中间层次比例较大，5（5）班学生情况参差不齐，以及从来没接触过奥数，这都给教学带来了很大的困难，根据我所任教班级中差生较多的情况，我没有失去信心，注意学生层次不同，因材施教。今年教材采用校本为主与二附课本为辅，内容相连，但校本内容跨度、深度、难度略大，二附内容题量较少且只有一小部分时间在二附的教学上，所以备课与上课中，要求内容进行适当的增补，不但备教材，而且备教法。根据教学内容及学生的实际情况设计课的类型，采用不同的教法，并对学生的反馈认真做了记录，每一节课都做到“有备而来”，课后及时总结、归纳、反思。
二、教学中注意对奥数思维能力的培养
如何加强对学生思维活动培养是奥数教学中的重要课题，思维能力的培养首先抓严素质教育的主阵地——课堂教学，培养学生逻辑思维能力解应用题是重要任务之一，也是教学中最利于发展学生思维的领域。只有具备一定语言理解水平和逻辑思维能力，才能将实际问题转化为奥数问题加以解决，
三、课堂常规的实施
1.认真备课。根据教学内容及学生的实际情况设计课的类型，拟定采用的教学方法，教学上多数采用多媒体教学，尽量增加奥数课的趣味和调动学生学习的积极性。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，课后及时做好课后小结。
2.增强上课技能，提高教学质量。增强上课技能，提高教学质量。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生学得容易，学得轻松，觉得愉快，注意精神，培养学生多动口动手动脑的能力。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生学得容易，学得轻松，觉得愉快，注意精神，培养学生多动口动脑的能力。
3.认真批改作业，布置作业有针对性，有层次性。对学生的作业批改及时，认真分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题做出分类总结，进行透彻的讲评，并根据学生的实际情况及时改进教学，在教学中做到了有的放矢。
4.做好课后辅导工作，注意分层教学。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，同时加大了对后进生的辅导的力度。对后进生的辅导，并不限于学生知识性的辅导，更重要的是学生思想的辅导，提高后进生的成绩，首先解决他们的心结，让他们意识到学习的重要性和必要性，使之对学习萌发兴趣。
5.工作中有计划、有条理。认真制定教学计划，注重研究教学理论，认真备课和教学，制定好复习计划，并能认真备好复习课，培养好尖子生，提高中等生，帮助差生。
6.为人师表是教师的本分，我注意严格要求自己，严守教师职业道德规范和学校各项规章制度，对工作尽职尽责，努力上好每一节课，作业全批全改，认真负责地对待每一个学生，尊重他人，尊重学生，热爱本职，讲究实际。努力用良好的思想和行为去影响自己的教育对象。当然教师的职责是传授，不断提高口头表达能力，用准确恰当的语言去教育学生，传授知识，也是我们的基本功。活到老，学到老，要不断接受新知识，才能提高言传效果和质量，我既要注重语言传授，更注重身体力行，把言传与身教相结合。
推荐第4篇：小学数学奥数社团工作总结
小学数学奥数社团工作总结
这一学期，我担任学校四年级的奥数社团教学工作。我认真执行学校教育教学工作计划，转变思想，积极探索，改革教学，在继续推“自主——合作——创新”课堂教学模式的同时， “联系生活实际学数学”，把新课程标准的新思想、新理念和数学课堂教学的新思路、新五设想结合起来，转变思想，积极探索，改革教学，收到很好的效果。
一、激发学生学习兴趣，让他们能够感受成功、体验到学习数学的快乐
本社团学生，大部分学生基础较差，随着数学知识点的增多，知识面的扩展，学生越来越感到学习数学的困难，面对形式多样的解题方式更是无法应对，就学习尽头来说是心有余而力不足。为此，我采取的策略是先让学生感到学数学不难：上课时我有意识的设计一些简单的问题叫学习困难的学生来回答，让他们板演一些基本的计算题，激励他们大胆的解答，并在适时的时候予以提示，是他们能在老师善意的帮助下顺利的解答，让他们从心理上感到解决数学问题不是太难，只要掌握基本的方法是可以触类旁通的；第一环节实施后，我采取得第二步是在讲课时把知识生活化的方式，以学生常见的范例、经常接触的身边的数学问题为例，加以有声有色的描述，使学生感到学数学很有用，数学问题解决不好会出笑话，会影响自己的将来，要好好学数学，要学好数学，因为需要而产生学习数学的兴趣；学生的兴趣被激发后，我首先想到的是保持，一是注重从学生的课堂反应来反馈，将学生的问题和与优点添油加醋的加以评价，再就是通过开展一些丰富多彩的数学活动，如讲数学家的故事，搞一些数学小竞赛，小组合作、作业评比、学生评价等等，积极发掘学生的闪光点，让学生的个性得以张扬，努力营造一个学数学的良好氛围，让学生体验学数学和做数学的快乐，使学生从思想上逐步扭转对数学的枯燥印象，最后，我利用各种机会，经常给不同层次学生以成就感，让每一位同学都能体验到学习数学的成功与快乐。一年来，成效显著：首先是学生敢于大胆回答问题了，其次是能基本清楚的描述解题思路了，再次就是作业正确率提高了，测试情况也有了较为明显的好转。
二、认真钻研业务，努力提高课堂40分钟的教学效率。
在业务上我积极利用各种机会，学习教育教学新理念，积极参加网络教研活动，精心打理博客内容（课堂教学中的案例、反思、故事、随笔等），潜心钻研教材教法，认真备课、认真上课，坚持不懈地进行“自我充电”，以提高自己的业务理论水平。课堂上，我把学到的新课程理念结合本班实际，努力贯彻到课堂教学中去，以期提高课堂40分钟的效率。课余，我经常与同事们一起探讨教学过程中遇到的各种问题，互相学习，共同提高；我还结合实际教学撰写一些自己平时的教学反思和经验总结点滴等等。从中，我更是感受到了学无止境的道理。要充分发挥课堂教学这个“主阵地”的作用，提高课堂40分钟的效率，我们要与时俱进，坚持不懈地学习探究教学新理论新实践。
三、关爱学生与严格要求相结合，尽量使每一位学生进步。
亲其师，才能信其道。在平时与学生接触的过程中，我不以“师长”自居，尽量与学生平等交往，建立“朋友式”的深厚友谊，努力关爱每一位学生的成长。与学生多谈心，帮助学生解决学习上与生活上的各种困惑。同时，面对个别调皮的学生，也实行严格要求、正确导向的办法，让他们树立起正确的荣辱观。课堂教学，纪律是提高课堂效率的重要保证。面对各层次的学生，我既要关爱大部分学生，又要面对个别不守纪律的捣蛋分子实行严格要求。课堂上，我尽量做到分层施教与个别辅导相结合；课余，我让优秀学生与“学困生”实行“一帮一”结对子，互帮互助，共同提高。一学期来，学生们原本薄弱的基础，逐步得以夯实，学生的学习成绩有了稳步提高。
四、总结得失，以励再战。
1、取得的成绩：在我的努力带动下，学困生的脸上有了笑容了，学生们的学习兴趣较以前提高了，学习的态度也改变了不少。
2、存在的不足：部分学生多年来形成的一些不良学习方法和习惯，还有待进一步规范和引导；学困生在起始年级的知识空缺（口算乘除法及其他）直接影响着计算的效率与质量，学习成绩虽然有所进步，但许多方面还有很大的提升空间；老师的付出与学生知识掌握的反馈（作业、成绩）使老师产生急躁的情绪。
3、努力方向：今后，我将继续本着“教到老，学到老”的精神，改变急躁的情绪，不断探讨提高学生学习兴趣、促进学生全面发展的有效机制；继续保持与学生家长的紧密联系，共同配合，争取个人成长与学生成长实现双丰收。
推荐第5篇：三年级数学奥数应用题
1．39个同学在操场上跳绳，每3人一组，可以分成多少组？
2．4棵杨树苗48元，3棵松树苗63元，哪种树苗每棵的价钱贵一些？
3．三（1）班小朋友做玩具，一共做了48个，送给幼儿园15个，其余的平均分给一年级3个班，每班可以分得几个？
4．张教师带100元去商场买3个小足球，找回了7元，你能知道每个小足球多少元吗？
5．一本《故事大王》共65页，小明打算4天看完，小花打算6天看完，小明平均每天要看多少页？小花呢？
6．张大伯家养了18只鸭，养鸡的只数是鸭的2倍，张大伯家养鸡和鸭一共多少只？
7．停车场有大汽车45辆，小汽车比大汽车多17辆，大汽车和小汽车一共有多少辆？
8．明明有42张邮票，芳芳比他少15张，他们俩人一共有邮票多少张？
9．一件上衣45元，裤子比上衣便宜12元，买一套衣服要多少元？
10．小白兔拔了14个萝卜，小灰兔拔的是它的3倍。小白兔比小灰兔少拔了多少棵？
11．校园里有水杉树24棵，松树的棵数是水杉树的3倍。水杉树和松树一共有多少棵？水杉树比松树少多少棵？
12．公园里有黑天鹅28只，白天鹅的只数比黑天鹅的3倍多9只。白天鹅有多少只？
13．三年级去图书馆借书，上午借了420本，下午比上午多借20本。这一天三年级共借书多少本？
14．用6个边长1厘米的小正方形拼成一个大长方形，拼成的长方形的长和宽各是多少厘米？周长是多少厘米？
15．一个长方形操场，长55米，宽35米，小华沿操场的边跑了2圈，跑了多少米？
16．用一根线正好围成一个边长是8厘米的正方形。这根线长多少厘米？
17．养鱼场去年放养鱼苗896尾，今年放养的鱼苗数是去年的2倍。今年放养多少尾？
18．科学馆上午有3批学生来参观，每批169人，下午又有213名学生前来参观。这一天一共有多少学生来参观？
19．一头牛一天要吃32千克草。2头牛4天要吃多少千克草？
20．有一块土地， 用来种西红柿， 用来种茄子，其余用种西瓜。西瓜占地几分之几？
21．李大伯家养了200只鸡，第一天先卖128只，平均每只鸡可卖9元，李大伯这天能卖多少元？剩下的鸡第二天卖，每8只装一笼，能装多少笼？
22．48个同学去采集昆虫标本，每3人分一组，可以分成多少组？
23．同学们要种93棵树，已经种了18棵，剩下的树苗平均分给5个小组，每个小组还要种多少棵？
24．上海市六月份降水量是42毫米，七月份比六月份少了14毫米。
六、七两个月一共降水多少毫米？
25．玩具厂每小时可以生产玩具600个，从上午十时到下午二时，大约可以生产玩具多少个？
26．一个正方形花圃，边长是15米。它的周长是多少米？
27．在一块长16米，宽8米的长方形地的周围围上围栏，围栏一共长是多少米？
28．少年宫学习绘画的小朋友共108人，学习书法的小朋友人数比学习绘画的2倍少36人。少年宫学习书法的有多少人？
29．每根跳绳长2米。65米长的一根绳子，最多能剪多少根跳绳？还剩几米？
30．李教师买了2副羽毛球拍，付出70元，找回6元。每副羽毛球拍多少元？
31．一本科普书，小明准备6天看完，平均每天要看多少页？
32．同学们做了80朵纸花，每5朵扎一束，可以扎几束？每4朵扎一束，可以扎几束？
33．一种练习本每本的单价是4角。王教师用5元钱，最多可以买多少本这样的练习本？
34．小华去商店里买饮料，买了5瓶，付给营业员100元，找回35元。每瓶饮料多少钱？
35．同学们到果园参加义务劳动，男同学有40人，女同学有38人。每6人分一组，一共可以分成多少个小组？
36．三（2）班有男生26人，女生22人。全班同学平均分成4个小队。平均每个小队有多少名同学？如果每个同学发2本数学练习本，全班一共需要多少本数学练习本？
37．学校舞蹈队里有18名男生，女生人数是男生的2倍。舞蹈队男、女生一共有多少人？
38．去天文台参观的女生有9人，男生去的人数比女生的3倍还多1人。40座的汽车够坐吗？
39．一批货物，已经运走了8吨，剩下的是运走的5倍。这批货物一共有多少吨？
40．小明买了6套体育画片，每套4元，又买了一本描红字帖15元。小明一共花了多少元？
41．一场球赛从14：45开始，到16：18结束。这场球赛进行了多长时间？
42．同学们去划船。男同学去了27人，女同学去了29人，每4人坐一条船。一共需要租多少条船？
43．王大伯家养了15只鹅，养鸭的只数是鹅的4倍，养的鸡比鸭多38只。王大伯家养鸭多少只？养鸡多少只？
44．一幅画，长50厘米，宽30厘米。用一根长150厘米的木条做它的边框，够不够？
45．每袋盐重500克，6袋盐一共有多少克？合多少千克？
46．家禽养殖场饲养了257只鸭，还饲养了158笼鸡，每笼有5只。这个养殖场一共养了鸡和鸭多少只？
47．工厂每天可生产406个玩具熊，照这样计算，5天一共生产多少个玩具熊？
48．一辆卡车每分钟行驶850米，轿车每分钟行驶的米数比卡车的3倍还多50米。轿车每分钟行驶多少米？
49．一个建筑工地第一天运来180袋水泥，第二天运来的袋数比第一天的2倍少19袋。第二天运来多少袋水泥？
50．每辆卡车一次可装4吨货物。用8辆这样的卡车运5次，一共可运货物多少吨？
51．每人每天可装配自行车14辆，照这样计算，8人工作7天，一共装配自行车多少辆？
52．军军看一本书，已经看了5天，每天看24页，还剩下10页没有看。这本书一共有多少页？
53．三年级二班有男生25人，女生23人。每4人分得一个足球。一共需要准备多少个足球？
54．小红看一本故事书有154页。她爸爸看的一本科技书的页数比这本故事书的4倍还多58页。她爸爸看的科技书有多少页？
55．一台拖拉机每小时可以运货2吨。照这样计算，6台这样的拖拉机5小时可以运货多少吨？
56．有59名同学去游船。每5人租一只小船，共要租多少只小船？
57．饲养组养了68只小兔。如果每只笼子里养6只，要多少只笼子？
58．一根长绳25米，每2米做一根跳绳，一共可以做多少根跳绳？
59．一本故事书86页，小华每天看6页，第几天看完？
60．一张课桌60元，比一张椅子贵34元，一套课桌椅多少元？
61．一辆车上午8时从上海开出，每上时行55千米，晚上6时到达南京。你知道上海到南京有多远吗？
62．王伯伯家养白兔45只，养的黑兔比白兔少18只，王伯伯家一共养兔多少只？
63．李大伯家去年养鸡800只，今年养鸡的只数是去年的3倍，今年多养了多少只？
64．商店运来梨455千克，运来的苹果比梨的3倍少160千克，商店运来苹果多少千克？
65．从甲城到乙城的铁路长560千米，一列火车以每小时118千米的速度从甲城开往乙城，3小时后能到达吗？
66．王师傅上午加工零件48个，下午加工零件56个，照这样计算，一个星期工作5天，共加工零件多少个？
67．科技小组有男同学58名，女同学44名，文艺小组人数是科技小组的2倍。文艺小组共有多少人？
68．小丽跑步去学校，平均每分钟跑84米。3分钟后刚好到了全程的一半，她家到学校大约多少米？
69．学校篮球场长26米，宽14米。沿篮球场的四周跑5圈，共跑了多少米？
70．王师傅和李师傅共同加工一批零件，王师傅完成了其中的4/9 ，李师傅完成了其中的5/9 ，两人谁加工得多？多加工这批零件的几分之几？
71,宝宝有十个苹果，买进二个，决定将这些苹果送给三个朋友，每个朋友平均有多少个苹果？
72、红星小学去年植树140棵，今年植树是去年的3倍。今年比去年多植树多少棵？
73、同学们分成两组到菜园摘柿子。第一组摘了14筐，第二组比第一组少摘了2筐，每筐重25千克。第二组摘了多少千克？
74、动物园的一只大象每天吃450千克食物，一只熊猫4天吃72千克食物。一只大象每天的食量是一只熊猫的多少倍？它比熊猫每天多吃多少食物？
75、同学们栽树。一班要栽58棵，二班要栽67棵。平均栽5行，每行栽多少棵？（列综合算式解答。）
76、一艘客轮8月30日11：00从重庆开出，9月1日17：00到达武汉。从重庆到武汉的航程是1354千米。除去中途在码头上停船时间6小时，估算这艘客轮每小大约行多少千米？
77、学校组织同学去博物馆参观。三年级去了62人，四年级去的人数是三年级的2倍。两个年级一共去了多少人？
78、中、高年级同学听科学家作报告中年级有84人参加，高年级参加的人数是中年级的3倍。听报告的一共有多少人？
79、王老师要批改48篇作文，已经批改了12篇。如果每小时批改6篇，剩下的作文要多少小时批改完呢？
80、光明电影院原来每天放映3场电影，现在每天放映1场，平均每场卖票160张。现在每天可以卖多少张票？（列综合算式解答。）
81、中营村去年修了2条水渠，总长604米，今年修的水渠长度是去年的3倍。今年比去年多修多少米？
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2、南京长江大桥正桥有10个桥孔，其中9个桥孔的长都是160米，还有一个桥孔的长是128米。正桥（10个桥孔）长多少米？
83、两辆车运苹果，第一辆车运35筐，第二辆车运38筐。第二辆车比第一辆多运75千克。平均每筐有苹果多少千克？第一辆车运了多少千克？
84、小红家今年养了4箱蜜蜂，共收蜂蜜380千克，去年平均每箱收蜂蜜84千克。今年每箱平均产蜜量比去年高多少千克？
85、一艘客轮8月30日11：00从重庆开出，9月1日17：00到达武汉。从重庆到武汉的航程是1354千米。除去中途在码头上停船时间6小时，估算这艘客轮每小大约行多少千米？
86、同学们锻炼身体。参加打球的有40人，参加跑步的比参加打球的多280人。参加跑步的是参加打球的多少倍
87、（1）除数是32，商是7，余数是25，被除数是多少？
（2）被除数是359，商是8，除数和余数各是多少？
88、一个养禽专业户养鸡980只，养的鸡比鸭的2倍多20只。养鸭多少只？
89、小刚家种了5棵苹果树，今年一共收苹果215千克。有4棵苹果树平均每棵收苹果45千克，另一棵收苹果多少千克？
90、在方框里分别填哪几个数字，才能使商是一位数，并且没有余数？
91、一个编筐专业户28天编了242个筐，比原计划多编了18个筐，原计划每天编多少个筐？
92、副食商店第一天卖出鸡蛋150千克，第二天比第一天卖出的2倍少75千克。第二天卖出鸡蛋多少千克？
93、学校开运动会。16个班共有384名运动员，平均每个班有多少名运动员？
94、一个木工组要做1450张课桌。已经做了640张，剩下的要用30天做完。平均每天要做多少张？
95、学校买来42包练习本，每包20本。每班分84本，能够分给几人班？
96、胜利果园收了118筐苹果，一辆小货车每次运15筐，需要运几次？最后一次运多少筐？
97、小兰在计算除法的时候，把除数65写成56，结果得到的商是13还余52。想一想：正确的商应该是多少？
98、同学们大扫除，打扫操场的有36人，是打扫教室的人数的3倍，打扫院子的有27人。参加大扫除的一共有多少人？
99、同学们收核桃，一工收776克，每25千克装一筐，可以装多少筐，还剩多少千克？
100、用电孵箱孵小鸡一次可孵2880只，一只母鸡一次能孵16只。用电孵箱一次孵小鸡的只数是一只母鸡一次孵的多少倍？
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1、小燕子孵出以后，大燕子在26天里给一只小燕子一共喂养910只害虫，平均每天喂多少只？
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2、在一条长24千米的公路的一边，一共栽了4300棵杨树，3020棵柳树。平均每千米栽了多少棵树？
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3、同学位要栽2500棵树，如果每个同学栽4棵，大约需要多少同学参加植树劳动？
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4、学校运来3920千克煤，计划烧5个月，平均每个月大约烧多少千克？
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5、欣华旅馆6月份接待旅客3046人，7月份接待的旅客比6月份的2倍少968人。7月份大约接待旅客多少人？
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6、一座楼房有6层，分为4个单元。每个单元第一层住2户，第二层到第六层各住3户，这座楼房一共可以住多少户？
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7、一枝铅笔原来长8厘米7毫米，用去了9毫米。现在这枝铅笔有多长？
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8、武汉长江大桥长1670米，南京长江大桥长6772米。哪座桥长？长出多少米？
10
9、运动场跑道一圈是400米。小明坚持每天跑3圈，他每天跑多少米？
110、从甲地到乙地，如果骑自行车，每小时行15千米，4小时到达。如果乘汽车，只需2小时，汽车每小时行多少千米？
1
11、一幢宿舍楼，每两层楼之间有20个台阶，每个台阶的高度是15厘米。一个同学从一楼走到三楼，他升高了多少米？
1
12、工人叔叔把机器装在载重4吨的卡车上，每行放4台，放了3行。每台机器重300千克。这些机器的重量超过这辆卡车的载重量吗？（口答）
1
13、鸽子每分钟可以飞2千米，雨燕每分钟飞的距离比鸽子多3千米。雨燕每小时可以飞多少千米？
1
14、一个粮店运来5吨大米，前2天卖出1700千克，剩下的3天卖完。前2天平均每天卖多少千克？后3天平均每天卖多少千克？
1
15、一年级有120个新同学。40个人分一班，分成了几班？
1
16、刺绣厂的工人30天用机器刺乡240块桌布，平均每天刺乡多少块？
1
17、一架直升飞机每小时飞行360千米，一列火车每小时行90千米。这架直升飞机每小时行的千米数是火车的多少倍？
1
18、一个纺织厂织出窗帘布846米，织出的床单布是窗帘布的3倍。织出的床单布比窗帘布多多少米？
1
19、从450里减去一个整十数，得到的差再除以这个整十数，商是8。这个整十数是多少？
120、一个节火车车厢可以装60吨货物，要运480吨货物，需要几节车厢。
推荐第6篇：小学数学奥数教案
小学奥数基础教程（四年级）
小学奥数
第1讲 归一问题与归总问题 第2讲 年龄问题
第3讲 鸡兔同笼问题与假设法 第1讲 归一问题与归总问题
在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。
例1 一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计）
分析：以一根钢轨的重量为单一量。
（1）一根钢轨重多少千克？
1900÷4＝475（千克）。
（2）95000千克能制造多少根钢轨？
95000÷475＝200（根）。
解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。
答：可以制造200根钢轨。
例2 王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
分析：以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。
（1）1头奶牛1天产奶多少千克？
630÷5÷7＝18（千克）。
（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
小学奥数基础教程（四年级）
18×8×15＝2160（千克）。
解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。
答：可产牛奶2160千克。
例3 三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？
分析与解：以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。
（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？
2400÷3÷2.5=320（千克）。
（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？
25600÷320÷8=10（时）。
综合列式为
25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（时）。
例4 4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。现在有沙土420吨，要求5趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆？ 分析与解：以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。
（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？
336÷4÷7=12（吨）。
（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？
420÷12÷5＝7（辆）。
（3）需要增加多少辆卡车？
7-4＝3（辆）。
综合列式为
420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（辆）。
小学奥数基础教程（四年级）
与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。
例5 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？
分析：（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？
15×8＝120（时）。
（2）12个人完成这项工程需要多少小时？
120÷12＝10（时）。 解：15×8÷12＝10（时）。
答：12人需10时完成。
例6 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？
分析：从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。
（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？
60×5=300（千米）。
（2）4时到达，每小时需要行多少千米？
300÷4＝75（千米）。
（3）每小时多行多少千米？
75－60＝15（千米）。
解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。
答：每小时需要多行15千米。
例7 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？
小学奥数基础教程（四年级）
分析：（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？
60×80＝4800（劳动日）。
（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？
4800-60×20=3600（劳动日）。
（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？
3600÷（60＋30）=40（天）。
解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。
答：再用40天可以完成。
练习11
1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？
2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？
3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。问：48秒钟可以放映多少张片子？
4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？
5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。问：每天要工作几小时？
6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？
小学奥数基础教程（四年级）
7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？
第2讲 年龄问题
年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。
年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。
根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。
例1 儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？ 分析与解：儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁，那么5年前母亲的年龄为5×6＝30（岁），因此母亲今年是
30＋5=35（岁）。
例2 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？ 分析与解：今年爸爸与儿子的年龄差为“48——20”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，儿子的年龄是
（48——20）÷（5——1）＝7（岁）。
由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。
小学奥数基础教程（四年级）例3 兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？
分析与解：根据题意，作示意图如下：
由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。由此得到
弟今年6＋4＝10（岁），
兄今年10＋5＝15（岁）。
例4 今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？ 分析与解：在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份。又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为2＋1=3（份）（见下页图）。
由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为
55÷(3+2)×3=33(岁)。
例5 哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？
小学奥数基础教程（四年级）分析与解：由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4＋5”岁。由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为“97——2——8”岁。由“和差问题”解得，
兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（岁），
妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（岁）。
例6 1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。问：父亲出生在哪一年？
分析与解：如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和，则父亲1994年的年龄要用4段线来表示（见下页图）。
父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁，而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2×6＝12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2段线再加3岁。由
1段＋12岁=2段＋3岁，
推知1段是9岁。所以父亲1994年的年龄是9×4＝36（岁），他出生于
1994——36＝1958（年）。
例7今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。问：父子今年各多少岁？
解法一：假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增加4岁。这样，20年后儿子增加20岁，父亲就要增加80岁，比儿子多增加了80－20＝60（岁）。
小学奥数基础教程（四年级）
事实上，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，根据刚才的假设，多增加的60岁，正好相当于20年后儿子年龄的（4——2＝）2倍，因此，今年儿子的年龄为
（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（岁），
父亲今年的年龄为10×4＝40（岁）。
解法二：如果用1段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4段线来表示（见下图）。
20年后，父亲的年龄应是4段线再加上20岁，而儿子的年龄应是1段线再加上20岁，是父亲年龄的一半，也就是2段线再加上10岁。由
1段＋20=2段＋10，
求得1段是10岁，即儿子今年10岁，从而父亲今年40岁。 例8 今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？
分析：今年三个孙子的年龄和为27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多78——66＝12（岁）。每过一年，爷爷增加一岁，而三个孙子的年龄和却要增加1＋1＋1＝3（岁），比爷爷多增加3－1＝2（岁）。因而只需求出12里面有几个2即可。
解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。
答：6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。
练习12
1．父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，那么今年儿子几岁？
小学奥数基础教程（四年级）
2．王梅比舅舅小19岁，舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。问：他们二人各几岁？
3．小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍？
4．父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁。问：父女两人现在各多少岁？
5．一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。问：三人各是多少岁？
6．今年老师46岁，学生16岁，几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等？
7．已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。问：祖孙三人各多少岁？
8．小乐问刘老师今年有多少岁，刘老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”你能算出刘老师有多少岁吗？
第3讲 鸡兔同笼问题与假设法
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
小学奥数基础教程（四年级）
例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），
有鸡16-6＝10（只）。
答：有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），
有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。
例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？
分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
小学奥数基础教程（四年级）
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？
分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以
买普通文化用品 24÷8=3（套），
买彩色文化用品 16－3＝13（套）。
例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。
现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。
解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），
小学奥数基础教程（四年级）
有鸡100——30=70（只）。
答：有鸡70只，兔30只。
例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？
分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。 解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），
大瓶有50-30＝20（个）。
答：有大瓶20个，小瓶30个。
例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。 解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。
答：这批钢材有720吨。
例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？
分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。
小学奥数基础教程（四年级）搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。
解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
答：共打破3只花瓶。
例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小乐每分钟跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），
小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
780——270×2＝240（下）。 练习13
1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？
2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？
3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？
4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？
5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？
小学奥数基础教程（四年级）
6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天？
7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？
8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？
9．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？ 10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？
高冠军，所以由（1）知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表，便得到下表：
所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家。
例4张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：（1）张明不在北京工作，席辉不在上海工作；
（2）在北京工作的不是教师；
（3）在上海工作的是工人；
（4）席辉不是农民。
问：这三人各住哪里？各是什么职业？
小学奥数基础教程（四年级）分析与解：与前面的例题相比，这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系。三者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表。
我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件（1）得到表1，由条件（4）得到表2，由条件（2）（3）得到表3。
因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表（3）可填全为表（4）。
因为席辉不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，他又不是农民，所以席辉是教师。再由表4知，教师住在天津，即席辉住在天津。至此，表1可填全为表5。
对照表5和表4，得到：张明住在上海是工人，席辉住在天津是教师，李刚住在北京是农民。
推荐第7篇：小学数学奥数教案
绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
小学奥数基础教程
第1讲 速算与巧算
（一） 第2讲 速算与巧算
（二） 第3讲 高斯求和
第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲 弃九法
第6讲 数的整除性
（二） 第7讲 找规律
（一） 第8讲 找规律
（二） 第9讲 数字谜
（一） 第10讲 数字谜
（二） 第11讲 归一问题与归总问题 第12讲 年龄问题
第13讲 鸡兔同笼问题与假设法 第14讲 盈亏问题与比较法
（一） 第15讲 盈亏问题与比较法
（二） 第16讲 数阵图
（一） 第17讲 数阵图
（二） 第18讲 数阵图
（三） 第19将 乘法原理 第20讲 加法原理
（一） 第21讲 加法原理
（二） 第22讲 还原问题
（一） 第23讲 还原问题
（二） 第24讲 页码问题 第25讲 智取火柴 第26讲 逻辑问题
（一） 第27讲 逻辑问题
（二） 第28讲 最不利原则 第29讲 抽屉原理
（一） 第30讲 抽屉原理
（二） 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程第1讲 速算与巧算
（一）
计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：
86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：
6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到
总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-6+12-11+4-5）
＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：
通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。
例1所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。由例1得到：
总和数=基准数×加数的个数+累计差，平均数=基准数+累计差÷加数的个数。
在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整
十、整百的数。
例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：
462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。 解：选基准数为450，则
累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11
＝50，
平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。
答：平均每块麦田的产量为455千克。
求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。 例3 求292和822的值。 解：292=29×29
＝（29＋1）×（29-1）＋12
＝30×28＋1
＝840+1
＝841。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
822＝82×82
＝（82－2）×（82＋2）＋2
2 ＝80×84＋4
＝6720+4
＝6724。
由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。最后，还要加上“移多补少”的数的平方。
由凑整补零法计算352，得
35×35＝40×30＋52=1225。这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。
这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。 例4 求9932和20042的值。 解：9932=993×993
＝（993＋7）×（993-7）+72
＝1000×986＋49
＝986000＋49
＝986049。
20042=2004×2004
＝（2004-4）×（2004+4）＋42
＝2000×2008＋16
＝4016000＋16
＝4016016。
下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。
请看下面的算式：
66×46，73×88，19×44。
这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便的速算方法。 例5 88×64＝？
分析与解：由乘法分配律和结合律，得到
88×64
＝（80＋8）×（60＋4）
＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4
＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4
＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4
＝80×（60＋6＋4）＋8×4
＝80×（60＋10）＋8×4
＝8×（6＋1）×100+8×4。
于是，我们得到下面的速算式：
由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×4；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×（6＋1）。 例6 77×91＝？
解：由例3的解法得到 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×1＝07。
用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。 练习1
1.求下面10个数的总和：
165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。
2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：厘米）：
26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦苗的平均高度。
3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：
68，91，84，75，78，81，83，72，79。
他们共加工了多少个零件？
4.计算：
13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。
5.计算下列各题：
（1）372； （2）532； （3）912；
（4）682： （5）1082； （6）3972。
6.计算下列各题：
（1）77×28；（2）66×55； （3）33×19；（4）82×44； （5）37×33；（6）46×99。
练习1 答案
1.1596。2.26厘米。
3.711个。4.147。
5.（1）1369；（2）2809； （3）8281；
（4）4624； （5）11664； （6）157609。
6.（1）2156；（2）3630； （3）627；
（4）3608； （5）1221； （6）4554。 第2讲 速算与巧算
（二）
上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。
两个数之和等于10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像72×78，26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。
例1 （1）76×74＝？ （2）31×39＝？
分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。
（1）由乘法分配律和结合律，得到 76×74 ＝（70＋6）×（70+4）
＝（70＋6）×70＋（70＋6）×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4 ＝70×（70＋6＋4）＋6×4 ＝70×（70＋10）＋6×4 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程＝7×（7+1）×100＋6×4。 于是，我们得到下面的速算式：
（2）与（1）类似可得到下面的速算式：
由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单地说就是： 积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。
我们在三年级时学到的15×15，25×25，„，95×95的速算，实际上就是“同补”速算法。
例2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？
分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。 （1）由乘法分配律和结合律，得到
78×38 ＝（70＋8）×（30＋8）
＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8 ＝70×30+8×30＋70×8＋8×8 ＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8 ＝7×3×100＋8×100＋8×8 ＝（7×3＋8）×100＋8×8。 于是，我们得到下面的速算式：
（2）与（1）类似可得到下面的速算式：
由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单地说就是： 积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。
例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？
我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10，100，1000，„时，这两个数互为补数，简称互补。如43与57互补，99与1互补，555与445互补。
在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如， 因为被乘数与乘数的绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。又如，
等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如， 等都是“补同”型。
在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。 例3 （1）702×708=？ （2）1708×1792＝？ 解：（1）
（2）
计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。
注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。
在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。 例4 2865×7265＝？
解：
练习2
计算下列各题：
1.68×62；2.93×97；
3.27×87；4.79×39；
5.42×62；6.603×607；
7.693×607；8.4085×6085。 第3讲 高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋„＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝„＝49＋52＝50＋51。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，„，100；
（2）1，3，5，7，9，„，99；（3）8，15，22，29，36，„，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋„＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，„，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋„＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，„，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋„＋99＝？
分析与解：3，7，11，„，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。 例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表： 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋„＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米2）。
2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+„+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里„„第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球„„第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋„＋2×10 ＝2×（1＋2＋„＋10） ＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋„＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
练习3
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋„＋200；
（2）17＋19＋21＋„＋39； （3）5＋8＋11＋14＋„＋50； （4）3＋10＋17＋24＋„＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？
第四讲
我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质： 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：
（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。
利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数： （4‘）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。 （5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。 （6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。 例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865，3728.8064。 解：能被4整除的数有7756，3728，8064；
能被8整除的数有3728，8064； 能被9整除的数有234，8865，8064。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？
解：如果56□2能被9整除，那么
5＋6＋□＋2＝13＋□
应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；
如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；
如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。
例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。 例4 五位数分析与解：已知以能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
能被72整除。因为72＝8×9，8和9是互质数，所既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程能被8整除，由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为
A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。
解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。 例5 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？
分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。再由六位数能被3整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B
能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9这4个值。由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）。 例6 要使六位数表什么数字？
分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数此C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使
这个六位数尽可能小。因此首先是A
的
能被4整除，就要
能被4整除，因
能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程各位数字之和为12＋B＋C。它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B＝1，C＝5。
当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷36＝4171。 练习4
1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？
2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？
3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？
4．五位数能被12整除，求这个五位数。
5．有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？最小是几？
6．从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？
7．在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。
8．学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少钱吗？ 第5讲 弃九法
从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为
3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，
30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。
但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。有没有更简便的方法呢？
因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。
一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。 例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。 分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。
只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。所以这个多位数除以9余1。 例2 将自然数1，2，3，„依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213„如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？ 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。我们已经熟知
1＋2＋3＋„＋9＝45，
而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，„，9都可以划掉。在1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，„，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，„，9，也都划掉。这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。所以这个数除以9余1。
在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。本题还有其它简捷的解法。因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以9的余数相同，所以题中这个数各个数位上的数字之和，与1＋2＋„＋100除以9的余数相同。
利用高斯求和法，知此和是5050。因为5050的数字和为5＋0＋5＋0=10，利用弃九法，弃去一个9余1，故5050除以9余1。因此题中的数除以9余1。
例3 检验下面的加法算式是否正确：
2638457＋3521983＋6745785＝12907225。
分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为8，4，6，8+4+6的九余数为0；和的九余数为1。因为0≠1，所以这个算式不正确。 例4 检验下面的减法算式是否正确：
7832145-2167953＝5664192。
分析与解：被减数的九余数减去减数的九余数（若不够减，可在被减数的九余数上加9，然后再减）应当等于差的九余数。如果不等，那么这个减绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是3，减数的九余数是6，由（9+3）-6＝6知，原题等号左边的九余数是6。等号右边的九余数也是6。因为6＝6，所以这个减法运算可能正确。
值得注意的是，这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、减法、乘法（见例5）运算的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式是否正确，因为九余数只有0，1，2，„，8九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。
例5 检验下面的乘法算式是否正确：
46876×9537＝447156412。
分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中，被乘数的九余数是4，乘数的九余数是6，4×6＝24，24的九余数是6。乘积的九余数是7。6≠7，所以这个算式不正确。
说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数×商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验383801÷253=1517的正确性，只需检验1517×253=383801的正确性。 练习5
1．求下列各数除以9的余数：
（1）7468251； （2）36298745；
（3）2657348； （4）6678254193。
2．求下列各式除以9的余数：
（1）67235＋82564； （2）97256-47823； 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
（3）2783×6451； （4）3477+265×841。
3．用弃九法检验下列各题计算的正确性：
（1）228×222＝50616；
（2）334×336＝112224；
（3）23372428÷6236＝3748；
（4）12345÷6789＝83810105。
4．有一个2000位的数A能被9整除，数A的各个数位上的数字之和是B，数B的各个数位上的数字之和是C，数C的各个数位上的数字之和是D。求D。
第6讲 数的整除性
（二）
这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起，第1，3，5，„位称为奇数位，第2，4，6，„位称为偶数位。也就是说，个位、百位、万位„„是奇数位，十位、千位、十万位„„是偶数位。例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：
能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。 例1 判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。 例2 求下列各数除以11的余数：
（1）41873； （2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11
=7÷11＝0„„7，
所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，
所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。如上题（2）中，（32-17）÷11＝1„„4，所求余数是11-4=7。 例3 求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11
=799÷11=72„„7，
11-7=4，所求余数是4。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8， 奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。 例4 用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？ 解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。有3377，3773，7337，7733。
例5 用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。 分析与解：最大的没有重复数字的九位数是987654321，由
（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
知，987654321不能被11整除。为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11，这个数就能被11整除。调整“4321”，只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可达到目的。此时，4，3在奇数位，2，1在偶数位，后四位最大是2413。所求数为987652413。 例6 六位数能被99整除，求A和B。
分析与解：由99=9×11，且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除。因为六位数能被9整除，所以
A+2+8+7+5+B
＝22+A+B
应能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。又因为六位数能被11整除，所以
（A＋8＋5）－（2＋7＋B） 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
＝A-B＋4
应能被11整除，即
A-B+4=0或A-B+4=11。
化简得B-A＝4或A-B＝7。
因为A+B与A-B同奇同偶，所以有
在（1）中，A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解。
在（2）中，上、下两式相加，得
（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，
2B＝18，
B=9。
将B=9代入A＋B=14，得A＝5。
所以，A=5，B＝9。
练习6
1．为使五位数6□295能被11整除，□内应当填几？
2．用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？
3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。
4．求下列各数除以11的余数：
（1）2485； （2）63582； （3）987654321。
5．求
6．六位数除以11的余数。
5A634B能被33整除，求A+B。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
7．七位数3A8629B是88的倍数，求A和B。
第7讲 找规律
（一）
我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，„是按照0，1，2三个数重复出现的，这也是周期性变化问题。
下面，我们通过一些例题作进一步讲解。
例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、„„这样排下去。问：
（1）第100盏灯是什么颜色？
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？
分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现。
（1）100÷12＝8„„4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。
（2）150÷12=12„„6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？
分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知，第1，5，9，13，„个数都相同。
同理，第2，6，10，14，„个数都相同，第3，7，11，15，„个数都相同，第4，8，12，16„个数都相同。
也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是
25-（3+6+7）=9。
这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4个数相同，是9。由77÷4＝9„„1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478。
例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第88个数是几？
628088640448„
分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位：
绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期循环出现。由88÷20=4„„8知，第88个数与第8个数相同，所以第88个数是4。
从例3看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。 例4 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？
135761939237134„
分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例3的方法找到一周期，因为这个周期很长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到
奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇„„
可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。
例5 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子„„当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？ 分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中的球数如下表： 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次。
（100-1）÷4＝24„„3，
所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5个球。
练习7
1．有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗红珠？
2．将1，2，3，4，„除以3的余数依次排列起来，得到一个数列。求这个数列前100个数的和。
3．有一串数，前两个数是9和7，从第三个数起，每个数是它前面两个数乘积的个位数。这串数中第100个数是几？前100个数之和是多少？
4．有一列数，第一个数是6，以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个位数。这列数中第88个数是几？
5．小明按1～3报数，小红按1～4报数。两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了100个数时，有多少次两人报的数相同？
6．A，B，C，D四个盒子中依次放有9，6，3，0个小球。第1个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球；第2绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程个小朋友也找到放球最多的盒子，也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球„„当100个小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？
第8讲 找规律
（二）
整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方，记作a2，即a2＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a的三次方，记作a3，即a3＝a×a×a。一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作an，即
本讲主要讲an的个位数的变化规律，以及an除以某数所得余数的变化规律。
因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1，2，„，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。
为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格，看看a，a2，a3，a4，„的个位数字各是什么。
从表看出，an的个位数字的变化规律可分为三类：
（1）当a的个位数是0，1，5，6时，an的个位数仍然是0，1，5，6。
（2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，an的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现。
（3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a的绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。
例1 求67999的个位数字。
分析与解：因为67的个位数是7，所以67n的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四个数的顺序循环出现。
999÷4＝249„„3，
所以67999的个位数字与73的个位数字相同，即67999的个位数字是3。 例2 求291+3291的个位数字。
分析与解：因为2n的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22„„3，所以，291的个位数字与23的个位数字相同，等于8。
类似地，3n的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现， 291÷4＝72„„3，
所以3291与33的个位数相同，等于7。
最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5。 例3 求28128-2929的个位数字。
解：由128÷4＝32知，28128的个位数与84的个位数相同，等于6。由29÷2＝14„„1知，2929的个位数与91的个位数相同，等于9。因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程例4 求下列各除法运算所得的余数：
（1）7855÷5；
（2）555÷3。
分析与解：（1）由55÷4＝13„„3知，7855的个位数与83的个位数相同，等于2，所以7855可分解为10×a＋2。因为10×a能被5整除，所以7855除以5的余数是2。
（2）因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求555的个位数的方法求解。为了寻找5n÷3的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下：
注意：表中除以3的余数并不需要计算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余数乘以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余数是1，53除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同。这是因为52＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而
53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，
（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余数与1×5除以3的余数相同。
由上表看出，5n除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环出现。由55÷2=27„„1知，555÷3的余数与51÷3的余数相同，等于2。 例5 某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌。20时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？
分析与解：1时后有1×3=31（个）细菌，2时后有31×3=32（个）细菌„„20时后，有320个细菌，所以本题相当于“求320÷7的余数”。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
由例4（2）的方法，将3的各次方除以7的余数列表如下：
由上表看出，3n÷7的余数以六个数为周期循环出现。由20÷6＝3„„2知，320÷7的余数与32÷7的余数相同，等于2。所以最后还剩2个细菌。
最后再说明一点，an÷b所得余数，随着n的增大，必然会出现周期性变化规律，因为所得余数必然小于b，所以在b个数以内必会重复出现。
练习8
1．求下列各数的个位数字：
（1）3838； （2）2930；
（3）6431； （4）17215。 2．求下列各式运算结果的个位数字： （1）9222＋5731； （2）615+487+349； （3）469-6211； （4）37×48+59×610。 3．求下列各除法算式所得的余数： （1）5100÷4； （2）8111÷6； （3）488÷7 第9讲 数字谜
（一）
我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要学习一些新的内容。
例1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立：
5+7×8+12÷4-2＝20。
分析：等式右边是20，而等式左边算式中的7×8所得的积比20大得多。因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为小。
从整个算式来看，7×8是4的倍数，12也是4的倍数，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括号，再除以4得17，5＋17-2=20。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程解：5+（7×8+12）÷4-2=20。
例2 把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：
分析与解：如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能：
2×3＝6或2×4＝8，
所以应当从乘法算式入手。
因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+□，所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。
若乘法算式是2×4＝8，则剩下的六个数1，3，5，6，7，9的和是奇数，不合题意；
若乘法算式是2×3＝6，则剩下的六个数1，4，5，7，8，9可分为两组：
4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；
1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。
所以答案为 与
绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程例3 下面的算式是由1～9九个数字组成的，其中“7”已填好，请将其余各数填入□，使得等式成立：
□□□÷□□=□-□=□-7。
分析与解：因为左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被减数只能填9，由此知左端被除数的百位数只能填1，故中间减式有8-6，6-4，5-3和4-2四种可能。经逐一验证，8-6，6-4和4-2均无解，只有当中间减式为5-3时有如下两组解：
128÷64=5-3=9-7，
或 164÷82＝5-3＝9-7。
例4 将1～9九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个等式都成立：
□+□=6， □×□=8，
□-□=6， □□÷□=8。
分析与解：因为每个□中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：1＋5或2＋4；对于乘式也只有两种填法：1×8或2×4。加式与乘式的数字不能相同，搭配后只有两种可能： （1）加式为1＋5，乘式为2×4； （2）加式为2+4，乘式为1×8。
对于（1），还剩3，6，7，8，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式无法满足；
对于（2），还剩3，5，6，7，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式可填56÷7。答案如下：
2＋4＝6， 1×8＝8，
9－3＝6， 56÷7＝8。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
例2～例4都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所有可能情况全部列举出来，再逐一试算，决定取舍。这种方法叫做枚举法，也叫穷举法或列举法，它适用于只有几种可能情况的题目，如果可能的情况很多，那么就不宜用枚举法。
例5 从1～9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算式的结果尽可能大：
[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。
分析与解：为使算式的结果尽可能大，应当使前一个中括号内的结果尽量大，后一个中括号内的结果尽量小。为叙述方便，将原式改写为：
[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。
通过分析，A，C，D，H应尽可能大，且A应最大，C，D次之，H再次之；B，E，F，G应尽可能小，且B应最小，E，F次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中C与D，E与F的值可互换。将它们代入算式，得到
[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。
练习9
1．在下面的算式里填上括号，使等式成立：
（1）4×6+24÷6-5=15；
（2）4×6+24÷6-5=35；
（3）4×6+24÷6-5=48；
（4）4×6+24÷6-5＝0。
2．加上适当的运算符号和括号，使下式成立：
1 2 3 4 5 ＝100。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
3．把0～9这十个数字填到下面的□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：
□+□=□，
□-□=□，
□×□=□□。
4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符号，使各个等式成立：
4□4□4□4＝1，
4□4□4□4＝3，
4□4□4□4＝5，
4□4□4□4＝9。
5．将2～7这六个数字分别填入下式的□中，使得等式成立：
□+□-□=□×□÷□。
6．将1～9分别填入下式的九个□内，使算式取得最大值：
□□□×□□□×□□□。
7．将1～8分别填入下式的八个□内，使算式取得最小值： □□×□□×□□×□□。
第10讲 数字谜
（二）
例1 把下面算式中缺少的数字补上：
分析与解：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必然小于1100。由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
（1）填百位与千位。由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。
（2）填个位。由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1，所以减数的个位数字是9。
（3）填十位。由于个位向十位借1，十位又向百位借1，所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。
所求算式如右式。
由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。
例2 在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式：
分析与解：（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。
从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两种可能情况：2＋2＋2＋2＝8与7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2或7。
如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。此时，百位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“学”≠2。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数字3。
满足条件的解如右式。
（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、
十、个位上都有“努”，5432-4444=988，可将竖式简化为左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。
满足条件的算式如右下式。
例2中的两题形式类似，但题目特点并不相同，解法也不同，请同学们注意比较。
例3 下面竖式中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，求被乘数。
分析与解：由于个位上的“赛”ד赛”所得的积不再是“赛”，而是另一个数，所以“赛”的取值只能是2，3，4，7，8，9。
下面采用逐一试验的方法求解。
（1）若“赛”＝2，则“数”＝4，积=444444。被乘数为444444÷2＝222222，而被乘数各个数位上的数字各不相同，所以“赛”≠2。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
（2）若“赛”＝3，则“数”=9，仿（1）讨论，也不行。
（3）若“赛”＝4，则“数”＝6，积=666666。666666÷4得不到整数商，不合题意。
（4）若“赛”＝7，则“数”＝9，积=999999。被乘数为999999÷7＝142857，符合题意。
（5）若“赛”＝8或9，仿上讨论可知，不合题意。
所以，被乘数是142857。
例4 在□内填入适当的数字，使左下式的乘法竖式成立。
分析与解：为清楚起见，我们用A，B，C，D，„表示□内应填入的数字（见右上式）。
由被乘数大于500知，E=1。由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末位数是5，故B，C中必有一个是5。若C＝5，则有
6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，
不可能等于□5□5，与题意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，则F=A=9，此时被乘数为695，无论C为何值，它与695的积不可能等于□5□5，与题意不符，所以G=0，F=A=4。此时已求出被乘数是645，经试验只有645×7满足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D为偶数，经试验知D=2。
右式为所求竖式。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
此类乘法竖式题应根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况，先填比较容易的未知数，再依次填其余未知数。有时某未知数有几种可能取值，需逐一试验决定取舍。
例5 在□内填入适当数字，使左下方的除法竖式成立。
分析与解：把左上式改写成右上式。根据除法竖式的特点知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除数应是99的两位数的约数，可能取值有11，33和99，再由商的个位数是5以及5与除数的积是两位数得到除数是11，进而知A＝C-9。至此，除数与商都已求出，其余未知数都可填出（见右式）。
此类除法竖式应根据除法竖式的特点，如商的空位补0、余数必须小于除数，以及空格间的相互关系等求解，只要求出除数和商，问题就迎刃而解了。
例6 把左下方除法算式中的*号换成数字，使之成为一个完整的式子（各*所表示的数字不一定相同）。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
分析与解：由上面的除法算式容易看出，商的十位数字“*”是0，即商为。
因为除数与8的积是两位数，除数与商的千位数字的积是三位数，知商的千位数是9，即商为9807。
因为“除数×9”是三位数，所以除数≥12；又因为“除数×8”是两位数，所以除数≤12。推知除数只能是12。被除数为9807×12＝117684。
除法算式如上页右式。 练习10
1．在下面各竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立：
2．右面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。问：“小”代表什么数字？
3．在下列各算式中，不同的汉字代表不同的数字相同的汉字代表相同的数字。求出下列各式： 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。这些算式中各字母分别代表什么数字？
第11讲 归一问题与归总问题
在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。
例1 一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计）
分析：以一根钢轨的重量为单一量。
（1）一根钢轨重多少千克？
1900÷4＝475（千克）。
（2）95000千克能制造多少根钢轨？
95000÷475＝200（根）。
解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。
答：可以制造200根钢轨。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程例2 王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
分析：以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。
（1）1头奶牛1天产奶多少千克？
630÷5÷7＝18（千克）。
（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
18×8×15＝2160（千克）。
解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。
答：可产牛奶2160千克。
例3 三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？
分析与解：以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。
（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？
2400÷3÷2.5=320（千克）。
（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？
25600÷320÷8=10（时）。
综合列式为
25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（时）。
例4 4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。现在有沙土420吨，要求5趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆？ 分析与解：以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。
（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？
336÷4÷7=12（吨）。
（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？ 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
420÷12÷5＝7（辆）。
（3）需要增加多少辆卡车？
7-4＝3（辆）。
综合列式为
420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（辆）。
与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。
例5 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？
分析：（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？
15×8＝120（时）。
（2）12个人完成这项工程需要多少小时？
120÷12＝10（时）。 解：15×8÷12＝10（时）。
答：12人需10时完成。
例6 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？
分析：从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。
（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？
60×5=300（千米）。
（2）4时到达，每小时需要行多少千米？
300÷4＝75（千米）。
（3）每小时多行多少千米？ 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
75－60＝15（千米）。
解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。
答：每小时需要多行15千米。
例7 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？
分析：（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？
60×80＝4800（劳动日）。
（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？
4800-60×20=3600（劳动日）。
（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？
3600÷（60＋30）=40（天）。
解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。
答：再用40天可以完成。
练习11
1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？
2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？
3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。问：48秒钟可以放映多少张片子？
4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？ 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。问：每天要工作几小时？
6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？
7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？
第12讲 年龄问题
年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。
年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。
根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。
例1 儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？ 分析与解：儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁，那么5年前母亲的年龄为5×6＝30（岁），因此母亲今年是
30＋5=35（岁）。
例2 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？ 分析与解：今年爸爸与儿子的年龄差为“48——20”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，儿子的年龄是
（48——20）÷（5——1）＝7（岁）。
由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。 例3 兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？
分析与解：根据题意，作示意图如下：
由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。由此得到
弟今年6＋4＝10（岁），
兄今年10＋5＝15（岁）。
例4 今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？ 分析与解：在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份。又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为2＋1=3（份）（见下页图）。
由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为
55÷(3+2)×3=33(岁)。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
例5 哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？
分析与解：由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4＋5”岁。由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为“97——2——8”岁。由“和差问题”解得，
兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（岁），
妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（岁）。
例6 1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。问：父亲出生在哪一年？
分析与解：如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和，则父亲1994年的年龄要用4段线来表示（见下页图）。
父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁，而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2×6＝12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2段线再加3岁。由
1段＋12岁=2段＋3岁，
推知1段是9岁。所以父亲1994年的年龄是9×4＝36（岁），他出生于 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
1994——36＝1958（年）。
例7今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。问：父子今年各多少岁？
解法一：假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增加4岁。这样，20年后儿子增加20岁，父亲就要增加80岁，比儿子多增加了80－20＝60（岁）。
事实上，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，根据刚才的假设，多增加的60岁，正好相当于20年后儿子年龄的（4——2＝）2倍，因此，今年儿子的年龄为
（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（岁），
父亲今年的年龄为10×4＝40（岁）。
解法二：如果用1段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4段线来表示（见下图）。
20年后，父亲的年龄应是4段线再加上20岁，而儿子的年龄应是1段线再加上20岁，是父亲年龄的一半，也就是2段线再加上10岁。由
1段＋20=2段＋10，
求得1段是10岁，即儿子今年10岁，从而父亲今年40岁。 例8 今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？
分析：今年三个孙子的年龄和为27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多78——66＝12（岁）。每过一年，爷爷增加一岁，而三个绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程孙子的年龄和却要增加1＋1＋1＝3（岁），比爷爷多增加3－1＝2（岁）。因而只需求出12里面有几个2即可。
解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。
答：6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。
练习12
1．父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，那么今年儿子几岁？
2．王梅比舅舅小19岁，舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。问：他们二人各几岁？
3．小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍？
4．父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁。问：父女两人现在各多少岁？
5．一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。问：三人各是多少岁？
6．今年老师46岁，学生16岁，几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等？
7．已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。问：祖孙三人各多少岁？
8．小乐问刘老师今年有多少岁，刘老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”你能算出刘老师有多少岁吗？
第13讲 鸡兔同笼问题与假设法 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），
有鸡16-6＝10（只）。
答：有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），
有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。
例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？ 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？
分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以
买普通文化用品 24÷8=3（套），
买彩色文化用品 16－3＝13（套）。
例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程
现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。
解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），
有鸡100——30=70（只）。
答：有鸡70只，兔30只。
例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？
分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。 解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），
大瓶有50-30＝20（个）。
答：有大瓶20个，小瓶30个。
例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。 解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。
答：这批钢材有720吨。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？
分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。
解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
答：共打破3只花瓶。
例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小乐每分钟跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），
小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
780——270×2＝240（下）。 练习13
1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？
2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？
推荐第8篇：七年级数学奥数题
数学奥数
1.下列判断正确的是( ) A.平角是一条直线 B.凡是直角都相等
C.两个锐角的和一定是锐角 D.角的大小与两条边的长短有关 3.下列哪个角不能由一副三角板作出( ) A.105° B.12° C.175°D.135°
4.若∠a=90°-m°,∠B=90°+m°,则∠a与∠B的关系是( ) A.互补 B.互余 C.和为钝角 D.和为周角
5.如图所示,∠AOC=90°∠COB=a,0D平分∠AOB则∠CD的度数为( ) 6.在海上,灯塔位于一艘船的北偏东40°方向,那么这艘船位 于这个灯塔的( ) A.南偏西50°方向 B.南偏西40°方向 C.北偏东50°方向 D.北偏东40°方向
7.如果∠1与∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是( ) A.1/2∠1 B.1/2∠2 C.1/2(∠1-∠2) D.1/2(∠1+∠2) 8.将两块直角三角板的直角顶点重合,如图所示,若∠AOD=128,则∠BOC的
度数是
9.如图,B,C是线段AD上任意两点,M是AB的中点,N是CD的中点,若
MN=a,BC=b,则AD的长是
10.把一张长方形纸条按图中那样折叠后,若得到∠AOB=70°则∠BOG= 11.已知线段AB=8cm,延长AB至C,使AC=2AB,D是AB中点,则线段CD= 12.已知线段AB=acm,点A1平分AB,A2平分AA1,A3平分AA2,…,An平分AAn-1则AAn= 14.小明每天下午5:46回家,这时分针与时针所成的角的度数为 度
15.如果∠a=26°,那么∠a余角的补角等于
16.已知∠AOB=30°,又自∠AOB的顶点0引射线0C.若∠AOC:∠AOB=43,那么∠BOC=
17.已知线段AB=6cm,在直线AB上画线段AC=2cm,则BC的长是 cm 18.火车往返于A、B两个城市,中途经过4个站点(共6个站点),不同的车站来往需要不同的车票
(1)在A,B两站之间最多共有 种不同的票价;共有 种不同 的车票
(2)如果共有n(n≥3)个站点,则需要 种不同的车票 19.若∠A=20°18,∠B=20°1530°,∠C=2025°,则( ）
A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠B 20.如图,直线AB、CD交于0点,且∠BOC=80°°,OE平分∠BOC,OF为OE的反向延长线
(1)求∠2和∠3的度数:(2)0F平分∠AOD吗?为什么?
21.已知∠AOB是一个直角,作射线OC,再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE。(1)如图①,当∠BOC=70°时,求∠DOE的度数 (2)如图②,当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时,∠DOE的大小是否发生变化,说明理由
(3)当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时,画出图形,直接写出相应的∠DOE的度数(不必写出过程)
22.(1)如下图,已知点C在线段AB上,且AC=6cm,BC=4cm,点M、N分别是AC、BC的中点,求线段MN的的长度;(2)在(1)中,如果AC=acm,BC=bcm,其它条件不变,你能猜出MN的长度吗?请你用一句简洁的话表述你发现的规律
(3)对于(1)题,如果我们这样叙述它:“已知线段AC=6cm,BC=4cm,点C在直线AB上,点M、N分别是AC、BC的中点,求MN的长度。”结果会有变化吗?如果有,求出结果
23.如图,P是定长线段AB上一点,C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上,D在线段BP上) (1)若C、D运动到任一时刻时,总有PD=2AC,请说明P点在线段AB上的位
(2)在(1)的条件下,Q是直线AB上一点,且AQ-BQ=PQ,求PQ/AB的值
(3)在(1)的条件下,若C、D运动5秒后,恰好有CD-A,此时C点停 止运动,D点继续运动(D点在线段PB上),M、N分别是CD、PD的中点,下列结论:①PM-PN的值不变;②2B的值不变,可以证明,只有一个结论是正确的,请你找出正确的结论并求值
推荐第9篇：奥数教学反思
0.00„„045÷0.00„„09=（
）
100个0
101个0
思维训练反思
学习奥数，可以提升学生的数学能力，以及思维能力。 我们班的情况是这样，
在家长方面：跟他们沟通的过程中，学生家长挺支持学生学奥数的，他们的目的很明确，就是为了考中学。要是为了考中学学奥数的话，强加给学生，效果不大。
在学生方面：在第3周学习的过桥问题，第4周讲得是差倍问题，第6周讲得是和倍问题。从这几周的学习中发现学生5班的学生学习积极性比6班要高一些， 5班有几个男孩子对奥数还是比较喜欢的，不管是平时的课本教学还是讲思维训练题，他们的表达能力与反应能力都明显比其他孩子快一此。在考试试卷中也发现5班的孩子比6班的孩子做得好。但是如果让所有孩子全都掌握，在6班几个孩子好像有点困难，这样强加于学生的话会不会影响他们对数学的学习兴趣。我现在有这样的困惑就是，学生学习了一节课后，但是练习的时间比较少。
在课堂教学中培养思维。别注意要求学生在解题时说出自己的解题思路 在解决问题中不能只问学生要答案，要让孩子养成，说题意，说思路，说算式（说出列出的每一步算式的意思）的习惯，逐步培养孩子能有根有据，有条有理的进行思考，比较完整地叙述思考过程，说明理由。 我认为学生思维能力的发展需要有一个长期的培养和训练过程。
奥数还是有一定难度的，我个人认为学习奥数一个就是兴趣很重要。在5班讲奥数题还稍微好一些，有几个男孩就是对奥数的兴趣比较浓厚。但是在6班
2、成功是学习奥数的持久动力。要让学生感受成功的喜悦。
3、理解题意也很关键。学生的理解能力还有待加强，得养成读题的好习惯。光一个过桥问题，讲了又讲，有些同学就是不会，我认为这跟他理解题意有关。
1、在课堂教学中培养思维。别注意要求学生在解题时说出自己的解题思路 在解决问题中不能只问学生要答案，要让孩子养成，说题意，说思路，说算式（说出列出的每一步算式的意思）的习惯，逐步培养孩子能有根有据，有条有理的进行思考，比较完整地叙述思考过程，说明理由。 我认为学生思维能力的发展需要有一个长期的培养和训练过程。
推荐第10篇：奥数教学总结
二年级下学期数学教学工作总结
本学期,为适应新时期教学工作的要求,我认真学习了有关教学方面的书刊,从各方面严格要求自己,积极向老师们请教,结合本校的实际条件和学生的实际情况,工作上勤勤恳恳,兢兢业业,使教学工作有计划,有组织,有步骤地开展,在教学上，我本着立足现在,放眼未来的理念。为使今后的工作取得更在进步,现对本学期的工作作如下总结：
1.认真钻研教材。
在备课时，不但备学生而且备教材教法，根据教学学内容及学生实际，设计课型，拟定采用的教学方法，、并对教学过程的程序及时间安排作了详细的记录，每一课做到“有备而来”，并制作了有趣的教具，课后及时作出总结，写课后记，并认真收集各课的知识要点，归纳成集。
2、增强上课技能，提高上课质量，使讲解清晰化，条理化，准确化，情感化，生动化。做到线条清晰、层次分明、言简意赅、深入浅出、在课堂上注重调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主动性。加强师生交流，让学生学得容易、学得轻松、学得愉快、注意精讲精练，在课堂上尽量讲得少，学生动口动手尽量多，同时照顾各个层次的学习能力，让各层次的学生得到提高。
3、认真批改作业，布置作业做到精练，有针对性，有层次性，为了做到这一点，我常常收集资料，并进行筛选，力求每一次起到最大的效果，同时批改作业及时，认真分析并记录学生的作业情况，将他们出现的问题进行分类总结，进行透彻析评讲，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。
4、做好课后辅导工作，注意分层教学。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生要求，对后进的辅导并
不限于学习知识的辅导，更重要的是思想辅导，才能提高后进生的成绩。
5、狠抓学风
我所教的两个班，上课时候比较认真，大部分学生能专心听讲，课后也能认真完成作业，但有为数不多学生，学习上有问题不敢问老师，作业也因怕分数低而抄别人的，这样就影响了成绩的提高，对此，我狠抓学风，在班级里提倡一种你追我赶的风气.经过一学期的努力，虽然取了一些成绩，但存在的不足还很多，如学生的知识结构不完整，这些有待以后改进,还应调动学生更大的积极性，在教学方法上形式在多样一些，在教学水平上继续提高，今后我将针对工作的不足有的放矢的去改进，不断提高。
第11篇：奥数教学总结
2013-2014学年度下学期期末工作总结
六年级下学期是最重要的一个学期，我尽我最大的努力地做好学校安排的各项工作，以认真、积极、任劳任怨的态度对待一切工作。本学期我担任六年级
12、
13、14班的奥数和六13班的班主任工作。我认真备好每一节课，上好每一节课，经常听各位优秀老师的课，从中吸取教学经验，取长补短，提高自己的教学水平。教学中，我做到以学生为主体，发挥学生的自主学习能力。课后，我及时反思，认真专研教学方法，尽一切努力让学生掌握好所学知识。在教学中我做到以下几点：
1.认真备课，上好每一节课。
课前，我根据要求，提前一周备好课，写好教案。平时做到周前备课。备课时认真钻研教材、教参，学习好大纲，虚心向同年级组老师学习、请教。力求吃透教材，找准重点、难点。为了上好一节课，我上网查资料，集中别人的优点确定自己的教学思路，常常工作到深夜。为了学生能更直观地感受所学的知识内容，我积极查找课件，制作课件，准备、制作教具等等。
课堂，认真讲课，力求抓住重点，突破难点，精讲精练。运用多种教学方法，从学生的实际出发，注意调动学生学习的积极性和发散思维，使学生有举一反三的能力。桌间巡视时，注意对学困生进行面对面的辅导，课后及时做课后反思，找出不足。
2.课后针对性地进行培优补差的辅导工作。
奥数本来就是一门较难的科目，树立学习的自信心很重要，有的学生学习成绩不理想，并不是他们没有潜能，而是不相信自己有潜能，在经历了一两次失败和挫折后，对自己失去了信心。针对这种情况，在课堂上我有意识地通过一些浅显易懂的问题为他们提供发言机会，让他们到黑板上做题，给他们自我表现的机会，同时对他们在学习中的点滴进步，我都给以表扬和鼓励，使他们逐步树立起学习的信心。 3.注重业务水平的提高。
这一学期，除了完成学校要求的业务学习，我还主动到网上向全国优秀的老师学习。要胜任教学工作，我们要不断提高自己的业务水平和教学水平。我积极参加每次教研活动，认真观看、思考、做记录，虚心听取前辈们的批评与指导，取长补短，使自己慢慢地成长。“活
到老，学到老。”是我的信念！
4、接下来的工作计划
在今后工作中,我将继续一步一个脚印地实施自己制定的工作计划,带好自己所教班级的学生,提高他们的成绩和综合素质。在做好教育教学工作的同时,积极配合学校的各项工作，学校交给的任务坚决完成，不论是学校分到的哪一项工作,我都要配合同事尽自己的最大努力把工作做好。在以后的教学工作中，我要不断总结经验，努力提高自己的教学水平，使自己的教学水平不断提升！
“让自己更优秀”是我不断的追求！
第12篇：奥数
简便计算分类练习题
第一种
(300+6)x12 25x(4+8)
125x(35+8)
(12+24+80)×50
32×(25+125)
25×（24+16）
4×(25×65+25×28)
(13+24)x8
第二种
84x101
704×25
第三种
99x64
98×199
第四种
99X13+13
79×42+79+79×57
75×27+19×2 5
504x25
78x102
25x204
88×125
102×76
101×87
99x16
638x99
999x99
58×98
99 x27
98 x34 25+199X25
32X16+14X32
178×99+178
84×36+64×84
75×99+2×75
31×870+13×310
78X4+78X3+78X3
第五种
88X125
72X125
75×24
12×25
125X32X8
75×24 25X32X125
50×(34×4)×3
138×25×4
(13×125)×(3×8)
25×32×125
第六种 3600÷25÷4
8100÷4÷75
3000÷125÷8
1250÷25÷5
7300÷25÷4
3900÷（39×25）
420÷（5×7）
800÷（20×8）
第七种
1200-624-76
2100-728-772
273-73-27
847-527-273
5001－247－1021－232
2356－（1356－721）
1235－（1780－1665）
3065－738－1065
2357－183－317－357
2365－1086－214 第八种
278+463+22+37
732+580+268
425+14+186
158+262+138
1034+780320+102
375+219+381+225
2214+638+286
（181+2564）+2719
378+44+114+242+222
276+228+353+219
(375+1034)+(966+125)
(2130+783+270)+1017
99+999+9999+99999
第九种
214-（86+14）
787-（87-29）
365-（65+118）
455-（155+230）
第十种
576-285+85
825-657+57
690-177+77
755-287+87
第十一种
871-299
157-99
363-199
968-599
1883－398
497－299
899+344
3999+498
2370+1995
157+99
第十二种
178X101-178
83X102-83X2
17X23-23X7
83×102－83×2
178×101－178
35X127-35X16-11X35
123×18－123×3+85×123
容易出错类型（共五种类型）
600-60÷15 20X4÷20X4
736-35X20 25X4÷25X4
98-18X5+25 56X8÷56X8
280-80÷ 4 12X6÷12X6
175-75÷25 25X8÷25X8
80-20X2+60 36X9÷36X9
36-36÷6-6 25X8÷（25X8）
100+45-100+45 15X97+3
100+1-100+1 48X99+1
1000+8-1000+8 5+95X28
102+1-102+1 65+35X13
25+75-25+75 40+360÷20-10
13+24X8
672-36+64
324-68+32
100-36+64
26×39＋61×26 356×9－56×9 99×55＋55
78×101－78 52×76＋47×76＋76 134×56－134＋45×134
48×52×2－4×48 25×23×（40＋4） 999×999＋1999
184＋98 695＋202 864－199 738－301
380＋476＋120 （569＋468）＋（432＋131） 704×25
256－147－53 373－129＋29 189－（89＋74）
28×4×25 125×32×25 9×72×125
720÷16÷5 630÷42 456－（256－36）
102×35 98×42 158+262+138 375+219+381+225
5001－247－1021－232 （181+2564）+2719 378+44+114+242+222
276+228+353+219 (375+1034)+(966+125) (2130+783+270)+1017 99+999+9999+99999 7755－(2187+755) 2214+638+286
3065－738－1065 899+344 2357－183－317－357
2365－1086－214 497－299 2370+1995 7755－(2187+755)
3999+498 1883－398 12×25 75×24
138×25×4 (13×125)×(3×8) (12+24+80)×50
25×32×125 32×(25+125) 88×125 102×76
178×101－178 84×36+64×84 75×99+2×75
98×199 123×18－123×3+85×123 50×(34×4)×3
25×（24+16） 178×99+178 79×42+79+79×57
7300÷25÷4 8100÷4÷75 158+262+138
1248÷24 3150÷15 4800÷25 21500÷125
16800÷120
30100÷2100
32000÷400
49700÷700
375+219+381+225 5001－247－1021－232 （181+2564）+2719
378+44+114+242+222 276+228+353+219 (375+1034)+(966+125)
(2130+783+270)+1017 99+999+9999+99999 7755－(2187+755)
2214+638+286 3065－738－1065 899+344 3999+498
2357－183－317－357 2365－1086－214 497－299
12×25 75×24 138×25×4 (13×125)×(3×8)
(12+24+80)×50 704×25 25×32×125 32×(25+125)
88×125 102×76 58×98 178×101－178
84×36+64×84 75×99+2×75 83×102－83×2 98×199
123×18－123×3+85×123 50×(34×4)×3 25×（24+16）
178×99+178 79×42+79+79×57 21500÷125
7300÷25÷4 8100÷4÷75 16800÷120
2.73 ＋ 0.89 ＋ 1.27 4.37 ＋ 0.28 ＋ 1.63 ＋ 5.72
10 － 0.432 － 2.568 9.3 － 5.26 － 2.74
14.9－（5.2＋4.9） 18.32 － 5.47 － 4.32
25 × 6.8 × 0.04 0.25 × 32 × 0.125 6.4 × 1.25 × 12.5
0.45 × 201 0.58 × 10.1 50.2 × 99 4.7 × 9.9
3.28 × 5.7 ＋ 6.72 × 5.7 2.1 × 99 ＋ 2.1
23 × 0.1 ＋ 2.3 × 9.9 0.18 ＋4.26 －0.18 ＋4.26
0.58 ×1.3 ÷ 0.58 ×1.3 7.3 ÷4 ＋ 2.7 × 0.25
3.75 × 0.5 － 2.75 ÷ 2 5.26 × 0.125 ＋ 2.74 ÷ 8 a ÷ b ÷ c = a ÷ （b × c）
6.3 ÷ 1.8 9.5 ÷（1.9 × 8） 12.8 ÷ （0.4 × 1.6）
930 ÷ 0.6 ÷5 63.4 ÷ 2.5 ÷ 0.4 （7.7 ＋ 1.54）÷ 0.7
6.9＋4.8＋3.1 15.89＋(6.75－5.89) 7.85＋2.34－0.85＋4.66
35.6－1.8－15.6－7.2 13.75－(3.75＋6.48) 47.8－7.45+2.55
66.86－8.66－1.34 0.25×16.2×4 0.25×32 ×0.125
2 .5 ×(4 +0.4) (1.25－0.125)×8 4.8×100.1
4.2×99 56.5×9.9＋56.5 7.09×10.8－0.8×7.09
3.83×4.56＋3.83×5.44 3.65×4.7－36.5×0.37 5.4×11-5.4 13.7×0.25－3.7÷4 10.7×16.1-1.1×10.7 +10.7 ×5
第13篇：奥数
勾股定理
初等几何的著名定理之一。直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积，即如果直角三角形两直角边长度为a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。中国古代称直角三角形的直角边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理。此定理在中国古代和西方早已被发现。数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯，所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。两千多年来，勾股定理由于应用的广泛性，吸引了历代众多的人，对它的证明已达数百种。
概述：
任何一个直角三角形（Rt△）中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方和。这就叫做勾股定理。即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2 勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”（相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题），在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”）。 同时在我国和国外都有对于最早发现这一定理的争论。我国认为该定理的时间最早见于《周髀算经》。
勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
内容：
直角三角形（等腰直角三角形也算在内）两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”（即勾三股四弦五。）它被记录在了《周髀算经》中。
推广：
⒈如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。
⒉勾股定理是余弦定理的特殊情况。
定理历史：
毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。埃及称为埃及三角形。
实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查。相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了。至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究。因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
作用：
⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数\"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。
证法1：
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ；，斜边长为c.；把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ；≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ；∠BED，
∵ ∠EGF + ；∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ；∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则A+B=C 证法2：
作两个全等的直角三角形，设它们的直角边长分别为a、b（b>a） ；，斜边长为c.；再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2 证法3：
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ；，斜边长为c.；再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB =∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ；， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ；≌ RtΔABG ；≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， ∴∠ABG +∠CBJ= 90°， ∵∠ABC= 90°，
∴G,B,I,J在同一直线上，A2+B2=C2。
证法4：
在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）^2。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a）^2 =c^2； 化简后便可得：a^2 +b^2 =c^2； 亦即：c=(a2 +b2 )1/2
第14篇：奥数兴趣小组工作总结
东美小学“三个一工程”特色项目——奥数社团
本学期，我们结合本班（奥术兴趣小组）特点和实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，使教学工作有计划、有组织、有步骤、有实效地开展，顺利并圆满地完成了教学任务。现总结如下：
一、学生基本情况
奥数班成员学生基础及智力水平参差不齐，给教学带来了很大的困难，这从本质上就给学习任务的开展造成了障碍。
二、工作开展情况
今年所使用的教材是跟教科书相联系的提高教材，内容有些相连，但跨度、深度、难度略大。备课中，不但备教材，而且备教法。根据教学内容及学生的实际情况设计课的类型，采用不同的教法，并对学生的反馈认真做了记录，每一节课都做到“有备而来”，课后及时总结、归纳、反思。
三、注重教学方法，提高教学质量
本期，在第二课堂上，我仍然采用“成功教学法，”即先学后教，注重学生学习的积极性，加强生生（小组）互动、合作，师生交流等学习氛围，充分体现学生学的容易、学的轻松、学的愉快。并注重培养学生多动口、动手、动脑的能力，真正做到玩中学、学中玩的教学思想。
四、认真批改作业
虽然一星期才一节课，但我们班每一节课后都布置作业，作业的布置体现针对性、层次性，并对学生的作业及时批改（一般在课下）,认真分析并记录学生作业情况，将他们在作业中出现的问题做出分类总结，并在课上作出详细、透彻的讲评，并针对有关情况及时改进教法，改进进度，做到有的放失，讲求实效性。
五、做好课后管理，注重分层教学
因为兴趣组的同学有一部分是本班学生，其余虽不是本班的，但距离很近。为保证教学质量，努力做到走一步夯实一步。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生需求，同时，加大后进生的辅导力度，做他们的思想工作，解决他们学习上的心结，让他们意识到学习的重要性和必要性，让他们对学习萌发兴趣，这样，他们就由原来的强迫、压制学习转化为后来的自觉、主动的学习，从而大大提高了学习质量。
六、注重尖子生的培养
选拔优秀人才参加中心举行的数学竞赛。
一份耕耘，一份收获，优异的教学成绩既是对我本期工作的肯定，也将为我今后的工作带来更大的动力和压力。不过，我也能清醒地认识到自己工作中的不足之处。教学工作有得有失，苦乐相伴，我将一如既往地努力工作，踏踏实实、认认真真，我将本着“勤学、善思、苦干、实干”的教学准则，再接再厉，把工作做的更好。
第15篇：小学数学二年级奥数题
1、喜羊羊和懒羊羊走进教室，看见教室里只有9只羊，那么现在教室里一共有几只羊？
2、天才一班有学生27人，天才二班有学生33人，要使两班学生的人数相等，必须从天才二班调多少人到天才一班？
3、喜羊羊星期天去买了20个苹果，它第一天吃3个，第二天吃5个，第三天吃了多少它给忘记了。最后还剩下4个苹果没有吃。请问喜羊羊第三天吃了多少个苹果？
4、学校买来一批新书，2年级借走了一半，1年级借走了剩下的一半，还剩下5本，学校一共买来了多少本新书？
5、一瓶油，连瓶一共重800克，吃去一半的油，连瓶称，还剩500克。瓶原来有多少克油？空瓶重多少克？
6、小明和小亮想买同一本书，小明缺１元７角，小亮缺１元３角。若用他们的钱合买这本书，钱正好。这本书的价钱是多少？他们各带了多少钱？
第16篇：初一数学上册奥数题
初一数学上册奥数题
姓名座号
一、选择题（每小题3分，共15分）
1、汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，是属于（）的实际应用
A.面动成体B.线动成面C.点动成线D.以上答案都不对
2、b为有理数，则下列结论正确的是（）
A、|b|=bB、|b|是非负数 C、|b|是正数D、-b为负有理数
3、当a=2时，代数式2a-3的值为 （）
A .3B.1C.-1D.5
4、化简-2a+（2a-1）的结果是（）
A.-4a-1 B.4a-1C.1D.-1
5、与m2t是同类项的是（）
A.tmB.m2stC.-3m2tD.(mt)2 2
二、填空题（每小题3分，共30分）
6、平面内两直线相交有______个交点，两平面相交形成______条直线
7、-5的绝对值是______，相反数是______，倒数是______
8、|ab|=1，x与y互为相反数，则（x+y）+2ab=______
9、错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。若|m+3|+(n-2)2=0,则m+n=________.
2πab
210、代数式-3的系数是________.
1a+2332b-1
11、如果y与-5xy是同类项，则a-b=_____________________ 5
12、2周角=____度=____平角=____直角
13、0.5的相反数的倒数的绝对值是_______
14、定义a☆b=a-b，则（-3）☆5☆（-1）=______
15、绝对值大于或等于1，而小于4的所有负整数的和是____
三、解答题（本大题共55分） 221
16、每小题5分
（1）(
531251322－－+)×72（2）-2-(-6)×(－÷(－)2484312
2（3）2a+(4a-5b)-3(a-2b)
17、先化简，再求值：（5分） 9x+6x2-3(x-2x2),其中x=-
218、根据俯视图，画出这个几何体的主视图和左视图。（8分）
19、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，
求x2-(a+b)+cd|x|+(a+b)2011+(-cd)2012的值。（10分）
20、如果2x+y=5，求代数式-3（2x+y）（2x+y-4）+4x+2y的值。（5分）
21、初一级学生在4名数学老师的带领下去剑英纪念园游玩，公园的门票为每人20元，现有两种优惠方案，甲方案:师生都按7.5折收费。乙方案：带队老师免费，学生按8折收费。（12分）
(3)如有a名学生，用代数式表示两种优惠方案各需多少元？
(4)当a=80时，采用哪种方案优惠。
(5)当a=120时，采用哪种方案优惠。
第17篇：小学数学教学网：小学奥数公式
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小学数学教学网：小学奥数公式
近年来中国代表在数学奥林匹克上的成绩就像中国健儿在奥运会的成绩一样，突飞猛进，从40届到第43届，中国代表队连续四年总分第一。现在为大家整理了一下小学奥数的公式分析。 （1）植树问题
基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式 棵数=段数＋1 棵距×段数=总长 棵数=段数－1 棵距×段数=总长 棵数=段数 棵距×段数=总长
关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 （2）鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
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④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。 （3）盈亏问题
基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于
分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足；
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基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。
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第18篇：四年级数学上册奥数题
四年级数学上册奥数题
1、某五个数的平均值为60，如果将其中一数改为80，这五个数的平均值为70，改的这个数应是多少？
2、30个同学平分一些练习本，后来又来了6人，大家重新分配，每人分得的练习本比原来少2本，这些练习本共有多少？
3、甲乙两位同学带着同样多的钱去买日记本，乙买了8本，剩下的钱全部借给了甲，刚好使甲买到了12本。回家后甲还给乙6元，问：日记本每本多少钱？
1、两个仓库共有10000千克大米，从每个仓库里取出同样多的大米，结果甲仓库里剩下3450千克，乙仓库里剩下4270千克，每个仓库原来有多少千克大米？
2、把一个减法算式的被减数、减数、差加起来和是180，已知减数比差大26， 被减数、减数和差各是多少？
3、小明今年18岁，小强今年14岁，当两人岁数和是70岁时，两人各有多少岁？
1、小明在算有余数的除法时，把被除数237 错写成273。这样商比原来多3而余数正好相同。这道题的除数和余数各是多少？
2、学校图书馆有科技书和故事书320 本，其中故事书的本数是科技书的3 倍，故事书有多少本？
3、幼儿园小朋友分苹果，如果每人分4个，则多9个，如果每人分5个，则少6个，有多少个小朋友？多少个苹果？
1.在一个数的末尾添上一个“0 ”以后，得到的数比原来的数多36 。原来的数是多少？
2.一个数乘8后比原数多了84，原来的数是多少？
第19篇：三年级数学奥数：数学趣题
思文教育————思则睿智，文则典雅
思文教育小学三年级数学
第四课时：数学趣题
1、（例题）一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长大到20厘米。问长大到5厘米要用多少天？
2、一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过10天可以把整个池塘遮完。问睡莲要遮住半个池塘需要多少天？
3、一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20天能长大到36厘米，问长大到9厘米要多少天？
4、（例题）小猫要把15条鱼分成数量不等的四堆，问最多的一堆最多可以放多少条鱼？
4、小明要把20颗珠子分成数量不等的五堆，问最多的一堆中可以放多少颗珠子？
1
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5、兔妈妈拿来一盘萝卜共25个，分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数不相同，问分得最多的一只小兔最多分得几个萝卜？
6、（例题）把100只桃子分装在7个篮子里，要求每个篮子里桃子的只数都带有6这个数字。想想该怎么分？
7、把100个鸡蛋分装在6个盒子里，要求每个盒子里装的鸡蛋数目都带有6。想想看，该怎么分配吧？
8、7只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果，现在要从这7只箱子里取出87个苹果，但每只箱子要么不取，要么全取，你觉得应该怎么取呢？
2
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9、（例题）舒舒和思思到书店买书，两个人都买动脑经这本书，但是钱都不够，舒舒缺2元8角，思思缺1分钱，用两个人合起来的钱买一本书还是不够。这本书多少钱？
10、李华和张洁到书店买同一种练习本，但发现钱都没有带够，李华缺6角，张洁缺2分钱，但两人合起来买一本还是不够，这种本子多少钱一本？
3
第20篇：四年级奥数才艺课教学工作总结
四年级奥数才艺课教学工作总结
一个学期过去了,根据学校工作计划和安排，从第二周进行了周末才艺课后，我已经教了这些学生一个学期的奥数，回想一开始的手足无措，想把很多知识都教给他们但却无从下手，到现在的有所计划，井井有条的进行教学，我总结出奥数教学是需要花精力，讲方法的，现总结如下。
本学期进行才艺课之前，我根据学生实际以及自己的教学经验与方法，选用了一套正规的教材和配套试卷，进行有序的教学。并且制定好了计划：一星期上一个内容，阶段性的进行综合练习和阶段性小结。
要想奥数学的好，没有别的捷径，只有培养学生的兴趣和勤奋的学习态度，保证练习的时间。由于我的奥数才艺课是安排在周日下午学生返回学校后4：10-5：25之间进行，因为学生家长或许会有其他事情要做而延误了送自己孩子及时上学，导致每周的12名学员都不能及时到位上课；为了保证每个同学不落下一课，我每周都会利用自己的休息时间对没有及时参加周日奥数才艺班的学生进行补课。这样无形之中就增加了我的工作压力与负担，但每天实在的工作让我心里塌实。
为了提高学生的学习兴趣，上课时，我采取先让学生自己讲解，后教师总结的方法，鼓励他们用正确简洁的思路解答题目。每次的课堂作业，只要学生得优，我都会有所奖励；每次学生回答问题时，只要学生能大胆开口说、大胆开口讲，我都会奖励。为了学生能真正地学到知识，我采取集中学习和个别辅导相结合，严格要求学生，要求他们能说出每一题的方法，学生有了良好的学习态度，取得了一些进步。
当然，我也发现了一些不足之处，比如一些学生有较强的依赖性，不能主动地去学习，不会积极地思考问题，一些学生对难题有一定的惰性，导致不能完成规定的作业，从而没有学到知识。
在今后的辅导中，我将继续努力，争取更大的进步！
2011-1-10
