学科：奥数
教学内容：第十一讲
方阵问题
在日常生活中，我们经常见到把人或物排成正方形的形状，比如用花盆摆成正方形，同学们要参加运动会入场式，要进行队列操练，解放军排着整齐的方队接受检阅等，无论是训练或接受检阅，都要按一定的规则排成一定的队形，于是就产生了这一类的数学问题，在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题。掌握这类问题的解题规律，可以提高我们的解题能力，培养思维的灵活性。今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，恰好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它中空方阵。
观察中实方阵，我们不难发现方阵的基本特点： ①方阵的每行物体个数与每列物体个数相等。
②去掉横竖各一排时，有且只有1个物体是同时属于被减去的一行和一列。 ③如果把最外圈形成的正方形叫第一层，再向里一圈叫第二层的话，会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2，相邻两层相差总个数为8。
④每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系 四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4 每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
⑤中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数 观察中空方阵，我们不难发现方阵的基本特点：
中空方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－中空方阵的层数）×中空方阵的层数×4
下面我们就利用以上特点进行解题。
例1 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？
分析与解答：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：
（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数。
（2）去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A所示。因此去掉的总人数＝原每行人数×2－1，或去掉的总人数＝减少后每行人数×2＋1。
本题中所求，即去掉的人数＝7×2－1＝13（人） 或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人） 还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人） 或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人）
答：如果去掉一行一列，要去掉13名学生，还剩下36名学生。 例2 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？
分析与解答：如图，最外一层每边摆6枚，根据方阵每行每列个数相等特点，因此一共有6×6＝36枚棋子。
最外一层每边有6枚，如果用6×4＝24枚，就认为是最外一层棋子数的答案的话，那就错了。因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列，这样棋子在计算总数时就被多数了一次，这样的顶点一共有4个，需要把多数的减去，才能得到正确的结果。列式是6×4－4＝20枚。
说明：这道题还可以这样想：数每边棋子时，可以按上图先划分成4个相等的块，这样每边就有5枚了，因此用5×4＝20枚，也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同，至少还有两种方法，请同学们试一试。
例3 有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？
分析与解答：要想求出方阵中一共有多少士兵，就应先求出方阵的最外层每边有多少人。已知方阵最外一层有100人，用100÷4＝25人，每边是不是25人呢？不是的，因为平均分成4份后，还需要再加上1，才正好是每边上的人数，列式应该为100÷4＋1＝26人。因此方阵中一共有26×26＝676人。 答：一共有676人。
说明：这道题关键是求出每边人数。在求每边人数时，不要认为和“知道了正方形周长，求边长”一样，还必须要加上1。
例4 若干名同学排成中实方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满，请问：原有学生多少人？
分析与解：由于纵横两个方向各增加1人，因此不但将剩余12人摆上，而且还差9人，说明一横行与一竖行的人数总和是12＋9＝21人。
又由于纵横两个方向各增加1人，因此只有1人同属于横行与纵行，在数每边上的人数时，总被多数一次，因此可以用21人先加上被重复数过的1人，再除以2，也就得到每边人数。列式为（21＋1）÷2＝11人。求出每边人数，就可求出假设排满后的人数，列式为11×11＝121人，用121人减去差的9人就是原来人数，列式为121－9＝112人。也可以根据原来的方阵再加上12，请你试一试。
答：原有学生112人。
前四个例题涉及的都是实心方阵问题。下面我们来研究中空方阵问题。
例5 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？
分析与解答1：请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图，不难发现，有如下特点：
（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2； （2）每相邻两层之间，点的总数相差8个。 最外层队员的总数：12×4－4＝44（人）
三层共有队员的总数：44+（44－8）+（44－8×2）
＝44+36+28＝108（人）
分析与解答2：如下图可分成相等的四部分，每一部分的人数：
（12－3）×3＝9×3＝27（人） 三层共有队员数：27×4＝108（人） 答：彩车周围的少先队员共有108人。
这个问题还有别的解法，请同学们自己试着做一下。
例6 小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？
分析与解答1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点，可知最外层共有棋子数：
（200+8+8×2+8×3+8×4）÷5＝56（个） 最外层每边的棋子数：56÷4+1＝15（个）
分析与解答2：如例5的图，把棋子分成相等的四部分。 每一部分的棋子数：200÷4＝50（个） 每一部分每排的棋子数：50÷5＝10（个） 最外层每边的棋子数：10＋5＝15（个） 综合列式为：200÷4÷5＋5＝15（个） 答：最外边一层每边有15枚棋子。
阅读材料
牛顿是英国一位伟大的数学家和科学家，他是个早产儿，从小就体弱多病，不能像同年龄的孩子在外面跑跑跳跳。只能躲在室内。不过，聪明的他却有一套玩耍的方法；他制造了一种利用老鼠磨面粉的机械玩具水车 ，把小麦磨成雪白的面粉，还做了有灯光的风筝吓唬村民。牛顿最有名的一段小故事，就是因为苹果落下，而发现万有引力，为什么苹果会落下？小朋友你想过这个问题吗？这是因为地心引力，所以有重量，苹果才落下。喔！牛顿很喜欢想问题，也喜欢看书，最后成为伟大的科学家和数学家哩！
练习题
1．实验小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，请问：四年级原来准备多少人参加表演？
分析与解答：此题刚好是例1的逆向思考问题。根据正方形队列的特点，可知原每行人数＝（去掉一行一列的人数＋1）÷2
即：原来每行人数：（27＋1）÷2＝14（人） 原来准备参加表演的人数：14×14＝196（人）
答：四年级原准备196人参加表演。
2．一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？ 分析与解答1：把去掉4行4列转化为一行一列的去掉，就可用例6的结论： 去掉一行一列的总人数＝原每行人数×2－1
反复利用4次这个公式，只要注意“原每行人数”的变化，即可列式为：
去掉4行4列的总人数＝20×2－1+（20－1）×2－1＋（20－2）×2－1+（20－3）×2－1
＝40－1=38－1+36－1+34－1 ＝144（人）
分析与解答2：我们还可以这样想：原来是一个7行7列的方阵，若去掉4行4列后，仍剩下一个小正方形方阵，因此去掉4行4列的总人数＝原正方形方阵每边人数－4，即去掉的总人数＝20×20－（20－4）×（20－4）
＝400－256
＝144（人）
答：去掉4行4列，要减少144人。
3．正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？
分析与解1：自己画图可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：
12×4－4＝44（盏）
分析与解2：还可以把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：（12－1）×4＝44（盏） 答：这个舞厅四周共装彩灯44盏。 4．“六一”儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵，请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆?
分析与解答：分析思路参见例6，最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数 204÷4÷3+3=20(盆)
答：最外面一层每边有鲜花20盆
5．四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?
分析：根据四周人数与每边人数的关系可知： 每边人数=四周人数÷4+1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。
解答：（1）方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6（人）
（2）整个方阵共有学生人数：6×6=36（人）
答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。
6．明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？
分析：（1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数。
（2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘以层数，再乘以4，计算出这个中空方阵共用棋子多少个。
解答：（1）最里层一周棋子的个数是：（15-2-2-1）×4=40（个）
（2）这个空心方阵共用的棋子数是：（15-3）×3×4=144（个） 答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子。
7．若干战士排成一个四层中空方阵，只知道最外一层每边有12人，请你求出总人数。 分析与解：我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行
解答：由于最外层每边有12人，因此最外层一共有（12－1）×4＝44人，又根据方阵相邻两层，外层比内层人数多8的特点，因此第二层有44－8＝36人，第三层有36－8＝28人，第四层有28－8＝20人。因此一共有44+36+28+20＝128人。
还可以这样想，把四层中空方阵划分如例5的形状，我们发现每个长方形可以看成四排战士，每排有8人组成。因此一个长方形有8×4＝32人，一共有4个长方形，32×4＝128人。
当然还可以先把中空方阵看成中实方阵，然后再减去补上的小中实方阵人数，也可以求出一共有多少人，看成中实方阵后，最外一层每边12人，因此一共有12×12＝144人。又因为在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2，因此第二层每边有12－2＝10人，第三层每边有10－2＝8人，第四层每边有8－2＝6人，第五层每边有6－2＝4人。因此小的中实方阵有4×4＝16人。144－16＝128人就表示一共有战士的人数。
答：一共有128人。
8．有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜花？
分析与解答：由于方阵中相邻两个正方形每边相差8，因此第二层应摆鲜花48－8＝40盆，第三层有花40－8＝32盆，第四层有花32－8＝24盆。这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数。因此一共摆了48＋40＋32＋24＝144盆。
答：一共摆了144盆。
9．五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个中实方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果把两队合并，可以另排成一个中空的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心，请问：五年级参加广播操比赛的一共有多少名学生?
分析：若只排列一个乙方阵，则多余的人数为(即甲方阵的人数)8×8=64(人)，排列一个实心的丙方阵，不足的人数是：8×8=64(人)。假设丙方阵为实心方阵，则乙多的人数是：8×8+8×8=128(人)，又根据方阵扩展一层，每边增加2人，丙方阵丙实心方阵比乙方阵的外边多4人，说明丙方阵多于乙方阵的层数是4÷2=2(层)，方阵扩展2层，需要增加128人，根据“和差问题”则方阵最外层的人数是：(128+2×4)÷2=68(人)，所以丙方阵的总人数18×18-8×8=260（人）
解：（1）假设丙方阵为中实方阵，则丙方阵最外层是：（8×8+8×8+2×4）÷2=68（人） （2）丙方阵最外层每边的人数是：68÷4+1=18（人）
（3）中空丙方阵的总人数：18×18-8×8=324-64=260（人） 答：五年级参加广播操比赛的一共有260人。
10．有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵?
分析：根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示杨树，白点表示柳树观察图（1）（2）不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上，方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等。即最外层杨，柳树分别为（7-1）×4÷2=12（棵）。
当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差1棵。
解答：（1）最外层杨柳树的棵数分别为：（7-1）×4÷2=12（棵）
（2）当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1棵：
杨树：（7×7+1）÷2=25（棵） 柳树：7×7-25=24（棵）
（3）当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1树
柳树（7×7+1）÷2=25（棵） 杨树7×7-25=24（棵）
答：在两种方法中，方阵最外层都有杨树12棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树24棵，或者有杨树24棵，柳树25棵。
方阵一般分为两类：实心方阵和空心方阵。其基本特点是：不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同；每向里一层,每条边上的人(或物)就少2，每一层的人(或物)的总数就少4。
1、方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的 人数就少2。
2、每边人(或物)数和四周人(或物)的关系; 四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4 每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
3、中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
4、空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4
6、方阵外一层总人数比内一层的总人数多8
7、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1 通过点子图理解方阵的特点及方阵问题中的四个数量关系
第一个空心方阵的总点数：（11-3）×3×4=56（点）； 第二个实心方阵外层点数：（9-1）×4=32（点
