奥数社团教学工作总结（精选多篇）

推荐第1篇：奥数奥数社团工作计划

数学奥数社团活动计划

涉 县 第 三 中 学 石彦芳 2016.03

数学奥数社团活动计划

石彦芳

一、指导思想：

当学生接受一定的课本数学知识后已不满足课内的学习，希望通过丰富的课外活动来扩大自己的视野、拓宽知识、发展特长。作为一名数学教师应积极组织各种数学课外活动为学生创造一个自由、宽松、生动活泼的学习环境，它比课堂教学更具开放性，更有利于因材施教。开展丰富的数学笔记活动，激发学生的兴趣为着眼点，使学生喜欢活动，乐意参与。无论是活动的目标设计、题目拟定、内容安排、形式选择、效果评价都应体现趣味性。趣味性是针对活动课的内容和方法而言，以吸引学生参与，使学生在活动过程中寓学于乐、寓智于趣，生动活泼主动地获取知识。让学生一个良好的学习环境中培养了学生健康的学习情感，创设了一个敢于竞争、善于竞争的学习氛围，培养了学生忠诚、坚定、自信的意志品格。

二、活动目标：

通过开设数学奥数社团活动的形式，激发学生稳定而有效的数学学习兴趣，产生积极的内部动机，培养思维创新能力。更重要的是有利于培养学生数学学习的良好习惯，全面提升学生的数学素养。

三、活动要点：

认真组建数学奥数社团，带领学生走进丰富的数学世界。

1、开学初组织成立数学奥数社团。制定兴趣小组活动计划，落实详尽的兴趣小组活动方案，体现小组的特色。

2、奥数社团活动定课程，为开展广泛的数学活动提供切实素材。把学生的数学活动落到实处，为学生安排一定的时间， 每周的活动时间，教师专门指导。力求做到周周有内容，有目标。

3、开展读报和阅读数学书籍活动。指导学生广泛阅读，让学生享受读报的快乐。要求有条件的学生自行购买数学书籍，课外阅读的书籍还可以向学校图书馆借阅。教师在学生开展阅读前都搜集了一些书籍中的背景资料介绍给学生。教材中的思考题、你知道吗等内容教师都在数学兴趣活动课上组织学生阅读并指导，并适当介绍拓展些的知识，鼓励学生自行阅读、独立思考等。利用生活中的数学资源，让学生体验数学的实用价值。生活中处处有数学，各种媒体中数学内容也非常丰富。一方面教师要广泛收集适合于学生的数学资料、信息，一方面要求学生针对学习内容收集生活中的各种数学问题，旅游中购买门票的数学问题等等，然后组织学生在课堂中讨论研究收集到的数学问题和信息，这样既拓展了教材内容，又让学生充分体验了数学的应用价值，同时又增强了学生学好数学的信心！

4、开展丰富多彩的活动，为“数学兴趣活动”提供动力支撑。在正常进行数学兴趣活动的同时，开展一定的主题活动把数学课外活动推向高潮。

四、活动安排

1-----2周 3—— 4周 5—— 6周 7—— 8周 9----10周 11——12周13——14周15——16周17——18周 代数的初步认识

有理数及其运算 一元一次方程与一元一次方程组

应用题 三角形

一元一次不等式和一元一次不等式组 整式的运算

平行线和相交线 生活中的数据

推荐第2篇：小学数学奥数社团工作总结

小学数学奥数社团工作总结

这一学期，我担任学校四年级的奥数社团教学工作。我认真执行学校教育教学工作计划，转变思想，积极探索，改革教学，在继续推“自主——合作——创新”课堂教学模式的同时， “联系生活实际学数学”，把新课程标准的新思想、新理念和数学课堂教学的新思路、新五设想结合起来，转变思想，积极探索，改革教学，收到很好的效果。

一、激发学生学习兴趣，让他们能够感受成功、体验到学习数学的快乐

本社团学生，大部分学生基础较差，随着数学知识点的增多，知识面的扩展，学生越来越感到学习数学的困难，面对形式多样的解题方式更是无法应对，就学习尽头来说是心有余而力不足。为此，我采取的策略是先让学生感到学数学不难：上课时我有意识的设计一些简单的问题叫学习困难的学生来回答，让他们板演一些基本的计算题，激励他们大胆的解答，并在适时的时候予以提示，是他们能在老师善意的帮助下顺利的解答，让他们从心理上感到解决数学问题不是太难，只要掌握基本的方法是可以触类旁通的；第一环节实施后，我采取得第二步是在讲课时把知识生活化的方式，以学生常见的范例、经常接触的身边的数学问题为例，加以有声有色的描述，使学生感到学数学很有用，数学问题解决不好会出笑话，会影响自己的将来，要好好学数学，要学好数学，因为需要而产生学习数学的兴趣；学生的兴趣被激发后，我首先想到的是保持，一是注重从学生的课堂反应来反馈，将学生的问题和与优点添油加醋的加以评价，再就是通过开展一些丰富多彩的数学活动，如讲数学家的故事，搞一些数学小竞赛，小组合作、作业评比、学生评价等等，积极发掘学生的闪光点，让学生的个性得以张扬，努力营造一个学数学的良好氛围，让学生体验学数学和做数学的快乐，使学生从思想上逐步扭转对数学的枯燥印象，最后，我利用各种机会，经常给不同层次学生以成就感，让每一位同学都能体验到学习数学的成功与快乐。一年来，成效显著：首先是学生敢于大胆回答问题了，其次是能基本清楚的描述解题思路了，再次就是作业正确率提高了，测试情况也有了较为明显的好转。

二、认真钻研业务，努力提高课堂40分钟的教学效率。

在业务上我积极利用各种机会，学习教育教学新理念，积极参加网络教研活动，精心打理博客内容（课堂教学中的案例、反思、故事、随笔等），潜心钻研教材教法，认真备课、认真上课，坚持不懈地进行“自我充电”，以提高自己的业务理论水平。课堂上，我把学到的新课程理念结合本班实际，努力贯彻到课堂教学中去，以期提高课堂40分钟的效率。课余，我经常与同事们一起探讨教学过程中遇到的各种问题，互相学习，共同提高；我还结合实际教学撰写一些自己平时的教学反思和经验总结点滴等等。从中，我更是感受到了学无止境的道理。要充分发挥课堂教学这个“主阵地”的作用，提高课堂40分钟的效率，我们要与时俱进，坚持不懈地学习探究教学新理论新实践。

三、关爱学生与严格要求相结合，尽量使每一位学生进步。

亲其师，才能信其道。在平时与学生接触的过程中，我不以“师长”自居，尽量与学生平等交往，建立“朋友式”的深厚友谊，努力关爱每一位学生的成长。与学生多谈心，帮助学生解决学习上与生活上的各种困惑。同时，面对个别调皮的学生，也实行严格要求、正确导向的办法，让他们树立起正确的荣辱观。课堂教学，纪律是提高课堂效率的重要保证。面对各层次的学生，我既要关爱大部分学生，又要面对个别不守纪律的捣蛋分子实行严格要求。课堂上，我尽量做到分层施教与个别辅导相结合；课余，我让优秀学生与“学困生”实行“一帮一”结对子，互帮互助，共同提高。一学期来，学生们原本薄弱的基础，逐步得以夯实，学生的学习成绩有了稳步提高。

四、总结得失，以励再战。

1、取得的成绩：在我的努力带动下，学困生的脸上有了笑容了，学生们的学习兴趣较以前提高了，学习的态度也改变了不少。

2、存在的不足：部分学生多年来形成的一些不良学习方法和习惯，还有待进一步规范和引导；学困生在起始年级的知识空缺（口算乘除法及其他）直接影响着计算的效率与质量，学习成绩虽然有所进步，但许多方面还有很大的提升空间；老师的付出与学生知识掌握的反馈（作业、成绩）使老师产生急躁的情绪。

3、努力方向：今后，我将继续本着“教到老，学到老”的精神，改变急躁的情绪，不断探讨提高学生学习兴趣、促进学生全面发展的有效机制；继续保持与学生家长的紧密联系，共同配合，争取个人成长与学生成长实现双丰收。

推荐第3篇：奥数教学工作总结

四年级二班奥数教学工作总结

我担任的是四年级二班奥数课。我努力适应新时期教学工作的要求，从各方面严格要求自己，虚心向 老师学习，在 老师的身上我学到了教学经验。我的教学成功离不开她的亲切指导和帮助。立足现在，放眼未来，为使今后的工作取得更大的进步奠定了基础，现对本学期教学工作作出总结，我决心发扬优点，克服不足，总结检验教训，为取得更好的教学成绩努力工作。

一、教学为主，认真钻研。

本学期我担任四年级二班的奥数教学工作，为了提高我自身的专业素质，我在教学方面认真努力学习，主要从以下几个方面做起。

（1）认真备课，根据学校要求的内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，课后及时对该课作出总结。

（2）虚心请教其他老师。在教学上，有疑必问。本学期在学校所有老师的关心下，我的教学工作又有了一些进步。在各个环节的教学上都积极征求优秀老师的意见，学习他们的方法，同时，多听课学习老师们的优点，克服自己的不足，改进工作。

（3）认真批改作业：布置作业做到有针对性，有层次性，力求每一次练习都起到最大的效果。同时对学习的作业批改及时、认真。分析并记录学生的作业情况，将他们的作业过程出现的问题作出分类总结，进行透切的讲评，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的

放失。

（4）在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，避免了一刀切的弊端，同时加大了后进生的辅导力度。对后进生的辅导，并不限于学习知识性的辅导，更重要的是学习思想的辅导，要提高后进生的成绩，首先要解决他们心结，让他们意识到学习的重要性和必要性，使之对学习萌发兴趣。要通过各种途径激发他们的求知欲和上进心，让他们意识到学习并不是一项任务，也不是一件痛苦的事情。而是充满乐趣的。从而自觉的把身心投放到学习中去。

二、反思

部分学生以前形成的一些不良学习方法和习惯，还有待进一步规范和引导；学习成绩进步的同学，也还有许多方面还有很大的提升空间。在一个班里学生的反映速度不一，反映快的学生能和快学会新的知识，而反映慢的总是反复教才能学会。以后要根据学生的实际情况教学。

总体来说,取得的成绩还不够理想，在今后的教育教学工作中，我将更严格要求自己，努力工作，发扬优点，改正缺点，开拓前进，为美好的明天奉献自己的力量。

推荐第4篇：四年级奥数社团总结

2016-2017学年度第一学期四年级奥数社团总结

南头镇中心小学张毅

以前,每当看到其他学科的社团活动搞的有声有色，效果显著时，我的内心都会涌动着一丝羡慕。说实话，奥数社团活动的开展确实难度很大! 如何让学生从真正意义上通过奥数社团活动的开展,能够学到课本以外的知识;真正让学生学会用数学知识解决生活问题;真正让学生动手去实践，去发现问题;真正让学生去探索身边事物中隐含的数学问题;真正让学生体验合作带给他们成功的快乐;真正让学生去观察生活中数学给人们带来的五彩斑斓的美;真正让学生亲身感受一下数学的鲜活与有趣?......认为:奥数社团活动应该是一种以综合性学习为主要内容、以学生的趣味性主体活动为主要形式，以促进学生的全面发展为主要目标，以提高学生的实践能力为活动重点的教学形式。开展数学社团活动能丰富学生的精神生活，扩开他们的知识面，提高学习数学的兴趣，培养数学应用能力与相互之间的合作意识，增强勇于克服困难的信心，还能增进学生的身心健康，发展学生志趣和特长，增长才干,能真正使学生在活动求发展,在发展中求创新。

根据学生报名情况，我们8位教师分成了三个小组，统一活动方案，每次活动结束，及时总结，活动内容由易到难。为此，总结前次活动经验，商讨下次活动实施的任务、计划、需用的工具等事宜便成了每次教研组活动中必不可少的议程，大家忙的不亦乐乎。 到目前为止，我们已经让学生测量了自行车的车轮以及旗杆的高度，当我们告诉她们活动的内容时，大家难以掩饰兴奋和激动的心情，看着她们为了减小误差一遍遍测量，而且一边测量,一边纪录，一边修改、完善,还不时地蹦出来新的方法，新的方案，此时此刻，我们这些指导的老师会被同学们的兴奋所感染，一同分享着她们的快乐。在活动的同时，我们会针对活动的进度适时地告诉他们误差的分类，如何减小误差?哪些误差可以消除?哪些误差不能改变?如何计算误差?......比如在测量旗杆的高度时，还适时地给她们介绍了射影、相似、三角函数的基本知识，真正体验到了寓教寓乐的意境，看着同学们专注的神情，快乐的表情，我真的希望时间永远定格在这一瞬间......在以后的活动中，根据我的设想，还要让同学们学会银行利息的计算(附调查、理论依据、计算方法)、几何体的手工制作,以图片的形式展现数学的图形美......不过,因第一次进行走出教室,走出校门的社团活动，我们会在实践的基础上不断完善，使得学生的动手能力，合作意识，创新意识再上一个新的台阶。

本学期奥数社团活动的设想、构思、实施之所以能够得以顺利进行，是和我们组的全体老师的齐心协力分不开的，在我们的愉快合作中，我从每位老师身上学到了很多，这些对我以后的工作起着很大的促进作用，愉悦共事是我们教研组的宗旨，把工作做到最好是我们共同的目的!

推荐第5篇：下学期奥数教学工作总结

2011年下学期奥数教学工作总结

转眼一学期又接近期末。本学期，我由六年级奥数的教学任务转向五年级的教学任务，在教学工作中我从各方面严格要求自己，勤勤恳恳，兢兢业业，使教学工作有计划、有组织、有步骤、有实效地开展，顺利并圆满地完成了教学任务。现就本人一学期教育教学工作做以下总结。

一、学生基本情况，工作开展情况

上半学期学期，本人继续担任小学六（3），六（9）和六（14）班的奥数教学工作。从考二附的情况来看，总体还是不错的，其中一层次六（14）班33人。A档的有十人，B档的有11人，三层次6（3）班B档1人，C档2人，D档6人，三层次6（9）班C档2人，D档4人，这成绩还是令人比较欣慰的。二附考试结束我立即转向五年级的教学工作，现担任5（2）以及5（5）班奥数教学。从学生基础及智力水平来看，5（2）班的奥数在四个一层次的情况来看还是比较弱的，主要原因是低分层次的人员太多，高分层次不多，中间层次比例较大，5（5）班学生情况参差不齐，以及从来没接触过奥数，这都给教学带来了很大的困难，根据我所任教班级中差生较多的情况，我没有失去信心，注意学生层次不同，因材施教。今年教材采用校本为主与二附课本为辅，内容相连，但校本内容跨度、深度、难度略大，二附内容题量较少且只有一小部分时间在二附的教学上，所以备课与上课中，要求内容进行适当的增补，不但备教材，而且备教法。根据教学内容及学生的实际情况设计课的类型，采用不同的教法，并对学生的反馈认真做了记录，每一节课都做到“有备而来”，课后及时总结、归纳、反思。

二、教学中注意对奥数思维能力的培养

如何加强对学生思维活动培养是奥数教学中的重要课题，思维能力的培养首先抓严素质教育的主阵地——课堂教学，培养学生逻辑思维能力解应用题是重要任务之一，也是教学中最利于发展学生思维的领域。只有具备一定语言理解水平和逻辑思维能力，才能将实际问题转化为奥数问题加以解决，

三、课堂常规的实施

1.认真备课。根据教学内容及学生的实际情况设计课的类型，拟定采用的教学方法，教学上多数采用多媒体教学，尽量增加奥数课的趣味和调动学生学习的积极性。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，课后及时做好课后小结。

2.增强上课技能，提高教学质量。增强上课技能，提高教学质量。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生学得容易，学得轻松，觉得愉快，注意精神，培养学生多动口动手动脑的能力。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生学得容易，学得轻松，觉得愉快，注意精神，培养学生多动口动脑的能力。

3.认真批改作业，布置作业有针对性，有层次性。对学生的作业批改及时，认真分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题做出分类总结，进行透彻的讲评，并根据学生的实际情况及时改进教学，在教学中做到了有的放矢。

4.做好课后辅导工作，注意分层教学。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，同时加大了对后进生的辅导的力度。对后进生的辅导，并不限于学生知识性的辅导，更重要的是学生思想的辅导，提高后进生的成绩，首先解决他们的心结，让他们意识到学习的重要性和必要性，使之对学习萌发兴趣。

5.工作中有计划、有条理。认真制定教学计划，注重研究教学理论，认真备课和教学，制定好复习计划，并能认真备好复习课，培养好尖子生，提高中等生，帮助差生。

6.为人师表是教师的本分，我注意严格要求自己，严守教师职业道德规范和学校各项规章制度，对工作尽职尽责，努力上好每一节课，作业全批全改，认真负责地对待每一个学生，尊重他人，尊重学生，热爱本职，讲究实际。努力用良好的思想和行为去影响自己的教育对象。当然教师的职责是传授，不断提高口头表达能力，用准确恰当的语言去教育学生，传授知识，也是我们的基本功。活到老，学到老，要不断接受新知识，才能提高言传效果和质量，我既要注重语言传授，更注重身体力行，把言传与身教相结合。

推荐第6篇：奥数教学反思

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思维训练反思

学习奥数，可以提升学生的数学能力，以及思维能力。 我们班的情况是这样，

在家长方面：跟他们沟通的过程中，学生家长挺支持学生学奥数的，他们的目的很明确，就是为了考中学。要是为了考中学学奥数的话，强加给学生，效果不大。

在学生方面：在第3周学习的过桥问题，第4周讲得是差倍问题，第6周讲得是和倍问题。从这几周的学习中发现学生5班的学生学习积极性比6班要高一些， 5班有几个男孩子对奥数还是比较喜欢的，不管是平时的课本教学还是讲思维训练题，他们的表达能力与反应能力都明显比其他孩子快一此。在考试试卷中也发现5班的孩子比6班的孩子做得好。但是如果让所有孩子全都掌握，在6班几个孩子好像有点困难，这样强加于学生的话会不会影响他们对数学的学习兴趣。我现在有这样的困惑就是，学生学习了一节课后，但是练习的时间比较少。

在课堂教学中培养思维。别注意要求学生在解题时说出自己的解题思路 在解决问题中不能只问学生要答案，要让孩子养成，说题意，说思路，说算式（说出列出的每一步算式的意思）的习惯，逐步培养孩子能有根有据，有条有理的进行思考，比较完整地叙述思考过程，说明理由。 我认为学生思维能力的发展需要有一个长期的培养和训练过程。

奥数还是有一定难度的，我个人认为学习奥数一个就是兴趣很重要。在5班讲奥数题还稍微好一些，有几个男孩就是对奥数的兴趣比较浓厚。但是在6班

2、成功是学习奥数的持久动力。要让学生感受成功的喜悦。

3、理解题意也很关键。学生的理解能力还有待加强，得养成读题的好习惯。光一个过桥问题，讲了又讲，有些同学就是不会，我认为这跟他理解题意有关。

1、在课堂教学中培养思维。别注意要求学生在解题时说出自己的解题思路 在解决问题中不能只问学生要答案，要让孩子养成，说题意，说思路，说算式（说出列出的每一步算式的意思）的习惯，逐步培养孩子能有根有据，有条有理的进行思考，比较完整地叙述思考过程，说明理由。 我认为学生思维能力的发展需要有一个长期的培养和训练过程。

推荐第7篇：奥数教学总结

二年级下学期数学教学工作总结

本学期,为适应新时期教学工作的要求,我认真学习了有关教学方面的书刊,从各方面严格要求自己,积极向老师们请教,结合本校的实际条件和学生的实际情况,工作上勤勤恳恳,兢兢业业,使教学工作有计划,有组织,有步骤地开展,在教学上，我本着立足现在,放眼未来的理念。为使今后的工作取得更在进步,现对本学期的工作作如下总结：

1.认真钻研教材。

在备课时，不但备学生而且备教材教法，根据教学学内容及学生实际，设计课型，拟定采用的教学方法，、并对教学过程的程序及时间安排作了详细的记录，每一课做到“有备而来”，并制作了有趣的教具，课后及时作出总结，写课后记，并认真收集各课的知识要点，归纳成集。

2、增强上课技能，提高上课质量，使讲解清晰化，条理化，准确化，情感化，生动化。做到线条清晰、层次分明、言简意赅、深入浅出、在课堂上注重调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主动性。加强师生交流，让学生学得容易、学得轻松、学得愉快、注意精讲精练，在课堂上尽量讲得少，学生动口动手尽量多，同时照顾各个层次的学习能力，让各层次的学生得到提高。

3、认真批改作业，布置作业做到精练，有针对性，有层次性，为了做到这一点，我常常收集资料，并进行筛选，力求每一次起到最大的效果，同时批改作业及时，认真分析并记录学生的作业情况，将他们出现的问题进行分类总结，进行透彻析评讲，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。

4、做好课后辅导工作，注意分层教学。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生要求，对后进的辅导并

不限于学习知识的辅导，更重要的是思想辅导，才能提高后进生的成绩。

5、狠抓学风

我所教的两个班，上课时候比较认真，大部分学生能专心听讲，课后也能认真完成作业，但有为数不多学生，学习上有问题不敢问老师，作业也因怕分数低而抄别人的，这样就影响了成绩的提高，对此，我狠抓学风，在班级里提倡一种你追我赶的风气.经过一学期的努力，虽然取了一些成绩，但存在的不足还很多，如学生的知识结构不完整，这些有待以后改进,还应调动学生更大的积极性，在教学方法上形式在多样一些，在教学水平上继续提高，今后我将针对工作的不足有的放矢的去改进，不断提高。

推荐第8篇：奥数教学总结

2013-2014学年度下学期期末工作总结

六年级下学期是最重要的一个学期，我尽我最大的努力地做好学校安排的各项工作，以认真、积极、任劳任怨的态度对待一切工作。本学期我担任六年级

12、

13、14班的奥数和六13班的班主任工作。我认真备好每一节课，上好每一节课，经常听各位优秀老师的课，从中吸取教学经验，取长补短，提高自己的教学水平。教学中，我做到以学生为主体，发挥学生的自主学习能力。课后，我及时反思，认真专研教学方法，尽一切努力让学生掌握好所学知识。在教学中我做到以下几点：

1.认真备课，上好每一节课。

课前，我根据要求，提前一周备好课，写好教案。平时做到周前备课。备课时认真钻研教材、教参，学习好大纲，虚心向同年级组老师学习、请教。力求吃透教材，找准重点、难点。为了上好一节课，我上网查资料，集中别人的优点确定自己的教学思路，常常工作到深夜。为了学生能更直观地感受所学的知识内容，我积极查找课件，制作课件，准备、制作教具等等。

课堂，认真讲课，力求抓住重点，突破难点，精讲精练。运用多种教学方法，从学生的实际出发，注意调动学生学习的积极性和发散思维，使学生有举一反三的能力。桌间巡视时，注意对学困生进行面对面的辅导，课后及时做课后反思，找出不足。

2.课后针对性地进行培优补差的辅导工作。

奥数本来就是一门较难的科目，树立学习的自信心很重要，有的学生学习成绩不理想，并不是他们没有潜能，而是不相信自己有潜能，在经历了一两次失败和挫折后，对自己失去了信心。针对这种情况，在课堂上我有意识地通过一些浅显易懂的问题为他们提供发言机会，让他们到黑板上做题，给他们自我表现的机会，同时对他们在学习中的点滴进步，我都给以表扬和鼓励，使他们逐步树立起学习的信心。 3.注重业务水平的提高。

这一学期，除了完成学校要求的业务学习，我还主动到网上向全国优秀的老师学习。要胜任教学工作，我们要不断提高自己的业务水平和教学水平。我积极参加每次教研活动，认真观看、思考、做记录，虚心听取前辈们的批评与指导，取长补短，使自己慢慢地成长。“活

到老，学到老。”是我的信念！

4、接下来的工作计划

在今后工作中,我将继续一步一个脚印地实施自己制定的工作计划,带好自己所教班级的学生,提高他们的成绩和综合素质。在做好教育教学工作的同时,积极配合学校的各项工作，学校交给的任务坚决完成，不论是学校分到的哪一项工作,我都要配合同事尽自己的最大努力把工作做好。在以后的教学工作中，我要不断总结经验，努力提高自己的教学水平，使自己的教学水平不断提升！

“让自己更优秀”是我不断的追求！

推荐第9篇：奥数

简便计算分类练习题

第一种

(300+6)x12 25x(4+8)

125x(35+8)

(12+24+80)×50

32×(25+125)

25×（24+16）

4×(25×65+25×28)

(13+24)x8

第二种

84x101

704×25

第三种

99x64

98×199

第四种

99X13+13

79×42+79+79×57

75×27+19×2 5

504x25

78x102

25x204

88×125

102×76

101×87

99x16

638x99

999x99

58×98

99 x27

98 x34 25+199X25

32X16+14X32

178×99+178

84×36+64×84

75×99+2×75

31×870+13×310

78X4+78X3+78X3

第五种

88X125

72X125

75×24

12×25

125X32X8

75×24 25X32X125

50×(34×4)×3

138×25×4

(13×125)×(3×8)

25×32×125

第六种 3600÷25÷4

8100÷4÷75

3000÷125÷8

1250÷25÷5

7300÷25÷4

3900÷（39×25）

420÷（5×7）

800÷（20×8）

第七种

1200-624-76

2100-728-772

273-73-27

847-527-273

5001－247－1021－232

2356－（1356－721）

1235－（1780－1665）

3065－738－1065

2357－183－317－357

2365－1086－214 第八种

278+463+22+37

732+580+268

425+14+186

158+262+138

1034+780320+102

375+219+381+225

2214+638+286

（181+2564）+2719

378+44+114+242+222

276+228+353+219

(375+1034)+(966+125)

(2130+783+270)+1017

99+999+9999+99999

第九种

214-（86+14）

787-（87-29）

365-（65+118）

455-（155+230）

第十种

576-285+85

825-657+57

690-177+77

755-287+87

第十一种

871-299

157-99

363-199

968-599

1883－398

497－299

899+344

3999+498

2370+1995

157+99

第十二种

178X101-178

83X102-83X2

17X23-23X7

83×102－83×2

178×101－178

35X127-35X16-11X35

123×18－123×3+85×123

容易出错类型（共五种类型）

600-60÷15 20X4÷20X4

736-35X20 25X4÷25X4

98-18X5+25 56X8÷56X8

280-80÷ 4 12X6÷12X6

175-75÷25 25X8÷25X8

80-20X2+60 36X9÷36X9

36-36÷6-6 25X8÷（25X8）

100+45-100+45 15X97+3

100+1-100+1 48X99+1

1000+8-1000+8 5+95X28

102+1-102+1 65+35X13

25+75-25+75 40+360÷20-10

13+24X8

672-36+64

324-68+32

100-36+64

26×39＋61×26 356×9－56×9 99×55＋55

78×101－78 52×76＋47×76＋76 134×56－134＋45×134

48×52×2－4×48 25×23×（40＋4） 999×999＋1999

184＋98 695＋202 864－199 738－301

380＋476＋120 （569＋468）＋（432＋131） 704×25

256－147－53 373－129＋29 189－（89＋74）

28×4×25 125×32×25 9×72×125

720÷16÷5 630÷42 456－（256－36）

102×35 98×42 158+262+138 375+219+381+225

5001－247－1021－232 （181+2564）+2719 378+44+114+242+222

276+228+353+219 (375+1034)+(966+125) (2130+783+270)+1017 99+999+9999+99999 7755－(2187+755) 2214+638+286

3065－738－1065 899+344 2357－183－317－357

2365－1086－214 497－299 2370+1995 7755－(2187+755)

3999+498 1883－398 12×25 75×24

138×25×4 (13×125)×(3×8) (12+24+80)×50

25×32×125 32×(25+125) 88×125 102×76

178×101－178 84×36+64×84 75×99+2×75

98×199 123×18－123×3+85×123 50×(34×4)×3

25×（24+16） 178×99+178 79×42+79+79×57

7300÷25÷4 8100÷4÷75 158+262+138

1248÷24 3150÷15 4800÷25 21500÷125

16800÷120

30100÷2100

32000÷400

49700÷700

375+219+381+225 5001－247－1021－232 （181+2564）+2719

378+44+114+242+222 276+228+353+219 (375+1034)+(966+125)

(2130+783+270)+1017 99+999+9999+99999 7755－(2187+755)

2214+638+286 3065－738－1065 899+344 3999+498

2357－183－317－357 2365－1086－214 497－299

12×25 75×24 138×25×4 (13×125)×(3×8)

(12+24+80)×50 704×25 25×32×125 32×(25+125)

88×125 102×76 58×98 178×101－178

84×36+64×84 75×99+2×75 83×102－83×2 98×199

123×18－123×3+85×123 50×(34×4)×3 25×（24+16）

178×99+178 79×42+79+79×57 21500÷125

7300÷25÷4 8100÷4÷75 16800÷120

2.73 ＋ 0.89 ＋ 1.27 4.37 ＋ 0.28 ＋ 1.63 ＋ 5.72

10 － 0.432 － 2.568 9.3 － 5.26 － 2.74

14.9－（5.2＋4.9） 18.32 － 5.47 － 4.32

25 × 6.8 × 0.04 0.25 × 32 × 0.125 6.4 × 1.25 × 12.5

0.45 × 201 0.58 × 10.1 50.2 × 99 4.7 × 9.9

3.28 × 5.7 ＋ 6.72 × 5.7 2.1 × 99 ＋ 2.1

23 × 0.1 ＋ 2.3 × 9.9 0.18 ＋4.26 －0.18 ＋4.26

0.58 ×1.3 ÷ 0.58 ×1.3 7.3 ÷4 ＋ 2.7 × 0.25

3.75 × 0.5 － 2.75 ÷ 2 5.26 × 0.125 ＋ 2.74 ÷ 8 a ÷ b ÷ c = a ÷ （b × c）

6.3 ÷ 1.8 9.5 ÷（1.9 × 8） 12.8 ÷ （0.4 × 1.6）

930 ÷ 0.6 ÷5 63.4 ÷ 2.5 ÷ 0.4 （7.7 ＋ 1.54）÷ 0.7

6.9＋4.8＋3.1 15.89＋(6.75－5.89) 7.85＋2.34－0.85＋4.66

35.6－1.8－15.6－7.2 13.75－(3.75＋6.48) 47.8－7.45+2.55

66.86－8.66－1.34 0.25×16.2×4 0.25×32 ×0.125

2 .5 ×(4 +0.4) (1.25－0.125)×8 4.8×100.1

4.2×99 56.5×9.9＋56.5 7.09×10.8－0.8×7.09

3.83×4.56＋3.83×5.44 3.65×4.7－36.5×0.37 5.4×11-5.4 13.7×0.25－3.7÷4 10.7×16.1-1.1×10.7 +10.7 ×5

推荐第10篇：奥数

勾股定理

初等几何的著名定理之一。直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积，即如果直角三角形两直角边长度为a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。中国古代称直角三角形的直角边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理。此定理在中国古代和西方早已被发现。数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯，所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。两千多年来，勾股定理由于应用的广泛性，吸引了历代众多的人，对它的证明已达数百种。

概述：

任何一个直角三角形（Rt△）中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方和。这就叫做勾股定理。即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2 勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”（相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题），在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”）。 同时在我国和国外都有对于最早发现这一定理的争论。我国认为该定理的时间最早见于《周髀算经》。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

内容：

直角三角形（等腰直角三角形也算在内）两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”（即勾三股四弦五。）它被记录在了《周髀算经》中。

推广：

⒈如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

⒉勾股定理是余弦定理的特殊情况。

定理历史：

毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。埃及称为埃及三角形。

实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查。相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了。至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究。因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

作用：

⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数\"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

证法1：

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ；，斜边长为c.；把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ；≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ；∠BED，

∵ ∠EGF + ；∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ；∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则A+B=C 证法2：

作两个全等的直角三角形，设它们的直角边长分别为a、b（b>a） ；，斜边长为c.；再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90°，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2 证法3：

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ；，斜边长为c.；再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB =∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ；， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ；≌ RtΔABG ；≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， ∴∠ABG +∠CBJ= 90°， ∵∠ABC= 90°，

∴G,B,I,J在同一直线上，A2+B2=C2。

证法4：

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）^2。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a）^2 =c^2； 化简后便可得：a^2 +b^2 =c^2； 亦即：c=(a2 +b2 )1/2

第11篇：奥数兴趣小组工作总结

东美小学“三个一工程”特色项目——奥数社团

本学期，我们结合本班（奥术兴趣小组）特点和实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，使教学工作有计划、有组织、有步骤、有实效地开展，顺利并圆满地完成了教学任务。现总结如下：

一、学生基本情况

奥数班成员学生基础及智力水平参差不齐，给教学带来了很大的困难，这从本质上就给学习任务的开展造成了障碍。

二、工作开展情况

今年所使用的教材是跟教科书相联系的提高教材，内容有些相连，但跨度、深度、难度略大。备课中，不但备教材，而且备教法。根据教学内容及学生的实际情况设计课的类型，采用不同的教法，并对学生的反馈认真做了记录，每一节课都做到“有备而来”，课后及时总结、归纳、反思。

三、注重教学方法，提高教学质量

本期，在第二课堂上，我仍然采用“成功教学法，”即先学后教，注重学生学习的积极性，加强生生（小组）互动、合作，师生交流等学习氛围，充分体现学生学的容易、学的轻松、学的愉快。并注重培养学生多动口、动手、动脑的能力，真正做到玩中学、学中玩的教学思想。

四、认真批改作业

虽然一星期才一节课，但我们班每一节课后都布置作业，作业的布置体现针对性、层次性，并对学生的作业及时批改（一般在课下）,认真分析并记录学生作业情况，将他们在作业中出现的问题做出分类总结，并在课上作出详细、透彻的讲评，并针对有关情况及时改进教法，改进进度，做到有的放失，讲求实效性。

五、做好课后管理，注重分层教学

因为兴趣组的同学有一部分是本班学生，其余虽不是本班的，但距离很近。为保证教学质量，努力做到走一步夯实一步。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生需求，同时，加大后进生的辅导力度，做他们的思想工作，解决他们学习上的心结，让他们意识到学习的重要性和必要性，让他们对学习萌发兴趣，这样，他们就由原来的强迫、压制学习转化为后来的自觉、主动的学习，从而大大提高了学习质量。

六、注重尖子生的培养

选拔优秀人才参加中心举行的数学竞赛。

一份耕耘，一份收获，优异的教学成绩既是对我本期工作的肯定，也将为我今后的工作带来更大的动力和压力。不过，我也能清醒地认识到自己工作中的不足之处。教学工作有得有失，苦乐相伴，我将一如既往地努力工作，踏踏实实、认认真真，我将本着“勤学、善思、苦干、实干”的教学准则，再接再厉，把工作做的更好。

第12篇：四年级奥数才艺课教学工作总结

四年级奥数才艺课教学工作总结

一个学期过去了,根据学校工作计划和安排，从第二周进行了周末才艺课后，我已经教了这些学生一个学期的奥数，回想一开始的手足无措，想把很多知识都教给他们但却无从下手，到现在的有所计划，井井有条的进行教学，我总结出奥数教学是需要花精力，讲方法的，现总结如下。

本学期进行才艺课之前，我根据学生实际以及自己的教学经验与方法，选用了一套正规的教材和配套试卷，进行有序的教学。并且制定好了计划：一星期上一个内容，阶段性的进行综合练习和阶段性小结。

要想奥数学的好，没有别的捷径，只有培养学生的兴趣和勤奋的学习态度，保证练习的时间。由于我的奥数才艺课是安排在周日下午学生返回学校后4：10-5：25之间进行，因为学生家长或许会有其他事情要做而延误了送自己孩子及时上学，导致每周的12名学员都不能及时到位上课；为了保证每个同学不落下一课，我每周都会利用自己的休息时间对没有及时参加周日奥数才艺班的学生进行补课。这样无形之中就增加了我的工作压力与负担，但每天实在的工作让我心里塌实。

为了提高学生的学习兴趣，上课时，我采取先让学生自己讲解，后教师总结的方法，鼓励他们用正确简洁的思路解答题目。每次的课堂作业，只要学生得优，我都会有所奖励；每次学生回答问题时，只要学生能大胆开口说、大胆开口讲，我都会奖励。为了学生能真正地学到知识，我采取集中学习和个别辅导相结合，严格要求学生，要求他们能说出每一题的方法，学生有了良好的学习态度，取得了一些进步。

当然，我也发现了一些不足之处，比如一些学生有较强的依赖性，不能主动地去学习，不会积极地思考问题，一些学生对难题有一定的惰性，导致不能完成规定的作业，从而没有学到知识。

在今后的辅导中，我将继续努力，争取更大的进步！

2011-1-10

第13篇：三年级奥数教学方案

小三奥数教学方案

选用教材：《举一反三（AB版）》 选用本教材的理由：

①畅销十年，获得各界良好的口碑；

②本书推崇融会贯通、触类旁通的学习方法； ③训练学生多角度思考问题的能力；

④各类专题难度梯度层次分明，使学生更容易接触，并以阶梯式深入；

⑤本书内容贴近学生日常生活，把对奥数的学习与真实生活情景相结合，使其融汇一体； ⑥新增近年来的热点题型，满足不同学习程度的学生的要求。 课程安排说明：根据实际教学情况和考虑到学生们的学习能力，教师的教学不会完全按照书本目录的顺序进行，而是会进行微调，调整原则为“合并同类项”和难易相当，目的是使教学内容更加紧凑有律、有序可循，同时学生也会更容易进入教学过程中来。整个教学过程主要是由教师带领学生有计划、有规律地学习，抓住每章重点，找出章与章之间的联系，从而形成一个由点、线、面形成的知识体系。此外，在教授学生学习和解题技巧的过程中，不断开发和提升其思维与学习能力，使学生在今后能自主学习、思考，并且举一反三！关于本书中涉及到的已学知识，在本次教学中会作为旧知识点加以复习巩固。

教学步骤：书本知识（扩充必要的课外知识）+随堂练习+知识考核（主要以B版题目为主） 具体教学安排：

1、数数图形 使学生有次序、有条理、有规律地弄清图形（线段、角、三角形）中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新图形，最后求出它们的总和。

2、寻找规律

使学生找到以一定的顺序排列的一列数中的排列规律。介绍该内容找规律的方法：不仅可以从相邻两数的和、差考虑，还能从积和商考虑。

3、填数游戏

此类趣味题的解题方法是：确定图形中关键位置应填几，一般是顶点或中间位置，同时把所填空与所给数字联系起来。

4、巧添符号

对于这类问题，介绍学生两种主要的解题方法：一是倒推法；一是凑数法。

5、周期问题

介绍此类问题的解决方法是利用余数的知识：先审题，后找出不断重复出现的规律，然后利用除法求出余数，最后根据余数求出正确结果。

6、植树（间隔）问题

间隔问题在这里以植树问题为主要讲解的例子。使学生掌握三个基本植树问题的公式：①棵树=段数+1；②棵树=段数-1；③棵树=段数

7、数学趣题

使学生充分读懂题意，并且进行分析思考，运用基础知识和聪明才智解决问题。

8、数字趣谈

该部分内容大都是关于自然数列方面的计数问题，其方法一般采用尝试探索法和分类统计法。

9、简单枚举

强调用枚举法解题时，要注意无重复、无遗漏，即有次序、有规律地进行枚举。

10、算式之谜

介绍此类解题方法是推理加尝试：把握已知数字与所缺数字之间的关系，然后进行先观察，后推理，再尝试等步骤。

11、文字之谜

让学生了解文字算式谜与添加运算符号、填竖式的步骤与方法基本上是一样的。

12、加减巧算

主要介绍巧算方法为“凑整法”。

13、有余除法

介绍此类解题关键是先确定余数，然后确定除数，最后根据被除数、除数、商和余数之间的关系求被除数。记住两个重要公式：①余数必须小于除数；②被除数=商×除数+余数

14、乘法速算

介绍多位数与一些特殊的数相乘的简便计算方法。特别介绍两种特殊方法：一是先拆数再扩整；一是两头一拉，中间相加。

14、乘除巧算

使学生牢记一些特殊计算结果，同时掌握乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律等，让学生善于运用运算定律，提高计算能力。

16、和差问题

介绍此类问题的解决方法主要是假设法，同时结合线段图进行分析。此外，掌握数量关系式：①（和+差）÷2=大数；②（和—差）÷2=小数

17、和倍问题

介绍解决此类问题的关键是找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而求出1倍数，再求出几倍数。掌握几个数量关系表达式：①两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数）； ②小数×倍数=大数（几倍数）；③两数和—小数=大数

18、差倍问题（

一、二）

使学生找出解决差倍问题与和倍问题的类似方法，充分利用线段图帮助分析。掌握几个数量关系式：①两数差÷（倍数—1）=小数（1倍数）；②较小的数×倍数=大数（几倍数）

19、年龄问题

该类型的题目是和差及差倍问题的综合。解决该问题要让学生知道：两个不同年龄的人的年龄差始终不变，但两人年龄的倍数关系却在不断变化。故，使学生抓住“差不变”的特点，利用和差和差倍等知识解决此类问题。 20、解决问题

（一）

使学生在分析应用题的数量关系时，从条件出发，或者从问题出发找到必需的条件。在解答时，根据题目中的数量关系灵活运用以上两种方式。

21、平均数问题（

一、二）

使学生了解平均数即“移多补少”，使其掌握公式：总数量÷总分数=平均数

22、解决问题

（二）

在该部分内容中，涉及到了平均的概念，所以要让学生了解平均概念的同时，分析题目，掌握数量关系，判断条件和条件、条件和问题之间的关系。

23、错中求解

介绍此类问题的解决办法要采用倒推的方法，从错误的结果入手，并利用和差的变化求出加数或被减数、减数，利用积、商的变化求出因数或被除数、除数。

24、还原问题

介绍此类问题的方法一般采用倒推法，同时可以利用线段图、表格来帮助理解题意。

25、对应解题

介绍解决此类问题的方法：通常先把题目中的数量关系转化为等式，并按顺序编号，观察、比较对应关系的变化。

26、等量代换

介绍等量代换的基本方法：根据已知条件和未知条件之间的关系，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找出解决方法。

27、简单推理（

一、二）

在简单推理

（一）中，使学生认真分析等式中几个图形之间的关系，再利用等量代换及消去法等方法进行解答；在简单推理

（二）中，解决问题的方法为：先假设一个结论正确，然后验证它是否符合所给条件，若没有矛盾，则证明推理正确，否则再换一个结论来验证。

28、假设解题

让学生了解解决此类题型的方法是：依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整，从而找到正确答案。

29、火柴游戏

使学生开动脑筋，从不同的角度进行对问题的充分思考。 30、重叠问题

使学生掌握解决此类问题要运用到的一个重要原理——包含与排除原理，必要时可以借助示意图进行思考。

31、盈亏问题

使学生掌握解决此类问题的基本方法：份数=（盈+亏）÷两次分配数的差。此外，介绍解决特殊问题，如“两盈”的解决方法：两次盈数的差÷两次分配数的差=参与分配的对象的总数。

32、巧求周长（

一、二）

让学生在面对复杂不规则图形求其周长时进行图形的割补，使复杂图形变成易于求其周长的长方形或正方形。并且使学生知道，分割（不补）后的周长比原周长长，反之，合成后的周长比原周长短。

33、面积计算

复习长方形和正方形面积计算的公式。此外使学生学会使用辅助线或运用割补、转化等技巧来计算复杂长方形和正方形的面积。

34、最佳安排

使学生在进行最佳安排时考虑以下几点：①要做哪几件事；②做每件事需要的时间；③弄清楚所做事情的先后顺序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。

35、抽屉原理

解决此类问题过程中，使学生注意哪些是“抽屉”，哪些是事物。

36、一题多解

该部分内容针对题目的具体情况，确定学生的思维起点，是他们沿着不同的思考方向，找到不同的解决办法。同时，在寻求一题多解时，还应该特别注意选择解决问题的简便方法和最佳途径。

第14篇：八年级奥数教学总结

2013—2014学年度第一学期奥数教学工作总结

时光流逝，转眼间一学期又过去了。在这整整一学期的奥数班中，我认真负责地进行辅导，让每一个参加活动的同学在学习中不断进步。本学期，学生的学习兴趣空前高涨，许多学生要求能有机会再进行学习，而且在这些兴趣者的指引下有不少学生在学习中参加了小组学习。下面就这学期的教学作一次总结：

起初，我努力地去了解每一个学生的学习基础和学习特点，然后针对他们的基础和特点，认真制订了一份教学计划，希望能让学生在每周的活动中都能学到一些知识，取得一些进步。计划制定之后，我开始认真地授课和辅导，并结合本学期七年级数学课本上的内容，同时联系学生的实际生活让学生在一种轻松的环境下获取知识。此外，我还积极组织各种学习竞赛，让学生能够更主动地投入到学习中来。学生不仅对学习数学更感兴趣了，而且每一个学生都在活动中取得了一定的进步。总体而言，优势凸显于：

一、培养了学生学习数学的兴趣。

参加奥数班的同学都有这么一个感受：就是以前做数学或许只是应付老师的作业，有时甚至是为了向爸爸妈妈“交差”。但通过学习，他们意识到他们不再是被动的而是变成主动的学习，他们的学习能够自觉完成了而且还能头头是道地向同学介绍他所学习到的知识。在他们的指引下更多的学生参加了兴趣小组。

二、拓宽了学生的知识面。

在这次的奥数班中不但输入了数学的知识，而且更多是讲述一些数学的相关知识，很多同学在数学知识的学习过程中丰富了语文的功底，使他们的知识面得到很大的拓展。

三、增加了学生的实践机会。

由于奥数班不仅有室内的理论学习，而且还参与了实践，所以给很多同学以动手的机会，使他们认识到：数学并不是仅仅用在“无聊”的计算上，而更大的就是“从实践中来，服务于实践”，使他们意识到学习数学的用处，当然也更增加他们的学习兴趣。

四、丰富了学生的第二课堂。

从素质的角度丰富了学生的课余生活，他们的生活不再仅限于课堂上，让他们意识到学习的乐趣，也更有兴趣学习了。

首先，奥数教学能够激发中学生学习数学的兴趣。奥数题目往往从结构到解法都充满着艺术的魅力，易于学生积极探索解法，而在探索解法的过程中，学生又亲身体验到数学思想的博大精深和数学方法的创造力，因此更会产生进一步对学习数学的向往感、入迷感。

其次，奥数教学能够激发学生的数学审美感。数学的美在许多的奥数题目中得到了集中的体现。让我们先来观察奥数题的—系列解题技巧：构造、对应、逆推、区分、染色、对称、配对、特殊化、一般化、优化、假设、辅助图表……令人眼花缭乱。这些解题技巧是一种高智力水平的艺术，能带给学生—种独立于诗歌、音乐、绘画之外的审美感受。

再次，奥数教学能够激发学生的创造力。奥数题的求解更要依赖的是整体全面的洞察力、敏锐的直觉和独创性的构思，这些正是创造力构成的主要元素，而这些创造力的主要元素也正是系统接受过奥数教学的学生之所长。

虽然在兴趣小组活动中每一个学生都有所得，但我也发现了一些不足的地方。比如：由于学生学习基础的差异，导致教学简单的内容时，基础较好的学生觉得太简单；教学较难的内容时，基础较差的学生会觉得无从入手。又如：一些学生在遇到困难的时候不能自己努力克服困难，过份依赖老师的讲解。针对这些问题，我们将在以后的兴趣小组活动中继续思考，寻求一些更有效、更符合学生实际的教学方法，使学生能更主动的学习，取得更大的进步。

总之，在本学期的奥数班辅导工作中，我不仅让学生取得进步，同时自己也获得了许多教学的经验。我要在今后的奥数班活动中再接再厉，争取获得更大的进步和收获！

第15篇：奥数教学的心得体会

奥数教学的心得体会

奥数从教一段时间以来，接触的学生性格各异，有内向封闭的、活泼开朗型的、认真踏实的、反应快但效率低的，还有上课注意力不集中的。这期间自己也一直在探索，看了包括《如何说 孩子才肯学》、《如何说孩子才会听 怎么听孩子才肯说》，《青少年心理学》，以及中小学生数学教材教法等方面的书籍，试图寻求最适合各类学生的一种授课方式和方法，自己也做了一些总结，现有一些体会，欲与大家共同探讨，希望对大家以后授课能有所帮助，也希望大家有什么好的方式方法，能够与我分享，不甚感激。

我想主要从学习态度、授课方式以及知识点三个方面谈谈我对奥数以及对学生认知的一些体会。

第

一、学习态度方面：首先，端正孩子对奥数学习的认识，从目前局势来看，北京对奥数的重视程度很高，大有\"奥数学习，从娃娃抓起\"和\"全民学奥数\"的磅礴之势。从大的环境来说，小升初实验班甚至普通班的入学考试都在考察奥数知识，家长的出发点也很好理解，上好中学，然后进好大学，于是小升初的竞争体现在奥数和英语水平的较量，尤其是仁华学校的兴起，更显出奥数学习的\"独霸武林，九五至尊\"的地位。

但是，我个人认为奥数学习不仅仅体现在应对小升初考试方面，更主要的是体现对孩子思维能力的培养。奥数是在课内基础知识上的提升，是对孩子思维能力的提升，学习奥数能够逐步建立并形成孩子严谨的思维能力，这对以后孩子的思考问题以及应用到实际中的能力是一个跨越。在与家长的沟通上我也更注重强调孩子思维能力有没有提升。对于一些难的题，我们更应该注重给孩子引导，教给孩子我们的思维过程，把孩子的思路慢慢引导到正确的轨道上来。

第

二、授课方式方面：与大班上课相比，我们家教面对的学生更为单一，而且对这个学生的重视程度要比大班课更集中、更具体，并且要对这个学生作深入的剖析，对他掌握的知识以及上课习惯等方面有深刻的认识，并提出适宜的方案。这就要求我们对不同的学生采用不同的授课方式，前面提到的几类学生，要有不同的方式。大体来说，对于内向封闭的孩子，应该温柔一些，语气轻缓一些。我有一个小男孩，现在上六年级，是从孙老师那转过来的，从孙老师那也了解到一些孩子的情况，跟孙老师上课一言不吭，即使说话那声音也才20分贝左右，于是，第一次上课我就倍加重视，我不敢跟他急，生怕说话太大声会把他吓哭，上课轻声细语、颇有耐心地跟他沟通，甚至拿一些\"口香糖\"贿赂他，试图建立他对我的信任，经过一段时间的磨合，现在情况有点改善，至少上课敢跟我交流了，尽管声音还是小的可怜，但是会比二十分贝高出那么一点点。对于活泼好动的孩子，效率非常低，一节课下来，总觉得收获甚微，仅有的那点成就感也消失殆尽。

于是，上课想换个方式，板着脸跟他上课，由于本人个性比较柔和，上课也比较柔和，于是板着脸的情形坚持不了太长时间，就被孩子识破了，于是生龙活虎的孩子又出现在课堂上。后来想想，也不能太压制孩子了，否则日后孩子发展还不知能怎样呢？更重要的是让孩子形成一个好的学习习惯，于是改用说教，给他举一些例子，让学生跟其他孩子攀比，形成竞争意识，并且在孩子一旦有所改善之后就大肆表扬，外加鼓励。现在孩子习惯改过来了，并且对我也非常尊敬。，其他这样的孩子我也尝试着这么做，效果都很明显。后来在一些书籍中也看到对于小学生，应该多加以鼓励，而不是指责，另外，要学会接纳学生的情绪，让学生自己提出解决问题的办法。另外，对于活泼开朗的和认真踏实的孩子，都是比较省心的，关键是给孩子引导得好，侧重启迪和鼓励，另外，课堂注意积极活跃一些，让学生享受课堂，别让学生感觉到太疲惫，这样才能起到好的效果。

第三、知识点方面：这点大家都有自己的一套授课思路，对于知识点关键是要熟悉，探知对孩子而言通俗易懂的方法，让学生能够知道从何入手，引导学生形成正确的思维方式。在讲题的时候，注意从点到面，即不光是讲解这道题，而是通过这道题涉及到的是知识点做一些引申和总结，让学生了解到可能会出现哪些题型，对于各种题型提出来几种解题的思路和措施。上课过程中，总有一些家长介绍一些新的学生上我这来上课，说朱老师的课讲得很好，我觉得这主要归功于我给他们提供的几种方法让学生比较好接受，学生还小，大部分缺乏总结的能力，这点需要老师引起重视，并且给学生做好总结。

比如说，在讲解分数百分数应用题的时候：通常有三种思路：一是统一单位\"1\"：对于一些简单题涉及到两三个单位\"1\"的时候，能统一单位\"1\"的统一单位\"1\"，然后找量率对应，如果单位\"1\"不好统一，则采用倒推法，从后往前逐个求解出单位\"1\"，再计算，如果这两种思路都不好解，则采用第三种方法列方程。列方程能通用，但是也比较麻烦，所以我们最后考虑用方程解。再如工程问题：注意几点：一是工作时间不能相加；二是看见单独完成的时间先换效率；三是合作的可以分开考虑，分开的也可以看做合并处理。另外对于应用题，一定要让学生分析题意，理解每一个条件表达的含义，在此基础上在寻求解法。诸如这些，需要老师多总结一些。

以上就是我对奥数教学过程中出现的一些问题提出的自己的看法，希望有更好的方法能够与我分享。不好意思，才整理完，还请见谅！

第16篇：小学奥数教学总结

小学四年级奥数教学总结

梁春明

奥数的学习和兴趣的培养对于打好基础有着不可替代的作用，参加奥数学习是对思维的培养，是对学习习惯的培养，也是对自己的挑战。这种培训也许对培养数学家意义不大，但是对于思维逻辑的训练，对于日后的学习应该是很必要的。因为很多现实问题无法用固定方法去解决，奥数本身就是培养并考察你的思维能力和逻辑推理。能真正学好、学活数学，学会分析问题、解决问题，才是学好其他学科的关键

本学期，我从各方面严格要求自己，结合本班学生的实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，使教学教学有计划、有组织、有步骤地开展，圆满地完成了教学任务。

一、认真备课。不但备学生，而且备教材、备教法。根据教学内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都做了详细的记录，对每个例题都能有补充讲解。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备。

二、增强上课技能，提高教学质量。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生学得容易，学得轻松，觉得愉快，注意精神，培养学生多动口动手动脑的能力。

三、认真批改作业，布置作业有针对性，有层次性。对学生的作业批改及时，认真分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题做出分类总结，进行透切的讲评，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。

四、做好课后辅导工作，注意分层教学。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，同时加大了对后进生的辅导的力度。对后进生的辅导，并不限于学生知识性的辅导，更重要的是学生思想的辅导，提高后进生的成绩，首先解决他们的心结，使之对学习奥数萌发兴趣。使他们有成就感。从而喜欢上奥数。

不足，对于个别学生课堂纪律的调空还要多变换方法，吸引学生注意，使之照顾到全体学生。

一份耕耘，一份收获。良好的成绩将为我今后工作带来更大的动力。不过也应该清醒地认识到工作中存在的不足之处。教学工作苦乐相伴，我将一如既往地勤勉，务实地工作，我将本着“勤学、善思、实干”的准则，一如既往，再接再厉，把工作搞得更好。

第17篇：奥数兴趣小组教学总结

五年级奥数兴趣小组教学总结

时光流逝，转眼间一学期又过去了。在这整整一学期的小组活动中，我认真负责地进行辅导，让每一个参加活动的同学在学习中不断进步。本学期，学生的学习兴趣空前高涨，许多学生要求能有机会再进行学习，而且在这些兴趣者的指引下有不少学生在学习中参加了小组学习。下面就这学期的教学作一次总结：

在兴趣小组活动初，我努力地去了解每一个学生的学习基础和学习特点，然后针对他们的基础和特点，认真制订了一份教学计划，希望能让学生在每周的活动中都能学到一些知识，取得一些进步。计划制定之后，我开始认真地授课和辅导，并结合本学期五年级数学课本上的内容，同时联系学生的实际生活，采取了课内外知识相结合的方法进行教学，让学生在一种轻松的环境下获取知识。此外，我还积极组织各种学习竞赛，让学生能够更主动地投入到学习中来。学生不仅对学习数学更感兴趣了，而且每一个学生都在活动中取得了一定的进步。总体而言，优势凸显于：

一、培养了学生学习数学的兴趣。

参加兴趣小组的同学都有这么一个感受：就是以前做数学或许只是应付老师的作业，有时甚至是为了向爸爸妈妈“交差”。但通过学习，他们意识到他们不再是被动的而是变成主动的学习，他们的学习能够自觉完成了而且还能头头是道地向同学介绍他所学习到的知识。在他们的指引下更多的学生参加了兴趣小组。

二、拓宽了学生的知识面。

在这次的兴趣小组中不但输入了数学的知识，而且更多是讲述一些数学的相关知识，很多同学在数学知识的学习过程中丰富了语文的功底，使他们的知识面得到很大的拓展。

三、增加了学生的实践机会。

由于兴趣小组不仅有室内的理论学习，而且还参与了实践，所以给很多同学以动手的机会，使他们认识到：数学并不是仅仅用在“无聊”的计算上，而更大的就是“从实践中来，服务于实践”，使他们意识到学习数学的用处，当然也更增加他们的学习兴趣。

四、丰富了学生的第二课堂。

从素质的角度丰富了学生的课余生活，他们的生活不再仅限于课堂上，让他们意识到学习的乐趣，也更有兴趣学习了。

虽然在兴趣小组活动中每一个学生都有所得，但我也发现了一些不足的地方。比如：由于学生学习基础的差异，导致教学简单的内容时，基础较好的学生觉得太简单；教学较难的内容时，基础较差的学生会觉得无从入手。又如：一些学生在遇到困难的时候不能自己努力克服困难，过份依赖老师的讲解。针对这些问题，我们将在以后的兴趣小组活动中继续思考，寻求一些更有效、更符合学生实际的教学方法，使学生能更主动的学习，取得更大的进步。

总之，在本学期的兴趣小组辅导工作中，我不仅让学生取得进步，同时自己也获得了许多教学的经验。我要在今后的兴趣小组活动中再接再厉，争取获得更大的进步和收获！

白永霞 2014年夏

小学四五年级数学兴趣小组教学计划

小学奥林匹克数学教学是指对小学生进行“奥林匹克数学”的教育。作为小学数学教学的一个分支，人们将奥数教学归为一种“较高层次的、开发智力的素质教育、生动活泼的课外教育、现代数学的普及教育”。应当说，这样的认识对小学奥数教学的健康发展和小学数学教学的健康发展都是有利的。基于这样的认识，在奥数教学不至于冲击正常的数学教育秩序的情况下，奥数可以对小学数学教学产生至少以下三个方面的积极作用。

一、提升小学生数学品质。

首先，奥数教学能够激发小学生学习数学的兴趣。奥数题目往往从结构到解法都充满着艺术的魅力，易于小学生积极探索解法，而在探索解法的过程中，小学生又亲身体验到数学思想的博大精深和数学方法的创造力，因此更会产生进一步对学习数学的向往感、入迷感。

其次，奥数教学能够激发小学生的数学审美感。数学的美在许多的奥数题目中得到了集中的体现。让我们先来观察奥数题的—系列解题技巧：构造、对应、逆推、区分、染色、对称、配对、特殊化、一般化、优化、假设、辅助图表„„令人眼花缭乱。这些解题技巧是一种高智力水平的艺术，能带给小学生—种独立于诗歌、音乐、绘画之外的审美感受。

再次，奥数教学能够激发小学生的创造力。奥数题的求解更要依赖的是整体全面的洞察力、敏锐的直觉和独创性的构思，这些正是创造力构成的主要元素，而这些创造力的主要元素也正是系统接受过奥数教学的小学生之所长。

二、提高教师教学水平。一方面，教师需要加强数学知识的继续学习加强解题能力的自我修炼。另一方面，教师更需要改进自身的数学教学艺术。第一，在奥数教学过程中，由于通常面对的是智力超常的学生，生硬、呆板、灌输、说教的教学方式无疑会与学生活泼的思维形式形成巨大的落差，长此以往就会扼杀学生的创造性思维，因而，奥数教学需要教师掌握科学、活泼的教学艺术；第二，在小学数学教学过程中，在数学课堂上，教师就需要注意引导学生活学数学知识，因为奥数教学更要求教师注重学生智能的开发。为此，小学数学应实现由知识导向、应试导向到能力培养的教学导向的转移。

三、为小学数学教学课程开发探路。奥数教学作为较高层次的基础教育，实际上也承担着小学数学课程改革试点的任务，—些现代化的数学思想和数学内容经过奥数教学为广大师生普遍接受，就可以稳妥地渗透、移植到小学数学课本中了。从校本课程开发的角度来看，广大数学教师改革的空间还是很大的。借鉴奥数教学的成功经验，开发校本特色数学课程，满足小学生进一步学习数学的热情，尽早发现数学人才，提升小学生学习的品质，发展小学生和谐个性，这些任务应当是小学数学教师的应尽职责。

本学期的教学内容是：训练学生口算、口算速算、找规律填数

（一）、消去问题、找规律填数

（二）、长方形和正方形

（一）、一般应用题、长方形和正方形

（二）、盈亏问题

（一）、算式谜

（一）、盈亏问题

（二）、算式谜

（二）、流水问题。

学生名单是：四五年级各10人。

活动时间安排在每周

二、三下午16：40到17：20，地点安排在四（2）班教室。具体安排四年级每周二下午16：40到17：20，五年级每周三下午16：40到17：20。

马路小学四五年级数学兴趣小组

2011年9月

第18篇：六年级奥数小组工作总结

六年级奥数小组工作总结

本学期，我又一次担任了六年级奥数的教学任务，从接任伊始，我就从各方面严格要求自己，结合本班（奥术兴趣小组）特点和实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，使教学工作有计划、有组织、有步骤、有实效地开展，顺利并圆满地完成了教学任务。现总结如下：

一、学生基本情况

本期奥数班成员共36人，其中六一班11人、六二班15人、六三班10人。学生基础及智力水平参差不齐，给教学带来了很大的困难，其中还有一些成绩一般，智力一般的学生，由于班主任思想工作的开展，也报了奥数兴趣小组，这从本质上就给学习任务的开展造成了障碍。

二、工作开展情况

今年所使用的教材是跟教科书相联系的提高教材，内容有些相连，但跨度、深度、难度略大。备课中，不但备教材，而且备教法。根据教学内容及学生的实际情况设计课的类型，采用不同的教法，并对学生的反馈认真做了记录，每一节课都做到“有备而来”，课后及时总结、归纳、反思。

三、注重教学方法，提高教学质量

本期，在第二课堂上，我仍然采用“成功教学法，”即先学后教，注重学生学习的积极性，加强生生（小组）互动、合作，师生交流等学习氛围，充分体现学生学的容易、学的轻松、学的愉快。并注重培养学生多动口、动手、动脑的能力，真正做到玩中学、学中玩的教学思想。

四、认真批改作业

虽然两天才有一节课，但我们班每一节课后都布置作业，作业的布置体现针对性、层次性，并对学生的作业及时批改（一般在课下）,认真分析并记录学生作业情况，将他们在作业中出现的问题做出分类总结，并在课上作出详细、透彻的讲评，并针对有关情况及时改进教法，改进进度，做到有的放失，讲求实效性。

五、做好课后管理，注重分层教学

因为兴趣组的同学有一部分是本班学生，其余虽不是本班的，但距离很近。为保证教学质量，努力做到走一步夯实一步。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生需求，同时，加大后进生的辅导力度，做他们的思想工作，解决他们学习上的心结，让他们意识到学习的重要性和必要性，让他们对学习萌发兴趣，这样，他们就由原来的强迫、压制学习转化为后来的自觉、主动的学习，从而大大提高了学习质量。

一份耕耘，一份收获，优异的教学成绩既是对我本期工作的肯定，也将为我今后的工作带来更大的动力和压力。不过，我也能清醒地认识到自己工作中的不足之处。教学工作有得有失，苦乐相伴，我将一如既往地努力工作，踏踏实实、认认真真，我将本着“勤学、善思、苦干、实干”的教学准则，再接再厉，把工作做的更好。

第19篇：奥数十一

奥数讲座

（十一）

工程问题之牛吃草问题

教学目标：

1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系

知识点拨：

英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．

“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点． 解“牛吃草”问题的主要依据： ① 草的每天生长量不变；

② 每头牛每天的食草量不变；

③ 草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值

④ 新生的草量每天生长量天数．

同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：

⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；

⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；

⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；

⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)； ⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．

“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．

例题精讲：

板块

一、一块地的“牛吃草问题” 【例 1】

青青一牧场，牧草喂牛羊；

放牛二十七，六周全吃光。

改养廿三只，九周走他方；

若养二十一，可作几周粮？

（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）

【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）

【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？

【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供

27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？

【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？

【巩固】 (2007年湖北省“创新杯”) 牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头牛96天可以把草吃完．

【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?

【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）

【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？ ．

【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？

由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？

【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？

【例 5】 一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？ ．

【巩固】 （2008年希望杯六年级二试试题）

有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?

【巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？

【例 6】 有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？

【巩固】 一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，【例 4】 如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？

模块

二、“牛吃草问题”的变形

【例 7】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

【解析】 设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是(58103)(83)2，原有水量(102)324， 要求2小时淘完，要安排242214人淘水

【巩固】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？

46142【解析】 设1人1分钟淘出的水量是“1”，0分钟的进水量为34061624，所以每分钟的进水量为24241，那么原有水量为：314080．5人淘水需要805120(分钟)把水淘完．

【例 8】 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？ (9021011090)(21090)75亿人。 【解析】

【例 9】 画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。

【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入33090。8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入51575，15分钟到来的人数 907515，每分钟到来15151。8：30以前原有人33013060。 所以应排了60160（分钟），即第一个来人在7：30

【巩固】 画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间． 【解析】 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题．

设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为39552，即1分钟来的人为240.5，原有的人为：30.5922.5．这些人来到画展，所用时间为22.50.545(分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分． 点评：从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛吃草”问题了．解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质．

【例 10】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有 级台阶．

【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：

“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？”

采用牛吃草问题的方法，电梯20155秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：21512010阶，电梯的速度为1052阶/秒，扶梯长度为20(12)60（阶）。

【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？

【解析】 本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。 自动扶梯的速度（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩走的时间）÷（女孩走的时间－男孩走的时间）(23003100)(300100)1.5，自动扶梯的梯级总数＝女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间

23001.5300600450150（级）所以自动扶梯共有150级的梯级。

【例 11】 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，

分钟能追上。 【解析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在312小时内走了15335110千米，那么小明的速度为1025(千米/时)，追及距离为155330(千米)．汽车去追的话需要：304553(小时)45(分钟)．

【例 12】 快、中、慢三车同时从A地出发沿同一公路开往B地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人．已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？

【解析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：(600148007)(147)400(米/分)，开始相差的路程为：

28008400750(米(600400)142800（米），所以中速车速度为：／分)．

【巩固】 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的3倍追赶乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？ 【解析】 分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长的草”． 设甲车的速度为“1”，那么乙车532小时走的路程为253315追及路程为：，所以乙的速度为120.，20.557.5．

如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：7.510.515(小时)．

【例 13】 甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从B地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度．

【解析】 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度。所以卡车速度为：(606487)(76)24(6024)6504（千米/时），全程：（千米），丙车速度为：50482439（千米/时）

【巩固】 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去．小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米．在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．

【解析】 当小新和风间相遇时，正南落后小新6201624(米)，依题意知正南和风间走这24 米需要761(分钟)，正南和风间的速度和为：24124(米／分)，风间的速度为：24168(米／分)，学校到公园的距离为：247168(米)．所以妮妮的速度为：1688813(米／分)．

【例 14】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？ 【解析】 设一个排水阀1分钟排水量为“1”，那么进水阀1分钟

3010，0.水5池原有水量为进水量为130210．15关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需10.530要1535(分钟)才能排完水池的水．

【巩固】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空． 【解析】 本题是牛吃草问题的变形．

设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：(71899)(189)5，半池水的量为：(95)936，所以一池水的量为72．

如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为72(155)7.2小时，即7小时12分钟．

【例 15】 北京密云水库建有10个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线．根据抗洪形势，需要用2个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？

【解析】 此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增加的水量为(130210)(3010)0.5，原有的水量超过安全线的部分有(10.5)3015．

如果要用2个小时使水位降至安全线以下，至少需要开1520.58个泄洪闸．

【巩固】 (2008年“希望杯”五年级二试)有一个蓄水池装了9根相同的水管，其中一根是进水管，其余8根是出水管．开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水．后来，想打开出水管，使池内的水全部排光．如果同时打开8根出水管，则3小时可排尽池内的水；如果仅打开5根出水管，则需6小时才能排尽池内的水．若要在4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？

【解析】 设1根出水管1小时排水的量为“1”，那么进水管每小时进水量为5683632，池内原有水量为82318．要在4.5小时内排尽池内的水，应当同时打开184.526根出水管．

【巩固】 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门? 【解析】 设1个闸门1小时的放水量为“1”，那么每小时自然减少的水量为：40430540301，实际注入水量为：5130120；24小时蓄水需要打开的闸门数是：1202416(个)．

【例 16】 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)

【解析】 设1人1小时搬运的份数为“1”，那么一台皮带运输机1小时的工作量为

2831255312，每个仓库存放的面粉总量为：12125120．那么,丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，需要120212236(人)．

【例 17】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）

【解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了24135米路，所以从杯中流出的速度是150.2（杯/米），于是1桶水原有水量等于330.22.4杯水，所以小方要2.4(130.2)6次才能把第三个桶装满。

【例 18】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？

【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为

16010250610625，原有砖的数量为：2502561350．如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350950400的原有的砖未用，变成1205125人来砌砖，还需要：400125254(天)．

【例 19】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙，14天可以把砖用完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？

【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为15142091496，原有砖的数量为：15614126． 现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，如果不调走6名工人，那么这些工人共砌10天可砌完12661064210，所以原有工人2101021名．

课后练习：

练习1.仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？

【解析】 设1辆汽车1天运货为“1”，进货速度为(9456)(96)2，原有存货为(42)918，仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要18118（天）

练习2.一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天?

【解析】 设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 16头牛 15天 16×15＝240：原有草量＋15天生长的草量

100只羊（25头牛） 6天 25×6＝150： 原有草量＋6天生长的草量

从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；

8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草，90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。

练习3.（2008年“陈省身杯”国际青少年五年级数学邀请赛）有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了9台抽水机，这样比原计划节省了8小时。工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机，将会比原计划节省12小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下 台抽水机。

【解析】 设每台抽水机每小时抽1个单位的水，原计划需要t小时抽完

则原计划8个小时抽的水量为8t， 9台抽水机时抽水量为9(t8)

10台抽水机时抽水量为10(t12)

所以，8个小时的出水量为8t9(t8)72t，

12个小时的出水量为8t10(t12)1202t，

而泉水的出水速度是一定的，所以1202t1.5(72t)，解得t24，

所以每小时出水量为(7224)86，所以需要留下6台抽水机。

练习4.一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？ 【解析】 设1台抽水机1天的抽水量为“1”则进水速度为(205156)(2015)2，原有水量为20520260，若要6天抽干，要606212台同样的抽水机

练习5.某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？ 【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为160102506，原有砖的数量为：625102502561350．

如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350950400的原有的砖未用，变成1205125人来砌砖，还需要：400125254(天)．

月测备选

【备选1】一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

【解析】 水库原有的水与

20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？205100(台).

水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？61590(台).每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？ (10090)(2015)2(台).原有的水可供多少台抽水机抽1天？ 10020260(台).若6天抽完，共需抽水机多少台？ 606212(台).

【备选2】早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客．现要求5分钟放完，需设立几个检票口? 【解析】 设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客． ①1分钟新来多少个单位的旅客

(41587)(157)1 2②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候， 4×１５－1×15=521

22③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客 521+1×5=55 22④设立几个检票口 55511(个)

【备选3】自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该楼梯共有多少级？

【解析】 该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：(5016032)(6050)1。自动扶梯的梯级总数：50(11()级)

【备选4】一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？ 【解析】 设1根排水管1小时排水为“1”，进水速度为(31883)(183)2，原有水量为(82)318，如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开18824.25根出水管，每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。

【备选5】食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完，如果派4个工人，40天可以把面粉用完，现在派4名工人加工了30天后，又增加了2名工人一起干，还需要几天加工完？

【分析】 开工前运进的面粉相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草”．

设1名工人1天用掉面粉的量为“1”，那么每天运来的面粉量为44053040301，原有面粉量为：5130120．如果4名工人干30天，那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量，原有还剩1209030未加工，而后变成6名工人，还需要30616(天)可以加工完． 练习

1.牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？

2.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛 吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？

3.一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？

鸡兔同笼问题

1.某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分．小华参加了这次竞赛，得了64分．问：小华做对几道题？

2.鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚86只．问：鸡、兔各有几只？

3.在一个笼子里,鸡、兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则一共有脚92只,求鸡兔各有多少只。

4.某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分．小华得了76分，问他做对几题？

5.有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损1个瓶子还要倒赔1元，结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃损坏了几只？

6.鸡与兔共有200只，鸡的脚比兔的脚少56只，问鸡与兔各多少只？ 7.今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡兔各几只？

8.12张乒乓球台上共有34人在打球，问：正在进行单打和双打的台子各有几张？

9.鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？ 10.大油瓶一瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克．现有100千克油装了共60个瓶子．问大、小油瓶各多少个？

11.刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船．每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？

12.小红的储钱罐里有面值2元和5元的人民币共65张，总钱数为205元，两种面值的人民币各多少张？

13.瓷器商店委托搬运站运送800只花瓶，双方商定每只运费是0.35元，如果打破1只，不但不计运费，而且要赔偿2.50元，结果运到目的地后，搬运站共得运费268.6元，求打破了几只花瓶？ 14.小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣2分，又知道他做错的题和没做的一样多．问小毛做对几道题？ 15.幼儿园买来20张小桌和30张小凳共用去1860元，已知每张小桌比小凳贵8元，问小桌、小凳的价格各多少？

16.鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？

第20篇：奥数 二

盈亏问题与牛吃草问题

盈亏问题： 教学目标

1、了解盈亏问题的概念，明白其原理

2、尽量用公式去解决盈亏问题

教学重难点

重点：盈亏问题的概念及简算原理 难点：盈亏问题公式的理解

基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．

基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型：

①一次有余数，另一次不足；

基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数；

基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

③当两次都不足；

基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。

一、本讲知识点

“老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨？”

这道应用题是已知两种分配的方法，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的数量及被分配的总量。这样的应用题，通常叫做盈亏问题（有余时称盈，不足时称亏）。

解盈亏问题，常常采用比较的方法。一般地，在盈亏问题中： （盈数＋亏数）÷两次差＝参加分配的数

例1 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？

分析 比较两种搬砖法中各个量之间的关系： 每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差5-4=1（块）。

第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9（块）

每人相差1块，结果总数就相差9块， 所以有少先队员9÷1=9（人）。 共有砖：4×9＋7＝43（块）。 解：（7+2）÷（5-4）=9（人）

4×9+7=43（块） 或 5×9-2=43（块）

答：共有少先队员9人，砖的总数是43块。

例2 妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？

分析 题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48＋8＝56（个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。

解：（48+8）÷（6-4）

=56÷2

=28（天）

6×28-8=160（个）或 4×28＋48=160（个）

答：妈妈买回苹果160个，计划吃28天。

尝试实践 1.阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？

2.某校同学排队上操.如果每行站9人，则多37人；如果每行站12人，则少20人.一共有多少学生？

3.丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分3个，多16个；如果每人分5个，那么就差4个。有多少个小朋友？有多少个苹果？

例3 学校为新生分配宿舍.每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间.问宿舍有多少间？新生有多少人？

分析 每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是5×3＝15（人）.由此可见，每一个房间增加5-3=2（人）.两次安排人数总共相差23+15＝38（人），因此，房间总数是：38÷2=19（间），学生总数是：3×19+23＝80（人），或者5×19-5×3=80（人）。

解：（23+5×3）÷（5-3）

＝（23＋15）÷2

＝38÷2

＝19（间）

3×19+23=80（人） 或 5×19-5×3＝80（人）。

答：有19间宿舍，新生有80人。

例4 红山小学学生乘汽车到香山春游.如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？ 分析 每车多坐5人，实际是每车可坐5+65＝70（人），恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70人.因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？

解：（5+5+65）÷5=15（辆）

65×15＋5=980（人） 或（5＋65）×（15-1）=980（人）

答：一共有15辆汽车，980名学生。 尝试实践

4、工厂新建一宿舍，每间住4人，则有34人没床位，每间住6人，则又多5间房，共有多少名工人要安排住宿？

5、北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。如果每车坐65人，则有15人不能乘车。如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。一共有几辆汽车？有多少学生？

6、买来一批苹果，分给幼儿园大班的小朋友.如果每个人分5个苹果，那么还剩余32个；如果每人分8个苹果，那么还有5个小朋友分不到苹果.这批苹果的个数是多少？

例

5、小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小明和小妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨。如果小明1人分6个梨，其余每人分4个梨，又差12个梨。小明家有多少人？这筐梨子有多少个？

分析 第一种分法是小明、小妹各4个梨，其余每人2个梨，多余4个梨。假设小明、小妹也分2个梨，那么会多多少个梨呢？很容易想，多出：2×2＋4＝8（个）。第二种分法是小明一人得6个梨，其余每人4个梨，差12个梨。假设小明也只分4个，那么就只差：12－2＝10（个）。

解 小明家的人数为：

2×2＋4＋（12－2）＝18（个）

18÷2＝9（人）

梨子的个数为：

4×2＋2×（9－2）＋4＝26（个） 或：6＋4×（9－1）－12=26（个） 答：小明家有9个人，这筐梨有26个

例

6、少先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？

分析 这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完.这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6-4）×2＝4（棵）.因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗？

解：[3+（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人）

5×7+3＝38（棵）或6×7-4＝38（棵）

答：有7个少先队员，一共种38棵树。 尝试实践

7、同学们暑假前到图书馆借书，如果每人借4本，则最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，这些图书恰好借完，书的总数是多少？

8、学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？

9、幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给大班的小朋友每人5个缺6个，如果分给小班的小朋友每人4个余4个，已知大班比小班少2个小朋友。问这一筐苹果共有多少个？

牛吃草问题：

基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．

“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点． 解“牛吃草”问题的主要依据：

① 草的每天生长量不变； ② 每头牛每天的食草量不变；

③ 草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 ④ 新生的草量每天生长量天数．

同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：

⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；

⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；

⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数； ⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)； ⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．

“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．

例题精讲：

板块

一、一块地的“牛吃草问题”

【例 1】 青青一牧场，牧草喂牛羊；

放牛二十七，六周全吃光。

改养廿三只，九周走他方；

若养二十一，可作几周粮？ （注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。） 【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长） 【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162份；23头牛吃9周共吃了239207份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245份草，这45份草是牧场的草963周生长出来的，所以每周生长的草量为45315，那么原有草量为：16261572．

供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．

27头牛6个星期23头牛9个星期3个星期21头牛？个星期

【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200份；15头牛吃10天共吃了1510150份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050份草，这50份草是牧场的草201010天生长出来的，所以每天生长的草量为50105，那么原有草量为：200520100．

供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．

【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？

【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15，原有草量为(2715)672，可供72181519（头）牛吃18周

【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015天生长的草量为12252410，6所以每天生长的草量为60154；原有草量为：24410200．

20天里，草场共提供草200420280，可以让2802014头牛吃20天．

【巩固】 (2007年湖北省“创新杯”) 牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头牛96天可以把草吃完．

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为

1010306070246024，牧场原有草量为303601600，要吃96

310天，需要16009620(头)牛．

【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完? 【解析】 设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：(509587)(97)22，原有草量为：509229252，(252226)664(头)

【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）

【解析】 设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(2112239)(129)15，原有的野果为(2315)972，如果要4周吃光野果，则需有7241533只猴子一起吃

【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：2051566510，原有草量为：20105150；10天吃完需要牛的头数是：15010105(头)．

【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？

【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少 (254166)(64)2；

原来牧场有草(252)4108，

12天吃完需要牛的头数是：1081227(头)或(108122)127（头）。

【例 4】 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？

51天自然减少的草量为2051664，原【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，6有草量为：2045120． 若有11头牛来吃草，每天草减少11415；所以可供11头牛吃120158(天)．

【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？

【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少 (254166)(64)2

原来牧场有草(252)4108

可供10头牛吃的天数是：108(102)9(天)。

【例 5】 一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为16202012201210，原有草量为：161020120．

10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120158天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．

【巩固】 （2008年希望杯六年级二试试题）

有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完? 【解析】 “4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么14头牛30天吃了144301680单位草量，而70只羊16天吃了16701120单位草量，所以草场在每天内增加了(16801120)(3016)40草量，原来的草量为11204016480草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过480(8840)10天，可将草吃完。

【巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22头牛的吃草量，所以草的生长速度为(15242012)(2412)10，原有草量为(2010)12120，12头牛与88只羊一起吃可以吃120(122210)5（天）

【例 6】 有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为1730192430249，原有草量为：17930240．

现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加428才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为24088940(头)．

【巩固】 一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为44053040301，原有草量为：5130120．如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩1209030，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：30616(天)．

【例 7】 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？

【解析】 设1匹马1天吃草量为“1”，根据题意，有：

15天马和牛吃草量原有草量15天新生长草量……⑴ 20天马和羊吃草量原有草量20天新生长草量……⑵

30天牛和羊(等于马)吃草量原有草量30天新生长草量……⑶

由(1)2(3)可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量30；

由⑶可知，30天羊吃草量30天新生长草量，所以：羊每天吃草量每天新生长草量；设马每天吃的草为3份

将上述结果带入⑵得：原有草量60，所以牛每天吃草量2． 这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：602312(天)．

【巩固】 现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?

【解析】 牛、马45天吃了 原有45天新长的草①

牛、马90天吃了2原有90天新长的草⑤

马、羊60天吃了 原有60天新长的草②

牛、羊90天吃了 原有90天新长的草③

  

马 90天吃了 原有90天新长的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．

所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．

现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.

11)36天.9060 所以，牛、羊、马一起吃，需36天． 所需时间为1(模块

二、“牛吃草问题”的变形

【例 8】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

【解析】 设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是(58103)(83)2，原有水量(102)324，

要求2小时淘完，要安排242214人淘水

【巩固】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？

46142【解析】 设1人1分钟淘出的水量是“1”，0分钟的进水量为34061624，所以每分钟的进水量为24241，那么原有水量为：314080．5人淘水需要805120(分钟)把水淘完．

【例 9】 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？

(9021011090)(21090)75亿人。 【解析】

【例 10】 画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。

【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入33090。8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入51575，15分钟到来的人数 907515，每分钟到来15151。8：30以前原有人33013060。 所以应排了60160（分钟），即第一个来人在7：30

【巩固】 画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．

【解析】 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题．

设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为39552，即1分钟来的人为240.5，原有的人为：30.5922.5．这些人来到画展，所用时间为22.50.545(分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分．

点评：从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛吃草”问题了．解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质．

【例 11】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有

级台阶．

【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：

“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？”

采用牛吃草问题的方法，电梯20155秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：21512010阶，电梯的速度为1052阶/秒，扶梯长度为20(12)60（阶）。

【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？

【解析】 本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。

自动扶梯的速度（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩

(23003100)(300100)1.5，走的时间）÷（女孩走的时间－男孩走的时间）自动扶梯的梯级总数＝女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间

23001.5300600450150（级）所以自动扶梯共有150级的梯级。

【例 12】 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，

分钟能追上。 【解析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在312小时内走了15335110千米，那么小明的速度为1025(千米/时)，追及距离为

3 155330(千米)．汽车去追的话需要：30455(小时)45(分钟)．

【例 13】 快、中、慢三车同时从A地出发沿同一公路开往B地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人．已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？

【解析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：(600148007)(147)400(米/分)，开始相差的路程为：(600400)142800（米），所以中速车速度为：28008400750(米／分)．

【巩固】 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的3倍追赶乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？

【解析】 分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长的草”． 设甲车的速度为“1”，那么乙车532小时走的路程为25331，所以乙的速度为120.5，追及路程为：20.557.5．

如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：7.510.515(小时)．

【例 14】 甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从B地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度．

【解析】 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度。所以卡车速度为：(606487)(76)24（千米/时），全程：(6024)6504（千米），丙车速度为：50482439（千米/时）

【巩固】 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去．小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米．在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．

【解析】 当小新和风间相遇时，正南落后小新6201624(米)，依题意知正南和风间走这24 米需要761(分钟)，正南和风间的速度和为：24124(米／分)，风间的速度为：24168(米／分)，学校到公园的距离为：247168(米)．所以妮妮的速度为：1688813(米／分)．

【例 15】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？

【解析】 设一个排水阀1分钟排水量为“1”，那么进水阀1分钟进水量为13021030100.5，水池原有水量为10.53015．关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要1535(分钟)才能排完水池的水．

【巩固】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空．

【解析】 本题是牛吃草问题的变形．

设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：(71899)(189)半池水的量为：(95)936，，所以一池水的量为72． 如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为72(155)7.2小时，即7小时12分钟．

【例 16】 北京密云水库建有10个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线．根据抗洪形势，需要用2个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？

【解析】 此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增加的水量为(130210)(3010)0.5，原有的水量超过安全线的部分有(10.5)3015．

如果要用2个小时使水位降至安全线以下，至少需要开1520.58个泄洪闸．

【巩固】 (2008年“希望杯”五年级二试)有一个蓄水池装了9根相同的水管，其中一根是进水管，其余8根是出水管．开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水．后来，想打开出水管，使池内的水全部排光．如果同时打开8根出水管，则3小时可排尽池内的水；如果仅打开5根出水管，则需6小时才能排尽池内的水．若要在4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？

【解析】 设1根出水管1小时排水的量为“1”，那么进水管每小时进水量为5683632，池内原有水量为82318．要在4.5小时内排尽池内的水，应当同时打开184.526根出水管．

【巩固】 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门? 【解析】 设1个闸门1小时的放水量为“1”，那么每小时自然减少的水量为：40430540301，实际注入水量为：5130120；24小时蓄水需要打开的闸门数是：1202416(个)．

【例 17】 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)

【解析】 设1人1小时搬运的份数为“1”，那么一台皮带运输机1小时的工作量为

2831255312，每个仓库存放的面粉总量为：12125120．那么,丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，需要120212236(人)．

【例 18】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）

【解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了24135米路，所以从杯中流出的速度是150.2（杯/米），于是1桶水原有水量等于330.22.4杯水，所以小方要2.4(130.2)6次才能把第三个桶装满。

【例 19】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？ 【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为16010250610625，原有砖的数量为：2502561350．

如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350950400的原有的砖未用，变成120512人5来砌砖，还需要：40012525(天4)．

【例 20】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙，14天可以把砖用完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？

【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为15142091496，原有砖的数量为：15614126．

现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，如果不调走6名工人，那么这些工人共砌10天可砌完12661064210，所以原有工人2101021名．

课后练习：

练习1.仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？

【解析】 设1辆汽车1天运货为“1”，进货速度为(9456)(96)2，原有存货为(42)918，仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要18118（天）

练习2.一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天? 【解析】 设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

16头牛 15天 16×15＝240：原有草量＋15天生长的草量

100只羊（25头牛） 6天 25×6＝150： 原有草量＋6天生长的草量 从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；

8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草，90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。

练习3.（2008年“陈省身杯”国际青少年五年级数学邀请赛）有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了9台抽水机，这样比原计划节省了8小时。工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机，将会比原计划节省12小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下 台抽水机。

【解析】 设每台抽水机每小时抽1个单位的水，原计划需要t小时抽完 则原计划8个小时抽的水量为8t， 9台抽水机时抽水量为9(t8) 10台抽水机时抽水量为10(t12)

所以，8个小时的出水量为8t9(t8)72t， 12个小时的出水量为8t10(t12)1202t，

而泉水的出水速度是一定的，所以1202t1.5(72t)，解得t24， 所以每小时出水量为(7224)86，所以需要留下6台抽水机。

练习4.一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？

【解析】 设1台抽水机1天的抽水量为“1”则进水速度为(205156)(2015)2，原有水量为20520260，若要6天抽干，要606212台同样的抽水机

练习5.某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？

【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为16010250610625，原有砖的数量为：2502561350．

如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350950400的原有的砖未用，变成1205125人来砌砖，还需要：400125254(天)．

月测备选

【备选1】一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？ 【解析】 水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？205100(台).

水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？61590(台).每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？ (10090)(2015)2(台).原有的水可供多少台抽水机抽1天？ 10020260(台).若6天抽完，共需抽水机多少台？ 606212(台).

【备选2】早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客．现要求5分钟放完，需设立几个检票口? 【解析】 设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客．

①1分钟新来多少个单位的旅客

1(41587)(157)

2②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候，

11 4×１５－×15=52

22③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客 11+×5=55 22④设立几个检票口 55511(个) 52

【备选3】自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该楼梯共有多少级？ 【解析】 该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：(5016032)(6050)1。自动扶梯的梯级总数：50(11)100(级)

【备选4】一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？ 【解析】 设1根排水管1小时排水为“1”，进水速度为(31883)(183)2，原有水量为(82)318，如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开18824.2根出水管，每根出水管51小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。

【备选5】食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完，如果派4个工人，40天可以把面粉用完，现在派4名工人加工了30天后，又增加了2名工人一起干，还需要几天加工完？ 【分析】 开工前运进的面粉相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草”． 设1名工人1天用掉面粉的量为“1”，那么每天运来的面粉量为44053040301，原有面粉量为：5130120．如果4名工人干30天，那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量，原有还剩1209030未加工，而后变成6名工人，还需要30616(天)可以加工完．

《奥数社团教学工作总结.doc》

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