推荐第1篇：两个重要极限的证明
两个重要的极限
1．证明：lim
sinxx
x0
1
证明：如图（a）作单位圆。当0
21
12x
12
2
时，显然有ΔOAD面积
xsinx
1cosx
tgx，sinx
2
或1
sinxx
cosx
2
x0
时也成立。
图（a）
故（1）式对一切满足不等式0|x|的x都成立。
sinxx
1。
由limcosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得lim
x0
x0
函数f(x)=
sinxx
的图象如图（b）所示。
2．证明：lim(1)n存在。
n
n
证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n有
b
n1
图（b）
n1
a
n1
ba
(n1)b或b
n
n1
a
n1
(n1)b(ba)，整理后得不等式a
n（1） b[(n1)anb]。
n
令a=1+故有(1
1n1)
n1
，b=1+
1n)
1n
n
，将它们代入（1）。由于(n1)anb(n1)(1
1n1
)n(1
1n
)1，
n1
(1
12n
，这就是说{(1)n}为递增数列。
n
12n)
12
再令a=1，b=1+代入（1）。由于(n1)anb(n1)n(1
12n)
2n
，故有1(1
12n
)
n
12
，2(1
12n1n
)
n
。
不等式两端平方后有4(1，它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又推得数列{(1)n}
是有界的。于是由单调有界定理知道极限lim(1)n是存在的。
n
n
3．证明：lim(1)xe。
x
x
证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：
x
lim(1
1x
)e
x
（1）
x
lim(1
1x
)e
x
（2）
现在先应用2中数列极限lim(1)ne，证明（1）式成立。
n
n
设n≤x
1n1
1
1x
1
1n
及(1
1n1
)
n
1n1
)(1
n
1x
)(1
x
1n
)
n1
， （3）
作定义在[1，+)上的阶梯函数。f(x)(1，n≤x
n
由（3）有f(x)
x
x
n
11n1
(1
)lim
n
n
n1
11
n
)
n1
e
xlimg(x)lim(1n1n)n1lim(1n1n)(1n1
n)e，根据迫敛性定理便得（1）式。
11
y)y现在证明（2）式。为此作代换x=-y，则(1)x(1x(11
y1)(1y1
y1)y1(11
y1)
因为当x→-∞时，有y-1→+∞，故上式右端以e为极限，这就证得lim(1)xe。
x1x
以后还常常用到e的另一种极限形式lim(1a)ae a0
1x（4） 1
a0因为，令a1x，则x→∞和a→0是等价的，所以，lim(1)lim(1a)a。 xx
推荐第2篇：两个重要极限
2.5.1两个重要极限（第一课时）
——新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标
1.复习该章的重点内容。
2.理解重要极限公式。
3.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点
重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程
1、复习导入
（1）极限存在性定理：xlimfx(x)Alimf(x)limf(x)A 0xx0xx0
（2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若f(x)（xx0），
1f(x)（0xx0）
（3）极限的四则运算：
limf(x)g(x)limf(x)limg(x) limf(x)g(x)limf(x)limg(x) limf(x)
g(limf(x)
x)limg(x)limgx0
（4）limcf(x)climf(x)（加法推论）
（5）limf(x)klimf(x)k（乘法推论）
（6）lim无穷小量有界变量0（无穷小量的性质） eg: limsinxlim
xx1sinx0 xx则
那么，lim
sinxx
？呢，这是我们本节课要学的重要极限
x0
2、掌握重要极限公式lim
sinxx
x0
1公式的特征：（1）型极限；
（2）分子是正弦函数；
（3）sin后面的变量与分母的变量相同。
3、典型例题 【例1】求 lim解：lim
sinxkx
x0
sinxkxsinxxtanxx
x0
k
0
1k1
1k
=
1k
lim
x0
【例2】求 lim解：lim
tanxx
x0
sinx1
lim111 lim
x0cosxcosxx0x
1x0
sin
=lim
x0
x
x
（推导公式：lim
tanx
x0
【例3】求 lim解：lim
sin5xx
x0
1）
xsin5xx5x
x0
lim5
x0
sin5x
5lim
sin5x5x
x0
51
54、强化练习（1）lim
sinx3x
x0
x0
（2）lim
sinx
sinkxxsinxxsinkxkx
x0
k
1
30（3）lim
1
sin5x3x
x0
(4) lim
tan2xx
x0
解：（1）lim（2） lim（3）lim
x0（4）lim
x0
3xsinkxx
=
13
lim
x0
limk
x0
klim
3sinkxkx
x0
k1k
sin5x3xtan2xx
sin5x55sin5x5
5limlim1x033x05x335x=limx0
sin2xx
x0
sin2x1
lim2111 2lim
x0x0cos2xcos2x2x
四、小结:
本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子sin后面的变量与分母的变量相同。
五、布置作业:（1）sinx（2）sin3x （3）sin5x (4) tan3x
limlim
x0
5x
x0
x
lim
x0
2x
lim
x0
x
2.5.2两个重要极限（第二课时）
————新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标 1.理解重要极限公式。
2.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。 难点：多种变形的应用。
三、教学过程
1、复习导入：
本节课我们学习一个重要的极限公式。首先我们一起复习一下指数运算。 (1)ab(2) (3)
a
n
ab
n
nn
m
nm
aa
a
nm
a
n
m
2、掌握重要极限公式
lim(1
x
1x
)
x
e
3、典型例题 【例1】 lim解：lim(1x
2x
x
(1
2x
)
x
1x
2x
)lim[(1
x
x
)2][lim(1
x
1x2
x
)2]e
22
（构造法）
(1x)x 【例2】limx0
1z
1xz
解：lim(1x)
x0
x
lim(1
1z
)e（换元法）
z
（推导公式：lim(1x)x
x0
e）
【例3】 lim解：lim
x
x
(1
x
1x
)
x
1x
)
x
(1
1x
)lim[(1
x
]
1[lim(1
x
1x
)
x
]
1
e
1
1e
（构造法）
【例4】 lim(
x
xx1
)
x
11
1x)lim
x
解：lim(
x
xx1
)lim(
x
x
11
1
x
x
x
1e
（构造法）
4、强化练习（1）lim(1
x
5x
)
x
(1x)x（3）lim（2）lim
x05x
1x
5x
x
(1
2x
)
x
(4) lim(
x
2xx
1)
x
(1解：（1）limx
)lim[(1
x
x
)5][lim(1
x
1x5
x
)5]e
55
（2）lim(1x)x
x0(3) lim(1
x
lim(1x)xx0
lim(1x)x
x0
1z
lim(1)
zz
x
2e
2x
)lim[(1
x
x
1x2
)
x2
]
2
[lim(1
x
1x2
)]
2
e
2
1e
(4)
2xx
)1x
2
lim1xx1
lim1xx
x
lim[(1
x
1x2
x
)]
[lim(1
x
1x2
x
)]
lim(
x
x2x1
1
)lim(
x
x
x
1
e
e
e
e
e
四、小结:
本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从
而求得极限。
五、布置作业: （1）lim(1
x
3x
)
x
（2）lim(12x)x（3）lim
x0
x
(1
1x
)
2x
(4) lim
x
(
x3x1
)
x
推荐第3篇：极限的证明
极限的证明
利用极限存在准则证明：
(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2
故(Inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2
且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.
对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a
同理可求x0
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
推荐第4篇：极限 定义证明
极限定义证明
趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于
2这两个用函数极限定义怎么证明?
x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|sinx/√x-0|=|sinx/√x|
|sinx/√x|^2sinx^2/ξ^2,
∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，
所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|
同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|
需要0
|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|
由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.
注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.
记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;
下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;
那么存在N1,当x>N1,有a/M
注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0
同理，存在Ni，当x>Ni时，0
取N=max{N1,N2...Nm};
那么当x>N,有
(a/M)^n
所以a/M
对n取极限，所以a/M
令x趋于正无穷，
a/M
注意这个式子对任意M>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。
令M趋于正无穷，b趋于a;
有a
这表明limg(x)=a;
证毕;
证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。
还有个看起来简单些的方法
记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;
g(x)=max{f1(x),....fm(x)};
然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。
其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。
有种简单点的方法，就是
max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。
多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，
故极限可以放进去。
2一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
2
推荐第5篇：证明极限不存在
证明极限不存在
二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点
沿着两条直线y=2x
y=-2x趋于(0,0)时
极限分别为-3和-1/3不相等
极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等
所以极限不存在
3lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
证明该极限不存在
lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)
=1-lim8/
因为不知道x、y的大校
所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
极限不存在
4
如图用定义证明极限不存在~谢谢!!
反证法
若存在实数L，使limsin(1/x)=L，
取ε=1/2，
在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，
②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，
使|sin-L|
和|sin-L|
同时成立。
即|1-L|
这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。
推荐第6篇：函数极限证明
函数极限证明
记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;
下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;
那么存在N1,当x>N1,有a/MN2时，0Ni时，0
那么当x>N,有
(a/M)^n
推荐第7篇：两个重要的极限（推荐）
《数学分析》教案
§４ 两个重要的极限
教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。
教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。 教学重点：两个重要极限的证明及运用。
教学难点：两个重要极限的证明及运用。
教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。
教学程序：
一关于函数极限的性质
１）性质１－性质４常用于说明函数极限的一些性质。
例１． 设f(x)0，limf(x)
A，证明：limxx0xx0例２． 设limf(x)A，limg(x)B.（1）若在某U0(x0)内有f(x)g(x)，问是否有AB？xx0xx0
为什么？（2）证明：若AB，则在某U0(x0)内有f(x)g(x).２）性质５－性质６（迫敛性、四则运算）常用于计算。
x21x2121Ｐ51： １: （１）lim2(sinxcosxx)2；（２）lim2；（３）lim2；
x0x122xx12xx13x22
2(3x6)70(8x5)203708204（６）（８）lim.；9090xx(5x1)53２: limxsinx0.xx2
4sinx1.例 limx0x
二、关于归结原则(Heine定理)
１． 定理的内容:
２． 定理的意义:
３． 定理的用途:
１） 说明极限不存在，如limsinx01的极限不存在； x
２） 利用数列极限的性质证明函数极限的性质。
例１． 证明函数极限的唯一性。
例２． 证明函数极限四则运算。
例３． 证明单调有界定理。
３） 利用函数极限求数列极限。
例４．
例５． limnsinn1.nlim(1n112).nn
４． 归结原则有不同的叙述（在不同的极限形式下），要注意灵活应用。
三、关于单调有界定理
１． 内容。
２． 意义。
四、关于Cauchy准则
１． 内容
２． 意义
３． 用途：
１） 证明limf(x)存在； x
２） 证明limf(x)不存在。如limsinxx1。 x
证明中用到归结原则，数列极限的Cauchy准则。
§４ 两个重要的极限
sinx1的证明 x0x
sinx1的应用 二 limx0x
sinx例１． 求lim.xx
1cosx例２． 求lim.x0x2一 lim
limnsin1，直接利用limsinx1是不严格的；注：利用归结原则，可求数列极限。如求limx0nn1xn
n
sinx，1故取xn,(n1,2,，)但已知li则xn0(n)，从而由归结原则x0xn
1sin0.limf(xn)limnnn
tgx例３． 求lim.x0xsin
11三 证明lim1e或lim1e.0xxx
四 应用
例１． 求lim12xx0
x1x.例２． 求lim1x.x0
例３． 求lim(1n11n2).nn
练习：Ｐ３９ ４ (1
1n)为递增数列。 n1
nＰ３９ ９ (1)n1为为递减数列。
Ｐ５５ ２ 设f为定义在[a,)上的增（减）函数，证明：limf(x)存在f在[a,)上x
有上（下）界。
推荐第8篇：极限存在准则,两个重要极限
西南石油大学《高等数学》专升本讲义
极限存在准则 两个重要极限
【教学目的】
1、了解函数和数列的极限存在准则；
2、掌握两个常用的不等式；
3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】
1、夹逼准则；
2、单调有界准则；
3、两个重要极限。
【重点难点】
重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
引入：考虑下面几个数列的极限
1000
1、limni
1n1ni1
ni221000个0相加，极限等于0。
2、limni1无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、lim
xn，其中xn=n
x1=
对于
2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ如果数列xn,yn及zn满足下列条件:
(1)ynxnzn
n(n1,2,3)n(2)limyna,limzna,
n 那么数列xn的极限存在, 且limxna.证：yna,zna,0,N10,N20,使得
当nN1时恒有yna, 当nN2时恒有zna,
取N=max{N1,N2},上两式同时成立,即ayna, azna, 当n>N时，恒有 aynxnzna,即xna成立, limxna.n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则Ⅰ′ 如果当xU(x0,) (或xM)时,有
o
(1)g(x)f(x)h(x),
(2)limg(x)A,limh(x)A,
xx0(x)
xx0(x)
那么limf(x)存在, 且等于A.
xx0(x)
准则 和准则 \'称为夹逼准则。
【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出yn与zn，并且yn与zn的极限是容易求的。
例
1求n
+
++
解：
n
11n
++
n
lin
1,
又lim
n
nnn
lim 1,lin
n1
1n
2由夹逼定理得：lim(
n
1n1
1n2
1nn
)1.
【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用
2.单调有界准则
准则Ⅱ单调有界数列必有极限.
加的；如果数列xn满足条件x1x2x3xnxn1，就称数列xn是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。
几何解释:
如果数列xn满足条件x1x2x3xnxn1，就称数列xn是单调增
例2
证明数列xn=【分析】已知xn1
23nn1
A
n重根式）的极限存在
2xn，x12，求limxn。首先证明是有界的，然后证明是
n
单调的，从而得出结论
证：
1、证明极限存在 a) 证明有上界
x12，设xnxn12，则xn12xn2
2所以对任意的n，有xn2 b) 证明单调上升
xn1xn2xnxnxnxnxn2xnxnxnxnxn0
所以limxn存在
n
2、求极限
设limxnl，则l
n
2l，解得l2（l1舍去）
所以limxn=
2n
二、两个重要极限
1.lim
sinx
1x0x
如右图所示，设单位圆O,圆心角AOBx,(0x
)，
作单位圆的切线，得ACO.扇形OAB的圆心角为x,OAB的高为BD,于是有sinxBD,
x弧AB,
tanxAC,
sinx
1,上式对于x0也成立.
sinxxtanx, 即cosxx2xx2x
2当0x时,0cosx1cosx 2sin,2()
2222
sinxx2
1.lim0, lim(1cosx)0,limcosx1, 又lim11, lim
x0x0x0x0x02x
例3求下列极限 （1）lim
1-cosx
.
x®0x2
2sin2
解：原极限=lim
x®0
xxx
sin2sin
1lim()2 112 1.1lim
222x0(x)22x0xx2
22
（2）limxsin
x
x
解：原极限=lim
1siny
=1（令y=）
y0xy
（3）lim
x
sinx x
解：原极限=lim
sin(x)1； xx
1x1n
2.lim(1)e，lim(1x)xe，lim(1)e；“1”型
xnx0xn
【说明】
（1）上述三种形式也可统一为模型lim1x
(x)0
(x)
e
（2）第二个重要极限解决的对象是1型未定式。 例如，lim2x
x1
2x1
lim1x1x1e2 x1
例4求下列极限 （1）lim(1-x
1x).x
x
解：原极限=lim[(1+
1-x-1
] lim
x-x
11
.xe(1)
x
x2
（2）lim
xx3
5解：原极限=lim1xx3
x
x35x
5x
3=e
5xxx3lim
=e
5【补充】“1”型计算公式：lim1f(x)
xx0
g(x)
e
xx0
limg(x)f(x)
其中xx0时，f(x)0,g(x)。
证明：lim1f(x)
xx0
g(x)
limeg(x)In1f(x)exx0
xx0
limg(x)In1f(x)
e
xx0
limg(x)f(x)
例5求下列极限
（1）lim(1tanxsinx)
x0
x
【分析】是幂指数函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式
x
解：lim(1tanxsinx)=e
x0
1x
tanxsinxx0xlim
=e
sinx(1cosx)
x0xcosxlim
=e
x3
x02xlim
=1
（2）lim(cosxsinx)
x0
【分析】是幂指函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式。
21
2x
12x
sin2xx02xlim
解：原极限lim(cosxsinx)
x0
lim(1sin2x)
x0
ee。
（3）lim(
x
x2x
) x3
【分析】是幂指数函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式，但它不是标准型，通过“加1减1”变成标准型。
5xxlim
lim(1)=ex3e5 解：原极限=xx3
【思考题1】设有k个正数a1，a2，„，ak，令a=max{a1，a2，„，an}，求
nn
（“大数优先”准则）。 lima1na2ak
nn
ana1na2akananankanka
5x
n
解：a
nnn
而limkaa，所以由夹逼准则：limna1a2aka n
n
【思考题2】设x00，xn1
12
(xn)，求limxn
n2xn
212
2，所以数列{xn}有下界。 (xn)xnxn2xn
解：显然 xn0。因为xn1
121xn2xn
又因为xn1xn(xn)xn0，所以数列{xn}单调下降，即
2xnxn22xn
n
limxn存在。设limxn=l，则l
n
12
(l)，解得l2，所以limxn=2
n2l
【思考题3】求limcos
n
xxx
cos2cosn； 222
解：原极限=lim
n
sinx2nsin
x
2n
lim
sinx
1(x0)
nx
【思考题4】求极限lim39
x
x
1xx
解：lim39
x
x
1xx
lim9
x
1xx
11
x1 9lim1x
x33
x
3x
13x
9e9
n
【课堂练习】求 lim
i
n
2
in
ni
。
1
解：
n(n1)212n
n2nnn2nnn2nnn2
nn
?
12n2+n+1n2+n+2++n
n2+n+n
?
12nn(n+n2+n+1
n2+n+1++n2+n+1=1)2
n2
+n+1
而n(n1)21n(nlimn2nn2，
limn1)2nn2n112
所以 原极限1
【内容小结】 o
1、夹逼准则
当
xU(x0,)时，有
f(x)g(x)h(x)xlimxf(x)A=limh(x)，则lim0
xx0
xxg(x)A。
2、单调有界准则
（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。
3、两个重要极限（1）lim
sinx
x0x
1
(x为弧度）；
（2）lim(111
x
)x
e，limx0(1x)xxe
且
，
推荐第9篇：极限平均值的证明
1、设limanA，证明：limna1a2anA。nn
证明：因为limanA，所以对任意的0，存在N0，当nN时，有 n
|anA|，于是
|a1a2anaa2aNaN1anA||1A| nn
a1a2aNaN1annA| n
a1a2aNNAaan(nN)A||N1| nn
a1a2aNNA1|[|aN1A||anA|] nn|||
|a1a2aNNAnN| nn
因为lim|a1a2aNNA|0（注意分子为常数），所以存在N1N，当nn
aa2aNNAnN1时，有|1|，于是当nN1时，有 n
aa2aNNAnNa1a2anA||1|2， nnn|
有极限的定义有lima1a2anA。 nn
n
2、设limanA且an0,A0，证明：lim12nA。n
证明：因为a1a2ana1a2an， n
a1a2ann111aa2an1111， a1a2anna1a2ana1a2an， n所以111a1a2an
111aa2an1111lim， 又因为lim，利用第1题结论，有lim1
nnananAAnn
所以limn
111a1a2annA，同理lima1a2anlimanA，由夹逼定理nnn得
lima1a2anA。 n
3、设an0，且liman1A，证明：limanA。nnan证明：limanlimnnaaa1a2nlimnA。 1a1an1nan1
推荐第10篇：中心极限定理证明
中心极限定理证明
一、例子
高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.
如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且
那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.
二、中心极限定理
设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立
称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.
解:服从中心极限定理,则表明
其中.由于,因此
故服从中心极限定理.
三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理
在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则
用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,
由此即得
第一类问题是已知,求,这只需查表即可.
第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.
第三类问题是已知,求.
解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.
抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?
解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.
已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:
的随机变量.求.
解:
因为很大,于是
所以
利用标准正态分布表,就可以求出的值.
某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.
解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.
如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,
查表得,,故取.于是
取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.
根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.
解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.
由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有
其中,即有
四、林德贝格-勒维中心极限定理
若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有
证明:设的特征函数为,则
的特征函数为
又因为,所以
于是特征函数的展开式
从而对任意固定的,有
而是分布的特征函数.因此,
成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.
设有个数,它们的近似数分别是,.,.令
用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,
以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有
设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.
证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有
由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.
作业:
p222EX32,33,34,3
5五、林德贝尔格条件
设为独立随机变量序列,又
令,对于标准化了的独立随机变量和
的分布
当时,是否会收敛于分布?
除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时
(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有
(2)若是离散型随机变量,的分布列为
如果对于任意的,有
则称满足林德贝尔格条件.
以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.
证明:令,则
于是
从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有
这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.
六、费勒条件
设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.
七、林德贝尔格-费勒中心极限定理
引理1对及任意的,
证明:记,设,由于
因此,,其次,对,
用归纳法即得.由于,因此,对也成立.
引理2对于任意满足及的复数,有
证明:显然
因此,
由归纳法可证结论成立.
引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地
证明定义随机变量
其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.
林德贝尔格-费勒定理
定理设为独立随机变量序列,又.令,则
(1)
与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.
证明:(1)准备部分
记
(2)
显然(3)
(4)
以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)
这时
因此林德贝尔格条件化为:对任意,
(6)
现在开始证明定理.设是任意固定的实数.
为证(1)式必须证明
(7)
先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:
(8)
事实上,由(3)知,又因为
故对一切,
把在原点附近展开,得到
因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有
(9)
这时
(10)
对任意的,只要充分小,就可以有
(11)
因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有
(12)
因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.
(2)充分性
先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,
(13)
右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.
其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,
当时,
当时,
因此
(14)
对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.
(3)必要性
由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,
(15)
上述被积函数的实部非负,故
而且
(16)
因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得
故林德贝尔格条件成立.
八、李雅普诺夫定理
设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有
则对于任意的,有
第11篇：如何证明极限不存在
如何证明极限不存在
反证法
若存在实数L，使limsin(1/x)=L，
取ε=1/2，
在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，
②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，
使|sin-L|
和|sin-L|
同时成立。
即|1-L|
这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。
反证法：
一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在
假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)
矛盾
所以原命题成立
令y=x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^3-x^2/x^2=-1
两种情况极限值不同，故原极限不存在
2答案：首先需要二项式定理：
(a+b)^n=∑C(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)
用数学归纳法证此定理：
n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：
(a+b)^n1=∑C(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)
则，当n=n1+1时:
式二两端同乘(a+b)
*(a+b)=*(a+b)
=(a+b)^(n1+1)=∑C(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(据乘法分配律)
因此二项式定理(即式一成立)
下面用二项式定理计算这一极限：
(1+1/n)^n(式一)
用二项式展开得：
(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：
(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)
当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。
第12篇：极限的计算、证明
极限的论证计算，其一般方法可归纳如下
1、直接用定义N,等证明极限
0例、试证明limn1n
证：要使0，只须n，故
11nN0，N，，有10 n1n1
2、适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限
an
0，a0例、证明：limnn!
证：已知a0是一个常数
正整数k，使得ak aaa0 ，n n!n!k!k1nk!nk!nanakaaakk1
ak11，当nN时，有 0,Nk!
an0 n!
3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限
例、求limn352n1 2462n解：1352n13572n11462n12462n1 2462n2462n22n352n12n1352n14n
1352n11 2462n4n2
两边开2n次方：
11352n11211
1
2462n4n22n
1352n11
2462n由两边夹：limn
4、利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问
题
例、设Snl0n，p0为常数，求证：Snln
p
p
证：0SnlSnl0 ，得 Snln记 Snln，其中 n0n
n
再记Snlnl1l
p
p
l1n，其中nn0n l
则有Snl1np。 若取定自然数Kp，则当n1时1n1np1n
K
K
l1nl1npSnl1n
p
K
p
p
p
K
由两边夹得证。
5、通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易
求极限
例、求极限limsinn21
n
sinnn21n解：limsinn21lim
n
n
1sinn1n lim1sinlimn
n
n
2
n1n
n
0
6、换变量后利用复合函数求极限法则求极限例、求极限lim
x0
1x
x
1K
1
，其中K是自然数
解：令 y1x1
当x1时，有 1x1x1x，所以x0y0利用复合函数求极限法则可得lim
x0
1K
1K
1x
x
1K
1
lim
y0
y
1yK1
lim
y0
y
Ky
KK1y2yK
1 K
7、进行恒等变形化成已知极限进行计算
xx2
例、lim
1cosx2sin2sinx0x2limx0x2
lim1x021 x22
8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限例、求极限lim
1cosx
x0
1cos
x2
解：1cosx～12x2，1cosx2～12x
2
x0
12
lim1cosx
x
x01cosxlimx01x24 222
9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限例、x1xn
n1
x
，n1,2,，x1a0 n2
证明：limn
xn存在，并求此极限。证明：xn0x1n1
xxn21xn
2 n2xnx1x
2x2
nn1xnnx2xn2x0，xn1xn
nn
且 xn2，limn
xn存在令 llimxn，有 l1ln
l2
，l22，l2
10、利用海涅定理解决极限问题
例、试证明函数fxsin1x
当x0时极限不存在证：取x1n
，yn
2n2n
0 n
02
而 fxn1，fyn0，得证
11、把求极限问题化为导数问题计算例、求极限lim
1x
1K
1
x0x，其中K是自然数
1解：lim
1xK
1
x0
x
1
xK\'1x1K
12、利用洛必达法则求极限
例、limtgx2x
x
0解：令Alimtgx2x
x
0lnAlnlimtgx2xlimlntgx2x
x
2
0x2
0
lim2xlntgxlimlntgx
sec2xx
2
0x2
0
2x1
lim
x
0
22x2
tgx
lim12x2
142xx202sinxcosx2lim0x20sin2x
所以limtgx2x
Ae01 x
0
13、把求极限的表达式化为积分和的形式，用定积分进行计算
例、设Sn
1n11n21
2n
，求limnSn解：S111
n11nn1n22n，lim
S11ni1n1in01x
ln2 n
14、利用第一积分中值定理处理定积分的极限问题
例、求lim
xn
n
01xdx解：由第一积分中值定理
1
xn1
01xdx
1n
n0
xdx
11
，0n1 nn1
所以lim
xn
n
01xdx0
15、利用收敛级数的必要条件求极限
例、求xn
limnn!
解：已知指数函数的幂级数展开式x
xn
e!
对于一切xR收敛n0n而收敛级数的一般项趋于0，故得lim
xn
nn!
0
16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限
例、limxx2ln1
x
1x
解：xx2
ln11xxx2111011o1
2x2xx2x
2x2
原式
1、利用柯西收敛准则处理极限问题
17
例、用Cauchy收敛准则证明xn1证:取00,N0,任取nN,pn,有
xnpxnx2nxn
11
2n12n3
1135
无极限.2n1
15
1nn1
.4n14n14n4
故由Cauchy收敛准则知,xn为发散数列.
第13篇：定义证明二重极限
定义证明二重极限
就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A
关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0
利用极限存在准则证明：
(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2
故(Inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2
且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.
对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a
同理可求x0
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第14篇：极限不存在的证明
不如何证明极限不存在
一、归结原则
原理:设f在U0(x0;\')内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于
xx0
U(x0;)且以x0为极限的数列xn极限limf(xn)都存在且相等。
\'
n
例如：证明极限limsin
x0
1x
不存在
12n
证：设xn
1n
,xn
2
(n1,2,)，则显然有
xn0,xn0(n)，si由归结原则即得结论。
00,si11(n)xnxn
二、左右极限法
原理：判断当xx0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)arctan(因为limarctan(
x0
1x
)
当x
0
时的极限不存在。
1x)
1x
)
2
x=0，limarctan(
x0
2
，limarctan(
x0
1x
)limarctan(
x0
1x
)，
所以当x0时，arctan(
1x
)的极限不存在。
三、证明x时的极限不存在
原理：判断当x
时的极限，只要考察x与x时的极限，如果两者
相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)ex在x
x
时的极限不存在
x
x
xxxx
因为lime0，lime；因此，limelime
x
所以当x
四、柯西准则
时，ex的极限不存在。
0\'
原理：设f在U(x0;)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：任给
xx0
0
，存
在正数()，使得对任何x,xU0(x0;)，使得f(x)f(x)0。 例如：在方法一的例题中，取01，对任何0，设正数n
x1
n,x1
n1，令
2即证。
五、定义法
原理：设函数f(x)在一个形如(a,)的区间中有定义，对任何AR，如果存在
00，使对任何X0都存在x0X,使得f(x0)A0,则f(x)在x
x时没有极限。 例如：证明limcosx不存在
设函数f(x)cosx，f(x)在(0,)中有定义，对任何AR，不妨设A取0120,，于是对任何0，取00 反证法（利用极限定义） 数学归纳法
第15篇：数列极限的证明
例1 设数列xn满足0x1,xn1sinxnn1,2,。 （Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；
n
xn1xn（Ⅱ）计算lim。 n
xn
解 （Ⅰ）用归纳法证明xn单调下降且有下界， 由0x1，得
0x2sinx1x1，
设0xn，则
0xn1sinxnxn，
所以xn单调下降且有下界，故limxn存在。
n
记alimxn，由xn1sinxn得
x
asina，
所以a0，即limxn0。
n
（Ⅱ）解法1 因为
sinxlimx0
x
1xlime
x0
1sinxlnx2x
lime
x0
1cosx1
2xsinxx
xsinx6x2
xcosxsinx
lime
x0
2x3
lime
x0
e
16
又由（Ⅰ）limxn0，所以
n
1xn
xn1sinxnxn2
limlimnnxxnn
sinx
limx0x
解法2 因为
1xxe
6
sinxx
sinxx
sinxx1x
xsinxx
x3
，
又因为
limsinxx1sinxx,lim1x0x36x0x
xnxsinxxe，
sinx6所以lim， ex0x1
故
11xlimn1nxnxnsinxnlimnxn
sinxlimx0xxn1x e1
6.
第16篇：数列极限的证明
数列极限的证明
X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限
求极限我会
|Xn+1-A|
以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|
|Xn-1-A|
……
|X2-A|
向上迭代，可以得到|Xn+1-A|
2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√=√5>x(1);
设x(k+1)>x(k)，则
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1
设x(k)
x(k+1)=√
3当0
当0
构造函数f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，则：t>
1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
则：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，对于数列n*a^n，其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明：
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。
n/(n^2+1)=0
√(n^2+4)/n=1
sin(1/n)=0
实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了
第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行
第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)
第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0
lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
第17篇：数列极限的证明
数列极限的证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限 求极限我会
|Xn+1-A|
|X2-A|
①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则
x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1
x(k+1)=√[2+3x(k)]
1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x\'/(t^x)\'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞
(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞
(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞
(4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。
第18篇：ln2极限的证明
111()ln2.证明：limnn1n22n
Pf：①利用积分放缩，再用迫敛性：
1 首先，观察图像 ynx
S1是以1和其中，
21n11S2dx0nx为边长的矩形的面积，
11，S31nxdx，显然有S2S1S3，因此有
1ln(n2)ln(n1)ln(n1)lnn，
n11ln(n3)ln(n2)ln(n2)ln(n1)同理， n21ln(n4)ln(n3)ln(n3)ln(n2)…
n31ln(2n1)ln2nln2nln(2n1)，
2n所以，
n11ln(2)ln(2n1)ln(n1)ln2nlnnln2，
n1i1ni111()ln2.由夹逼准则得limnn1n22n证毕
②利用幂级数展开以及收敛数列的子列收敛于同一极限： 首先，在(1,1]上，有以下的幂级数展开：
(1)ln(x1)nn1n112(1)xxx2nnn1xn.令x1，有
1(1)k11(1)k1ln21lim[1].k2k2kk1k11(1)1(1)令ak12k，那么数列{ak}{12k}收敛于ln2.现在，取数列{ak}的偶数项组成数列{bn}n1，即
11b1a21，
2211111b2a41，
23434…
1(1)bna2n1 22n111122n12n 111111(1)2()
22n12n242n11111(1)(1)
22n12n2n1111 n1n22n12n2n1由于数列{bn}n1是数列{ak}的一个子列，因此
limbnlimakln2.
nk证毕
第19篇：一个重要_数列的极限存在问题_的证明总结完成
一个重要数列的极限存在问题的证明总结
摘要：用两种方法对一个重要的数列的极限存在问题的证明总结，这个重要的数列是{yn=(1+1n)} n
关键词：数列，极限，存在问题
在《数学通报》，2006.6一期中，有一篇《一个重要的极限的证 明》。对数列{yn=(1+)n}的极限的存在问题给出了一种新的简明证 法。下面，我对这个极限的存在问题的证法进行总结。
n
1n*(n1)1n*(n1)(n2)3*2*11yn=1+n*+*2++ nn2!n!nn
11112112=1+1+(1-)+(1-)(1-)++（1-）（1-）2!nnnn!nn3!n1（1-） n1n证法一：对{yn=(1+)n}应用二项式展开，可得：
yn-1=1+1+
1-1111211(1-)+(1-)(1-)++(1-)(2!n13!n1n1n1(n1)!2n)(1-) n1n1
11但，(1-)﹤(1-) nn1
22(1-)﹤(1-) nn1
n1n1 （1-）﹤（1-） nn1
所以,yn中的每一项都小于yn+1中的相应项,而yn+1中还多出最后一项.且,这项显然大于零,因此,yn﹤yn+1故{yn}是单调
增加数列.现在来证明{yn}的有界性,因 yn的展开式的每一项括号内的因子都是小于1的,所以有, 0﹤yn﹤1+1+
111111+++﹤1+1+ +++2!3!n!1*22*3(n1)*n
=1+1+（1-）+（-）++（=1+1+1-
1n
12112311-） n1n
)ne 存在。 即,{yn}为有界数列,根据夹值定理, lim(1n
证法二:预备知识：基本不等式——a1*a2*an(
n
1n
a)(ai0)
ii1
n
n
11
令xn=(1+ )n则由基本不等式——a1*a2*an(
nn111nnn11
（n+1+*n）]n+1 [n1n1n+1
=(1+)
n1
a)
ii1
n
n
得，
xn=1*（1+）（1+）（1+）
=xn+1
于是，数列{xn}单调不减
令zn=（1+）n+1则再由上面的不等式有：（
n1n*(n1)n+2
）n+1[(1+)] n1n1n2
n2n+2 =()n1
1n
又由于幂级数的运算法则——“底数颠倒，指数反号，其值不变”，有， yn =（1+）n+1 >=(
nn2n+2
) n1
= yn+1
于是，对任意给定的 n 属于N,均有yn4 ，又由于
xn=(1+
1n1
)（1+）n+1= yn+1 nn
故数列{xn}单调不减且有上界（上界为4） 根据数列极限的 存在准则，数列{xn=(1+
1n
) }极限存在 n
由于这个极限首先被瑞士科学家欧拉（L.Euler
)ne 1707-1783）记为e,因此有：lim(1n
1n
参考文献：陈传璋等编，《数学分析》（第二版）上册，高等教育出版
社，1983年7月 《数学通报》 2006年6月
第20篇：极限是一个重要的概念
极限是一个重要的概念
极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。
首先介绍刘徽的\"割圆术\",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1
数列极限：
设是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，an无限接近（或趋近）于a，则称数列收敛，a称为数列的极限，或称数列收敛于a，记为liman=a。或：an→a，当n→∞。
数列极限的性质：
1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；
2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。
几个常用数列的极限：
an=c 常数列 极限为c
an=1/n 极限为0
an=x^n 绝对值x小于1 极限为0
函数极限的专业定义:
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0
|f(x)-A|
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
函数极限的通俗定义：
1、设函数y=f(x)在(a,+∽)内有定义，如果当x→+∽时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∽时函数f(x)的极限。记作lim f(x)＝A ，x→+∽。
2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ，x→a。
函数的左右极限：
1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a.2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0+limf(x)=a.函数极限的性质：
极限的运算法则（或称有关公式）：
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )
lim(f(x))^n=(limf(x))^n
以上limf(x) limg(x)都存在时才成立
lim(1+1/x)^x =e
x→∞
lim(1+1/x)^x =e
x→0
无穷大与无穷小：
两个重要极限：
1、lim sin(x)／x ＝1 ，x→0
2、lim （1 + 1／x）^x ＝e ，x→0 （e≈2.7182818...，无理数）
举两个例子说明一下
一、0.999999……＝1？
谁都知道1/3＝0.333333……，而两边同时乘以3就得到1＝0.999999……，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。
二、“无理数”算是什么数？
我们知道，形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯。
结合上面的一些困难，人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就产生了数列极限的思想。
类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，哲学才是真正的发展动力，但物理起到了无比推动作用），比如瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是0÷0，这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点切线斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出。真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师，这对我们今天中学教师界而言，不能不说是意味深长的。几个常用数列的极限
an=c 常数列 极限为c
an=1/n 极限为0
an=x^n 绝对值x小于1 极限为0
真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师.所谓“定义”极限，本质上就是给“无限接近”提供一个合乎逻辑的判定方法，和一个规范的描述格式。这样，我们的各种说法，诸如“我们可以根据需要写出根号2的任一接近程度的近似值”，就有了建立在坚实的逻辑基础之上的意义。
举两个例子说明一下
一、0.999999……＝1？
谁都知道1/3＝0.333333……，而两边同时乘以3就得到1＝0.999999……，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。
二、“无理数”算是什么数？
我们知道，形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯。
结合上面的一些困难，人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就产生了数列极限的思想。
类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，物理可能才是真正的发展动力），比如瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是0÷0，这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出。
