数学证明方法（精选多篇）

推荐第1篇：数学证明方法

数学证明方法

摘要：数学证明是数学学习中非常重要的一部分，数学证明有核实作用，理解作用，发现作用和思维训练作用，数学证明常用的方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等等。

关键词：数学证明；意义；方法

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它的应用非常广泛，是学习现代科学技术必不可少的基础学科。学习数学，就离不开数学证明，这是由数学证明在数学发展中所起的作用决定的。什么是数学证明呢？许多人认为数学证明是根据相应的公理，法则等来说明结论是正确的一种活动。数学证明是数学学习中非常重要的一部分，在不同的情境中，数学证明有不同方法。

数学证明的方法

（一）综合法和分析法

综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到要证的结论的方法。分析法则是从要证的结论出发，一步一步的搜索下去，最后达到命题的已知条件的方法。

1cossin

例1 求证sin=1cos

sin2sin

方法1： 左边 =sin(1cos)=1cos=右边

所以得证。

sin(1cos)sinsin(1cos)

2方法2：右边=1cos=(1cos)(1cos)=1cos sin(1cos)1cos

sin2= =sin=左边

所以得证。

2sin2sincos21cos2sincos22=tan2=方法3：sin=2cos

2sin=1cos

所以得证。

1cossin

方法4：要证sin=1cos只需要证(1cos)(1cos)sinsin

22即要证1cossin，显然，这个命题成立，故得证。

上述例题的四种解法中，前三种是用综合法解的，而第四种解法是用分析法解的。在证明的过程中，我们用到了同角三角函数的关系，半角公式等等。所以，通过数学证明我们不仅理解了这道命题的正确性，还知道了为什么正确，同时还增进了对同角三角函数的关系，半角公式等等的理解。

从例1我们可以看出，综合法的特点是从“已知”逐步推向“未知”，其逐步推理，实际是要寻找它的必要条件。分析法的特点是从“需知”逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件。

综合法和分析法各有其优缺点。从寻求解题思路来看，综合法是由已知的寻找未知的，即直接由条件证明结论。但是由条件容易导出许多其它的结论，因而不容易有效。分析法由未知的推向已知的，即由结论慢慢推出所需要的条件，这样比较容易解决问题。就表述证明的过程而论，综合法的形式比较简洁，条理清晰，分析法由于倒过来叙述，因而比较繁琐，文辞冗长。这也就是说，分析法有利于思考解决问题，综合法宜于表达问题。因此在解题时，可以把分析法和综合法结合起来使用，先以分析法为主，寻找解题思路，再用综合法有条理的表述

证明过程。

(二)反证法

通过证明论题的否定命题不真实，从而肯定论题真实性的方法叫做反证法。

反证法的一般步骤如下：

假设命题的结论不成立，即结论的否定命题成立。

从否定的结论出发，逐层进行推理，得出与公理或前述的定理，定义或题设条件等自相矛盾的结论，即说证明结论否定不成立。

据排中律，最后肯定原命题成立。

反证法有归谬法与穷举法两种。在应用反证法时如果与原命题结论相矛盾的方面只有一种可能情况，只要把这种情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫做归谬法。如果与原命题相矛盾的方面不止一种情况，就必须把矛盾方面的所有可能的情况一一驳倒，才能肯定结论成立，这种反正法叫做穷举法。

例 2求证2是无理数。 p2p

2qq2证明：假设是有理数，且为既约分数，（p>0,q>0），则=2，

p22q2，由此可见p是偶数，记为2r。同理又可得q也是偶数，这p与q是既约分数相矛盾。从而2是无理数。 在这道题目中，2只有两种可能，是无理数或者不是无理数。所以，命题的否定方面只有一种可能情况。因而，我们可以假即设其为有理数，然后推出矛盾证得该题。

例 3在四边形ABCD中，

BADBCD。 AC和BD相交于点O，已知OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：如图，假设四边形ABCD不是平行

四边形，则由于OB=OD，所以必有OAOC，即OAOC。

若OA

如果OAOC，同理可证，这也是不可能的。

所以，四边形ABCD是平行四边形。

在该题中，命题的否定方面有两种可能OAOC。所以，在利用反证法证明时要把这两种否定情况都驳倒才可以。

通过这道题的证明，可以增进人们对平行四边形特征的理解，使自己的思维更加严谨，缜密。

反证法是一种重要的证明方法，不但在初等数学中有很多的应用，就是在高等数学中也有着很重要的应用，数学中的一些重要的结论，从最基本的性质，定理到某些难度较大的世界难题，往往是用反证法得到的。

在证明该题的过程中，用到了勾股定理，全等三角形的知识。所以，通过该题，也可以使人们加强对勾股定理以及三角形全等方面的知识的理解。

需要指出的是，同一法和反正法的适用范围是不同的，同一法的局限性较大，通常只适用于符合同一原理的命题，反证法则普遍适用，对于能够用同一法证明的命题一般都能用反证法证明。

（三）数学归纳法

我们采用记号p(n)表示一个与自然数n有关的命题，把它们都写出来 p(1)，p(2),p(3)„„

事实上，如果满足下面两个条件：

（1）p(1)成立（即当n1时命题成立）

（2）只要假设p(k)成立（归纳假设），由此就可得p(k1)也成立（k是自然数）就能保证这一大串（无数多个）命题p(1)，p(2),p(3)„„都成立。

我们把此叫做数学归纳法原理。

根据数学归纳法原理，我们在证明时可以相应的按照以下两步进行：

（1） 验证p(1)是成立的。

（2） 假设p(k)成立，证明出p(k1)也成立。

由（1），（2）可得对于任意的自然数n，命题p(n)都成立。

这是数学归纳法最基本的形式，通常称作第一数学归纳法。

例5 证明1+3+5+„„+(2n1)=n 2

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1=1等式成立。 2

2（2） 假设当n=k（k1）时等式成立，即1+3+5+„„+(2k1)=k

则n=k+1时1+3+5+„„+(2n1)=1+3+5+„„+(2k1)+[2(k1)-1] =1+3+5+„„+(2k1)+(2k1)

2=k+(2k1)=(k1) 2

所以，当n=k+1时，等式也成立。

由（1），（2）可知，对于任意自然数n，等式都成立。所以得证。 总之，一个数学命题往往可以有不同的思路来思考证明，思路不同，所产生的影响不同，证明方法也不同，对于不同的数学命题的证明也可以有许多不同的思路，不同的方法。

参考文献

[1] 李士锜PME：数学教育心理学华东师范大学出版社

[2] 蒋文蔚杨延龄数学归纳法北京师范大学出版社

[3] 侯敏义数学思维与数学方法论东北师范大学出版社

推荐第2篇：数学证明方法

数学证明方法

1 直接证明法

从正面证明命题真实性的证明方法叫做直接证法．凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法．它是中学数学中常用的证明方法．综合法、分析法、分析综合法、比较法。

（1）综合法：从已知条件入手，运用已经学过的公理、定义、定理等进行一步步的推理，一直推到结论为止．这种思维方法叫综合法．这种方法是“由因导果”，即从已知到可知，从可知到未知的思维过程．

（2）分析法：从问题的结论入手，运用已经学过的公理、定义、定理，一步步寻觅使结论成立的条件，一直“追”到这个结论成立的条件就是已知条件为止．可见分析法是“执果求因”的思维过程，它与综合法的思维过程相反．分析法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆。

分析法的步骤为未知需知已知。在操作中“要证”、“只要证”、“即要证”这些词语也是不可缺少的。分析法的书写形式一般为“因为......，为了证明......，只需证明......，即......，因此，只需证明......，因为......成立，所以‘......（结论）’成立”。 （3）分析综合法：把分析法和综合法“联合”起来，从问题的两头向中间“靠拢”，从而发现问题的突破口．这种思维方法叫做分析综合法．对于比较复杂的题目，往往采用这种思维方法．在证明的过程中，往往分析法、综合法常常是不能分离的。分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。

（4）比较法

2 间接证明法

不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否定论题的不真实，或者证明它的等效命题成立，从而肯定论题真实性的证明方法，叫做间接证明法．反证法、同一法、归纳法（不完全归纳法、完全归纳法、数学归纳法）、类比法、换元法、放缩法、判别式法、函数法 （1）反证法：反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设（即结论的否定成立）；

第二步，归谬：从否定结论出发，逐层进行推理，得出与公理或前述的定理、定义或题设条件，或与临时假设等自相矛盾（即说明结论不能否定）；

第三步，结论：根据排中律，说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 （2）同一法：两个互逆或互否的命题不一定是等效的，只有当一个命题的条件和结论都唯一存在，且它们所指的概念是同一概念时，该命题与其逆命题才等效，这个原理叫做同一原理．对符合同一原理的命题，当直接证明有困难时可以改证与它的等效的逆命题，这种证明方法叫做同一法．

1当命题的条件与结论所含事项都唯一存在时，先作出符合命题结论的所有图形；同一法的步骤：○2证明所作图形符合已知条件；3根据唯一性，4最后肯定○○确定所作图形或所作图形与已知图形重合；○原命题成立．

（3）不完全归纳法：从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫做普通归纳法。

（4）完全归纳法：是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。

（5）数学归纳法

推荐第3篇：数学证明题证明方法

数学证明题证明方法（转）

2011-04-22 21:36:39|分类：|标签： |字号大中小 订阅

2011/04/2

2从命题的题设出发，经过逐步推理，来判断命题的结论是否正确的过程，叫做证明。

要证明一个命题是真命题，就是证明凡符合题设的所有情况，都能得出结论。要证明一个命题是假命题，只需举出一个反例说明命题不能成立。证明一个命题，一般步骤如下：

（1）按照题意画出图形；

（2）分清命题的条件的结论，结合徒刑，在“已知”一项中写出题设，在“求证”一项中写出结论；

（3）在“证明”一项中，写出全部推理过程。

一、直接证明

1、综合法

（1）定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的特点：综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.

2、分析法

（1）定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法.（2）分析法的特点：分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

二、间接证明

反证法

1、定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2、反证法的特点：

反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.３、反证法的优点：

对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.

４反证法主要适用于以下两种情形：

（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；

（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形

推荐第4篇：几何证明方法(初中数学)

初中数学几何证明题技巧，归类

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。（三线合一）

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

*8.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.垂径定理

二、证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.相似三角形的对应角相等。

7.圆的内接四边形的外角等于内对角。

三、证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角(直角三角形

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。垂径定理

*11.利用半圆上的圆周角是直角。

四、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形 梯形的中位线平行于第三边，底边。

6.平行于同一直线的两直线平行。

五、证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

六、证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。

2.利用内外角平分线定理。

3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

一个图,你看着哪好像差根线,你就用铅笔描一下,分析一下有了这根线哪线角相等,哪相角互补之类的.不可以只盯着原图看.另外,看已知条件里,把它们标注在图里,看人家给这个条件,你可以知道什么,这个条件有什么用,可以由此推出什么.

从求证出发你就要想，这道题要求证这个，就要有.....这些条件，再看已知，有了这些条件了，噢，还差这个条件。然后就找条件来证明这个还差的条件，然后全部都搭配齐全了，就证出了题目了记住，做题要倒推走把已知的条件从笔在图上表示出来，方便分析而且你要牢牢记住一些定理，还有一些特殊角，特殊形状等等他们的关系当一些题实在证不出来时， 你要注意了，可能要添辅助线，比如刚才我说的还差什么条件，你就可以画一个线段，平行线什么的来补充条件，你下子你就一目了然了，不过有些很难的看出的辅助线就要靠你的做题的作战经验了，你还要认真做题。把这些牢牢记住，在记住老师教你们的公里定理些，你就已经成功大半了。

有心学习就不怕没希望提高！课上要稍微做些笔记，特别是自己有疑问的地方，课后的练习不一定非得全部做完，浪费宝贵的时间资源，但一定要及时。对于自己比较容易犯错的地方或记忆不牢的建议用小小的随身便携纸记录下来，想看的时候随时都可以看。对于比较典型的而自己又没掌握的题型则把它抄录在专用本子上，详细的写出解题步骤，还可以从中挖掘出许多的知识点，然后再找些近似题目自己独自解答，看看差距在哪里，并想办法解决。久而久之当本子厚了以后复习，也就基本可以不用看书仅仅看本子就行了，达到事半功倍的效果，希望你早日获得快乐学习方法！

推荐第5篇：027不等式证明方法数学归纳法

高二数学序号027 高二 年级班 教师 方雄飞学生

课题第二讲证明不等式的基本方法(5)数学归纳法

变式训练：（1）用数学归纳法证明：1+4+9+…+n=n(n1)(2n1)

2教学目标：

（1）知识与技能：数学归纳法不等式的原理，数学归纳法不等式的一般步骤，会用数学归纳法证明

简单的不等式.（2）过程与方法：培养学生观察分析的能力、猜想证明的能力、逻辑思维及推理的能力、，从而培

养学生的创造能力.同时注意渗透转化的数学思想.(3)情感态度价值观：培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神.教学重点: 用数学归纳法证明不等式的原理思路及步骤。 16

教学难点：证明过程中步骤完整性的掌握。 教学过程: 复习引入：

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

10.验证n取时命题( 即n＝n时命题成立) (归纳奠基） ；20.假设当n=k＋1时命题归纳递推）.30.由

10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题！(结论） 数学归纳法的实质是寻找一种用有限个步骤，就能处理完无限多个结论的方法。 数学归纳法的应用：

例1：用数学归纳法证明：n35n(nN)能够被6整除。

例2：证明贝努利（Bernoulli）不等式：

如果x是实数，且x>1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.教学小结：

2）用数学归纳法证明：1357(1)

n

(2n1)(1)n

n（3）证明: sinnnsin(nN)

（

课后作业：

1、观察下列式子：1

13,2

21

1152,2

23

31

1117

222

234

45、求证：

1115(n2,nN) n1n23n6

则可归纳出____.

2、用数学归纳法证明：135...(2n1)n2.3、用数学归纳法证明：

4、用数学归纳法证明：

427310n(3n1)n(n1)2

x2n1y2n1 能被xy整除。

(123...n)



111...1

n2n1.

能力提升：用数学归纳法证明：n1且nN

*

时，

111

22

n2



n1n

教学反思：

推荐第6篇：7数学证明的几种方法

2012 届 高 三 数 学 (理 科) 第 一 轮 复习——NO.7

数学证明中的几种常用方法

【本课目标】

会用演绎推理进行简单的推理,会用分析法、综合法、反证法和数学归纳法证明简单的命题。 【预习导引】

1、演绎推理是由

到

的推理。“三段；综合法是从

论”推理的一般模式包括

出发，以已知的为依据，逐步

，直到推出要证明的结论为止。而分析法是从问题的

出发，追溯

导致结论成立的条件，即

。反证法的步骤为

。数学归纳法是证明命题

。

P(n)(nn0,n0,nN)的一种方法，其证明步骤为

2、某同学准备用反证法证明如下一个问题：“已知a,b,c是互不相等的非零实数，求证：三个方程ax2bxc0，bx2cxa0，cx2axb0至少有一个方程有两个相异实根”，那么反设是

3、函数f(x)

。

2

22

的最大值_________________________.xyxy

a，则常数a______.2xyx2yx2y2xy

。

4、若x,y(0,)，恒有

5、在平面上，若n条直线将平面分成的区域最多为f(n)块，则f(n1)f(n)

6、已知数集Aa1,a2,an1a1a2an,n2具有性质P；对任意的

i,j1ijn，aiaj与ai两数中至少有一个属于A.则数集 1,3,4与aj

1,2,3,6具有性质P的集合为________________________.【三基探讨】

【典型练讲】

(ab)2(ab)2ab例

1、已知ab

0，试指出，的大小关系，并给出证8a8b

2明。

例

2、已知二次函数f(x)axbxc，

（1） 若f(1)0，试判断函数f(x)零点个数。

（2）若x1,x2R，且x1x2，f(x1)f(x2)，求证：x0(x1,x2)，使2f(x0)

1[f(1x)2成立f()].2x

例

3、给定实数m，且m1，设f(x)x11，xR且x， mx1m

（1）求证：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴；

（2）若an1f(an)，问是否存实数m，使得数列{an}成为等差数列？若存在，求an；若不存在，请说明理由。

例

4、已知数列{an}满足a1（2）求证: |an1an|

11，an1，（1）指出数列{an}的单调性，并证明； 1an212n1() 65

【学后反思】

推荐第7篇：证明方法

2.2直接证明与间接证明BCA案

主备人：史玉亮 审核人:吴秉政使用时间：2012年2-1

1学习目标：

1.了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法。了解间接证明的一种基本方法——反证法。

2.了解综合法和分析法的思考过程与特点，并会用两种方法证明。了解反证法的解题步骤，思维过程及特点。

重点：

1.对综合法和分析法的考查是本课的重点。应用反证法解决问题是本课考查的热点。

2.命题时多以考查综合法为主，选择题、填空题、解答题均有可能出现。反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。

B案

一、直接证明

1.定义：直接证明是从___________或___________出发的，根据已知的_________、________________，直接推证结论的真实性。

2.直接证明的方法：______________与________________。

二、综合法

1.定义：综合法是从___________推导到______________的思维方法。具体地说，综合法 从__________除法，经过逐步的___________，最后达到_______________。

 

 „ 

三、分析法

1.定义：分析法是从__________追溯到__________的思维方法，具体地说，分析法是从________出发，一步一步寻

求结论成立的____________，最后达到

_________或__________。



  „ 

四、反证法的定义

由证明pq转向证明prt,t与_________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定_________，推出___________的方法，叫做反证法。

预习检测：

1.已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（）

A.|xy||xy|≥2B.xyC .xy1xyD.|x||y|

ln2ln3ln5,b,c，则（） 23

5A.abcB.cbaC.cabD.bac 2.若a

3.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）

A.有两个内角是直角

B.有三个内角是直角

C.至少有两个内角是直角

D.没有一个内角是直角

4.abcd的必要不充分条件是（）

A.acB.bdC.ac且bdD.ac或bd

5.“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的反证法设为（）

A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数

C.自然数a,b,c中至少有两个是偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数

6.已知a是整数，a2为偶数，求证：a也是偶数。

C案

一、综合法

例1求证：12

3log19log1919

253log2

2.已知n是大于1的自然数，求证：log(n1)log(n2)

n(n1)

二、分析法

例2．求证

2变式突破： 已知a,b,c表示三角形的三边，m0,求证：

三、反证法：

例3．（1）证明：2不是有理数。

变式突破：若a、b、c均为实数，且ax2y

求证：a、b、c中至少有一个大于0.2abc ambmcm2,by22z3,cz22x6.

当堂检测：

1.“x

0”是“0”成立的（）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.非充分非必要条件 D.充要条件

2.设alog54，b(log53)2，clog45，则（）

A.acbB.bcaC.abcD.bac

3.设x,y,zR，ax111,by,cz，则a,b,c三数（） yzx

A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于

22224.若下列方程：x4ax4a30,x(a1)xa0，x2ax2a0至少有2

一个方程有实根，试求实数a的取值范围。

A案

1.A、B为△ABC的内角，∠A＞∠B是sinAsinB的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.若向量a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的（）

A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项的和，若a2a32a1且a4与2a7的等差中项为5，则S5=（） A.35B.33C.31D.29

44.定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x,yR)，f(1)2，则f(2)等于（）A.2B.3C.6D.9

5.分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的（）

A.充分条件B.必要条件C.重要条件D.既非充分条件又非必要条件

6.下面四个不等式：①abc≥abbcca；②a(1a)≤2221ba；③≥2； 4ab

④(a2b2)(c2d2)≥(acbd)2，其中恒成立有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.若x,y0且xy2，则1y1x1y1x和的值满足（）A.和的中至少xxyy

有一个小于2B.1y1x1y1x和都小于2C.和都大于2D.不确定 xxyy

8.已知、为实数，给出下列三个论断：

①0；②||

5；③|||个论断为结论，写出你认为正确的命题是______________。

9.设a0,b0,c0，若abc1，则

111≥______________。 abc

推荐第8篇：[数学论文]数学证明的意义与方法

[数学论文]数学证明的意义与方法

摘要：数学证明是数学学习中非常重要的一部分，数学证明有核实作用，理解作用，发现作用和思维训练作用，数学证明常用的方法有综合法与分析法，直接法与间接法，数学归纳法等等，随着数学的发展，还出现了计算机证明。

关键词：数学证明；意义；方法

数学证明是数学学习中非常重要的一部分，在不同的情境中，数学证明有不同的意义与方法。 1 数学证明的意义

1.1什么是数学证明

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它的应用非常广泛，是学习现代科学技术必不可少的基础学科。学习数学，就离不开数学证明，这是由数学证明在数学发展中所起的作用决定的。什么是数学证明呢？许多人认为数学证明是根据相应的公理，法则等来说明结论是正确的一种活动。比如证明三角形内角和是180，就是通过相应的公理和法则来证明的。我认为这个观点并不完整，它只是说出了数学证明的表面，我认为它是通过演绎推理的方式来证出的。也就是说，数学证明是根据相应的原理，法则，公式等，通过数学上的演绎推理来说明结论是正确的一种活动。

因为数学是一门演绎的科学，由于数学的本质及其组织以及构造方式的特点，决定了数学证明只能是一种演绎证明。由演绎证明的特点，又决定了数学证明具有很重要的意义。

1.2数学证明的意义

数学证明在数学学习过程中非常重要，在于数学证明的意义和作用，数学证明有下面四个主要的意义和作用：

1.2.1 核实作用——通过数学证明，可以核实一个命题的真假。

数学命题有真有假，在许多场合中，命题的真实性不是显然的，这时，要判断真假就需要借助于一些方法：观察，实验，数学证明等等。比如“两点之间线段最短”我们可以通过观察来看出它是真命题，通过实验的方法我们可以发现“三角形的内角和是180”这也是真命题。但是，这些方法并不严谨，因而没有说服力。而且，有许多命题通过观察和实验是无法论证的，比如“2是无理数”通过观察和实验就无法判断其真假。而数学证明通过引用一些真命题和特定的题设条件，经过严格的逻辑推理方法进行的，具有无可辩驳的说服力，可以核实一个命题的真假。

1.2.2 理解作用——数学证明有助于增进理解。

数学证明有助于增进理解包括增进对所证命题的理解以及在证明该命题过程中所用到的相关的数学知识的理解。同时，通过数学证明还可以使人们寻找新旧知识之间的联系，使人们获得的知识系统化。

证明一个命题的真假时，需要灵活的运用相应的公理，定理以及其它的条件。因而，通过数学 00

证明，在核实某个命题真假的同时，也增加了对证明过程中所涉及到的知识的理解。在证明某个命题的时候要用到另外的命题，那么，这些命题之间的一定有内在的联系，寻找它们之间联系的桥梁就是数学证明。同时，通过不断的数学证明，寻找到新旧知识之间的联系，使人们所学的知识有机的结合起来，从而趋于系统化。比如在证明梯形的中位线定理的时候，我们用到了三角形全等的判定定理（或推论），两直线平行内错角相等的定理以及三角形中位线定理等等。通过灵活的运用，可以加深对这些知识的理解。而且，在证明了梯形的中位线定理以后，我们可以发现：梯形的中位线定理和三角形的中位线定理有许多的相似之处，都存在平行和一半的关系。这样，就可以将这两个知识联系起来，使自己的知识趋于系统化。

1.2.3 发现作用——数学证明有助于人们获得新的体验，发现新的结论，新的知识。

在数学史上，有许多发现就是从数学证明开始的。瑞士数学家欧拉在解决“哥尼斯堡七桥问题”的时候发现这个几何问题无法用以前的几何学的方法解决，因为按照人们所熟知的几何理论，都是与长短、大小这些量有关，而七桥问题与量无关。欧拉通过研究证明了这是个不可能问题，并且提出了一个新的几何学分支——拓扑学。由此可见数学证明的对于人们发现新的东西是有很大的帮助的。

再比如，非欧几何的发现就是源于对欧氏几何第五公设的证明。人们觉得第五公设“若两条直线与第三条直线相交，而且在同一侧所构成的两个同旁内角之和小于两个直角，则该两直线沿这一侧延长后必定相交。”比其它四条公设累赘多了，因而尝试从别的公理把它推出来。但是，所有的努力都以失败告终，人们不是证明时不知觉的用了与第五公设有关的定理，就是提出了与第五公设逻辑等价的新定理。不过，这些错误与失败却为后来的成功铺了路。1830年左右，匈牙利数学家鲍耶与俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在前人的基础上分别发现了非欧几何的存在。

1.2.4 思维训练作用——数学证明有助于良好思维能力的培养。

证明数学命题的过程可以训练和培养学生的逻辑思维能力以及数学的交流能力，使人们形成严谨的治学态度。数学证明是一种演绎证明，它的每一步都力求准确，这对人们良好的思维能力的培养是有很大的作用的。

2 数学证明的方法

一个数学命题往往可以有不同的思路来思考证明，思路不同，所产生的影响不同，证明方法也不同，对于不同的数学命题的证明也可以有许多不同的思路，不同的方法。数学证明中有许多不同的证明方法。下面是一些常见的方法。

2.1综合法和分析法

综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到要证的结论的方法。分析法则是从要证的结论出发，一步一步的搜索下去，最后达到命题的已知条件的方法。

2.2直接法和间接法

直接法是从命题的条件出发，根据已知的定义，公理，定理等等直接推断结论的真实性的方法。凡是用演绎法证明命题真实性的证明方法都是直接法。如例1的四种方法就是直接法。有些命题用直接法证明比较困难，有的在特定的场合甚至找不到直接证明的根据，这时可证明与原论

题相矛盾的判断是假的，或考证它的等效命题，结果也能间接地达到目的。这种不是从正面证明论题真实性的方法叫做间接法。

间接法有反证法和同一法两种。

2.2.1反证法

通过证明论题的否定命题不真实，从而肯定论题真实性的方法叫做反证法。

反证法的一般步骤如下：

假设命题的结论不成立，即结论的否定命题成立。

从否定的结论出发，逐层进行推理，得出与公理或前述的定理，定义或题设条件等自相矛盾的结论，即说证明结论否定不成立。

据排中律，最后肯定原命题成立。

反证法有归谬法与穷举法两种。在应用反证法时如果与原命题结论相矛盾的方面只有一种可能情况，只要把这种情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫做归谬法。如果与原命题相矛盾的方面不止一种情况，就必须把矛盾方面的所有可能的情况一一驳倒，才能肯定结论成立，这种反正法叫做穷举法。

2.2.2 同一法

当一个命题的条件和结论都唯一存在，它们所指的概念是同一概念是，这个命题与它的逆命题等效，这个原理叫做同一原理。

对于符合同一原理的命题当直接证明有困难时，可以改证和它等效的逆命题，这种证明方法叫做同一法。

同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。

例 4如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（勾股定理逆定理）

已知 如图△ABC中，ABACBC。

求证：△ABC是直角三角形

证明：分别以AB，AC为直角边，作直角三角形A\'B\'C\'，使得222

ABA\'B\',ACA\'C\'

222则根据勾股定理有A\'B\'A\'C\'B\'C\'，由于A\'B\'

ABA\'B\',ACA\'C\'，所以AB2AC2BC2=B\'C\'2，即得BCB\'C\'

所以△ABC△A\'B\'C\'

因为△A\'B\'C\'是直角三角形，所以△ABC也是直角三角形。

在证明该题的过程中，用到了勾股定理，全等三角形的知识。所以，通过该题，也可以使人们加强对勾股定理以及三角形全等方面的知识的理解。

需要指出的是，同一法和反正法的适用范围是不同的，同一法的局限性较大，通常只适用于符合同一原理的命题，反证法则普遍适用，对于能够用同一法证明的命题一般都能用反证法证明。注②

2.3数学归纳法

我们采用记号p(n)表示一个与自然数n有关的命题，把它们都写出来 p(1)，p(2),p(3)…… 事实上，如果满足下面两个条件：

（1）p(1)成立（即当n1时命题成立）

（2）只要假设p(k)成立（归纳假设），由此就可得p(k1)也成立（k是自然数）就能保证这一大串（无数多个）命题p(1)，p(2),p(3)……都成立。

我们把此叫做数学归纳法原理。

根据数学归纳法原理，我们在证明时可以相应的按照以下两步进行：

（1） 验证p(1)是成立的。

（2） 假设p(k)成立，证明出p(k1)也成立。

由（1），（2）可得对于任意的自然数n，命题p(n)都成立。

这是数学归纳法最基本的形式，通常称作第一数学归纳法。

推荐第9篇：大学数学中不等式的证明方法

龙源期刊网 http://.cn

大学数学中不等式的证明方法

作者：吴莹

来源：《学园》2013年第01期

【摘 要】不等式在科学研究中的地位很重要，但对不等式的证明有些同学无从下手，用什么方法是个难题，所以本文对大学数学中遇到的不等式的各种证明方法进行归纳总结，并给出了相应的例子。

【关键词】数学归纳法 导数 单调性 中值定理 最值 积分

【中图分类号】O211 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2013）01－0076－02

推荐第10篇：数学不等式证明方法论文开题报告

湖北大学

本科毕业论文（设计）开题报告 题目高中数学不等式的证明方法

姓名梁艳平学号 2011221104110067 专业年级

2011级数学与应用数学 指导教师付应雄职称副教授

2015年03月03日

本课题的研究目的及意义

现实世界中的量有相等关系，也有不等关系，凡是与比较量的大小有关的问题，都要用到不等式的知识。不等式在解决最优化、最优控制、经济等各类实际问题中有广泛的应用，它是学习和研究现代科学和技术的一个基本工具。

不等式在中学数学中占有重要地位，在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异，所以证明方法灵活、技巧多样，因此不等式的证明也是中学数学的难点之一。 为了突破难点，我认为有必要对一些常见的证明方法和典型例题进行一些思考、研究和总结。

已了解的本课题国内外研究现状。

不等式的证明方法在国内外的研究都趋于高深、复杂、多方向化。 不等式的证明方法也大多用于竞赛和考察数学素养。

本课题的研究内容

本课题主要研究不等式一些常见的证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，构造法和判别式法等。

本课题研究的实施方案、进度安排。

首先通过查阅国内外相关文献资料对不等式的证明方法做一个全面的了解，并了解学生对于不等式的证明方法的掌握程度与思考方式，其次，对于每种方法要举出一个典型的例子来帮助读者理解。

2015年1月——2014年2月：搜集、分析资料，确定题目；

2015年3月初：开题报告；

2015年3月初——3月底：撰写论文初稿；3月31日前提交纸质版初稿；

2015年4月中旬前：修改论文，定稿：外文翻译；

2015年4月底：论文答辩。

已查阅的主要参考文献

[1]胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯.2004（11）.

[2]韩京俊.初等不等式的证明方法.哈尔滨工业大学出版社.

[3]严镇军.不等式.人民教育出版社.

[4]王胜林.卫赛民.证明不等式的几种特殊方法，数学通讯.

[5]张联升.名师伴你行.北京光明日报出版社.2006.01.26-27页

[6]马勇.新课标高中基础知识点.北京教育出版社.2007.113-114页

[7]李长明，周焕山.初等数学研究 . 高等教育出版社（253-262页）

[8]韩京俊.初等不等式的证明方法.哈尔滨工业大学出版社.

[9]王胜林.卫赛民.证明不等式的几种特殊方法.数学通讯.

[10]华罗庚.数学归纳法.北京科学出版社，2002.

[11]南山.柯西不等式与排序不等式.上海教育出版社，2007.

[12]E.贝肯巴赫，R.贝尔曼.不等式入门.北京大学出版社，1985.

[13]G.H.哈代，J.E.李特伍德，G.波里亚.不等式.北京科学出版社，1965.

指导教师意见 签名： 年月日

系或专业审核意见1．通过；

负责人： 年月日

2．完善后通过；

３．不通过

第11篇：韩信点兵方法证明

关于韩信点兵问题

公式的证明

设：第一次每排A人，最后剩余a人，

第二次每排B人，最后剩余b人， 第三次每排C人，最后剩余c人。 按照求解方法的步骤是：

第一步

1找到满足下列条件的k1、k2： ○

（B×C）·k1=A·k2+

12将上面的等式两边扩大a (第一次最后剩余人数) 倍 ○

1式或： （B×C）·a ·k1=A·a·k2+a，……○

[(B×C）·a ·k1]÷A=a·k2……a第二步同法：

1找到满足下列条件的k3、k4： ○

（A×C）·k3=B·k4+1

2将上面的等式两边扩大b (第二次最后剩余人数) 倍 ○

2式或 （A×C）·b·k3=B·b·k4+b……○

[(A×C)·b·k3]÷B=b·k4……b第三步同法：

3式或 (A×B）·c ·k5 =C·c·k6+c……○

[（A×B）·c ·k5]÷C=c·k6……c

1○2○3式相加，并验证 第四步把○

1式 (B×C）·a·k1= A·a·k2+a……○

2式 (A×C）·b·k3 = B·b·k4+b……○

3式 (A×B）·c·k5= C·c·k6+c……○

1○2○3式左边相加 验证：○

1式说明左边除以A，余a ○

2式说明左边除以A，无余数； ○

3式说明左边除以A，也无余数； ○

1○2○3式相加，和除以A,余数必然是a; 把○

同理:

1○2○3式相加，和除以B,余数必然是b; 把○

1○2○3式相加，和除以C,余数必然是c; 把○

最后总结一下：

该数=(B×C）·a·ka+(A×C）·b·kb+(A×B）·c·kc其中：

ka 满足:(B×C）·ka= An+1取最小 kb 满足:(A×C）·kb = Bn+1取最小 kc 满足:(A×B）·kc= Cn+1取最小

第12篇：立体几何证明方法

立体几何证明方法

一、线线平行的证明方法：

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（线面平行的性质定理）

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 平行。（线面垂直的性质定理）

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

二、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）

3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

三、面面平行的证明方法：

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的两个平面平行

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影。6利用向量来证明。

7、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。

8、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。

第13篇：不等式证明方法

不等式证明方法

1.比较法 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。 (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 (2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

2.综合法 利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3„ BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

3.分析法 分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 „ BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有„，这只需证明B2为真，从而又有„，„„这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

4.反证法 有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。

5.换元法 换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一

个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，

y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。

6.放缩法 放缩法是要证明不等式A

(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。[1]

编辑本段重要不等式

柯西不等式

对于2n个任意实数x1，x2，„，xn和y1，y2，„，yn，恒有

（x1y1＋x2y2＋„＋xnyn)^2≤（x1^2＋x2^2＋„＋xn^2）（y1^2＋y2^2＋„＋yn^2）

柯西不等式的几种变形形式

1.设aiÎR,bi>0 (i=1,2,„,n)则，当且仅当bi=lai

(1£i£n)时取等号

2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,„,n)，则，当且仅当b1=b2=„=bn时取等

柯西不等式的一般证法有以下几种： ①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。 ②用向量来证.m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)

mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以

(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX． 因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以

(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 这就证明了不等式． 柯西不等式还有很多种，

这里只取两种较常用的证法． 【柯西不等式的应用】 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。 巧拆常数： 例：设a、b、c 为正数且各不相等。 求证： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c) 分析：∵a、b、c 均为正数 ∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1)

证明

2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b、c 各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 [2]

排序不等式

对于两组有序的实数x1≤x2≤„≤xn，y1≤y2≤„≤yn，设yi1，yi2，„，yin是后一组的任意一个排列，

记S＝x1yn＋x2yn-1＋„＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi2＋„＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋„＋xnyn，那么恒有S≤M≤L。

编辑本段其他重要不等式

琴生不等式

均值不等式绝对值不等式权方和不等式赫尔德不等式闵可夫斯基不等式贝努利不等式

第14篇：证明不等式方法

不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。 1比较法

比较法是证明不等式的最基本方法，具体有\"作差\"比较和\"作商\"比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式（或分式）时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式（或幂指数式时常用作商比较）

例1已知a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab

2分析：由题目观察知用\"作差\"比较，然后提取公因式，结合a+b≥0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

证明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 设a、b∈R+，且a≠b，求证：aabb＞abba

分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a＞b＞0的前提下用作商比较法，作商后同\"1\"比较大小，从而达到证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小

证明：由a、b的对称性，不妨解a＞b＞0则

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

练习1 已知a、b∈R+，n∈N，求证（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1） 2基本不等式法

利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及变形有：

（1）若a、b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取等号）

（2）若a、b∈R+，则a+b≥ 2ab（当且仅当a=b时，取等号）

（3）若a、b同号，则 ba+ab≥2（当且仅当a=b时，取等号）

例3 若a、b∈R， ｜a｜≤1，｜b｜≤1则a1-b2+b1-a2≤

1分析：通过观察可直接套用： xy≤x2+y2

2证明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，当且仅当a1+b2=1时，等号成立

练习2：若 ab0，证明a+1(a-b)b≥

33综合法

综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。

例4，设a0，b0，a+b=1，证明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

证明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥

4左边=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

练习3：已知a、b、c为正数，n是正整数，且f (n)=1gan+bn+cn

3求证：2f（n）≤f（2n）

4分析法

从理论入手，寻找命题成立的充分条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立，这种方法称为分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求证：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：观察求证式为一个连锁不等式，不易用比较法，又据观察求证式等价于 ｜a-c｜＜c2-ab也不适用基本不等式法，用分析法较合适。

要证c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需证-c2-ab＜a-c＜c2-ab

证明：即证 ｜a-c｜＜c2-ab

即证 (a-c)2＜c2-ab

即证 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要证 a-2c＜-b 即需证2+b＜2c，即为已知

∴ 不等式成立

练习4：已知a∈R且a≠1，求证：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）

25放缩法

放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式，是证明不等式的重要方法，技巧性较强常用技巧有：（1）舍去一些正项（或负项），（2）在和或积中换大（或换小）某些项，（3）扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等。

例6：已知a、b、c、d都是正数

求证： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

2分析：观察式子特点，若将4个分式商为同分母，问题可解决，要商同分母除通分外，还可用放缩法，但通分太麻烦，故用放编法。

证明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞

ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=

1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

综上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

练习5：已知：a＜2，求证：loga(a+1)＜1

6换元法

换元法是许多实际问题解决中可以起到化难为易，化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，若通过换元的思想与方法去解就很方便，常用于条件不等式的证明，常见的是三角换元。

(1)三角换元：

是一种常用的换元方法，在解代数问题时，使用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化成三角问题，充分利用三角函数的性质去解决问题。

例

7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求证0＜A＜

1证明： ∵x，y∈R+， 且x-y=1，x=secθ， y=tanθ ，（0＜θ＜xy ）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

复习6：已知1≤x2+y2≤2，求证：12 ≤x2-xy+y2≤

3(2)比值换元：

对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求证：x2+y2+z2≥431

4证明：设x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+

2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

7反证法

有些不等式从正面证如果不好说清楚，可以考虑反证法，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的，凡是\"至少\"、\"唯一\"或含有否定词的命题，适宜用反证法。

例9：已知p3+q3=2，求证：p+q≤

2分析：本题已知为p、q的三次，而结论中只有一次，应考虑到用术立方根，同时用放缩法，很难得证，故考虑用反证法。

证明：解设p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q

3将p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤

2练习7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.求证：a＞0，b＞0，c＞0

8数学归纳法

与自然数n有关的不等式，通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。

例10：设n∈N，且n＞1,求证： (1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：观察求证式与n有关，可采用数学归纳法

证明：（1）当n=2时，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假设n=k(k≥2，k∈n)时不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那么当n=k+1时，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要证①式左边＞2k+32，只要证2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

对于②〈二〉2k+2＞2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞ (2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3

〈二〉4＞3③

∵③成立 ∴②成立，即当n=k+1时，原不等式成立

由（1）（2）证明可知，对一切n≥2（n∈N），原不等式成立

练习8：已知n∈N，且n＞1，求证： 1n+1+1n+2+…+12n＞132

49构造法

根据求证不等式的具体结构所证，通过构造函数、数列、合数和图形等，达到证明的目的，这种方法则叫构造法。

1构造函数法

例11：证明不等式：x1-2x ＜x2 （x≠0）

证明：设f（x）=x1-2x-x2 （x≠0）

∵f (-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x

2=x1-2x- ［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的图像表示y轴对称

∵当x＞0时，1-2x＜0 ，故f（x）＜0

∴当x＜0时，据图像的对称性知f（x）＜0

∴当x≠0时，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

练习9：已知a＞b，2b＞a+c，求证：b- b2-ab＜a＜b+b2-ab

2构造图形法

例12：若f（x）=1+x2 ，a≠b，则|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的结构可知这是直角坐标平面上两点A(1，x)，0(0，0)的距离即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于是如下图，设A(1，a)，B(1，b)则0A= 1+a2 0B=1+b2

|AB|=|a-b|又0A|-|0B＜|AB|∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|

练习10：设a≥c，b≥c，c≥0，求证 c(a-c)+c(b-c)≤ab

10添项法

某些不等式的证明若能优先考虑\"添项\"技巧，能得到快速求解的效果。

1倍数添项

若不等式中含有奇数项的和，可通过对不等式乘以2变成偶数项的和，然后分组利用已知不等式进行放缩。

例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时等号成立） 证明：∵a、b、c∈R+

∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc

当且仅当a=b，b=c，c=a即a=b=c时，等号成立。

2平方添项

运用此法必须注意原不等号的方向

例14 ：对于一切大于1的自然数n，求证：

(1+13 )(1+15 )…(1+12n-1＞ 2n+1 2)

证明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0时ba＞ b+ma+m

∵ ［(1+13 )(1+15 )…(1+12n-1)］2=(

43、65…2n2n-1)(

43、65…2n2n-1)＞ (

54、76…2n+12n)(

43、65…2n2n-1)=2n+13＞ 2n+14＞

∴(1+13 )(1+15 )…(1+12n-1)＞2n+1 2)

3平均值添项

例15：在△ABC中，求证sinA+sinB+sinC≤3

32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算术平均值添项sin π

3证明：先证命题：若x＞0，y＜π，则sinx+siny≤2sin x+y2（当且仅当x=y时等号成立）∵0＜x+y2＜ π，-π2＜ x-y2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosx-y

2∴上式成立

反复运用这个命题，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332

∴sinA+sinB≠sinC≤332

练习11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18

4利用均值不等式等号成立的条件添项

例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，

求证a4+b4＞ 18

分析：若取消a≠b的限制则a=b= 12时，等号成立

证明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①

同理b4+3(12)4 ≥b②

∴a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

∵a≠b ∴①②中等号不成立∴③中等号不成立∴ 原不等式成立

1．是否存在常数c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y对任意正数x,y恒成立？ 错解：证明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故说明c存在。

正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下证不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。 要证不等式xx+2y+xx+2y≤23 ，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即证3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2 ，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

6.2已知x,y,z∈R+ ，求证：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

错解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz

错因：根据不等式的性质：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,则ac bd，但 ac＞bd却不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，

y2z2+z2x2≥ 2x yz2，

x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，

以上三式相加，化简得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，

两边同除以x+y+z:

x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

6.3 设x+y>0， n为偶数，求证yn-1xn+xn-1yn≥

1x 1y

错证：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

n为偶数，∴ xnyn ＞0，又xn-yn和xn-1-yn-

1同号，

∴yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

错因：在x+y>0的条件下，n为偶数时， xn-yn和xn-1-yn-1不一定同号，应分x、y同号和异号两种情况讨论。

正解：应用比较法：

yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

① 当x>0,y>0时， (xn-yn)(xn-1-yn-1) ≥ 0，(xy)n >0

所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

② 当x,y有一个是负值时，不妨设x>0,y0，所以x>|y|

又n为偶数时,所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)>0 又 (xy)n >0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

综合①②知原不等式成立

第15篇：勾股定理证明方法

勾股定理证明方法

勾股定理的种证明方法(部分)

【证法1】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点p.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

∴∠EGF=∠BED，

∵∠EGF+∠GEF=90°，

∴∠BED+∠GEF=90°，

∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c，

∴ABEG是一个边长为c的正方形.

∴∠ABC+∠CBE=90º.

∵RtΔABC≌RtΔEBD,

∴∠ABC=∠EBD.

∴∠EBD+∠CBE=90º.

即∠CBD=90º.

又∵∠BDE=90º，∠BCp=90º，

BC=BD=a.

∴BDpC是一个边长为a的正方形.

同理，HpFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

∴.

【证法2】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作Qp‖BC，交AC于点p.过点B作BM⊥pQ，垂足为M;再过点

F作FN⊥pQ，垂足为N.

∵∠BCA=90º，Qp‖BC，

∴∠MpC=90º，

∵BM⊥pQ，

∴∠BMp=90º，

∴BCpM是一个矩形，即∠MBC=90º.

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，

∴∠QBM=∠ABC，

又∵∠BMp=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.

【证法3】(赵浩杰证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB=∠CFD=90º，

∴RtΔCJB≌RtΔCFD，

同理，RtΔABG≌RtΔADE，

∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,

∵∠BCJ+∠CBJ=90º,

∴∠ABG+∠CBJ=90º,

∵∠ABC=90º,

∴G,B,I,J在同一直线上，

【证法4】(欧几里得证明)

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L.∵AF=AC，AB=AD，

∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴矩形ADLM的面积=.

同理可证，矩形MLEB的面积=.

∵正方形ADEB的面积

=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴，即.

勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.

前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。

证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

第16篇：勾股定理证明方法

勾股定理证明方法

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：\"我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？\" 商高回答说：\"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩\'得到的一条直角边‘勾\'等于3，另一条直角边’股\'等于4的时候，那么它的斜边\'弦\'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。\" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

在《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

中国古代的数学家们最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，

用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

上中间的那个小正方形组成的。

每个直角三角形的面积为ab/2；

中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。

于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c

2化简后便可得： a2+b2=c2

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加

刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)

，

结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法

古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

第17篇：高等数学证明方法

（3）反证法

这种证法是从反面考虑问题。先假设在已知条件成立的情况下，要证的结论不成立，而后从已知条件出发，运用基本概念和基本定理，通过逻辑推理导出矛盾（或与已知条件矛盾；或与某一已知概念、公式、公理、定理等矛盾；或自相矛盾等），这样则否定假设，从而肯定原结论正确。

例如，证明不是的多项式.事实上，利用反证法，设是的多项式，不妨记此多项式为次多项式，即，则有

于是次多项式有无穷多个不同实根，这与次多项式最多只有个不同实根相矛盾，由此证明了不是的多项式.又如，证明不存在（为自然数）.事实上，利用反证法，假设存在且设，则有

又因为 所以有 故

这与产生矛盾，因此不存在.

（2）分析法

这种方法基本思路是逆着想。先假设结论正确，运用已有的定义、定理、公式、性质，从后向前一步一步地分析，直至推出已知条件，即由结论找需知，再找需知，„„，直至已知。这种“执果溯因”的方法，叫做分析法。

分析法是探求证题途径的重要方法之一。它的优点在于思考过程比较自然，目的明确，较为容易找到证明的思路，但缺点是分析的过程叙述起来往往比较繁琐，因而过程多在草稿纸上进行，不正式写出。在实际解题时，特别对于一些较难的问题，常常先用分析法寻找解题的途径，然后再用综合法叙述解题过程，这种方法也可叫做分析综合法。 例如，设在时连续，且；而在时有单调递增导数，试证在时是单调递增的。 事实上，欲证为单调递增，只需证明就行了，而由于 因此就归结为证明.利用拉格朗日中值定理及已知条件，有

单调递增

因此在时是单调递增的.又如，用极限定义证明一数列或函数有已知极限时，多采用分析综合法证明。比如证明，其方法如下： ，欲使不等式成立， 由

所以只需，即成立.取，于是当时，就有，从而保证了希望的不等式成立.综合以上分析，就有 ，当时，，根据极限定义，有

高等数学中研究基本理论的主要方法是证明问题，证明问题的方法没有固定的程序，证题的技巧又灵活多样，因而和一般计算题比较难度较高，不易掌握。下面介绍几种常用的证明方法，以便在寻求基本思路和探索规律方面起到一定一定的引导作用，尽可能减少盲目性，提高自觉性。 （1）综合法

这种方法的基本思路是顺着想。由已知条件出发，运用已有的定义、定理、公式、性质推导出所要求的结论。即由条件推可知，再推可知，„„，直到结论。这种“由因导果”的方法，叫做综合法。

运用综合法证明问题最广泛，但在使用这种方法时，必须注意充分与必要的关系，每一步都要明确是由什么命题推证什么命题，依据是什么，这种特点充分表现了数学的严密性和逻辑性。

例如，设，证明.事实上，由已知条件可知序列有递推关系式： 当时，因有

所以为递减有界序列，故.再对递推关系式关于取极限，得，解出； 当时，令，则， 而 所以

又如，若函数对任意实数有且，证明.事实上，由已知条件：不会恒为零，由上式可得.因此就有

第18篇：一个超级赖皮的数学证明方法（推荐）

一个超级赖皮的数学证明方法——例证法

今天看到《数学家的眼光》（张景中著）写到了一个巨赖皮的数学证明方法，叫例证法，看完我都惊得不行了，就写到这里来和大家分享一下。

为了说明例证法，我们举一个简单的例子。试证明：(x+1)(x-1)=x^2-1。我们假设我们不会做（这不是在贬低你的智商阿）。现在我就讲一个所有人都肯定能学会的方法，用例证法来证明！ 证明：令x=1代入原式，发现等式成立。

令x=2代入原式，发现等式成立。

令x=3代入原式，发现等式成立。

所以原式恒成立。

你看了可能会狂笑不止，有种想揍我的冲动，这什么东西，举了3个例子就说证明了原式？证明等式成立可必须是所有x都满足才行啊！可是，且慢，我可以告诉你，这样证明是严谨的。不信就听我仔细分析。分析一下原等式，发现x的最高次是2次。根据代数基本定理，这个式子如果不是恒等式就有两个根。现在我们举了3个例子，即便前两个正好就是两个根，那么第三个数代进去又成立了，就说明原式是恒等式了！

其实，只要代一个数也可以，要保证这个数不是原方程的根就可以了，这个数应该足够大，例如上题取x=10就行。至于“足够大”的条件，还是挺麻烦的。 怎么样，这个例证法神奇吧！

我们还可以把它推广，如果有多个未知数，例如想要证明

(x^2+y)(x^2-y)=x^4-y^2，我们只要把x附5个值，y 附3个值，一共代15组数进去验证就可以了。这个题也可以取一组数进行验证，(10,10000)就行。 据说，我国一个数学家甚至把例证法推广，利用解析几何把普通几何题转变为类似的代数问题，就可以用例证法来证明了！

不知道，如果我在高考的时候用这么个方法，老师会给我几分？呵呵。

第19篇：数学所有不等式放缩技巧及证明方法

高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法

一、裂项放缩

例1.(1)求

例2.(1)求证:1 (2)求证:

1 / 7 4kk1n221的值; (2)求证:

k1n153k2.11171(n2) 22262(2n1)35(2n1)1111112 4163624n4n (3)求证: 113135135(2n1)2n11 2242462462n (4) 求证：2(n11)11112(2n11)

23n

例3.求证:

例4.(2008年全国一卷) 设函数6n111512

(n1)(2n1)49n3abf(x)xxlnx.数列a满足0a11.an1f(an).设b(a1，1)，整数k≥1.证

na1lnb明:ak1

b.

mmmmm1m1n,mN,x1,S123nn(m1)S(n1)1.例5.已知,求证: mn

例6.已知n

例7.已知x11,x

na42nn32nTTTT,Tn,求证:1.23n2a1a2an111n(n2k1,kZ)2(n11)(nN*) ,求证:

4xx4xx4xxn1(n2k,kZ)23452n2n1ln2ln3ln4ln3n5n6

二、函数放缩 例8.求证：n3n(nN*).23436ln2ln3lnn2n2n1(n2)

例9.求证:(1)2,2(n1)23n 例10.求证:

例11.求证:(1

2n3(112)(123)[1n(n1)]e例12.求证:

2 / 7 11111ln(n1)1 23n12n111111)(1)(1)e和(1)(1)(12n)e.2!3!n!9813

例14.已知a11,an1(1

例16.(2008年福州市质检)已知函数

三、分式放缩

例19.姐妹不等式:(11)(1)(1)(111an)a.n2n证明nn2e2.

f(x)xlnx.若a0,b0,证明:f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).

13151)2n1和(11)(11)(11)(11)1也可以表示成为2n12462n2n112n1 135(2n1)2462n2n1和2462n135(2n1)

例20.证明:(11)(1)(1)(1

四、分类放缩 例21.求证:1

例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数1，0].若数列{bn}满足bn14171)33n1.3n2111nn 23212f(x)x2bxc(b1,cR)，若f(x)的定义域为[－1，0]，值域也为[－f(n)*(nN)，记数列{bn}的前n项和为Tn，问是否存在正常数A，使得对于任意正3n整数n都有TnA？并证明你的结论。

例24.(2008年中学教学参考)设不等式组x0,y0,ynx3n表示的平面区域为D,设D内整数坐标点的个数为an.设

nnSn11111117n11.,当n2时,求证:an1an2a2na1a2a3a2n36

五、迭代放缩

例25.已知xn1

nxn4,x11,求证:当n2时,|xi2|221n xn1i1 3 / 7

例26.设Snsin11!sin22!sinnn!,求证:对任意的正整数222

1k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|

n

六、借助数列递推关系

例27.求证:

例28.求证:

例29.若a1

七、分类讨论

例30.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn2an(1),n1.证明：对任意的整数m4，有

n1213135135(2n1)2n21 242462462n113135135(2n1)2n11

2242462462n1,an1ann1,求证:

1112(n11) a1a2an1117 a4a5am8

八、线性规划型放缩

例31.设函数f(x)

九、均值不等式放缩 2x1.若对一切xR，3af2x2(x)b3，求ab的最大值。

n(n1)(n1)2 例32.设Sn1223n(n1).求证Sn.

221，若f(1)4，且f(x)在[0，1]上的最小值为1，求证：bx1a25211f(1)f(2)f(n)nn1.

22例33.已知函数f(x)

例35.求证Cn

例36.已知

4 / 7 13Cn2CnCnnn2(n1,nN)

n12f(x)eexx,求证:f(1)f(2)f(3)f(n)(en11)

n2 例37.已知f(x)x1,求证:x

例38.若k7,求证:Sn f(1)f(2)f(3)f(2n)2n(n1)n

11113.nn1n2nk12a2例39.已知f(x)a(xx1)(xx2),求证:f(0)f(1).

例40.已知函数f(x)=x－(－1)·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,求证: [f’(x)]－21

2knn－·f’(xn)≥2n(2n－2).

例41.（2007年东北三校）已知函数f(x)ax(a1)

x （1）求函数f(x)的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围；

n\'nS(n)(22)f() （2）令S(n)Cf(1)Cf(2)Cf(n1)求证：

21n\'2n\'n1\'n

例43.求证:1

十、二项放缩

例44.已知a11,an1(1

n例45.设an(1)，求证：数列{an}单调递增且an1112 n1n23n111)a.证明ann2nnn2e2

1n4.

例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：a

例47.设n

例49.已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条件：① 对于任意x[0,1]，总有fx3，且f14；

② 若x10,x20,x1x21,则有

nbn21n.

1,nN，求证(2)n38.

(n1)(n2)fx1x2fx1f(x2)3.

（Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求证：fx≤4；（Ⅲ）当x(11,n1](n1,2,3,)时，试证明：f(x)3x3.n33 5 / 7

222anana12a211例50.已知：a1a2an1,ai0 (i1,2n) 求证：

a1a2a2a3an1anana12

十二、部分放缩(尾式放缩) 1114例55.求证: 3132132n117

例56.设an1

例57.设数列an满足an1111,a2.求证：an2.2a3anaan2nan1nN，当a13时证明对所有n1, 有(i)ann2；(ii)1111 1a11a21an2

1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例

1、已知an2n1(nN*).求证：

an1a1a2...n(nN*).23a2a3an1

2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例

2、函数f（x）=4x14x，求证：f（1）+f（2）+„+f（n）>n+

12n11(nN*).

23、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

例

3、已知an=n ，求证：∑ k=1

4、放大或缩小“因式”；nk

2ak

＜3．

1aa,0a,求证：例

4、已知数列{an}满足n1122n(akak1)ak2k1n1.32

5、逐项放大或缩小

6 / 7

n(n1)(n1)2an例

5、设an122334n(n1)求证： 22

6、固定一部分项，放缩另外的项；例

6、求证：

7、利用基本不等式放缩

例

7、已知an5n4，证明：不等式5amnaman1对任何正整数m，n都成立.

构造函数法证明不等式的方法

一、移项法构造函数

【例1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有1

2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x)方；

3、换元法构造函数证明

【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln(

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．af(a)>bf(b)

11117 2222123n41ln(x1)x x1122xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下231111)23 都成立.nnn 7 / 7

第20篇：数学阅读方法

数学阅读方法初探 两河口中学 方春红 数学阅读是一个非常广泛的概念，从阅读内容上划分，它具体包括阅读引言、阅读概念、阅读定理、阅读公式、阅读例题、阅读材料等等。不同的阅读内容应当采用不同的阅读方法。下面我就阅读内容体现出来的方法进行一个简单的介绍：

一、阅读概念 1.要正确理解概念中的字、词、句，能正确进行文字语言，图形语言和符号语言的互译，要能够将各种语言转化成数学语言；2.要注意联系实际找出正反例子或实物；3.要弄明白概念的内涵和外延，就是说既能区分相近的概念，又能知道其适用范围。

二、阅读定理 1.要注意分清定理的条件和结论；2.要探讨定理的证明途径和方法，通过与课本对照，分析证法的正误、优劣；3.要注意联系类似定理，进行分析比较、掌握其应用；4.要思考定理可否逆用，推广及引伸。例如：在进行相似图形的教学时，我要求学生对相似图形的概念进行了全方位的分析，找准一个核心就是对应关系，两个方面就是边和角。同时拓展了相似三角形和多边形的证明方法。联系了相似三角形和相似多边形的不同。

三、阅读公式 1.要弄明白公式的来龙去脉，会推导公式；2.要明白公式的特征并能想法子记住； 3.要注意公式的应用条件，弄明白有关公式的内在联系，了解公式的运用、逆用、合用，变用和巧用。例如：我在教学《因式分解》这一章节时就将平方差公式和完全平方公式进行了一系列的对比，凡是两项和三项的不同都应当采用不同的公式。同时对各个公式的结构进行了仔细地分析，包括各个公式的推导、公式的特征对比、公式的应用条件等进行了一系列的解读。

四、阅读例题 1.要认真审题，分析解题过程的关键所在，尝试解题；2.要和课本比较解法的优劣，并使解题过程的表达既简捷又符合书写格式；3.要注意总结解题规律并努力去探求新的解题途径。在数学课本中有很多例题还没有被我们很好地应用，例如在学习《不等式》这一章节时，书中的例题都非常简单，最好让学生先自己读例题，做类似的习题，来理解不等式的基本性质。

五、阅读应用题 阅读教学最好载体是应用题,而应用题的教学,在阅读的开始阶段,教师可根据学生的能力情况在思维方式上多加指导,先按一定“程序”进行引导阅读，形成一定的模式，待学生有了一定能力后，再进行变式训练。例如可进行这样的方式：题中的几句--这道题是属于什么类型--题中有哪些数量---这些数量之间的关系怎样等。此外，教师还可根据学生的实际水平和应用题的难度，进行示范阅读，抓住字词句，抓住关键词和关键数量关系，用自己的语言或列表或画图或列式理清关系，从而渐渐掌握阅读要领，达到熟练程度。阅读训练时，要求对每个句子、每个术语、每个图表都应细致地分析，明白其内含，并将重要内容记录下来，把题目浓缩，减化，达到缩小跨度的目的。对于关键词，有时还需划上着重记号，减少不必要的失误。 关于阅读教学的另一个方面，我认为也不能忽视，那就是生活经验在阅读中的重要作用，让学生做一个会观察生活、理解生活的人，并经常引导学生用类比法比较生活中的问题与考题之间的异同，更能促进阅读能力的提高。 对阅读能力的培养，训练策略的实施，阅读方法和技巧的形成，是一个长期的过程，是一个循序渐进的过程，需要师生长期的共同努力。 对课前预习的思考 鸭子口乡中心学校 田贵喜 “初中数学有效性阅读”课题研究中，有老师倡导学生进行课前预习，更有教师要求学生每课必预习。对此，笔者不敢苟同。诚然，教师如此安排的意图是培养学生的良好的阅读习惯，让学生自主学习。但预习能达到这一目的吗？笔者认为，课前预习有如下弊端：

一、易造成学生的一知半解或不求甚解。对下节课要学习的内容，学生通过阅读教材，对学习内容有了大致了解，大多数学生也仅此而已。老师在讲授新课的过程中，会有学生认为自己已掌握而不进行积极的思考，造成对知识点的一知半解或不求甚解。 例如，在“分式方程”学习中，如果学生进行了课前预习，就会发现分式方程容易产生增根，也知道解分式议程方程后要验根。试想，又有几个学生真正明白了增根产生的原因？没有弄明白增根产生的原因，也就不会明白验根这一步骤的必要性，这样的学习无疑是被动的。相反，如果不安排学生预习，老师先让学生学会将分式方程转化为整式方程去求解，而且先不要求学生验根，当学生解完方程，发现解出来的根令原方程中的分母为零的“不可思议”的现象之后，教师再引导学生阅读教材，学生会对增根有明确的认识，也会意识到解分式方程需要验根的必要性。

二、易造成学生进入毫无悬念的课堂 课堂有时是需要制造一些悬念的，借以激发学生的求知欲望。而提前预习，会淡化这种悬念效果的产生。教师要讲授的知识学生早已做到心中有数了，课堂也就失去了某种神秘感，这就如看魔术表演，没有揭秘之前，看得如痴如醉，觉得不可思议，而当揭秘之后再看，你还会有兴趣吗？ 例如在“乘方”的学习中，有教师这样设计：同学们想上月球去玩吗？（一个问题深深吸引了学生的注意，然后教师拿出一张纸），将这张纸对折，再对折„„那么你就能顺着这张纸爬到月球上去了。（学生觉得不可思议），学习了本节课的内容，你就会明白其中的道理了（一下子，学生学习的“胃口”被吊得高高的）。试想，事先安排学生预习后，还能过到这一效果吗？可见，需要设计悬念的课堂，还是别让学生预习为好。

三、易造成教师重组教材的障碍 新课程理念下的教学，有时对教材内容进行合理的重组，会使教学效果更好。如果安排学生每课必预习，如果某一天教师重组教材后，学生接触到的内容并不是他所预习的内容，学生会显得慌乱思维就得重新进行齐整。 例如在“探索三角形全等的条件”教学中，我先让学生回顾全等的定义，然后分析用定义判定中有多余的条件，再提出问题：至少需要几个条件？当学生探索到至少需要三个条件时，让学生确定需要哪三个条件，当学生提出自己的设想后，师生共同验证。这种教学设计，对教材重组的目的是顺应学生的认知规律。事实上，学生在学习的过程中，不可能严格按照教材的内容安排去认知。这种情况下，安排学生预习又有什么意义呢？ 当然，笔者不是认为数学学习没有预习的必要，只要针对具体的教学内容布置好预习的内容，并能保证预习的效果（即预习不是为了解决问题，而是为了发现问题），预习也才能达到预期的目的。总之，预习要为教学服务，而不能是为了阅读而开展的预习活动。 教学中注重阅读理念的渗透 鸭子口乡中心学校 田贵喜 提到数学阅读，特别是开展“初中数学有效性阅读”实验研究。有人就认为应该让学生阅读数学方面的杂志等。当然，让学生开展课外阅读，无疑会拓宽学生的视野，但如果单纯地理解为课外的阅读，而忽略了教学中理念的渗透，无疑会得不偿失，也违背了阅读课题的初衷。我认为，在教学中注重阅读理念的渗透，才能真正培养学生自主学习的能力，并达到提高学生数学学习的能力。那么，如何在教学中渗透阅读的理念呢？我认为可以从以下两方面进行。

一、问题解决中渗透阅读的理念。问题解决是课堂教学的目标。在课堂教学中，我们不能简单地满足于某一问题的解决，而应该让学生逐渐明白解决这一问题的方法，达到举一反三的效果。开展数学阅读无疑是达到这一目的的良好途径。 例如在应用题的教学中，教师可以引导学生在读题的过程中，如何捕捉题目中的信息，将题目读“短”读“薄”。遇到一些陌生的概念、新鲜的术语障碍时，如何跳过。结合题目所提出的问题，如何在捕捉的信息中，筛选出有用的信息。在分析信息的过程中，如何将信息进行整理（如借助图表等方法）。当然，在实际教学中，老师必须有一种平稳的心态，千万不可急于求成，不能满足于一两个题的讲解，就能让学生真正掌握。只有老师注重了阅读理念的渗透，学生就会慢慢领会，达到潜移默化的效果。

二、探究新知中渗透阅读的理念 在学生自主探究新知的过程中，老师也要注重阅读理念的渗透，让学生通过开展数学阅读活动中，体会数学语言的简炼、精确，体会数学符号的美。 例如在学习“有理数加法法则”的时候，老师为学生准备好充足的阅读素材，让学生逐步理解有理数的加法法则。当学生有了比较充分的认识以后，老师让学生用自己的语言归纳描述有理数加法的法则。学生归纳描述的语言可能过于复杂，也可能描述得不够准确，在这种基础上，安排学生阅读教材上的法则，学生就能深刻感悟数学语言的美，也有助于培养学生进行数学阅读的兴趣。 在进行数学阅读课题实验研究中，我们应充分认识到课堂是进行数学阅读的主阵地，并注重渗透阅读的理念，才能真正达到提升学生数学学习的能力，也才能让学生真正体会到阅读的乐趣，学生的课外阅读也才会是一种自发的行为。 总之，老师不能单纯为了阅读而阅读，舍本逐末，偏离实验研究的方向，一定要把握好课堂，注重课堂教学中阅读理念的渗透。 数学课堂如何“读”占鳌头

——数学有效阅读策略浅谈 长阳磨市镇中心学校 黄远国 “书籍是人类进步的阶梯”，我想这里的“书籍”肯定包括数学，因为它是人类进步很重要的阶梯．如此说来，阅读数学就不显得大惊小怪．其实，自从我们开始学习数学，就从来没有离开过数学阅读，不仅离不开，而且阅读必在先，它是学习数学的敲门砖，是数学素养和智力腾飞的翅膀．以下简述自己在指导学生有效阅读、培养数学阅读能力的一点策略和体会．

一、激发阅读动机 激发阅读动机，关键要培养学生热爱数学的情感，使他们拥有健康的阅读心态．心理学实验证明，阅读动机与阅读效率有着明显的正比关系．所以，在进行阅读指导时，我们应尽量调动学生的阅读需要，增强学生的阅读动机，激发学生的阅读兴趣． 例如，在学生阅读之前，教师适当地创设一些难度适中的问题情境，可以诱发和保持学生的阅读兴趣．如在学习“二次函数”时，可创设交通安全的“刹车距离”情境，让学生利用所给的实验数据，动手绘图感知刹车距离与刹车时的速度之间近似于一个二次函数关系，然后观察图象，估计函数类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式，进一步利用给出的刹车距离和车速限制判断某次交通事故发生的原因．如此让学生带着一种好奇的阅读情绪去阅读并参与学习过程，肯定会大大提高阅读质量．

二、培养阅读习惯 在平时的教学中，要注意培养学生的数学阅读习惯，从而使学生学会阅读．教师在阅读指导时，应该站在较高的视点上为学生播下一种阅读的思想，并敦促他们形成优良的阅读习惯，唯其如此，才可能收到理想的阅读效果．

1、学会动手．在课堂教学中，经常看见有学生双手抱臂读数学的情景，这是一种非常滑稽甚至忌讳的数学阅读习惯．要培养学生随时提笔在手，准备圈点勾画：关键概念、关键字词、关键语句、关键图形、关键数据„ ． “学会动手”的另外一层意思指学生要善于对数学活动进行体验．有时要根据数学学习内容的具体情况，要大胆主动地去找学具拼一拼，摆一摆、移一移、剪一剪、画一画、折一折、量一量，主动参与到学习过程中去．通过动手操作，动脑思考，从而找到解决问题的突破口． 如在学习“三角形内角和定理”时，学生把三角形纸片的两个角剪下来拼在第三个角的顶点处，通过拼图，形象直观地验证了“三角形内角和等于180°的几何事实”，还可以启发学生找到证明该定理时作辅助线的方法．

2、学会比较．比较可以使学生充分发挥主观能动性，可以使学生明确知识间的联系和区别．这里主要说类比．如学习分式的基本性质、运算法则可以类比分数的基本性质、运算法则：（1）从定义上看它们有较多的类似之处，因此类比对象为分数；（2）让学生根据类比法猜想分式的基本性质；（3）学生交流讨论，指出叙述中可能出现的问题，如有的学生可能会说“„乘以（或除以）一个不等于零的数„”，此时教师可请学生更正．

3、学会置疑．置疑是解决问题的桥梁．它能使学生在心理上产生悬念，进而激发其探究欲望，调动学生的主动性和积极性，同时增强学生理解数学语言的精确性和思维的严谨性、深刻性．这就要求学生在阅读中要勤于思考，善于发现问题、提出问题、分析问题． 例如，填空：一组数据由5个正整数组成，中位数是3，且唯一众数是7，则这5个数的平均数是（ ）．这是一个比较简单的小题，但从学生做的情况看不算理想．学生根据题意分析这一组数据的构成，但往往还无法得出结论，不免就要提醒再读题，进而置疑：这里的“唯一”有什么作用，对解决问题有什么帮助？只有想起了“一组数据的众数可能有多个”后才会明白“唯一”的真正内涵．从而才作出“3后面必是两个7，3前面只能是1和2”的正确判断 ．

4、学会用“错”，即善于执果索因，变“错”为宝．根据错误结论查找错误原因，从而反思、改正、优化自己不良的阅读习惯，这是对学生平时学习的要求，也是对教师教学的启示：教师在批改作业、试卷或听学生回答问题时，也要善于从学生错因中“读”出学生的不良阅读习惯 ，从而进行有效务实地指导．如：在海上小岛A看远处的船B俯角为30°，已知小岛顶端A高出海平面40米，则船与小岛的水平距离为（ ）米．正确结果应为40，而一部分学生的结果为，批改作业时我从学生的错误数据“算”出了学生的错因：他们都把“俯角”想当然地理解成“视线与铅锤线的夹角”了，说明在读概念时没思考其真实内涵．此后再给学生讲解该题时才有了针对性，否则就“误诊”为学生是粗心算错了．

三、优化阅读技巧 实践中发现，很多学生把数学当作语文、英语一样来阅读，那是因为他们不了解数学阅读的特殊性，结果“书读百遍，其意却没有自见”．其实，数学阅读有它较为特殊的方法和技巧．对于信息量大一点的数学内容例如数学应用题教学，一般可尝试如此操作： 首先可通读，初步感受问题发生的背景及整体脉络；要会用通俗的语言把应用题的大致内容描述出来，因为一个应用题就是一个数学故事； 其次是细读，认真读每一个字、每一句话、每一个数据，要让学生真正明白“每一个字， 都是珍贵的，每一段句子，都是富有思想的”，特别要认真阅读后面的问题，这样阅读才有针对性； 第三要精读，在多次细读后也许就能知道题中的关键词、关键句、关键数据，再进一步带着问题研读它们，特别要认真揣摩包含数量关系的语句。 第四，读写要结合，这里的“写”是广义的，它可以是把重要的语句和数量关系提炼出来，还可以是画图，也可通过画表格等方法，把数量关系填写出来，并找出相等关系．

四、拓宽阅读途径 现在的初中生（俗称90后），社会阅历浅薄．在教学实践中发现，很多联系现实生活的问题，他们有时解决起来比较费力，主要是难以适应知识、技能在新情境中的迁移，如“利润问题”、“增长率问题”等等．因此，就应多读一些数学应用方面的数学书，有助于开拓他们的知识视野．例如让学生认真阅读数学教材中的阅读材料，但这远远不够．还要通过第二课堂或者兴趣学习小组为不同层次的学生提供一定数量的习题，并为他们推荐相关的数学书籍来阅读． 开展数学有效阅读、培养数学阅读能力是一个长期的过程。无论是学生还是教师，都要在平时的实践中，善于对数学阅读进行研究和总结，逐步优化阅读策略，从而提高数学阅读能力，提升数学素养． 有效阅读，让应用题教学常“轻” 长阳磨市镇中心学校 黄远国 应用题教学是教学中的难点，也是学生学习的难点．因此，探求应用题教学的有效策略和方法，让教和学更加轻松，是所有数学教师的梦想和追求．而实施有效阅读，加强阅读指导，是轻松解决应用题的法宝．以下举例说明． 例：据报道，2007年城镇和农村居民人均收入均在2002年的基础上增长了80%，城乡收入的差别没有缩小，2007年城居民人均收入为13797元，仍然是农村居民人均收入的3倍． （1）2002年农村居民人均收入是多少元？ （2）上届政府五年间（2003—2007），中央财政投资1．2万亿元,帮助城镇新增就业和转移部分农村劳动力新增就业,本届政府五年间(2008—2012年）的目标是使转移农村劳动力新增就业人数与城镇新增就业人数一样多，并使新增就业总数比上个五年间多2000万人，从而缩小城乡收入的差别；由于科学技术的进步，生产效率的提高，后五年间人均就业投资额将增加50%，总投资增长的百分数将比新增就业人数增加的百分数多5倍，到2012年我国总人口将达到13．6亿，其中城镇人口达45%，新增就业人员年人均收入将达到24000元，在不考虑其他情况下，到2012年底，缩小城镇居民与农村居民人均收入差别的目标能实现吗？（计算结果保留一位小数） 本题文字多，达400多字，数量关系复杂．我采取的方法是：

1、通读，在读的过程中大致了解问题的背景，要求学生能用自己的语言简单描述应用题的大意，教师或学生可作补充；

2、细读，认真阅读题目，尽量找出重要的语句，特别要看清问题，以便在后面的阅读过程中有的放矢，避免漫无目的读，从而提高阅读效率．在阅读过程中我们发现第（1）问比较简单，提干的几个条件正好用来解决．为了更加明确其中的数量关系，我利用了表格法引导学生阅读，具体方法是：我填好表头，学生填内容．如，对于问题（1）如设2002年农村居民人均收入是m元，列表得 表一： 农村 02年 07年 增长的百分数 m ×13797 80% 城镇 13797 80% 易列方程 m（1+80%）=13797× 解得 m=2555.对于第（2）问，大多数学生读后不知所云，询问学生后发现它们不知道要解决什么问题，就是说不明白问题“在不考虑其他情况下，到2012年底，缩小城镇居民与农村居民人均收入差别的目标能实现吗？”是什么含义．这样一来，就没有明确的阅读目标，也就无从解决问题了． 其实，这要从“2007年的城乡收入的差别“说起，它是用倍数来表示的，相对2002年，仍是3倍的关系，所以问2012年的城乡收入的差别缩小了没有，就得算出这年的城乡人均收入分别是多少，然后算出比值和“3”比较．然而这种“城乡人均收入”在本题中并不是用“总收入除以总人数”（若是如此去想，将会陷入困境），而是用“07年的城乡人均收入+2012年底城乡分别增加的人均收入”． 然而有人就会问：这样算能代表2012年的城乡人均收入水平？这种“城乡人均收入”还受好多不确定因素影响．可是问题中有这样一句话：“在不考虑其他情况下”，看似轻描淡写，却最隐秘最难懂最具有分量．也似乎在提醒我们：可以“不考虑其他情况”，但必须考虑这句话！

3、精读，读写有机结合．带着问题，仔细反复搜寻捕捉收集题中的各种信息，弄清解题思路：要求 “2012底城乡人均收入”←2012年的城乡分别增加的人均收入←城乡分别增加的总收入和城乡分别新增的就业人数（一样多）←城乡总共新增的就业人数．因此求出“城乡总共新增的就业人数”是本题的重点，而题中用了大量的篇幅（三条线索）在叙述两个5年中“新增就业人数”“总投资”和“人均投资”三者各自的增长关系：也就是说在关系式“=人均投资”中分子、分母和商在以不同的增长百分数各自增加． 若设2003—2007年新增就业人数为x亿人，2008—2012年总投资增加百分数为a，则2008—2012总投资增长的分数为6a，则2008—2012年总投资：1．2×104(1+6a)万元，列表得 表二： 2003—2007 2008—2012 增长的百分数 新增就业人数 x x(1+a) 比前者多2千万 a 总投资 1．2×104 1．2×104(1+6a) 6a 人均

50% 得方程：(1+50%)= 解得a= ∴2008—2012新增就业人数为x（1+）=x 又：-2000=x ∴x=18000（万人）=1．8(亿人) ∴2008—2012新增就业人数为1．8+0．2=2（亿人） 则2008—2012城镇新增就业人数分别为×0．2=0．1（亿人），再分别把2008——2012年的“城镇新增就业人数”、“分别增加的总收入”、“分别增加的人均收入”及“人均收入”单列成下表： 表三:（2008—2012） 农村 城镇 新增就业人数 0．2×=0．1亿 0．2×=0．1亿 总收入增加 0．1×24000=2．4×104亿 0．1×24000=2．4×104亿 人均收入增加（元）

人均收入（元） 13797×+3208==7807．6 13797+3920=17718．6 因为≈2．3＜3，所以在不考虑其他情况下，到2012年底，缩小城镇居民与农村居民人均收入差别的目标能实现． 以上我用列表的方法（或者表格意识）让很复杂的数量关系变得较为明晰，这是应用题有效阅读教学中的一种很重要的手段．我曾经对学生笑言：没有用表格解决不了的应用题．其实我是在强调一种阅读意识：要让数学阅读有效高效，必须想点子，添措施，拿手段．只有如此，才会减少无效环节，提高阅读质量． 数学教学中的读与写 磨市中心校 李世栋 在初中几何教学中，常常有教者发出这样的感叹：××题我已给学生讲过好多遍了，可今天依然有那么多人不会做！或者：几何教学容易，但要让学生独立地解决一道几何问题，怎么那么难？时常也会听到学生发出这样的疑问：老师 ，凡是你讲过的几何题，我都能做出来，为何遇到一个新问题时就感到束手无策呢？带着这些问题，在教学实践中，我做了如下尝试：

一、重视几何概念的读写训练，做到应用自如，应用准确、熟练。

几何概念（包括定义、性质、公理、定理等）是解决几何问题的重要理论依据，解决任何问题都离不开几何概念，几何概念掌握的好与坏，理解得透彻与否，将直接影响到解决几何问题的能力。

几何概念的学习，首先要抓住其实质。要达到这一要求，首先就必须培养学生读的能力，在读中去理解，去领会，去加深，去记忆，去再现。读的方法要多样化，要有变化性。一是阅读表述几何概念的 命题，就文字本身去理解记忆，如“把一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形”，从文字上不难抓住本质：四边形，一组对边平行，另一组对边不平行，这三个条件缺一不可，进而讨论：①一组对边平行的四边形是梯形吗？②有一组对边不平行的四边形是梯形吗？这样有助于学生理解梯形的定义，并由此迁移到平行四边形的定义。二是对照几何图形阅读几何概念，把几何概念转 化成几何图文符号，用图文联想的记忆代替机械的死记硬背，待需应用该概念时，以图形的再现代替文字再现，这样记得深刻，记得持久。

二、强调读题，读图训练，切实理解题意。

正确理解题意，理清已知及求证之间的相互关系，是准确解决几何问题的关键，而结合图形去读又是理清已知及求证关系的必由之路。为此

1、认真读题，形成思维 的模型。几何的读题，重在阅读题目中几何图形的组成部件，找出各个部件之间的相互关系，在头脑中形成一个整体模型。如已知条件中给出了组成图形的哪些线段，线与线之间有哪些结合点（即顶点或交点），构成了哪些角，线段之间有哪些关系，或相等或垂直或平行，在这些关系之下会出现哪些新的关系，有哪些角是相等的或是互余的或是互补的，由这些角的关系又能得出什么等等，进而思考所要求证的问题，可通过什么途径而得出，怎样与已知条件联系起来。这样对以后的分析奠定了一定的基础。

2、认真阅读几何图形，标明已知条件，找出图形中的隐含条件，为几何证明服务。几何证明离开了几何图形尤如纸上谈兵，闭门造车，不可能写出简洁、严密的推理过程。读图是在读题的前提下进行的，而读图又促进了学生理解题意，理顺关系，把条件放在图上再读，更能启迪思维，开拓思路。如下面一道很简单的几何证明题：已知：△ABC和△DBE都是等腰直有三形，∠ABC=∠DBE=900，点D恰好在AC上，求证： △AED为直角形。当学生练习时，我特意观察了一下，学生走入了以下误区，一是部分学生只抓住了题目中的等腰直角三角形，在图上左画右标， 也只能得出AB=CB、DB=EB，∠C=∠BDE=∠BED=450 ， 而无法展开思路，究竟怎样证∠EAD=900无法得出。二是想证∠EAD=900，借助已知中的直角，总是想着通过证明△EAD与某直角三角形全等来达到目的，结果是以不会做交给了老师。我认为学生出现以上情形，主要是没有认真读图而造成的，从观察图形可知∠BAC=450，而要证∠EAD=900，只需证∠EAB=450就行了，而证明∠EAB=450，则可借助题中的已知的450来完成，要完成这个过程，学生就必须根据图形的结构物质点找出图中的隐条件∠1+∠3=∠2+∠3=900，而得出∠1=∠2，再通过证明三角形全等来完成。

3、仔细研读几何证明过程，对掌握几何证明可起到催化剂的作用。人不是生而知之，而是学而知之，在不断地学习或借鉴前人或他人的成功经验的同时，自然而然地就促成了自身的进步和发展。在教学实践中，我们经常会遇到学生的几何书写过程颠三倒四，前后不连贯，针对这种情况，可以指导学生阅读例题或老师书写好的证明过程，探究推理过程中的先后次序及因果关系；可以让学生去阅读几何证明过程，指出正确与否，提出自己的修改意见；可以让学生相互阅读自己的证明过程，得出最佳的书写过程，在阅读中明白应该怎样去书写几何证明过程。

4、探究性的阅读，开拓几何思路。如已知：在△ABC中,∠A=360, AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，让学生在读题、读图中去得出图中有多少个等腰三角形，并说明理由，之后若连结CE交BD于O，此时图中有多少个等腰三角形？是哪几个三角形？此题的训练，可以很好地训练等腰三角形的性质与判定，并与三角形全等密切地联系起来。

三、培养学生写的能力，促成综合能力的提高。

学生应用几何知识解决具体的几何问题是我们几何教学的归宿和落脚点，而学生解决几何问题的能力又是通过写来展现的。所以说，写的能力就反映了学生解决问题的能力。

1、教给学生分析的方法，会写分析过程。分析的方法多采用“执果索因”的方法，从所要证明的结论入手，去寻找结论成立的充分条件，逐层分析直至索源到已知、定理、定义和性质上来。要求学生在解决几何问题时，必须简要地写出分析过程，然后，再写证明过程就简单多了。

2、理清觖题思路，口述解题过程。数学中的写不仅是用笔来写，口述也是写的一个重要方面，几何问题让学生多说一说是很有好处的，在说一说的环节中，学生会自觉地矫正不合理的次序，清出不必要的过程，以达到简洁、严密的效果。每当学生在解题时出现颠三倒

四、因果不明时，让其说一说，大家议一议，顿觉思路清晰，越说越明白。几何教学中的说与 写的关系尤 如语文教学中的说话训练与作文训练一样，说的清楚就能写得流畅，说不清楚就写不明白。

3、说心得、谈体会，撰写数学学习小论文。一道例题或是一个习题学习之后，让学生谈一谈学习心得，帮助学生总结一下学习后收获，鼓励学生撰写学习小论文，鼓励学生将自己的学习感受、学习方法加以总结，这样有助于老师了解学生的思维状况和掌握水平，同时学生在写的过程中还要不断地思考问题，在写的过程中或许会有新的发 现，有效地促进了学生创新思维的培养。

四．给时间让学生进行操作，培养学生努力探索的精神。

数学来源于实践，又服务于实践。教学时，教师应根据教学内容、学生学习的情况，适当增补一些实例或操作练习，充实学生记忆，并不失时机地引导学生对所感知的素质进行思维加工，逐步形成理性认识。让学生了解知识产生的背景过程，从中受到启发。这样学生才能非形式化地理解并掌握所学到的新知识，进一步认识和领会其中所蕴含的数学思想方法。 例如，教三角形三边关系时，课前准备好两组木条（每组3根） 甲：8cm, 9cm, 12cm; 乙：5cm, 13cm, 6cm； 上课时让两个学生到台前进行操作，即用给定的一组木条首尾相结拼成三角形。大家观察到：甲组木条可拼成三角形；乙组木条不能拼成三角形。学生兴趣盎然、思维活跃。在此操作基础上，教师指导学生学习三角形三边关系的定理及其推论，印象颇深，识记效果好。通过学生动手操作创设情境，使新知识成为他们自己探索研究所获得的成果。新知识融入了探索者探索成功后的喜悦，充实了学生的表象储存，开拓了学生思维以及再创造的动因、时间和空间，学生获益良多，其乐无穷。 数学阅读教学之浅见 榔坪中心学校 刘明金

阅读伴随人类文化传承始终，促进人的思维发展。遗憾的是，专注于数学阅读的人，恐怕除了数学家，专门研究人员和为数不多的数学爱好者之外就凤毛麟角了，甚至连学校里的师生也不一定有清醒的认识。 数学教学是数学文化传承主渠道，而数学阅读应该是最佳途径。新课程强调终生学习和学生主体，我以为数学阅读教学能够充分体现这一理念。通过数学阅读教学，培养学生数学阅读意识和能力，就为学生走出校门后的终生学习提供了支持，使学生离了老师这个“拐杖”而独立行走成为可能。应该说，阅读是一种交流形式，通过阅读，读者可以与书面材料交流，与材料作者交流。数学阅读与偏重形象思维的文史、音乐、美术的阅读有很大不同，数学阅读对象是极具符号化、图表化、高度抽象的文本，不能象浏览小说一样的一目十行，只能精读，必须伴随积极地逻辑思维才能读下去。文本经过眼睛输入大脑，大脑结合以往经验进行“比对”，划归，联系，抽象，归纳，演绎，建模，内化等系列思维活动才能形成“双基”，达成学习目标，所以说数学阅读中人的感觉、知觉、注意、想象、联想、思维、记忆、言语等因素都处于积极活动状态。与一般阅读相比，数学阅读更多的是在用“读脑”。数学阅读是学生主动获取信息，吸取知识，发展数学思维，学习数学语言的有效途径。由于数学阅读的主动思维性，可以说，重视数学阅读教学就是以学生为主体。传统教学中，教师代替阅读，代替思维，学生被动接受，难以使知识内化和构建，违背使学生“学会学习”的价值取向。其实质是以教师为中心，以教为中心。 我在数学阅读教学中，除了安排学生认真自学课本的“读一读”和部分章节的教前预习外，比较注意阅读纠错型题目的教学，尤其是很重视应用题教学中的阅读，摸索出了读通文理，弄清事理，挖掘算理的“三理”阅读法，收效较好。培养了学生的数学阅读意识和能力。读通文理，重在从语文角度去读题，要求通顺，抓住标点，关键词，这是阅读的起始和基础；弄清事理，要求学生梳理，联想、类比，把应用题的情境和事件的来龙去脉弄清楚，这是下一步挖掘等量关系、列出算式的关键，中下层学生解应用题的障碍多半处在这一步；挖掘算理，指学生通过阅读，弄清已知量、未知量、题目已经给出的数量关系，隐含的数量关系，社会公认的“经验型”数量关系，从而列出算式，解决问题，“三理”阅读教学，逐级深入，关注阅读的质量，其实也就是关注学生的思维发展质量，是颇为有价值的思维训练方式。 数学阅读有利于学生的发展，有利于教学质量的提高，我们何乐而不为！ 数学阅读教学中的两点做法 资丘中心学校 凌家华 著名数学教育家斯托利亚尔说：“数学教学就是数学语言的教学。” 而语言的学习是离不开阅读的。数学课程标准所强调的一个理念是：注重学生各种能力的培养，其中也就包括了数学阅读能力、数学应用能力和数学探究能力的培养。教育家的论述和课程标准的要求，构成了初中数学阅读教学的理论基础。由此可见，阅读并不只是语文教学的事。但在过去，一谈及阅读，我往往认为与数学教学无关，单纯地认为数学教学就是解题教学，让学生阅读会浪费时间，不如我多讲几个例题。有时虽然有加强学生阅读的想法，也是由我自己阅读、剖析代替了。 通过学习、实践、反思，我感受到过去的做法忽略了培养学生对数学语言的理解，其结果导致学生数学阅读能力低下，对数学的学习没把握住本质。下面谈谈我在专题实验中，落实初中数学阅读教学的两点做法。

一、利用文本，激发阅读兴趣 新的数学教材不仅内容非常贴切学生生活实际，而且在编排的形式上变得活泼新颖，内容呈现的方式也多样化，因此，它很容易引起学生的关注，容易激发学生阅读的兴趣。我抓住这一特点，利用数学文本，引导学生自觉而有兴趣地与文本进行对话，并感受成功的喜悦。 九年级一元二次方程的应用，教材上题目的背景选的非常好，学生感兴趣。北师大版《义务教育课程标准实验教科书》九年级数学上册，在第74页中有这样一道题：“新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？”这题编排在“为什么是0.618”的大背景之后，学生对此很感兴趣。教学时，我首先给学生发一张题为“阅读使我成功”的卡片，需要填写的内容是：题中的关键词句有 ；我读懂的数量关系有 ；需要解决的问题是 ；我解决问题的办法是 ；通过阅读我的感受是 。然后安排阅读，要求阅读三遍以上，并填写卡片，最后交流与评价。 通过以上活动的展开，学生收获大，在全班交流时，一位平时害怕完成数学应用题的同学谈了这样的感受：“解决应用问题要做到静心阅读，理清数量关系，弄清要解决的问题，然后试设未知数，并用这个未知数能表达出题关系者，则选它为未知数，否则就再换设另一个未知数，如本题中直接设每台冰箱的定价应为x元，就较难用上题目中分号后的一个数量关系，若设每台冰箱应降价x元，这个数量关系就容易用上。”这位同学的发言，迎来了大家的掌声。我因势利导，告诉学生：在数学学习中，养成主动阅读的良好习惯，是提高自学能力的重要基础，也是从不会学走向会学的一把“钥匙”。 引导学生开展这种阅读具有实效性，学生不仅弄清了题意，找到了解决问题的一般方法。也在情感、态度和价值观上得到了受益。

二、加强指导，掌握阅读方法 首先引导学生掌握分层阅读方法，就是要求学生能在全面把握文字的同时，把整体分成部分，然后逐一解答所提出的问题。因为有些题目中往往含有好几层意思或要求，学生在阅读中如不能分层阅读出全部意思，就会发生“断章取义”，不能完整地解答提出的所有问题；有些题目的表述很多，学生阅读后往往理不清头绪。所以我要求学生运用分层理解阅读的方法，有条不紊地解决问题。 在九年级数学总复习中，我出了这样一道题让学生解答。 如图，以∠MAN为一内角作一个平行四边形ABCD，对角线BD与AC交于点O，再作线段OA的中点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。设点F、G、H分别为OB、OC、OD的中点，请指出S四边形EFGH与S四边形ABCD的关系，并证明这个关系。 通过及时反馈发现，学生有三方面的问题：一是作OA的中点虽有作图痕迹，但作平行四边形ABCD有随意性；二是对OB、OC、OD的中点也严格按尺规作图进行，花费了解题时间；三是虽然指出了两个四边形的面积关系，但无证明。出现问题的主要原因就是学生笼统地阅读了题目中的文字，只抓了文字中让他觉得印象深刻的几个字。针对这种情况，我要求学生在阅读后知道题目讲了几层意思，需要做些什么事情，弄清题目共有几个要求，一个要求完成后再完成第二个和第三个要求。 其次是引导学生进行新旧比较阅读，即比较两项或两项以上学习内容，以揭示它们之间的区别和联系。数学新旧知识是相互联系的，新的知识总是以已知知识为基础，它们之间总保持着某种内在的相同和差异，这些直接关系到学生认知结构的形成。因此，我在指导学生阅读时，从已有知识去认识新知识，从知识系统的角度去把握新材料。 如在九年级数学总复习中，用这种做法解决了下面的问题： 如图，直线AB∥直线CD，线段MN的两个端点分别在直线AB与直线CD上，点P是直线AB上方的一个动点。试探究∠PMB、∠PND、∠MPN三者之间的关系。

这个问题对于中下层的学生来说，完成有难度，因为这些学生往往缺分类意识和探究意识。为此，我引导学生进行新旧阅读，即弄清本题含义，阅读与本题有关的旧知，一是阅读平面内点与直线的位置关系，使学生对此题进行三种分类：点P在射线NM的左侧；点P在射线NM的右侧和点P在射线NM之上。二是阅读三角形的外角性质，平行线的性质等，使学生清楚用什么知识去探究。这样不仅能在新旧知识之间建立起联系，加深知识的理解和记忆，而且增强了灵活运用知识和解决问题的能力。 通过上述阅读方法的指导，学生对外部信息进行整体理解与加工，并翻译成数学语言，然后通过思考与推理找到解决问题的途径，使阅读落到了实处，收到了事半功倍的效果。 数学教学中的“阅读法”之我见 乐园初级中学 秦凌飞 一说到“阅读法” ，或许很多老师和学生都会很自然地联想到语文的教学，他们都很理所当然地忽略了数学教学中的“阅读”。其实，不管是语文还是数学，“阅读法”都是一种最基本的教学方法。简单地说，在解数学题时，如果不能通过读题很准确地领会题目的意思，即便一道题花上一天甚至几天的功夫，也做不出正确答案来！由此看来，“阅读法”在数学教学中是一块巨大的奠基石，它是所有数学方法能得以正确运用的基础！ 我个人认为，数学教学中的“阅读”和语文教学中的“阅读”是有区别的。阅读教学是语文教学过程中的基本环节，更是重要环节，它是为了培养学生理解书面语言的能力而进行的一系列语文训练。因此，语文阅读材料的内容往往更具文学性，是一种语言文化的体现，更侧重体会文字背后意境；而数学教学中的阅读材料，内容相对简单很多，是说明性质的文字表现，它更倾向把问题情景用最简洁的文字展现给读者，让读者在简短的文字中体会一系列的数量关系或等量关系。正是因为数学习题用最简洁的文字描述了一系列复杂的关系，所以我认为，在进行数学题目的阅读时，需要更细致地揣摩文字的含义和文字之间的直接或间接的关系。 通过学习，我了解到：数学教学中“阅读法”的内涵实际就是如何引导通过一阶段的阅读即读题、领会题意达到独立掌握解决各类实际应用题的目的。内涵中强调了老师的引导作用，在学生的知识背景和能力有限的情况下，老师的引导就俞显重要。那么，作为老师的我们，又该如何引导学生做好数学中的阅读呢？我在教学中是分三步引导学生进行阅读的： 第一步：粗读，就是引导学生一口气把题目读完，大致了解题目所说的情景，以及弄清楚要求什么。以“八年级下学期数学教科书91页，问题解决No.3”为例。 某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道。为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前30天完成这一任务。实际每天铺设多长管道？ 读完题目，我们了解到：这是一道关于修水管的题目，需用分式方程来解。涉及到原计划和实际修水管两种情况，要求实际每天铺设的管道长度。 第二步：精读，就是拿着笔划出题目中包含的数学语言（见题目划线部分），以及写出题目涉及到的数量关系或等量关系。 数量关系、等量关系： 全长＝工效×天数

实际工效＝原计划工效×（１＋25%）

实际天数＝原计划天数－３０ 第三步：析读，通过精读，我们已经把题目进行了“肢解”，现在就是进一步弄清楚等量关系中的每个部分是什么或者怎样表示，如：“实际天数＝原计划天数－３０”中的“原计划天数＝？”„„通过这样一步步解析，很容易破除解题障碍，获得题目的解决方法。 我在平时的教学中都是这样引导学生阅读的，个人觉得效果还可以，但不一定适用于其他的老师和学生。 “阅读法”在数学教学中运用的路很长，我也还需要在实践中进一步探索，从而，使自己能更好地引导学生进行数学阅读！ 数学阅读能力是数学悟性的外显 渔峡口中心学校 覃全阶 悟性是指人对事物的分析和理解的能力。影响一个人的悟性的因素很多，概括起来可以分为两类：一是先天因素。对于一个生来就智商偏低的人来说，数学成绩是很难出类拔萃的，这主要是因为先天智商偏低造成的；二是后天因素。一个资质并不是很好的学生，如果有比较好的学习习惯，勤学好问，把研究数学问题视为自己的一大爱好，在不断学习、反思、积累之后，其学习的品德和成绩会逐渐上升到一个新的台阶，其悟性就会达到茅塞顿开的那种境界，即升华到更高的档次。 数学阅读能力不是上天赐予的，而是经过长期锻炼、积累而成。作为数学教师，我们更因该清楚这一点，不要轻易放过日常教学活动中的任何能培养学生阅读能力的素材。下面这道题是长阳县2007年春期末调研考试八年级下学期数学试题中第五大题的第26题 “26.大家刚开始学“三角形三内角和定理的证明”时，小明另外想了一种方法，题目及过程如下： 已知：如图，△ABC.求证：△ABC的内角和为180°.小明的证明：设D为BC上任一点，连接AD.设△ABC三内角和为x，即∠BAC＋∠B＋∠C=x （1） 则∠1＋∠B＋∠3＋∠4＋∠C＋∠2＝2x.（2） ∵∠3＋∠4＝180°.（ ） ∴上式为∠1＋∠B＋180°＋∠C＋∠2＝2x （3） 而∠1＋∠B＋∠C＋∠2＝x（ ） （4） ∴x＋180°＝2x （5） 故x＝180° 1.请你在括号内注上理由.2.他的证明对吗？不对错在第几步，为什么错？如对，请另设计一种证明的方法.” 我们把这套题作为本学期期末统考的模拟试题，结果本题的得分率很低。我认真分析了学生的解答情况，在试卷讲评时，我首先要求同学们在认真阅读，然后依次提出了五个问题： （1）小明的解答过程是为了证明什么？ （2）在证明三角形的内角和之前，我们是否知道任何一个三角形的内角和是定值？ （3）第（1）步中，是设的那个三角形的内角和为x？ （4）在第（2）步中的2x是什么意思，他这样做不行吗？ （5）小明的证明既然是错的，还有必要再行证明吗？为什么？ 我通过前四个问题，引导学生分析阅读材料，获取有用信息，把问题的关键指向式子 “∠1＋∠B＋∠3＋∠4＋∠C＋∠2＝2x”，让学生明白，只有分析清了小明的思路，才能指出小明的错误，才能最终解决问题。学生在讨论交流后的论述：“小明的错误之处就在于：还没有证明三角形的内角和是一个定值，他就已经承认所有三角形的内角和是一个定值x”简直太精彩了！他们在数学上的悟性，正是通过这样的论述而咸咸的。 数学悟性的内涵很丰富：严密的逻辑思维，超凡的空间想象能力和空间定位能力，对数字的敏感程度，对数学规律的认知理解„„等等，悟性的高低，其显现的形式也多种多样，数学阅读能力只是悟性外显的形式之一。 几何定理阅读中的心理障碍分析

乐园中学 覃万军 一、掌握的几何概念少，概括范围小，不能融会贯通，理解有关概念，从而影响定理的阅读。如：定理“三角形的内心到三边的距离相等。”学生不能理解三角形的内心,点到直线的距离,这两个槪念,从而影响了定理的阅读和理解。我认为教学中应通过揭露槪念本质特征,图形变式,图解,几何体、日常用品的直观等进行系统练习,丰富几何概念的内容、提高阅读质量。

二、根据定理的文句不能分离题设与结论，有的学生认为定理已经说 明白了,没有分离的必要，当定理的题设和结论没有分开写时，有的学生认为无从下手，如“对顶角相等”，这也会影响定理的阅读。 我认为阅读定理时要激发学生分离题设与结论的动机，并引导学生如何分离，因为这是求证定理和定理运用的前提。

三、学生没有根据定理作图说明题设和结论的习惯，没有定理的图形表象.。这样阅读效果也不好。学生阅读定理分出题设和结论后，应唤起学生作图再造想象这个心理活动，多让学生讨论和练习作图，如“圆周角定理”的阅读，可以让学生作出符合位置条件的圆心角和圆周角（同弧所对的），并指明它们的度量关系。

四、不注重定理的理解，只想死读定理、死记定理、死套定理，没有论证定理和对定理推理的心理指向，没有定理形成的动态过程。这也是定理阅读差的原因。如：“等腰三角形的三线合一”，初次阅读这个定理时，要有求证这个定理的详尽的思维过程，以后碰到这个定理时要有大致证明过程的回忆。

五、阅读定理时应有丰富的联想和应用意识，这无疑会提高阅读质量。如定理在特殊情况下的验证，自己是否得出一些推论。比如阅读“垂径定理”时，可以让学生说明生活中用“T”形尺确定圆心的理由和作图验证“知二推三。” 数学阅读能力的培养功在平时 渔峡口镇中心学校 田东锋 目前我县正在进行数学有效性阅读教学的课题研究工作，这一课题顺乎新课标的要求，更有利于培养学生良好的审题习惯和较高的审题能力。新课程标准指出：由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。阅读作为人类社会生活的一项重要活动，是人类汲取知识的主要手段和认识世界的重要途径。数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料构建数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的重要途径。随着科学技术，特别是信息技术的飞速发展，要求人们不仅需要具有语文和外语的阅读能力，而且还需要具有一定的数学阅读能力。

一、创设情境，激发阅读兴趣

“兴趣是最好的老师”，心理学认为，兴趣是心理活动的倾向，是学习的内在动力，是开发智力的钥匙。有了兴趣，学生就能产生强烈的求知欲，主动进行学习。有没有兴趣，阅读的效果很不一样，带着一定的问题去读，可以使用学生从机械阅读向意义阅读转化。为此，在数学教学中，教师必须根据教材特点，学生年龄特征和个性特点，以教材为载体，以语言训练为主要内容，创设问题情境，激发阅读兴趣。在学生阅读之前，教师适当地创设一些难度适当的问题情境，可以诱发和保持学生的阅读兴趣。创设问题情境时要注意，问题要精辟而具体，要有针对性，新而有趣，要有适当难度，富有启发性。我们可以通过呈现与学生原有知识相矛盾的现象，设置悬念;或提供几个相互矛盾的方案、解答，使学生产生认知上的冲突，激发学生的好奇心和求知欲。激发学生阅读兴趣。

二、加强指导，掌握阅读方法

随着学生阅读经验的积累，阅读理解的能力也在不断提高。不仅如此，到了中，高年级，一般还能自发地掌握一些阅读方法。但是，他们往往不能自觉地使用这些方法来提高阅读学习的效果，更不能针对数学教材和特点，选择合适的,符合其认知发展水平的阅读方法。这就需要教师给予科学的、清晰的指导。指导学生进行数学阅读。作为教师，要把握“愤悱启发，相机诱导”这一原则。例如,对于文字丰富的大型阅读题,我就常引导学生要学会“去粗取精，去伪存真”，把不重要的信息略去不看二遍，以达到节省时间，处理有用信息的目的。

三、交流阅读体会

学生的数学基础不同，阅读能力有异，学习自觉程度也不一样，不定期组织学生交流数学阅读的经验，无疑对大面积提高学生阅读教材能力大有裨益。一般来说，学生的数学学习活动总是在班级集体中进行的。班级集体的学习气氛、志趣相投的同学之间的影响，会有形或无形地影响其成员的学习。因此教师要正确引导，在教学中真正体现出以学生为主体，以教师为主导的原则，千方百计地激发和调动学生的学习积极性，鼓励学生相互交流、相互讨论，为他们提供一个相互学习，了解自己和别人的机会。

四、提炼思想方法

数学思想是数学活动的基本观点；数学方法是在数学思想指导下，为数学活动提供思路和逻辑手段以及具体操作原则的方法。数学思想方法则是数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识。它蕴藏在数学知识之中，需要学习者去挖掘。数学家华罗庚认为：学习要经过“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程。“由薄到厚”是理解和弄懂所学的知识，知其然并知其所以然；“由厚到薄”是要把学过的知识贯连起来，加以融会贯通，进而提炼出它的精神实质、抓住重点线索和基本思想方法，组织成精练的内容。可以说，“由厚到薄”是阅读的根本目的，是数学阅读能力的核心。

五、练习撰写论文

在阅读、交流的基础上还要适当地指导学生撰写数学读书笔记或数学小论文，读写结合，手脑并用，促使思维的开展，是提高阅读效率的重要途径。经过长期训练，可以培养学生的创造思维，培养学生自己发现问题、思考问题、解决问题的习惯，并能把这种习惯迁移到其它学科上，这是数学教学中的一项艰巨而又十分重要的工作。近三年来，我一直要求学生坚持写数学随笔，具体做法是学生在当天的书面作业中把一天下来自己觉得收获最大的地方，最感兴趣的问题，还没有弄懂的问题，对于某道题的不同解法等内容记录下来，以便和老师及时取得交流。通过这项活动，我发现学生的写作水平在不断提高，更重要的是学生阅读数学题，捕捉有用信息的能力有了显著提高。

总之，只要教师改变教学观念，从培养能力入手，多给予学生数学阅读的指导，多给一些阅读时间，多给一些阅读的材料；学生就会改变只要认真听讲，多做练习就能学好数学的观念，转而从培养自己的能力出发，培养自己的数学阅读，学生的阅读能力就会普遍得到提高。 我对数学阅读教学的理解 资丘中心校 田贵成 阅读对于学生来说是学习的重要方式知识的获取主要是阅读。而数学教学不仅要培养学生对知识的获取，更要注重对学生创新能力的培养。阅读是一种有目的，有意义的行为，要想从文中获取什么，并期望自身联想和创造什么，没有一种求索的思考意识，只停留在文字表面上，那只是一种肤浅的阅读，所以必须养成学生思考的习惯，边读边想，使阅读成为一种自觉的阅读。学生知识水平有限，教师在阅读教学中要注重对学生进行方法上的指导和训练。

1、激发学生阅读兴趣。阅读教学时，教师要紧紧围绕教学内容，让学生带着问题阅读，有的放矢.学生带着问题阅读动眼又动脑，主动获得知识，就能有效地提高学习能力，激发阅读兴趣。

2、指导学生做好“增、标、注”标出明示信息。为提高学生阅读的有效性，指导学生直接在材料上“标、增、注”，标是用各种符号来表示知识所要掌握的程度，用相应的符号与目标相对应。特别是重要内容、关键性词用符号标出，对下面的阅读起到提醒的作用，使问题简单化,便于学生理解掌握。

3、注重揭示隐含条件。阅读中的隐含内容要想捕捉出来，教师必须正确有启发性地点拨引导阅读，使隐含内容明显化，学生悟出了材料文字没有表述的内容，利于提高学生的观察能力，动手能力，和成就感。从而增强对数学的学习兴趣和动机。

4、循序渐进。中学生的数学知识有限，所以阅读教学应由浅入深，由简单到难。阅读时应虚心接受书本知识，这样才能有所得。

5、指导学生在阅读中学会讨论和总结。教学生在阅读中学会归纳、概括和提炼， 这样学生对所学内容既容易记忆，又能增加学生学习数学的趣味性。 总之，数学课的阅读能力旨在使学生获得知养成阅读的习惯，阅读教学在培养学生的能力方面有着重要的作用。 初中数学阅读教学之我见 渔峡口中心校 田银梅 俗话说：“书读百遍，其义自现”，还有“读书破万卷”、“熟读唐诗三百首”、“开卷有益”等等，由此可见“阅读”是学生学习的主要方法。在此，我也来谈谈个人对数学阅读的看法。 新课程下素质教育是注重开以人的智慧潜能，注重发挥学生主体功能，培养创新精神为核心的教育。在素质教育数学教学中，学生是学习的主体，教学最终总要落实到个体的学习行为上。事实上，学生也只有通过自己的实践、比较、思索才能真正对所学内容有所领悟，进而内化为自己所有，逐步建构自己的数学认知结构。 数学阅读可以转变学生的数学学习方式。在当今的课堂，教师讲解和做练习题是数学学习的主流方式，这在一定程度上会影响学生的积极性、主动性和创造性。数学阅读在教师的安排和引导下，让学生直接面对文本，自主地感知和加工教材中的信息，体验学习的过程和方法，尝试解决学习过程中的困惑。经过一段时间的训练,学生对阅读数学课本的重视，取得了一定的效果。这学期期中“概念”复习过关：有2人得了满分，其余都在80分以上。对书本练习的质疑：学习了分解因式后,有一成绩较差的学生说：“X2+4X+1=X(X+4)+1从左到右的变形是分解因式”这句话是错的。“为什么呢？”他说：分解因式概念里说是把一个整式化成几个因式积的形式，这里还有和。”会咬文嚼字地理解了！可见在阅读活动中，学生是学习的真正主体。 数学阅读有助于学生对知识的理解。依据心理学的“首因效应”，新知识的首次接触及其方式往往会在学生心理留下深刻的印象。学生数学阅读的过程，实质上就是由消极的听讲者转变为主动的思考者的过程，教师应将数学阅读纳入到数学教学的环节中去。对题目的理解阅读：在列不等式解应用题中，一次检测有这样一题：某实验中学为初二住宿学生安排宿舍。如果每间住4人，那么有20人无法安排；如果每间住8人，那么有一间宿舍不空也不满。求宿舍间数和住宿学生人数。对“不空也不满”这句话全班有三分之二的同学准确无误地用不等式表式了数量关系，很仔细阅读了。我还对全班54个同学进行了调查：几个月来， 你的数学阅读能力有进步吗？你平时看课外数学读物吗？ 很有进步 有点进步 没有进步 读过 30 15 9 20 由上述数据可以看出，学生对数学阅读的重要性认识提高了。感觉自己有明显进步的有有同学说：以前碰到难以理解的题目，不会仔细地去理解，不会深入地去思考，现在能耐心去读懂理解一些难题；有同学说：开学时我不敢发言，怕自己表达不清楚，现在我好多了。 新一轮教育改革，致力于探索更有效的教学方式和学习方式。因此，在这种背景下开展数学阅读教学实验研究，这不仅是针对传统数学课堂教学中存在的问题提出的对策，也是数学文化传承和创新的需要，更是素质教育、终身学习等思想在数学教育中的自觉实践。 因此，教师要留给时间让学生阅读，寻找时机让学生阅读，创造机会让学生阅读，发挥教材的阅读价值，为学生的终身发展服务。 我看初中数学阅读教学 磨市中心学校 汪永梅 数学是一种语言，但由于数学语言的符号化、逻辑化及严谨性、抽象性等特点，导致与其它学科阅读存在很大的差异。 我们先看看数学阅读的特点： 首先，由于数学语言的高度抽象性，数学阅读需要较强的逻辑思维能力。在阅读过程中，读者必须感知材料中的数学术语和符号，并能分析它们之间的逻辑关系，最后达到对材料的理解，形成知识结构，这里面就需要逻辑思维和推理能力。 其次，数学语言的特点也在于它的精确性，每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清和易产生歧异的词汇，数学中的结论错对分明。当一个学生试图阅读、理解一段数学材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇。因此，浏览、快速阅读方式不太适合数学阅读学习。 第三，数学阅读要认真细致。由于数学知识的逻辑严谨性及数学“言必有据”的特点，要求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应细致的阅读分析，领会其内容、含义。对新出现的数学定义、定理一般不能一遍过，要反复仔细阅读，并认真分析直至弄懂含义。数学阅读常出现这样的情况，认识一段数学材料中的每一个字、词或句子，却不能理解其中的推理和数学含义，更难体会到其中的数学思想方法。数学语言形式表述与数学内容之间的这一矛盾决定了数学阅读必须勤思多想。 第四，数学阅读过程中语意转换频繁，要求思维灵活。数学教科书中的语言是通常的文字语言、数学符号语言、图形语言的交融，数学阅读重在理解领会，而实现领会目的的行为之一就是把阅读交流内容转化为易于接受的语言形式。例如：把一个抽象表述方式阐述的问题转化为用你自己的语言；把符号形式和图表表示的关系转化为言语的形式以及把言语形式表述的关系转化为符号和图表形式；把一些用语言形式表述的概念转化为用直观的图形表述形式；用自己更清楚的语言表述正规定义或定理。 学生的数学语言特点及掌握数学术语的水平，是其智力发展和接受能力的重要指标。数学语言水平发展低的学生，课堂上对数学语言信息的敏感性差，思维转换慢，理解能力差。因此，重视数学阅读，丰富数学语言系统，提高数学语言水平有着重要而现实的教育意义。那么在新课改中，帮助学生提高数学阅读水平就致关重要。 在教学中，我尝试做了以下工作： 其

一、引导学生读概念，对数学概念必须理解每个字的含义，会用正确的语言叙述，能举出符合含义的例子，对别人所举例子会根据概念的定义判断是否正确。例如，学习了分式的概念之后，我就列举了 这样一些分式，结果好多同学认为（3）（4）（5）（7）是分式，也有同学认为（1）不是分式。这就需要帮助学生进一步理解概念。 其

二、引导学生读定理、公式，要分清定理、公式的条件和结论以及适用范围，要掌握推导的思路和方法，在参与推导的过程中要提高抽象思维能力。掌握定理、公式的具体应用。例如，求根公式的推导，我们不仅要记住公式，还要记住公式的适用条件，公式推导包括很重要的数学思维方法等，还要明确求根公式的应用，这些显然是死记公式、套用公式所不能企及的。 其

三、引导学生读例题，要审清题意，自己先尝试解答，而后与课本上的解答作对照，若自己错了，就要找出错误原因；若对了，就要看自己的解答和课本上有什么不同，哪一种方法更好，对一组相关联的例题要相互比较，着力寻找，领悟解题规律，掌握规范书写格式。 其

四、充分发挥教科书的作用。教科书是专家在充分考虑学生生理、心理特征、教育教学原理、数学学科特点等诸多因素的基础上精心编制而成的，具有极高的阅读价值。我们不能把它仅作为教师讲课材料的来源，而要把它作为学生学习的来源，必须重视数学教科书的阅读，教师讲解之后，让学生阅读相关内容，自学一定的材料，阅读习题或定理的简短文字。 当然，一种能力的形成不可能立竿见影，也正因为如此，我们应该将阅读渗透在我们的日常教学中，不能为了阅读而阅读。 浅议数学中的阅读教学 贺家坪中心学校 向方全 说到阅读教学，数学教师们可能认为那只是语文、外语、历史等学科教学中的重要环节，实际上，阅读教学在初中数学中的位置也非常重要，若数学教师对阅读教学把握得当并且持之以恒，则对学生的学习活动所产生的积极作用是难以估量的。 现在，有些数学题的设置很复杂，为的是创造一个合理的情景，让人人觉得问题确实来源于生活，学习是为了解决生活中各种问题。于是，题目中就有了许多与数量关系无关的话，也就增加了学生解决问题的难度，所以为了应对这类题型，就必须加强阅读教学。 练习性阅读，是指教师指导学生对例题和习题的阅读，阅读内容包括审题、分析、解题步聚、格式和文字表达等。阅读例题是前提和基础，例题的解题步聚和文字表达是最典范、最严格、最标准的。这就要求教师指导学生通过阅读例题掌握各类题目的解法和解题格式，达到熟练驾驭各种类型题目的能力。此外，还可以引导学生通过变化探求新思路、新结论，培养学生富有创造性的思维和解题能力。 总结性阅读，是指教师指导学生对教学内容进行纵向系统地阅读。从时间上分，可分为：“一课时、一周、一月、一学期”等；从教学内容的结构上分，可为分：“一课时、一单元、一章”。在让学生完成阅读总结后，教师再对学生的结论进行概括总结和合理的系统归类，补充学生未能总结出来的知识点，纠正不恰当或错误的结论。 复习性阅读，是指在复习阶段学生对复习内容的阅读，这时候内容最具有综合性。综合性阅读和内容要有纵向的复习阅读和横向的强化复习阅读。 特别提到的是应用题阅读教学,在阅读的开始阶段,教师可根据学生的能力情况在思维方式上多加指导,先按一定“程序”进行引导阅读，形成一定的模式，待学生有了一定能力后，再进行变式训练。例如可进行这样的方式：题中的几句这道题是属于什么类型--题中有哪些数量---这些数量之间的关系怎样等。此外，教师还可根据学生的实际水平和应用题的难度，进行示范阅读，抓住字词句，抓住关键词和关键数量关系，用自己的语言或列表或画图或列式理清关系，从而渐渐掌握阅读要领，达到熟练程度。阅读训练时，要求对每个句子、每个术语、每个图表都应细致地分析，明白其内含，并将重要内容记录下来，把题目浓缩，减化，达到缩小跨度的目的。对于关键词，有时还需划上着重记号，减少不必要的失误。 数学教学中的阅读，则偏重于推理、归纳。为培养学生质疑的习惯，数学教师在教学中还要注意以下几点：

（一）要经常设置疑点，有疑点之处就析疑，无疑之处当质疑，这样才能启发学生的思维。

（二）要教给学生自己去发现问题，思考问题，解决问题的方法，鼓励学生阅读时要善于思考。

（三）要经常鼓励那些勤动脑，多动脑，带着问题去阅读的学生，以激发他们读书的兴趣，培养他们质疑的习惯。同时，生活经验在阅读中的重要作用，让学生做一个会观察生活、理解生活的人，并经常引导学生用类比法比较生活中的问题与考题之间的异同，更能促进阅读能力的提高。 重视数学阅读,丰富数学语言,提高数学语言水平有着重要而现实的教育意义.其独特作用甚至是其它教学方式所不可替代的。只有通过阅读，作好与书本标准数学语言的交流，才能规范自己的数学语言，锻炼数学语言的理解力和表达力，提高数学语言水平，就能准确地了解题意，较快地解决问题。

对阅读能力的培养，训练策略的实施，阅读方法和技巧的形成，是一个长期的过程，是一个循序渐进的过程，需要师生长期的共同努力 阅读就在教学中 高家堰镇中心学校 向进一 阅读是人类社会生活的一项重要活动，是人类吸取知识的主要手段和认识世界的重要途径.随着科学技术的飞速发展，常常需要对大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断.如：人们常常要通过说明书了解电子产品的质量性能，通过数据关注股市走势图、彩票中奖率等，这就需要人们具有以语文阅读能力为基础,包括外语阅读、数学阅读、科技阅读能力在内的综合阅读能力，因此在数学教学中注重“数学阅读”教学显得尤为重要.为了培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读能力，大面积提高数学教学质量，培养学生的创新思维及能力.我做了如下尝试：

一、进行问题式阅读 问题是数学的心脏，有问题才会促进学生去思考，在呈现素材的同时，呈现问题串儿，让学生在问题的指引下进行阅读，激发学生的学习热情，调动其积极性，主动参与到课堂学习活动中.在阅读2001年中考题时，这样介绍：上世纪八九十年代，全国人民在大步流星奔小康，本世纪实现中华民族伟大复兴，走富裕之路，我们现在的生活是小康还是富裕呢？下面的材料会交给你判断的方法： 1857年德国统计学家恩思特·恩格尔阐明了一定律：随着家庭和个人收入增加，收入中用于食品方面的支出比例将逐渐减少，反映这一定律的系数称为恩格尔系数n，计算公式为n=（人均食品支出总额/人均个人消费支出总额）×100.国际上常常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数n在59%以上为贫困，50%≤n＜59%为温饱，40%≤n＜50%为小康，30%≤n＜40%为富裕，n低于30%为最富裕.张伯家庭的所有支出都有详尽的记载，2000年与1997年相比较，总体物价稳定但食品价格下降了7.5%，因而张伯家2000年购买的食品在和1997年完全相同的情况下人均少支出150元，而人均个人消费支出总额增加了170元；1997年，张伯家人均食品支出总额比其人均个人消费支出总额的一半还少381元.（1）设1997年张伯家人均食品支出总额为x（元），人均个人消费支出总额为y（元），请用含x的代数式表示y.（2）已知1997年和2000年张伯家的恩格尔系数都与宜昌市城区抽样调查得到的恩格尔系数相同，请你通过计算说明，1997年到2000年宜昌市城区人民生活水平已开始步入由小康过渡到富裕型的转型期.我们在应用时联系实际，加了一问： （3）请你统计自己家庭2007年的食品支出与消费支出情况，用数据说明你家的生活水平.， 问题（1）人均食品支出总额与个人消费支出总额有怎样的关系? 问题（2）2000年的人均食品支出总额与1997年的人均食品支出总额有什么关系，是什么原因产生的? 2000年的人均食品支出总额与1997年的人均食品支出总额及个人消费支出总额各是多少？ 经过问题导读，学生很容易地解决了上述问题.一直以来，数学应用题教学令老师头痛，让学生畏惧，尤其是近些年中考题有较长的阅读理解，常常有许多学生手足无措，这主要是读不懂题所造成的.只有掌握了阅读方法，具备了较强的阅读能力，掌握了严谨的数学语言中蕴含的数学关系，并将其转化成数学式子，才能迎刃而解.

二、进行提炼式阅读 主要是让学生通过阅读我们身边生活中的素材，提炼出数学信息，解答学实际问题，使他们感受到数学无处不在，无处不有.下面是调查古城锰矿矿工的工资水平的一次实践活动，并以次此背景为题材，编撰一道阅读题.以下为此次活动成果之一： 古城锰矿井下作业目前实行的是班长负责制.某班除班长外还有14名工人在井下挖矿.上个月该班长共领取当月经费3.5万元，其中扣除10%的风险抵押金、10%的班长津贴、80元公物赔偿后，其余为人头工资.根据考勤，除每人轮休4天外，请假5天的有1人，请假3天的有2人，请假2天的有2人，请假1天的有3人.

1、请你帮忙设计一套工资分配方案.

2、按目前惯例是按点工付给工资，每个工额应付多少钱？这些工人中工资最少的可以拿到多少钱？

3、你能求出该班这个月的平均工资吗？

4、老五是矿上工人，他贷款做了房屋后，去年7月开始到井下挖矿，并把每月工资中的1000元用活期存入信用社.到年底偿还了1000元贷款利息，剩下的刚好偿还了贷款的25%（存款利息忽略不计），请问老五共贷款多少元？贷款利息是多少？ 我们通过这种必要的“生活数学化”阅读过程，有意识地培养了学生们的数学建模能力，从而激励他们在成功的体验中更有兴趣关注数学，更加热爱拥有的生活.

三、进行类比式阅读 在课堂上探索新知识时，有时需要用到学生已有的经验，许多情况下需要进行类比，如：探索分式的约分时，这样引入： 阅读下列各式： 2/4=（2×1）/（2×2）=1/2 6/8=（6×1）/（6×3）=1/3 ﹣6/9=（﹣2×3）/（3×3）=﹣2/3 探究（下列各式的化简情况）： A．(1) a/8a (2) 6a/8a (3) ﹣6ab²/8a³ (4) ﹣3m²n/15m (5) 6xy/18x²y B．(1) (x﹣2)/2 (x﹣2) (2) (2﹣x)/2 (x﹣2) (3) (x+1)(x﹣2)/2(x﹣2)² (4) (2x²-4x)/ 2(x﹣2)² 以阅读材料作为本节课的入手点,出示两组难度不同的探究题,让学生进行类比、探究分式的约分过程,激发学生“学”的兴趣和欲望,进一步培养学生的问题意识、探究意识和解决问题的能力.使学生体验成功的快乐，使有效性阅读落到实处.

四、进行比较式阅读 每当学生学完一个单元或一章后，在复习时，或者在以旧引新时，把容易混淆的知识及概念等，让学生进行对比阅读，找出区别与联系，并加以归纳巩固.在授《用三种方式表示二次函数》时这样引入： 读一读 师：下列过程中的变量哪些具备函数关系？各是用什么方式表示的？ 第1题:商店广告牌上这样写着：瓜子的售价与数量关系如下： x(千克) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 „ y(元) 0 1 2 3 4 5 6 „ 第2题: 为了防止风沙漫延,现决定种草植被,形状呈矩形.当长为10千米时,宽为x千米，则面积y与x之间的关系为y=10x平方千米.第3题: 如下图信息: 通过三则阅读材料让学生对比阅读，使学生不仅更加理解函数概念，而且使学生认识到了有的函数关系可用三种方式表示，有的只能用图像和表格表示，不同的情境中的函数关系适合用不同的方式表示,为新课的学习作了很好的铺垫.另外，还可开展一些数学实践及竞赛活动，如：阅读欣赏、办数学小报、写数学日记、数学论文、成果展示等，可迫使学生在课下翻阅许多与数学有关的书籍与资料或上网学习数学知识，进行数学积累.这样可以拓展数学空间，丰富数学知识，为课堂教学提供素材，有利于提高数学教学质量.通过数学阅读，不仅可以增添数学知识、丰富数学阅历，而且还可以学会用数学的方法和定理诠释生活，了解社会，实现数学的教育价值.提高数学阅读能力的教学策略 高家堰中心校 向进一 在教学中我们经常遇到这种现象：有的题学生解答不出时，只要老师将题目读一遍，有时甚至读到一半时，他就会叫道‘哦，原来如此!”这是为什么呢?原因就出在学生的阅读能力上。培养学生的阅读能力，使他们获得终身学习的本领，是非常必要的。那么现状又如何呢?我发现有的老师整节课不让学生打开课本，认为学生看了课本后，什么都知道了，没什么可探究的。有的老师虽然重视预习，也布置了阅读作业，然而对学生的预习效果却很少检查，也很少有学生回头审视、反思自己阅读的收获， 自以为读懂了，课堂上听不好甚至不去听，结果预习反而影响了上课。因此，我们要指导学生有效地进行数学阅读，在阅读的基础上展开课堂教学，并把阅读延伸到课外。

一、课前加强阅读指导，掌握阅读方法 数学内容的抽象性，数学语言的简洁美，决定了数学阅读的过程应是 一个积极的思考过程。我注意根据学生的阅读水平、阅读任务，对学生进行阅读指导，提出具体的阅读要求。

二、课中找准阅读起点，重建教学模式 学生通过课前阅读对一些容易的知识已基本掌握，关键是要引导学生知其然也知其所以然，帮助学生加深对知识的理解。我注意根据学生反馈的信息，找准教学起点，重建教学模式。 1．基于疑惑，重建教学模式。“小疑则小进，大疑则大进。” 2．基于重点，重建教学模式。 3．基于拓展，重建教学模式。

三、课后进行阅读延伸，提升数学素养 一堂课的教学时间是有限的，因此要在课后进行阅读延伸。可以准备有趣的、有一定难度的阅读资料供学生使用，从而激发学生的阅读兴趣， 充分挖掘学生的潜能，提升学生的数学素养。 1．课后阅读，激发学习兴趣。课后阅读能将课内阅读延续到课外，获取教材以外的知识。例如，认数是一个枯燥乏味的过程，我引导学生阅读 “罗马数字中为什么没有0”的材料，激发学习兴趣。 2．课后阅读，学会数学思考。课后阅读提倡学生以研究者的身份参与活动，在研究中逐步学会思考，学会创新。 3.课后阅读，开展实践应用。 常恨春归无觅处 不知转入此中来 都镇湾镇中心学校 孙云香 数学阅读在事先教学中占有相当的位置，它是学生自主学习数学，应用数学的基础和开端。在反思自己的教学实践中，数学阅读在八年级教材260页32题体现的很充分。 题目：据《新华日报》报到，东方航空公司江苏公司为了保证1996年12月初开始的C检工作顺利进行，事先组织机卫人员到外地跟班学习C检工作，后又具体分析研究，周密地制定出C检的具体实施方案，因而工效提高了30﹪,经过31名机务人员的艰苦努力，终于提前5天完成C检，为公司节约了数十万元的维修费用。请问：原计划多少天完成C检？﹙根据飞机维护规定，一架飞机每飞行250h，要进行一次定期检查，称为A检；每飞行3000h，就要进行一次中大修性质大全面维护、保养、检查工作，称为C检。﹚ 本人布置学生复习时，安排学生课外完成，晚自习辅导过程中，我发现此题完成情况不怎么好。因为题目本身既有常识介绍，又有已知条件的来历。于是和学生一起来完成这道题，在 完成过程中，我分了以下几步：

一、阅读问题，概括着眼点。在本题中，指导学生明确存在的条件和需解决的问题①何为C检 ？②为何工效提高了30﹪？ ③多少人参与？ ④提前几天？ ⑤ 经费情况？⑥工期为多少？

二、转化问题，找准着力点。师生共同将所列出的问题进行语言转化，转化为学生熟悉的熟悉语言，转到学生容易理解的熟悉情境之中，将问题转化为：31人进行C检，提高工30﹪后，提前5天完成，节约数十万元，问原计划几天？这样学生的认知得到了加强，理解比以前轻松得多，部分学生有一种如释重负的感觉。

三、去伪存真，发现人手点。在上述问题中，仍有部分条件干扰学生的视线，有少部分学生不知所云，这时，引导学生摒弃无关条件尤为重要。对第二步总结出来的内容，进一步指导学生阅读，弄清题目的本意，抓住起关键作用的条件，摒弃无关条件，使解题过程沿着正确的轨道前进，将原问题进一步概括为：提高工效30﹪后，提前5天完成，问原计划几天？

四、轻松求解，深化反思点。在完成上述过程后，绝大部分同学能设未知数，解答方程，得出正确答案，作为教师的我，不能就此停止，引导学生对此类型的问题进行举一反三，并对求解过程进行交流和反思，纵向对比前后思维过程，让学生在对比中吸收。 在完成此题教学中，作为教师的我，对数学阅读也有进一步的认识，我们时常加强数学阅读，这正是数学阅读的快乐所在，只能用白居易的《题大林寺桃花》中的一句“常恨春归无觅处，不知转入此中来”作为感概。 我对数学阅读教学的理解 贺家坪中心校 陈学锋 数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的重要途径。随着科学技术，特别是，未来科学越来越数学化，社会越来越数学化，将来要读懂“自然界这本用数学语言写成的伟大的书”，没有良好的数学阅读基本功是不行的，因此，面向未来，数学教育重视数学阅读培养学生以阅读能力为核心的独立获取数学知识的能力，使他们获得终身学习的本领，非常符合现代教育思想。学生智力发展的诊断研究表明，构成一些学生学习数学感到困难的因素之一是他们的阅读能力差，在阅读和理解数学书籍方面特别无能。数学阅读过程同一般阅读过程一样，是一个完整的心理活动过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素。同时，它也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程。 数学教师应充分认识数学阅读的教育功能，将数学阅读纳入到数学课堂教学的基本环节中去。有些教师常在布置作业时才让学生打开课本，学生也只有在作业中碰到问题时才翻开数学课本，缺乏数学阅读的习惯。这种状况减少了学生与数学教材接触的机会，有时代替了学生的思考，不利于学生自学能力的提高。重视数学阅读，丰富数学语言体系，提高数学语言水平有着重要而现实的教育意义。重视数学阅读，有助于数学语言水平的提高和数学交流能力的培养；有利于培养学生独立获取知识的自学能力，符合现代教育思想；有助于个别化学习。 在阅读教学中，我鼓励学生阅读课文内容，组内交流、组间质疑；引导学生阅读课堂练习，表达思维过程与结果；启发学生阅读课后习题，充分利用自习时间。在自习课堂上，常常提供适合本节自习的阅读材料，从而为学生完成习题做出适当地难度增设和坡度减缓。 在数学阅读教学中，我特别注意以下几点： (1)合理安排阅读时间，控制阅读进程。课堂教学过程中的阅读环节必不可少，但也不是多多益善。时间太长，影响教学进度，也不利于学生良好阅读习惯的养成，时间太短，学生来不及思考，阅读也就会流于形式。要培养学生快速阅读的能力，要在最短的时间内，找出题中的关键词，相关的数量关系等。 (2)及时反馈阅读信息。 我采用提问、练习、互相讨论等方式加强信息的交流，检查学生自主阅读的效果。 随时发现问题，及时使指导更具针对性。 (3)要鼓励学生主动地阅读。数学中的阅读内容相当多，课内读，更要课外读，不仅读课本，还要学会选择参考读物。指导学生养成写读书笔记的习惯，把读书心得上升为数学小论文。 (4)要相信学生的阅读能力，让学生在阅读中获得成功的体验。 案例1：当前，各银行都推出了名目繁多的信用卡，为争夺这块市场，于是就有各种刷卡积分有奖活动。最近有消息称，某银行推出刷卡积分奖励高档轿车的活动。但规则是，每刷卡消费20元人民币或2美元就可以积1分，如果你的积分达到200万分，就可以兑换一辆高档轿车。你对这则信息有何看法？说出你的理由。 本例中含有非常丰富的数学阅读内容，必须结合生活实际进行阅读。我首先要求学生交流信用卡的相关常识，激发学生的阅读兴趣，学生对刷卡积分奖励高档轿车特别来劲。如有不懂的地方，如刷卡积分，教师可给以适当引导。刷卡是如何积分的，积分又是样兑换轿车的等等，只有把这些信息都了解清楚了，学生才能真正有自己的看法。 数学教师应掌握一定的阅读指导策略，指导学生进行有效的阅读数学阅读往往需付出艰苦的努力和顽强的意志，很少有学生会把读数学书当作一件快乐的事，这就需要教师引导和帮助，激发学生阅读的动机和兴趣，指导学生掌握数学阅读的方法，循序渐进，使学生从愿读转变到会读，最后上升为乐读。 培育阅读，一个当务之急的话题 都镇湾镇中心学校 胡胜华 数学是一门科学，也是一种文化，更是一种语言—描述科学的语言。随着社会的发展，科学技术的进步及“社会的数学化”，没有良好的数学阅读基本功已无法适应历史潮流。因此在数学教学中重视数学阅读，培养学生良好的数学阅读习惯、品质和较强的数学阅读能力，成为一个当务之急的话题。通过若干次研修活动和听评课活动，笔者发现多数数学教师存在一些偏见，认为阅读仅仅是语文和英语教学的事。所以在数学的教与学过程中，仅仅注意了数式的演算步骤，而忽略了对数学语言的理解。然随着现代科技日益渗透到人们的生活，社会越来越数学化，仅具备语文阅读能力已远远不够。 在本文，笔者想就数学阅读课题略抒已见，以期达到抛砖引玉的作用。

一、.数学阅读的特征

数学是一种语言，是慎重地、有意地而且往往是精心设计的语言。因而，前苏联数学教育家斯托利亚尔言：“数学教学其实就是数学语言的教学”。更有美国著名心理学家布龙菲尔德说：“数学是语言所能达到的最高境界”。可见，数学的学习离不开阅读。这便是数学阅读课题开发之由来。数学阅读是一个完整的心理活动过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等多种心理活动因素。同时，它也是一个不断假设、证明、想象、推理、验证的积极能动的思维过程。因此，认识到数学语言的符号化、逻辑化及严谨性、抽象性等特点，对数学阅读有重要指导意义。

1、数学语言的高度抽象性，决定数学阅读需要较强的逻辑思维能力。在阅读过程中，读者必须阅读感知材料中相关的术语和符号，理解每个术语和符号，并能依据数学原理分析其间的逻辑关系，最后达到对材料的本质理解，形成知识结构。

2、数学语言的精确性，即每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇。阅读、理解材料时，必须了解其中每个数学术语和数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇。因此，浏览、走马观花等阅读方式不太适合数学阅读学习。

3、数学阅读要求认真细致。由于数学教科书编写的逻辑严谨性及数学“言必有据”的特点，要求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应细致地阅读分析，领会其内容、含义。对新出现的数学定义、定理一般不能一晃而过，要反复仔细阅读，并进行认真分析直至弄懂含义。因而数学阅读必须勤思多想。

4、阅读过程是一个再创造的过程, 数学阅读要求主动阅读, 要求学生主动地去探索结论, 而不是接受现成的结论, 思维的目的不是去印证而是去发现。例如数学证明的阅读,读完定理内容之后, 不马上看证明, 而是先分析题设与结论, 尝试去证明。 若证明出来了, 对照课本, 比较修正，找出问题所在，以加深印象; 若证不出来, 适当参考课本或者组内讨论, 再尝试证明。读写结合, 手脑并用,促使思维展开, 是提高阅读效率的重要途径。通过书写能加快加强记忆, 通过纸笔演算能促使积极思考, 有利于知识的同化和顺应。

二、数学阅读的作用 学生智力发展的诊断研究表明，学生 “数学语言”的特点及掌握数学术语的水平，是其智力发展和接受能力的重要指标。数学语言发展水平低的学生，在课堂上对数学语言信息的敏锐度相应较差，思维转换慢，从而造成知识接受量较少。教学实践也表明，这样的学生理解能力也差，时常发生困难和错误。因此，重视数学阅读，丰富数学语言系统，提高数学语言水平有着重要而现实的教育意义。其独特作用甚至是其它教学方式所不可替代的。

1、数学阅读有助于数学语言水平的提高及数学交流能力的培养。数学交流的载体是数学语言，发展学生的数学语言能力是提高数学交流能力的根本。然而，仅靠课堂上听老师的讲授是难以丰富和完善自己的数学语言体系的。只有通过阅读，做好与书本标准数学语言的交流，才能规范自己的数学语言，锻炼数学语言的理解力和表达力，提高数学语言水平，从而建立起良好的数学语言系统，提高数学交流能力。

2、重视数学阅读，培养阅读能力，有助于个别化学习，使每个学生能通过自身的努力达到各自可能达到的水平，实现 “不同的人学不同的数学”。 素质教育的核心问题是使每个学生都能得到充分发展，实现这个目标仅靠集体教学是办不到的，其有效途径是集体教学与个别学习相结合，而有效个别学习的关键是教会阅读。研究也表明，构成一些学生学习数学感到困难的因素之一是他们的阅读能力差，在阅读和理解数学书籍方面特别无能。因此，必须重视数学阅读教学。国内一些较为成功的教学改革充分说明了这一点，如中国科学院心理研究所卢仲衡先生的“自学辅导教学法”、上海育才中学的“读、议、讲、练“都收到了不菲的效果。

3、加强数学阅读有助于教材作用的充分发挥。数学教科书是数学课程教材编制专家充分考虑学生生理心理特征、教育教学原理、数学学科特点等诸多因素精心编写而成，具有极高的阅读价值。现状呢？多数师生并没有很好地利用教科书，上课循循善诱、深入浅出、娓娓动听地讲解，讲完就让学生翻课本，做练习或上黑板，之后，总结、布置作业，仅把教科书当题库。笔者认为，这恰是教师讲解精彩而部分学生成绩不理想的真正原因。美国著名数学教育家贝尔就数学教科书的作用及如何有效地使用数学教科书曾作过较为全面的论述，其中重要的一条就是要把教科书作为学生学习材料的来源，而不能仅作为教师自己讲课材料的来源，必须重视数学教科书的阅读。其实，我国义务教育数学教学大纲中已明确指出，教师必须注意“指导学生认真阅读课文”。国外也是如此，如前苏联“普通中学数学教学大纲”强调在组织数学教学的过程中，“必须注意使用教材，即在教师讲解之后，让学生阅读课文，根据测验的问题自学一定的材料，阅读习题或定理的简短文字；美国“学校数学课程与评估标准”也特别鼓励学生读数学书。因此，重视数学教科书的阅读，充分利用教科书的教育价值，已构成现代数学教育的特点之一。 浅谈数学阅读 高家堰中心校 谭卫东近年来，阅读理解题成了中考中的新亮点，很多试题引入了高中的新概念；还有如今新教材里删除的一些老教材里的思想方法编成阅读理解题，先阅读例题后加以模仿运用或创新运用；新的《数学课程标准》中强调要体现学生主动学习的过程，并适当增加阅读材料如数学史料、趣味数学问题、探索思考等。

一、阅读过程是一个转化的过程，是知识的同化和顺应的过程。数学阅读有其特殊性： 1．语言抽象，内涵丰富

数学语言具有简洁、无歧义的特点，在阅读过程中，读者必须认读感知阅读材料中有关的数学符号、图形符号等，理解每个数学术语。 2： 逻辑严密，思维严谨 在数学阅读过程中，数学材料主要是以归纳和演绎的方式呈现， 具有一定的严谨性，因此数学阅读需较严密的逻辑思维能力，要求记忆、理解、抽象、分析、归纳、类比、联想等思维活动都充分调动才能达到好的阅读效果。对新出现的数学定义、定理一般要反复仔细阅读，并进行认真分析直至弄懂含义。数学阅读也需要学生领会其中的数学思想，形成自己的数学观念，掌握数学方法。

二、培养数学阅读能力的方法策略 1：养成预习习惯，培养阅读方法，形成阅读能力。 预习习惯的培养，是学生自学能力培养的一个重要途径。预习是学生提前对将要学习内容进行阅读，包括阅读教科书和有关参考资料，对于数学教材中的某些内容特别是代数部分可先让学生进行预习，在预习过程中，要给学生提出明确的目标任务，要求他们先通读全文，了解本课的目标、重点与难点以及与旧知识间的内在联系，掌握教材中的识记内容，根据自己掌握知识水平的情况，试着完成课后作业，检查自己的预习效果和水平，找出自己不懂或不足的地方。 2：创设问题情境，激发阅读兴趣。 美国著名心理学家布鲁诺认为：“知识的获取是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动接受者，而应该是知识获得的参与者。”除了预习，教师在课上也可引导学生有针对性的部分阅读，并在学生阅读之前，教师适当地创设一些问题情境，从而可诱发和保持学生的阅读兴趣，创设问题情境时注意问题要新而有趣，富有启发性。也可引用经典数学故事、史料、课本上的阅读材料，如丢番图的墓志铭阅读方程、阿凡提的故事阅读乘方、面积恒等式证明乘法公式。我们还可以通过呈现与学生原有知识相矛盾的现象，设置悬念，或提供几个相互矛盾的方案、解答，使学生产生认知上的冲突，激发学生的好奇心和求知欲，引发学生阅读兴趣.3：在应用题、阅读理解题中培养学生的阅读能力。 比如，应用题的教学，在阅读的开始阶段，教师可根据学生的情况编写好以阅读的思考形式提纲挈领，学生在阅读思考问题的引领下进行数学阅读。教师还可根据学生的实际知识水平和应用题理解的难易用度，进行阅读示范，带领学生逐字句逐段进行阅读，指出一些关键词和关键数量关系, 用日常语言、图表语言、列式理清各关键词和关键数量之间的关系，从而掌握数学阅读的要领。 4：在几何教学中培养学生的阅读能力。 “空间与图形”的教学内容展开主要采用“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”，强调合情推理与演绎推理相结合起来的通过“观察、操作、归纳、类比等”获得数学猜测，要求学生获得数学结论应当经历合情推理—演绎推理的过程等活动，从而发展学生空间观念、有条理地思考和动手能力。 数学，被誉为“人类思维的体操”，对于培养人的分析能力、提高人的思维品质有极高的教育价值，是中学生必须具备的重要素质之一。 数学阅读教学案例 渔峡口中心学校 秦贵平每次考试完后,总有一些同学因种种原因,成绩不尽人意,问其原因,总是说：“题没看清”、“理解错了”、“没读懂”等因素，我认为归根结底还是数学阅读能力差所致。因此，培养学生的数学阅读能力就显得尤为重要。

案例1：画一条2厘米的线段，以这条线段的右端点为圆心，画一个直径是2厘米的圆。

我在两班中进行了解题对比：在九二班，给5分钟，完成后统计正误情况，结果51人中23人正确，5人画错了圆心的位置，23人画成了半径是2厘米的圆。在九三班，教学流程如下：①发出声音自由阅读题目；②用笔画出其中的数学概念词汇；③互相说说“线段”、“右端点”、“圆心”、“直径”这些概念的意义，再指名说一说；④自由地大声读题目，要求注意断词断句和轻重缓急，读通读懂读会，读出韵味；⑤3分钟完成作图。结果51人中45人正确，2人画错了圆心的位置，4人把圆的直径画成了4厘米。 本题要求先画线段再画圆，两件事的联系在于线段的右端点是圆心，连续完成两件事，前者对后者的隐蔽干扰很显著，正确率就成了问题。试想单独完成每件事，正确率会很高，而连续完成的不然，正凸现了“数学阅读”的重要性。 数学学习中，学生对数学阅读的掌握，很多时候惯性模仿往往占主导地位，审题时面对文字叙述走马观花，缺少独立深刻的阅读，当题目中诱导性干扰因素增加时，学生会显得尤其不适应。因此，教学中有必要引导学生用“心”阅读，指导学生通过阅读加深数学体悟，达成数学理解。 数学阅读离不开数学想象。数学阅读重在读通文字，读懂事理，读会算理。比如： 案例2：下面是一个圆锥的平面展开图，量出需要的数据，计算出这个圆椎的全面积和体积（注：扇形弧长3.14厘米，半径为4厘米）。 我将上题在九二班中进行了检测，结果51人中只有13人比较顺利地作出了解答，其余同学都表现出了不同程度的困惑，困惑集中在三点：①哪些是“需要”度量的数据呢？②扇形弧长不是整厘米，到底取多少呢？③计算全面积要知道底面圆的半径，没有圆心，怎样度量圆的半径呢？可以想象，顺利解答的同学，阅读平面展开图时，头脑里一定浮现出圆椎展开前的立体形象，扇形弧长就是圆椎的底面周长，扇形的半径就是圆椎的母线长，恰恰图中也只有这两条线段好度量，于是找到了“需要”。长3.1cm多一些，3.2cm少一些，取多少呢？当然是3.14cm了，这样能顺利计算出圆椎的底面半径是3.14÷3.14÷2＝0.5（cm）。面对那么多同学的困惑，想来也不“困惑”，问题出在“数学”地阅读上，伴随阅读，不能形成圆椎的正确表象，缺少了“空间观念”的支撑必然举步维艰。

语言文字是思维的外壳，数学思维的抽象性、严密性、逻辑性更依赖于文字符号的表述，对文字符号作数学意义上的阅读，以形成正确的数学理解，对数学学习相当重要，教学中我们要多重视数学阅读。 让阅读走进数学课堂 榔坪中心校 李金凤 一提到阅读，我们自然会想到语文有阅读，数学怎么也有阅读？实际上，现在大部分学生不会审题，不能从题目中很快的捕捉到有用的信息，从而解决问题，都是与学生的阅读理解能力有直接关系的。所以，数学的教与学离不开阅读。那么，怎样在数学课堂教学中培养学生的阅读理解能力呢，下面谈几点个人看法。

1、培养学生阅读的习惯。有些学生往往没有形成认真阅读的习惯，如，看书走马观花、做题时不认真读题、害怕应用题„„针对学生各种不良习惯，可以对学生进行耐心的思想教育，通过介绍数学家自学成才的故事，介绍学生中认真自学取得优异成绩的事迹，使学生认识到自觉认真阅读教材是学好数学的重要途径。为了养成学生看书的习惯，开始对每堂课布置预习提纲（以问题为主）或复习要点，在课上以提问或书面回答方式进行检查，表扬看书认真、回答得好的学生，对回答差错多的学生课后询问情况，教育帮助，促使学生较快地养成阅读教材的习惯。

2、针对教学的重点，难点，关键内容编拟出阅读思考题，让学生有目的的带着问题去思考。在新课教学中教师可把教学目标转化为学生的学习目标，根据学生具体情况编写阅读提纲，引导和启发学生在阅读中思考。编写提纲时通常可以以问题形式出现，让学生在问题的指引下进行阅读，从书中直接找出答案。 如：七年级《有理数的乘方》，教学内容较少，教学时间很宽裕，因此在课内安排十分钟的阅读在时间上是完全允许的。在学生阅读前教师设计好阅读理解思考提纲：如① 什么叫乘方？什么叫幂？两者有何联系与区别？② a5 表示什么意思？指出底数，指数，幂。③ 94 有几种读法？④ －22与（－2）2 相等吗？－23 与（－2）3相等吗？为什么？由此可以发现什么规律？这四个问题解决了，那这一节的内容就比较清楚了。当然针对不同的内容，有时也可以先让学生阅读，然后教师提问，从而指导学生如何阅读理解。

3、指导学生在阅读过程中能将文字语言、数学符号语言、图形语言互相结合, 或互相转化, 以达到对阅读内容的理解。如证明中遇到的定理，不需死记硬背，在理解的基础上借助于直观的图形用几何语言表达出来。如角平分线的性质定理，转化成如图： ∵ PC⊥AO，PD⊥BO，OP平分∠AOB ∴ PC= PD 在阅读数学概念定义后，要求学生能准确的叙述。阅读公式、法则后，除了能用文字语言叙述外，还要能用符号语言表示。如，幂的乘方法则，用文字语言叙述为：幂的乘方，底数不变，指数相乘；用符号语言叙述为：a的m次幂的n次方等于a的mn次幂；公式表示： 。

4、数学阅读过程应指导学生读与写相结合。在数学阅读过程中要求学生有良好的阅读习惯。如在阅读时碰到重要的或一时难以理解的概念，公式或是其中的一些字，词，可以作一些具体的记号，以示注意。对于一些遗忘的或不理解的概念时要有自己去查书或问问题的习惯，让学生在阅读时做到“眼到、口到、手到、心到。”

课文阅读完后要从中概括出一些东西，如这一节到底讲了什么？解题格式如何？用了什么方法？写在边上的纸上，以便以后复习巩固。 总之，数学阅读过程是一个完整的心理过程，包括语言符号（文字、数学符号、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素。同时它也是一个不断假设，证明，想像，推理的积极能动的认知过程。但由于数学语言的符号化，逻辑化及严谨性，抽象性等特点，学生阅读数学不会像阅读文艺小说那样轻松有趣，相反会感到枯燥乏味，意志力薄弱的学生就会选择放弃，只要我们重视数学阅读, 培养阅读兴趣, 养成阅读习惯,提高阅读能力,从点滴做起, 坚持不懈, 相信会卓有成效的.数学语言的教学是数学阅读教学的核心 贺家坪中心校 向兴河 数学阅读指的是通过对各种数学语言的感知,分析,综合,表达,来获取新信息、新知识,达到解决问题、创造新问题的目的。从一定程度上说，数学教学就是指数学语言的教学，因此在教学中强化数学语言的教学,才是提高数学阅读能力的关键所在。

一、数学语言的分类。1．文字性语言。例：“对顶角相等”、“GDP”，它包括中文、英文等不同国家的语言，他要求表述准确精炼。如：“对顶角相等”的题设是什么？应该表述为“有两个角是对顶角”，而不是“对顶角”，结论是什么？应该表述为“这两个角相等”，而不能表述为“相等”，也就是说，用文字性语言表述数学的时候，它和语文教学一样，把一句话必须说完整。 2． 符号性语言。它是用数学符号来代替一些文字性语言，取到书写、表达更简洁的作用，让数学变得更加抽象。例：“＞”表示“大于”、“⊙O”表示“圆O”、“”表示“根号”等等。 １、代数性语言。一个方程、一个不等式、一个函数解析式等等，都是用一个式子，来表述一种数学关系，这就是代数语言。如：y=2x-1, x2+2x+1=0, x-2＞1,„„ ２、几何性语言。它是结合几何图形，把数学符号与字母相结合，简洁清楚的表述数学关系的一种语言。如：直线AB、CD相交于0，则∠AOC=∠BOD.这就是几何语言表述的“对顶角相等”这样的文字语言。

（图1） ３、表格性语言。它是用一个表格的形式来表达数学语言的方式，使各种数学关系显得直观清楚。例：y是关于x的函数，其对应关系如下表： x „ -3 -2 -1 0 1 2 3 „ y „ -7 -5 -3 -1 1 3 -5 „

（表1） ４、图像性语言.它是在坐标系中，用曲线来表示数学关系的一种语言，这种表达方式更明显的体现出数学中量与量的变化。例：y与x的函数关系如下图象所示：

（图2）

二、数学语言的转化。在数学教学中，其实有很多问题就是数学语言的相互转化的问题，大多数教学过程是数学语言的相互转化过程。因此，在数学教学的时候，我们不仅是要强调各种数学语言，更重要的是实施好各种数学语言之间的相互转化，这才是教学的真正目的。 例：

1、文字性语言“对顶角相等”就可转化成几何性语言，如上述图1中的“直线AB与CD相交于O，则∠AOC＝∠BOD”。

2、代数性语言“x-2＞1”就可转化成文字性语言，即：“一个数的三分之一倍与二的差大于一”。

3、上述表一中y与x的函数关系可转化成代数性语言：“y=2x-1”，也可转化成上述图2中的图象性语言，而且这三种语言可以互相转化。不管是一个什么数学问题，往往都是先通过对这个问题进行感知，然后进行分析研究，达到解决问题、创新问题的目的，其实这个过程就是先通过数学的有效阅读，来实施数学语言的相互转化，最后用数学语言表达出来的过程。如：一个实际背景下的应用性数学问题，我们往往是先通过对它进行反复的阅读，感知题中文字性的、符号性的、表格性的、图象性等各种不同的数学语言，抽象出题中的等量关系、不等关系、函数关系等等，用方程（组）、不等式（组）、函数解析式、代数式、算式等代数性语言把它表达出来，最后用文字性、符号性等各种数学语言写出解答过程。 数学阅读的分类 麻池中学

万青松 提高数学阅读能力，增强阅读的有效性，就要了解数学的内容，了解阅读的分类。我在这里归纳了十二种分类方法，与大家共同交流。

一、按题型划分： 填空题阅读、选择题阅读、解答题阅读、证明题阅读、作图题阅读、操作题阅读等。

二、按阶段划分： 小学数学阅读、初中数学阅读、高中数学阅读、大学数学阅读等。

三、按呈现的载体划分： 图像型阅读、数字型阅读、文字型阅读、图表型阅读、概念型阅读、图形阅读等。

四、按信息源划分： 生活源数学阅读、科技源阅读、生物源阅读、医学源阅读、商业源阅读、经济源阅读、艺术源阅读。

五、按阅读量划分： 句式阅读、段式阅读、篇式阅读、章式阅读等。

六、按数学语言的特征划分： 抽象性阅读、思维性阅读、确定性阅读、可转化性阅读

七、按数学语言的成分划分： 自然文字语言阅读、术语概念阅读、符号语言阅读、字母数学数据阅读、图表阅读。

八、按阅读的感官分： 阅读读法、阅读记法、阅读写法、阅读思法、阅读听法、阅读看法、阅读悟法。

九、按阅读的方法划分： 类比性阅读、发散性阅读、迁移性阅读、收敛性阅读、体验性阅读等。

十、按阅读的层度划分： 了解性阅读、理解性阅读、掌握性阅读、运用性阅读，感受性阅读、体验性阅读、探索性阅读等。 十

一、按阅读的价值划分： 数学精神阅读、数学文化阅读、数学成果阅读、数学问题阅读、数学方法阅读。 十

二、按内容的出处划分： 古代数学题材阅读、现代数学题材阅读、国外数学题材阅读等。 研究之中，偶得感悟，请同行共同丰富。 数学阅读教学过程的理解 磨市中心校 刘中春

一、数学教学的过程是学生阅读数学的过程 让学生阅读数学的什么？①阅读数学的自然科学性，数学是一门自然科学，自然界的一切事物一切现象都存在一定的数量关系和空间关系。②阅读数学的基础性与工具性，数学是一切自然科学的基础，也是自然科学的工具。任何一门自然科学都离不开数学，数学的思想，方法，语言，思维方式是研究其他自然科学的基础。生活也离不开数学，商品买卖，储存贷款，等等都要用到数学，用数学的思想方式可以提高人的生活质量。③阅读数学之美。初等数学中的线段的“黄金分割”比例为0.618:1,人们在探索自然美以及艺术美的过程中发现“黄金分割”之比具有一种悦目之美，和谐之美。等等都使人产生美感。④阅读数学是一种文化。我国古代的河图洛书就是数的“方阵”，《易经》中的卦象都用数来表示，我国古代兵书中的“运筹帷幄，决胜千里”中的筹就是数码。让学生体验这些还可以增强民族自豪感。⑤阅读数学是一种思想。数学是一种科学思想，这种思想反映着数学知识的共同本质。数学之中含有丰富的思想：符号思想，集合思想，函数思想，分类思想，化归思想，极限思想等等。

二、数学阅读教学过程是教师与学生之间交往互动，感情交流的过程 教实质上是老师帮助学生建构知识体系和能力体系，学实质上是学生自主独立的建构自己的知识系统和发展自己的潜能，教学过程中教师的教与学生的学的统一实质就是交往互动。新课标强调，数学教学，学生不能只做听众，必须动起来，要动起手来操作数学，动起笔来推演数学，动起脑来思考数学发现数学质疑权威，动起口来讲数学和与同学老师讨论数学；数学教学要通过师生之间，同学之间的合作交往，促进学生个性的充分发展，使学生学会交往，逐步建立积极和谐的人际关系。 数学教学过程也是老师与学生感情交流的过程，面对拥有灿烂生命力的学生，老师必然把感情投注到教学之中，学生面对知识渊博充满智慧的老师必然敬佩有加，教学的过程就是教师的知识经验智慧与学生灿烂的生命活力的有机融合的过程。 总而言之，学生读懂教材，老师读懂学生，才是教学之本。 谈初中数学阅读的精确性 磨市中心校 柳家平随着社会的发展，科学技术的进步在不断的数学化，在社会的信息描述表达传递中更多的用到了数学语言，因此数学的学习不再单是一门科学学习，应该也是一种文化的学习，更是一种语言学习，数学这种语言的学习同样是离不开阅读的，在今天这个社会没有良好的数学阅读基本功是不行的。因此，在初中数学教学中应重视数学阅读与表达，培养学生良好的数学阅读表达习惯。数学阅读过程对包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆推理等各种心理活动过程。由于数学语言的符号化、逻辑性及严谨性、抽象性等特点更强，所以数学阅读又特殊与其它一般阅读，特别注意数学阅读精确性。 数学阅读的精确性首先体现在概念术语、符号和法则、公式与图表的理解上。如“绝对值”是“在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值”，绝对值的理解是在理解数轴的基础上来进行的，而数轴又是把数与形联系在一起最基本的工具，数轴又具有三个基本要素，有了数轴数与点又成了一个整体，这样使得绝对值最终点与点之间的距离。我认为这是对绝对值比较准确性的理解，有了这一几何理解的基础才能谈及其它。 又如，垂直符号“⊥”是两条直线的特定关系（初中阶段应是在同一平面两条直线相交成九十度），两直线的这一位置是很精确的。再如数的比较大小法则“数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小0，正数大于负数。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。”这一法则在阅读理解时要把握比较方法的总体性，又要理解分具体情况如何实施，才可能用好法则。对于数学概念、符号、公式、法则、图表，如果说都能精确把握其含意，学好数学是不成成问题的。 数学阅读的精确性其次体现在语言的描述上。如：“面积为1米2的正方形纸片第一次裁去一半，第二次裁去剩下的一半，如此下去，第八次剩下纸片的面积是多少？”这是对每次所裁量的精确描述。“一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合。”这是对两类队员运动状态的精确描述。“三角形任意两边之和大于第三边”，“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，“正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角”这是对几何图形特殊性性的精确描述。准确地把握上述是对不同情境下数量大小精确的描述，对于找准量与量之间的关系十分重要。 数学阅读的精确性还体现在问题情境的取舍上，如何舍去无关情境，把握正确的解决问题的方向是近年来在教学中出现的新问题。如新教材的课题引入一般有问题情境，如何引导学生注意与课题有关的情境，淡化与课题无关情境并集中分析问题。如在长长的应用题如何找到与解决问题相关的量，使问题迅速解决。如折叠问题中如何让学生从折叠情境中“解放出来”去找相等的量，从相等的量中去用与解题有关的量。 由于数学阅读的精确性特点，在数学阅读时不太适合采用快速阅读方式。而数学阅读必须勤思多想，因为数学阅读常出现这种情况，认识一段数学材料中每一个字、词或句子，却不能理解其中的推理和数学含义，更难体会到其中的数学思想方法。所以，数学阅读时还必须多动笔，如果从上一步到下一步跨度较大，常需纸笔演算推理来“架桥铺路”，以便顺利阅读。还有，数学阅读时常要求从材料中概括归纳出一些东西，如解题格式、证明思想、知识结构框图，或举一些反例、变式来加深理解，这些往往要求读者学会做阅读笔记加以小结，以便以后复习巩固。 也谈数学阅读 乐园初级中学 覃洪美 阅读是人们获得信息的一种工具，数学阅读是通过阅读获得数学信息，再对数学信息进行分类、加工等，从而获得用数学解决问题的思想、方法和能力，提升自身的数学修养，反过来更好地运用数学的眼光、数学的意识、数学的方法去探索世界。数学阅读能力是数学其它能力的起点、基础。因此，研究数学阅读能力的培养，就成了摆在每个数学教师面前的课题，也成了数学界的热门话题。数学阅读能力的培养要研究的问题很多，诸如数学阅读与他科阅读的异同点，培养学生数学阅读能力的基本原则，培养学生数学阅读的原则和方法，以及如何恰巧地应用那些心理理论、教育理论和认知理论，使数学阅读教学收到良好的效果等。笔者仅从在应用数学解决实际问题的过程中如何培养学生的阅读能力谈一谈个人的收获与体会。

一、概读、体验情景。不同的实际问题有不同的实际背景。概读中如果安排学生体验一下该问题的情景的环节，体验往往与联想、想象交织在一起，如读后要学生想象一下：该问题或是怎样一幅情节生动的人物故事画，或是怎样一幅俊秀的山水写意图，或是怎样一首动人心肠的优美诗句。经过这样的体验、欣赏，便可激发起学生对该问题的兴趣，进而增强学生立志、发愤解决问题的信心和意志。这一环节要把握好度，防止过度，影响学生数学思考的时间和空间。因为此时的体验欣赏并不是文学的欣赏，不是目的，只是为解决问题所做的一个情感准备，是一种助推器。 如例一：公元2008年5月12日14时28分，我国四川的汶川地区发生了里氏8.0级的地震，其震级之高，破坏力之大均为历史罕见。震后国家防震局准备在汶川在建一个地震观测站C,地址C是在一个三角形区域的一条马路ON上，在这个三角形区域的一条马路OM和另一条马路MN上原有一个地震观测站A和地震研究所B。为了节约人力、物力，尽量让两站一所资源共享，准备新建的观测站C应建在ON的什么位置。 (1)A、B到C的距离相等。（2）A、B到C的距离之差最大。（3）A、B、C三地的距离之和最短 ？ N B O A M 解决这个问题时，就要安排学生阅读后体验联想一下汶川地震发生的悲惨情景，国际国内志愿着救灾的感人故事和此刻中国人民所表现出来的崇高品质等。这样的铺陈，为解决此问题提供了精神动力。

二、细读建立数学模型。细读这一过程要在老师的指导和参与下阅读，要将读与思结合，经历一个去伪存真，去粗取精的过程。这里“伪”“粗”指问题的背景，问题的载体。不同的数学模型有不同的背景，就是同一数学模型也有不同的载体，不同的呈现形式。这里的“真”“精”指的是该问题涉及的数学过程，数学术语，数量关系等，这些才是我们研究的对象，研究的材料，研究的核心。然后确立可建立的数学模型是统计模型，概率模型，函数模型，方程不等式模型或是某类几何模型。然后回忆该类数学模型的相关知识，为解决问题做好了物质准备。 如例2：四川地震发生后，幸存的四川人民处在水深火热之中，急需从全国各省调运各种救灾物资，如帐篷、食品、药品棉被、矿泉水等。宜昌市也准备了大量救灾物资准备运送到四川省的各县市。现有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种。这三种运输方式的参考数据如下表，若这批物资在运输过程中的损耗50元/小时，宜昌至目的地Xkm 运输工具 途中速度（km/h） 途中费用（元/km） 装卸费用(元) 装卸时间（h） 飞机 200 16 1000 2 火车 100 4 2000 4 汽车 50 8 1000 2 (1) 如果用W

1、W

2、、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的费用总之出（包括损耗），求W

1、W

2、、W3与之间的关系式。(2) 应采用那种运输方式才能使运输时的费用总支出最少。 解决这个问题时，先安排学生概读体会三种运输方式的实际情景，接着指导学生细读，边读边做记号，边读边思考：第一个问题三种方式运输过程中有两个变量，两地路程发生变化时所需费用也发生相依变化。因此可确定为函数模型。第二个问题属于最优化问题可确定为不等式模型，实际问题的解就是对应的符合条件的不等式组的解。在此基础上研究两个变量之间的数量关系而获得问题的解就水到渠成了。

三、析读明晰数量关系。析读这一阶段，教师先要简介一些呈现数量关系的方式：有显性方式。如材料中的“和”“差”“倍”“份”“冥”等关键字眼，也有隐性方式。如例2中的数量关系就是隐性方式呈现的。然后在教师指导下阅读：若是显性方式，则紧紧抓住关键字眼，理清已知量与待求量之间的数量关系。若是隐性关系，就要有一定的敏感性，否则就是猫子吃乌龟。敏感性来自于历练，来自于经历每次“失败、挫折，----在他人帮助下获得成功”的过程，来自于对各种数学模型熟练的程度。如例2中的等量关系包括：（1）费用总支出=途中运输费用+途中损耗费用=装缸费用。（2）途中运输费用=单位里程费用×里程（3）途中损耗费用=装缸损耗+路途损耗（4）装缸损耗=单位时间内的损耗×装缸时间（5）路途损耗=单位时间内的损耗×行使时间（6）行使时间=行驶里程÷行驶速度 这一阶段的教学除了要发挥教师的引导作用，更要很好地促使学生发挥合作交流的效能，防止老师过快给出结论，要给学生给足动手、动脑、动口的时间和空间，在他们自主探索，亲身体验，合作交流的氛围中，解除自己遇到的困惑，分享个人与他人的成果，在这一氛围中倾听、质疑、说服、迁移、内化、叹服直至感到豁然开朗，这是数学学习的一种新境界，这一过程变成学生的主体性，能动性、独立性不断生成，张扬、发展、提升的过程，不仅学生数学能力会得到质的提升，甚至对促进学生人的发展都具有战略意义，尤其不要悲叹，启而不发，还要允许他们在探索的过程中迷路、挫折，甚至是失败，这些都是学生生存、成长、发展所必须经历的过程，失败也是一笔财富，这笔财富可能是对他们终生受益的东西，是一种难以言说的丰厚回报。

四、研读探究解法 这一阶段是在解读明晰数量关系的基础上进行数学解答的过程，也就是将数学模型具体化形式化的过程。因此，这一阶段要在前阶段交流成果的基础独立完成解答过程，在解答过程出现问题、疑惑时，再进行阅读，寻找病因和解答方法，即动手做数学的过程。 如：例2的解答如下： 第一问：W1=16x+1000+( +2) 化简，得：W1= X+1100 W2=4X+2000+（ +2）×50 化简，得：W2=X+2100 W3=8X+1000+(+2)×50 W3=9X+1100 第二问：若选飞机才能使运输时的费用总支出最少则需同时满足 即 解得X≤0与实际不符，不能选空运。 若选火车运输使运输时的费用总支出最少，则需同时满足

即 解得X 与实际相符。 若选汽车使运输是的费用总支出最少，则需同时满足 即 解得 0 X 与实际相符。 因此，当灾取与宜昌的距离不小于KM时，选铁路运输适宜，当灾区与宜昌的距离不超过KM时选公路运输适宜。

五、复读得到迁移升华 当所研究的问题获得解决后，学生有一种轻松、愉悦的心理外溢，这时教师可顺势提出，冷静回顾探索的过程能否寻求更大的满足，让学生思考交流。如：①研究的问题不变，可否对条件进行加强和削弱，若能可进行怎样的削弱和加强。②研究的问题不变，能否改变思维的角度，建立新的解决问题的思路与方法，并比较哪种方法是最优化的方法。③同一数字模型还能在生活中找出哪些情景呈载，若能编写出来。④在此类问题的阅读中常常会遇到一些什么障碍，怎样克服？⑤就其一点能否将自己的体验，收获写成小论文，见诸报端，等等。 这一过程不是同学的重读，而是从该问题中跳出来，从高处回看，形成解决此类问题的思维定势，使解决问题的各种综合能力得到提升，要提升这一阶段的质量，教师的确要真正做个有心人，勤于思索、勤于总结、勤于与学生交流，才会打开学生的发动机。 在解决实际问题中的数学阅读能力，是其它环节中数学问题能力的最高体现，这一阶段中数学阅读能力的提升则会直接导致学生其它数学能力的突飞猛进。为了达到上述目的，个人觉得要力争做好五个结合，即读与体验结合，在读中体验，在体验中阅读，为解决问题提供精神动力；读与思结合，读而不思则罔，思而不读则殆。在读中思索如何建立模型，在建模中审慎阅读。为解决问题提供物质储备；读与交流结合，在读后交流，交流中阅读，在交流中探求数量关系，为解决问题架设桥梁；读与做结合，在阅读后赏识如何做题，在做题重新阅读，使问题获得圆满解决；读与反思结合，在问题解决后反思，在反思后重新阅读，以求得自身数学素养的大幅度提升，使数学学习进入到“柳暗花明”的更新境界。 谈数学教学中的阅读作用 两河口中学 李玉敏

阅读是一种构造过程，在这个过程中，读者的推断能力与他原来的知识起关键性的作用。它让读者以一个主动者的身份积极地主动参与构造过程，那么在教学中，重视学生读，培养读书习惯不光是语文教学的重要手段，也是数学教学中的重要手段之一。因为数学也要通过读来帮助学生提高理解、分析能力，促进学生自主学习。我又是如何提高课堂教学质量，培养学生良好的阅读习惯呢？下面我就谈谈自己在教学中的几点看法。

一、课前精心设计自学提纲，激发学生学习兴趣。数学不同于语文。语文有故事情节，而数学课则以严谨、演绎的面貌出现，重在分析、推理和抽象概括。自学数学课文让学生阅读者一定困难，因而在课堂教学中，教师要根据数学课文的教学特点，积极创设让学生读书的境界，使学生对需阅读的内容产生兴趣，让他们探索未知，发现新知而积极主动地阅读教材，激发阅读的动机。因此，教师必须根据教材内容特点及学生的知识水平，理解能力编拟自学提纲。而这个提纲实际就是为学生安排一条思考探索的途径，这具有定向的作用，让学生按照自学提纲的内容进行阅读课文，以培养学生的独立阅读习惯。例如：教学解决问题的策略这一单元中，抛出的提纲是：1阅读教材发现问题（途径：阅读图片、表格、文字）

2、怎样解决问题（方法）整理信息和列式计算画图等。

3、什么策略？要求学生根据这些提纲象阅读语文一样根据这些问题进行圈点勾画，整体粗读，不懂就细读，关键处精读。从而知道哪些可以读懂，哪些还有困难，让学生带着问题读，这样不仅让学生在重点、关键地方多分析、多思考、多动手动脑，还可以帮助学生自觉地把握教材重点，找到难点，提高课堂教学质量。

二、重视方法指导，教学中巧设疑 学生在学习上对老师往往是一种依赖，特别数学，老师讲什么学生听什么，老师怎么讲他们就怎么听，这样限制了他们的智力发展。怎么解决这个问题呢？我认为老师应充分利用课堂指导学生看书，阅读学习内容，培养学生阅读能力，把知识点和阅读结合起来，巧妙设疑，把难点分散，带着疑问，有针对性地阅读揭示问题本质，深化知识。 如：认识射线、直线和线段是，首先我让学生阅读教材内容，然后巧设疑问“谁能说说线段、直线和射线有哪些特征？怎样理解它们之间的关系呢？”这样的质疑问题，既加深了学生的数学性质的认识，又加深了对数学性质的理解，从而激发了他们学习兴趣，解决课堂讲授的重点和难点。又如教角的度量方法时，我的设疑是：在量角时为什么要注意“两重合，一看数？”什么是两重合？什么是一看数？一看数看什么数等，然后让学生带着这些问题去阅读课本内容，去讨论，去反复地量角，从而达到了让学生积极主动参与学生的活动中，感受用实验数据说明问题的实事求是的态度与方法。

总之，中学数学教学要以“本”为本，精心设计，重视阅读，培养学生良好的学习习惯，是提高学生学习效果的重要手段之一。 我在阅读教学中的体会 鸭子口中心校 刘胜智 我在长期的教学实践中，有如下三点较为成功的体会．

一、阅读课教学必须以学生实实在在的阅读为基础．需要注意的是，学生要进行实实在在的阅读，而且不仅仅是停留在表面上的阅读．也就是说，学生在进行阅读过程中，应该始终伴随着大脑的深入思考．为了达到这一要求，在进行阅读课教学时，如面对的是还未养成一定阅读习惯的学生，就给出问题，让其带着问题进行阅读；如面对的是已形成阅读习惯的学生，就要求他(她)们在阅读过程中自己提出问题；如面对的是有相当阅读能力的学生，就要求其阅读之后，谈谈对课文的理解、看法、认识等．

二、学生对数学课文进行阅读，既要理解数学知识和理清它们之间的逻辑关系等，更要理清文章的结构．中心、段落大意等．实质上，一篇数学课文，就是一篇规范的说明文．要很好地阅读理解数学课文，这二者就是互为基础，紧密联系，缺一不可的． 例如，上面所举的一堂阅读教学课中，有的学生在对第一自然段进行阅读时，不能准确地理解第二层的含义，也不能准确地划分第三层，除定的数学方面的原因外，更重要的还是语文阅读能立不高。

三、对数学教材的阅读不应该只停留在数等课文上面，而应该是对包括例题、练习、习题在内的全方位阅读．从对例题的阅读过程中，可以提炼出数学知识、数学思想方法、解题技巧等；而有自练习、习题本是一些优美的结论，是对课文的补充或延续．总之，对数学教材的阅读需要逐章逐节，反复揣摩，有些甚至还可揣测编者的意图．

成功的阅读就要做到从现象深入本质，从少许见多许． 因此，成功的阅读必然伴随着深入的思考。所以，一堂有效的数学阅读教学课，也就是使学生进行积极而深刻的思考的数学课。 如何进行有效性数学阅读是我们一直探究的一个问题，其实作为一线教师，关键是将它落实到我们的日常教学中。平时我们都苦苦寻求阅读资料，其实课本是我们最好的阅读材料。因为课本是教与学的依据，是基础知识的主要源泉，是方法的指导，是无言的教师，因此，把读数学课本变成学生的习惯，以获得牢固的数学知识。 一般说来，数学的结构分为四个层次：直观素材——数学概念——结论——应用，阅读时每一个层次都不可忽视，但根据教学内容可选择阅读重点。读一节的 课本时要读细，一点一滴都要读到，不可囫囵吞枣。而读一章时要读粗，掌握这一章的重难点、关键点、易错易混点，变成知识树，也可画出知识结构图，把前后知识、横纵知识关系起来，这样读起来目的更明确，会收到好的效果。 阅读数学课本时不能一目十行，要一字一句斟酌，善于在阅读中思考，在思考中阅读。下面就怎样在阅读课本中思考谈谈我的做法：

1、数学概念引入前的直观素材，着重思考这些素材的共同的本质特征。例如，在分式概念引入是时，教材中提供了素材，并要求将素材中的问题用式子表示出来，然后要学生寻求式子的共同的本质特征是什么？它们是分数吗？这样就引起学生思考，并有 朝下读的兴趣。

2、数学概念，要抓住定义中的关键字词句进行思考 如分式的定义，它由两句话构成，第一句是“整式A除于整式B，可以表示成A/ B的形式”，第二句是“如果B中含有字母”。在这两个条件缺一不可的条件下，式子AB叫做分式。这里哪是关键字词句呢？应为：“A/ B 的形式, B中含字母”。那就是说10X，8/5 ， a/3都不是分式，因为10X不具有A/ B 的形式，8/5、a/3虽具有A/ B 的形式，但分母中不含字母。由定义可知：整式B是除式，而除式的值不能为0，所以分式的分母的值不能为0。因此，紧扣定义，特别是紧扣住关键字词句，就能掌握概念的实质。

3、公式、定理、性质、法则等，要着重思考。它们的条件是什么？结论是什么？在什么范围内可用？这些条件能否增减？能否更换？这些结论如何证明？

4、课本上的例题思考 这个例题放在这里的地位和作用是什么？能否自己独立完成？若能解出来，与书上的解答对照：是否有错误，为什么错？是否完整，忽略了什么？解法对了，谁优谁劣，还有没有新的 解法？此题对你有何启示，通过思考，总结知识的应用规律。 总之，对于教材我们可挖掘的太多，可以给我们很大的思考空间。因而作为一线教师，只有在深入研究教材的基础上，才能更好的引导学生进行阅读，让学生真正做到在阅读中思考，在思考中阅读。 注重课本，善思善读 磨市镇中心学校 杨昌胜 如何进行有效性数学阅读是我们一直探究的一个问题，其实作为一线教师，关键是将它落实到我们的日常教学中。平时我们都苦苦寻求阅读资料，其实课本是我们最好的阅读材料。因为课本是教与学的依据，是基础知识的主要源泉，是方法的指导，是无言的教师，因此，把读数学课本变成学生的习惯，以获得牢固的数学知识。 一般说来，数学的结构分为四个层次：直观素材——数学概念——结论——应用，阅读时每一个层次都不可忽视，但根据教学内容可选择阅读重点。读一节的 课本时要读细，一点一滴都要读到，不可囫囵吞枣。而读一章时要读粗，掌握这一章的重难点、关键点、易错易混点，变成知识树，也可画出知识结构图，把前后知识、横纵知识关系起来，这样读起来目的更明确，会收到好的效果。 阅读数学课本时不能一目十行，要一字一句斟酌，善于在阅读中思考，在思考中阅读。下面就怎样在阅读课本中思考谈谈我的做法：

5、数学概念引入前的直观素材，着重思考这些素材的共同的本质特征。例如，在分式概念引入是时，教材中提供了素材，并要求将素材中的问题用式子表示出来，然后要学生寻求式子的共同的本质特征是什么？它们是分数吗？这样就引起学生思考，并有 朝下读的兴趣。

6、数学概念，要抓住定义中的关键字词句进行思考 如分式的定义，它由两句话构成，第一句是“整式A除于整式B，可以表示成A/ B的形式”，第二句是“如果B中含有字母”。在这两个条件缺一不可的条件下，式子AB叫做分式。这里哪是关键字词句呢？应为：“A/ B 的形式, B中含字母”。那就是说10X，8/5 ， a/3都不是分式，因为10X不具有A/ B 的形式，8/5、a/3虽具有A/ B 的形式，但分母中不含字母。由定义可知：整式B是除式，而除式的值不能为0，所以分式的分母的值不能为0。因此，紧扣定义，特别是紧扣住关键字词句，就能掌握概念的实质。

7、公式、定理、性质、法则等，要着重思考。它们的条件是什么？结论是什么？在什么范围内可用？这些条件能否增减？能否更换？这些结论如何证明？

8、课本上的例题思考 这个例题放在这里的地位和作用是什么？能否自己独立完成？若能解出来，与书上的解答对照：是否有错误，为什么错？是否完整，忽略了什么？解法对了，谁优谁劣，还有没有新的 解法？此题对你有何启示，通过思考，总结知识的应用规律。 总之，对于教材我们可挖掘的太多，可以给我们很大的思考空间。因而作为一线教师，只有在深入研究教材的基础上，才能更好的引导学生进行阅读，让学生真正做到在阅读中思考，在思考中阅读。 数学阅读方法浅见 贺家坪中心校

杨玉贤 我今年任教八年级两个班的数学，在数学学习过程中，怎样提高阅读效率，是同学们十分关心的一个问题。本人根据个人体会，分以下三种情况予以说明，供同仁们参考。

一、在预习中的进行阅读 无论是上课前预习新课，还是在课堂上预习老师指定的内容，我们可以分三步完成。 第一步，迅速找出预习内容涉及哪些旧知识点、引入哪些新知识点；读“引子”，读“为什么”，激发自己求知与探索的欲望。 第二步，检查那些旧知识点是否掌握，如果自己还未掌握那些知识点，我们就要马上阅读课本或者向老师、同学请教。总之，我们要在短时间内及时选择简便易行的办法补救。 第三步，读新概念，从字面及字面后的数学含义来理解新知识点，记住新知识点的含义、并弄清它们的来龙去脉后，还要了解新知识点的运用。最后，记下自己不懂的地方，等待在老师的指导下弄明白。 例如，同学们在预习《菱形》一节时，首先要从“有一组邻边相等的平行四边形叫菱形”的定义中认识到菱形也是平行四边形——旧知，又要紧扣菱形毕竟是特殊的平行四边形，即“邻边相等”这一补充条件——新知；于是，我们不难知道菱形应具有平行四边形的性质，这时就需要我们回顾平行四边形的性质，然后我们根据补充条件看一看菱形的边、角、对角线、面积计算该有怎样的变化？不明确的问题要仔细分析、相互讨论或请教老师。

二、在练习中进行阅读 练习中的阅读有以下两种情况： 一是认真读题，准确找出题中的已知条件、隐含条件和需要解决的问题，继而寻找解决问题的途径。 例如，我们在学习正方形时，首先要知道将会用到正方形性质（已知）。所证结论“BG=CE”中，两线段BG、CE不仅不在同一三角形中，而且也没有中间量可替换，然后推测是否可以通过证线段所在的两个三角形全等来完成，进而挖掘以上证明的已知条件（EA=BA,AC=AG）和隐含条件（对应边的夹角相等） 二是当解答习题棘手时，迅速阅读与此题相近的例题、习题，重温知识点的变化规律，从而 比较出本习题的不同之处，挖掘解决问题的突破口。 如《约分》一节，让学生先阅读例题。 例3．化简下列分式：（1） （2） 第一小题约分时分子分母同除以什么？2ab 实际上是什么？分子分母的公因式是如何确定的？当分子分母的系数是整数时，取他们的最大公因数与分子分母中相同因式的最低次幂的积。第二小题第一步首先应因式分解，用什么方法分解？为什么要因式分解呢？分解了后出现了公因式可以约分。比较这两道小题有什么不同呢？第一个小题分子分母都是单项式，第二个小题分子分母都是多项式，要约分必须先要因式分解。例题讲完后的两点注意，教师似乎是自言自语，其实是告诉学生方法与规律，以及老师是如何一边阅读一边思考的。

三、在复习中进行阅读 复习中的阅读，主要在于归纳相关知识点的运用方法、总结涉及的题目类型，这时不仅要阅读课本，也要阅读已有的辅导资料，还要翻阅自己做过的练习题。最后分章节做个提纲式总结，并记好笔记。 如：我们复习《二次根式》时，首先要归纳本章学过的公式，及公式中字母的取值范围；其次要总结二次根式话件的两种情况，（被开方数的分解和分母有理化）；然后进一步总结分母有理化中可能出现的几种情况（含有理化因式的求法）。当我们自己通过翻阅课本、资料，并能以题目为例完成以上提纲后，我们就基本掌握了本章的主要内容。 在师生共同尝试与探索完新知识后，还要重新阅读课本，采取先复习后做作业的方法.在理解的基础上复习与记忆，在记忆的过程中加深理解。尤其在单元复习或总复习时，更要阅读好课本.再次阅读课本的过程是同学们思维加工制作的过程。多次理解与加工制作，可使知识经久不忘。 数学应用题的阅读技巧 榔坪中心学校 袁本顺 数学阅读能力是学生必须具备一种能力,有了这种能力才能使学生的数学技能真正提高,那么该怎样阅读一个题目，怎样才能读懂一个题目,该注重什么地方，尤其是数学应用题更是数学阅读能力的集中体现。下面我通过一个具体的题目来分析阅读的技巧。 例如：投资十亿多元的国家游泳中心水上项目场馆“水立方”是北京奥运会新建的场馆之一，预计于2007年10月竣工，同时对外开放.开放期间的收益由国际国内比赛训练场馆费、门票收入等直接经济收入和因开放带来的广告、歺饮等间接经济收入组成.估计在开放的首个季度内（10～12月），比赛训练场馆费收入约为20万元，相当于门票收入的40％，而每1万元直接经济收益可带动2.8万元其它间接经济收入.(1) “水立方”在竣工后的首季度一共可获经济收入多少万元？ (2) 到明年6月底因筹备奥运会将封馆.在07年10月至08年6月的三个季度内，“水立方” 各项收入都将在每个季度以相同的速度增长，估计开放的第二个季度“水立方”将获得的场馆费是所有新建奥运场馆在首季场馆费收入的75％，是首季度除“水立方”外其他新建场馆在首季获得场馆费收入的1.25倍.按此估计，到明年6月底前，开放“水立方”场馆一共可创收多少万元?（结果保留到万元） 分析：解决应用题问题，首先要通过反复的读题以 达到弄懂题意，然后理清题中的一些数量关系，而且有些 关系只有在你实际做题的过程之中才发现要解决这个问题 就必须还知道某个数量关系，然而如果不知道，怎么办？ 这时候只有通过重新读题目，反复地读题目，进一步的咬 文嚼字才能找到所需要的数量关系，这说明有时候带着“需要”去读题目才能找到所需要的数量关系。 这个应用题我们通过读题可以找到如下一些等量关系： 1． 首季的场馆费（20万元）=门票收入×40﹪，门票收入=场馆费÷40﹪ 2． 每1万元直接经济收入→可带动2.8万元的间接经济收入， 这里涉及到的直接经济收入和间接经济收入又是什么呢？于是再读题目就一定会明白，这就是我们要找的关系： （1）直接经济收入=场馆费+门票收入 （2）间接经济收入=直接经济收入×2.8万元.3.“水立方” 竣工后的首季度一共获得的经济收入=直接经济收入+间接经济收入。 那么“水立方”在竣工后的首季度一共可获经济收入多少万元？ “水立方” 竣工后的首季度一共获得的经济收入 = 直接经济收入 + 间接经济收入。 = 直接经济收入 +（直接经济收入×2.8万元）.=（首季度的场馆费+门票收入）+（首季度的场馆费+门票收入）×2.8万元.=（ 20 + 20÷40%）+（ 20 + 20÷40﹪）×2 .8 =（20+20÷40﹪）×（1+2 .8） = 266（ 万元） 。 那么解决第二问需要明白哪些数量关系？通过进一步读题目会发现： 1． 第二季度“水立方”场馆费=所有新建奥运场馆首季度获得场馆费的×75％ 2． 第二季度“水立方”场馆费=（“水立方”外）其他新建场馆首季度获得场馆费×1.25 3． 首季度的所有场馆费=首季度“水立方”场馆费+首季度“水立方”外其他场馆的场馆费。 或: 首季度“水立方”场馆费=首季度的所有场馆费－首季度“水立方”其他场馆的场馆费。 4． 水立方” 各项收入都将在每个季度以相同的速度增长→这是什么意思？ 即：“水立方”的场馆费增长速度= 门 票 收入的增长速度 =广告、歺饮收入的增长速度 = 直接经济 收入的增长速度 = 间接经济 收入的增长速度 = 总 收入 的增长速度 5．“水立方”三季度的总收入=一，二，三的收入的和。 第2问要求的是什么？ 是求“水立方”三季度的总收入。 为了求“水立方”三季度的总收入，需知道1，2，3季度的收入，第1季度的收入已求出（是266万元），而要知道第2，3季度的收入就需要知道收入的季度增长速度。 这个速度是多少？ 由第4点知道，每个季度的速度增长相同，因此如能求出其中任何一个量的季度增长速度，那么各种量的增长速度就都是这个速度。 那么可以求出哪个量的季度增长速度呢？考虑到第1季度的场馆费知道（是20万元），如果能求出第2季度的场馆费就能求出季度增长速度了。 那么第二季度“水立方”的场馆费是多少？有两种求法： 求法（1）：设第二季度“水立方”获得的场馆费是 x万元, 则由第1点得,所有新建奥运场馆首季度的场馆费是 x/75% 万元,由第2点得, 除“水立方”外其他新建场馆在首季获得场馆费是 x/1.25 万元,于是由第3点得 x/75%- x/1.25万元=首季度“水立方”的场馆费,而首季度“水立方” 场馆费是 20 万元，从而列得方程是 x/75%- x/1.25=20 解得 x=37.5 万元 求法（2）：设第二季度除“水立方”外其他新建场馆在首季获得场馆费是x万元，则由第2点得第二季度“水立方”的场馆费=1.25x万元,由第3点得首季度的所有场馆费=(x+20) 万元,由第1点又得第二季度“水立方”的场馆费=(x+20)×75%万元,由第1,2两点知：“水立方” 场馆费是1.25x万元或(x+20)×75%万元，于是列方程得： 1.25x=(x+20)×75% 解得 x=30 万元 因为第一季度“水立方” 场馆费是20万元 所以第二季度“水立方”场馆费是1.25x=37.5万元 那么“水立方” 场馆费的增长速度是多少？ 首季度“水立方”的场馆费是20万元,第二季度“水立方”的场馆费是 37.5万元,增长速度就是(37.5－20)/20=87.5%, 那么各项收入的季度增长速度是多少？ 由第4点得各项收入的速度增长速度也是87.5%, 那么“水立方” 三季度的总收入是多少？ 第1季度“水立方”总收入是266万元 第2季度“水立方”总收入是266(1+87.5%)万元 第3季度“水立方”总收入是266(1+87.5%)万元 “水立方” 三季度的总收入是266+266(1+87.5%)+ 266(1+87.5%)万元≈1700万元 于是所有问题得以解决。完整的解法如下： 解：（1）：“水立方” 竣工后的首季度一共获得的经济收入 =（ 20 + 20÷40%）+（20 + 20÷40﹪）×2 .8 =（20+20÷40﹪）×（1+2 .8） = 266（ 万元） 。 （2）：设第二季度“水立方”获得的场馆费是 x万元, 则所有新建奥运场馆首季度的场馆费是 x/75% 万元, 除“水立方”外其他新建场馆在首季获得场馆费是 x/1.25 万元,从而列得方程是 x/75%- x/1.25=20 解得 x=37.5 （万元 ）

“水立方”场馆费的季度增长速度是(37.5－20)/20=87.5%, 各项收入的季度增长速度也是87.5%, “水立方” 三季度的总收入是 266+266(1+87.5%)+ 266(1+87.5%) ≈1700（万元 ） 答：“水立方” 竣工后的首季度一共获得的经济收入是266万元， “水立方” 三季度的总收入 ≈1700万元 当然，通过一个题目是不能全部体现出阅读的所有技巧的，在这里只想激发出你学习的激情，就达到了目的，我想只要你有信心，有决心去学，就一定能提高自己的阅读能力。 在课堂教学中如何体现“有效性阅读” 贺家坪中心学校 张云飞 数学是一门语言，“数学教学也就是数学语言的教学” 数学语言具有简洁、无歧义的特点，但数学语言往往内涵丰富，具一定的抽象性。阅读是人类社会生活的一项重要活动，是人类汲取知识的主要手段和认识世界的重要途径。数学阅读是学生根据已有的知识经验，通过阅读数学材料构建数学定义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识发散思维学习数学语言的途径。从语言学习的角度思考，数学教学必须重视数学阅读。重视数学阅读，有助于提高学生的数学水平、自学能力及交流能力。从人的发展、人才的培养角度思考，数学阅读能力的培养，是学生养成终身学习的基础。我们的数学教学中，我们要充分认识数学阅读的重要性，应该重视数学阅读的教学，充分利用各种的形式，培养学生的阅读能力。

一、课题研究的现状 由于数学语言的高度抽象性，数学阅读需要较强的逻辑思维能力。在实际教学中，学生必须感知阅读材料中有关的数学术语和符号，发现每一个术语和符号，理解每个术语和符号，挖掘每一个术语和符号。并能正确依据数学原理分析它们之间的逻辑关系，以达到对材料的理解，形成知识的构建，这个过中逻辑推理思维特别多，而一般阅读较少运用逻辑推理思维。所以，学生在这方面的阅读能力几乎是零。数学阅读要求有效性，与其它的阅读有一定的区别，例如阅读一本小说或故事书时，可以不注意细节只注重情节，可以进行跳跃式阅读，甚至可以删减式阅读。但数学阅读是不行的，因为数学知识的严谨性以及数学“言必有据”的特点，要求对一句话、每个名词术语、每个图表都应细致地阅读，细致地分析，领会其内容、含义，而学生在这方面的阅读能力也可以说几乎是零。因此，我们在日常教学中重视学生数学语言水平的提高以及数学交流能力的培养学生，而这仅靠课堂上听老师的讲授是难以丰富和完善。只有通过阅读，通过用标准数学语言的交流，规范学生的数学语言，锻炼学生数学语言的理解和表达能力，提高数学语言水平，从而提高数学阅读能力。

二、对课堂教学中“有效性性阅读”的几点认识 一是数学阅读具有很强的教育教学功能，将数学阅读容入到数学课堂教学基本环节中去，改“讲练”结合教学方式为“读读、议议、讲讲、练练”四结合方式，积极优化课堂教学结构。比如，在学习完全平方公式时，让学生先阅读《杨辉三角》的材料，再让学生讨论公式产生的过程，然后让学生讲一讲公式的特点，最后用几道题加深印象。同时把这些材料与数学教学结合起来对学生进行思想、精神、道德、意志等方面教育，激发他们学习科学知识的动力，培养他们树立起刻苦钻研和创新的精神，以达到双赢的目的。 二是注重课堂阅读方法的指导，如果让学生盲目的去阅读。这样不仅达不到好的效果还浪费了时间。我们可以在让学生阅读之前，讲授一些阅读和学习的方法，教学生如何阅读数学教科书中的素材时，教师也可以先选择几段书上的内容，向学生讲述自己阅读时的做法以作示范，以提高课堂教学效率。如“乘方运算法则”教学时，先让学生阅读，选择： =( )， 还是 ? =( )， 还是 ?，此时，教师不失时机，揭示方法，引导学生阅读。 三是重视数学阅读，培养阅读能力。由于数学阅读具有它的特殊性，所以在教育教学中要特别重视，尤其是让学生中的后进生时常会感到他们通过阅读而成功地学会了一些东西，以提高数学阅读的自觉性，建立自信心，同时激发学生阅读数学的兴趣。如3-x与x+1成反比例关系，x是多少？本题先读懂3-x和x+1分别表示什么含义，如何理解3-x与x+1成反比例关系，怎样列方程？

三、怎样在课堂教学中将“有效性阅读”提升 一是要相信学生的阅读能力，鼓励学生主动地阅读，让学生学会享受阅读快乐，让学生在阅读中获得成功的体验。不管是好学生还是差学生，他们或多或少都具有一定的的阅读能力，要以语文阅读能力为基础，将外语阅读能力、科技阅读能力、图片阅读能力等在内的阅读能力综合起来，形成有效的阅读能力。例如图形的全等中，我们可以先用同底的照片，五星红旗等让学生去看再阅读书中的内容。让学生自己总结归纳全等图形的特点。 二是合理安排阅读时间，控制阅读深度。根据学生的年龄特点、认知水平和阅读习惯安排阅读。低年级的学生阅读能力较弱，可先安排简单的，阅读量小一点的，也可以采用讲读结合的方式，给学生提供较详细的阅读提纲，逐步提高他们的阅读能力；高年级学生阅读能力相对较强，减少讲读，充分让学生挖掘。例如：︱x+3︱+︱y︱ =0求x,y的值？对于低年级的学生可以让学生思考下面的问题：

1、︱x+3︱始终是什么样的数？ （正数或零）

2、︱y︱始终是什么样的数？ （正数或零）

3、正数 + 正数, 零 + 零,正数+ 零有几种结果？ 而对高年级学生就没有这个必要了。 三是注重总结经验，养成良好的阅读习惯。阅读完一个内容后，要对所读的知识进行归纳小结，要理清脉络，对内容进行比较。总结经验指出不足。要鼓励学生变被动阅读为主动地阅读，要课内读，更要课外读，不仅读课本，还要学会选择参考读物，指导学生养成写读书笔记的习惯，经常书写读书心得。阅读不能流于形式，盲无目的的阅读，作为初中数学教师，我们应重视“数学阅读”在课堂中的渗透。

《数学证明方法.doc》

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