一节高三一题多解课的听课感悟

一节高三“一题多解”课的听课感悟

摘要：要有充分的时间让学生动手做题，让学生自己去摸索，自己去体验，遇到难以解决的问题，教师适当进行点拨，最后自己总结解题经验，让学生体验成功的喜悦.笔者认为，题不在多，关键在精，不讲究面面俱到，但要有代表性.教师在课堂上要尽量少讲，甚至闭嘴，要做到学生能完成的事情让学生自己去完成，要让学生在课堂上当家作主，充分体现学生的主体作用，将课堂真正还给学生.关键词：少讲，多练，将课堂真正还给学生.

高三数学课，以复习课为主，为了达到复习效果，为了攻克重点、难点，教师大多采用一题多解、一题多变的形式教学.笔者也经常采用这两种形式上课.但是，在一题多解课上，一道题有很多种解法，是不是每种解法都要讲，讲到什么程度，怎样取舍，对学生更好，在课堂上怎样体现学生的主体地位，怎样把握好这个度，一直是笔者在思考的问题.前一阶段，笔者听了一堂一题多解课，颇有感触.1．课堂

1.1问题的提出：

给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120，如图1所示，点C在以O为圆心的弧AB上变动，若OCxOAyOB，x，y∈R，求x+y的最大值. 1.2 问题的解决：

教师：请同学们思考，并解题

学生都积极思考，教师下来巡视学生的解题情况.3分钟过后，有学生甲给出了解法1：OCx2y22xyOAOB 1x2y2xy(xy)23xy 2图1

xy(xy)23xy131

22(xy)24 xy2

当且仅当x=y=1时取等号.讲解完毕

评说：向量与数量的转化，最基本的方法是将式子两边平方，利用向量的平方等于模的平方将向量关系转化为数量关系，这是解决向量问题最基本的转化思想，在这点上，学生能很快想到，并且给出正确解答，说明教师平时在这方面花的功夫不少.接下来教师询问还有没有不同的解法，很快学生乙给出了如下解答：

1解法2：如图2建立平面直角坐标系，则OA=（1，0），OB(,2y3y3OCxOAyOB(x,0)(,y)(x,y)

2222y321(x)2(y)

22y 3)， 21x2y2xy(xy)23xy

xy(xy)3xy131

222(xy)4 xy2

当且仅当x=y=1时取等号.教师：很好.投影 2x 图2 评说：对于向量问题，如能建立坐标系，用坐标将向量问题转化为数量问题，也是经常采用的方法，学生掌握不错.教师：还有其它解法吗？过了一会，见学生没有什么反应，教师就给出了提示，设∠COA=，则会有什么等量关系呢？ 一会儿，学生丙给出了如下解答： 解法3：如图3，设，则OC(cos,sin)，(0,2)，由解法2得 31yxcossincosx23

2sin3yysin23xycos3sin2sin(6)2

当且仅当3取等号.教师：还有其他解法吗？学生丁：

解法4：如图4，过C作CD//OB，CE//OA，分别交OA，OB于点D，E两点，则OD=x，OE=CD=y，OC=1，∠ODC=60，∠OCD=120，由正弦定理得：

xy12sin(120)sinsin603xy2323sin(120)，以下解法同上

sin评说：利用解三角形的思想来解决向量问题，想法新颖，让学生开阔思路，且比较精炼，学生容易想到，非常不错. 教师：还有其它解法吗？

教室里学生已没有先前的踊跃，没有其它思路.教师：如果分别在等式OCxOAyOB两边同乘OA，OB，这样构造一下，大OCOAxOA2yOBOA家看看会怎样..2OCOBxOAOByOB让学生思考片刻，有同学恍然大悟.

1学生戊：两式相加，右边变成（x+y），将x+y又一次构造出来，后面的解法同

2前.评说：此解法是一个特例，技巧性较强，学生不容易想到，是一个“巧解”，但并没有多“巧”，笔者认为，这个解法可以不讲.此例讲解完毕.此时离下课已不足2分钟.紧接着教师又给出了一个变式：给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120，如图5所示，点C在OAB的内部（包括边界），若OCxOAyOB，x，y∈R，求动点M(x，y)所构成的区域面积.（约5分钟）

提示：先考虑点C在线段AB上.学生思考片刻，教师见学生没什么反应便开始讲解：若点C在AB上，则x+y=1，则由点C在三角形内部可得

0x10xy1，又由平面向量基本定理可得，再由线性规划即可得解.

0y12．评说

2．1 亮点

2．1．1精炼选题，让学生有了充分的发挥空间

整个课堂只有一个例子，后面这个也是这个题的变式，此例虽然是一个老题，但非常有分量，有代表性，基本上能将向量当中要体现的思想与方法都体现了出来，体现了转化与化归思想，做到了少而精. 2．1．2学生参与度高

学生积极参与，能力较强，向量的基本方法（两边平方与坐标法）掌握的不错，教师在这方面下的功夫得到体现，作为一个省二级重高的中等学生来说，非常难得. 2．1．3教学环节流畅自然

课堂内容饱满，学生思维活跃，教师讲解到位，精讲，精炼，废话很少，能将大部分时间还给学生，使学生有充分时间思考，解题.课堂衔接自然，流畅，整节课下来，教师没有多余的话语，让学生多动，多想，多写，学生的活动充斥整个课堂，思路清晰，课堂效果不错.2．2 缺憾

2．2．1 没有小结

没有课堂小结，笔者认为，并不是每堂课都要有小结，但对于这节课来讲，小结是必要的，如果能在讲完例子以后，直接让学生进行自我小结，让学生发表自己的看法或者心得体会，课堂效果会更好一些.

2．2．2 拖堂

在讲完例子以后，只剩2分钟，教师给出了后面的变式，时间花去5分钟，这个题对学生而言，是个难题，学生很难自己完成，与其解决不了，还不如不讲，如果一定要让学生见识一下，可以将其作为思考题，让学生课后去思考，等到下次再讲解.做为年轻教师，在时间把握上有待加强. 2．2．3细节的处理不够精准，形成误解

画图相对要准一些，特别是平行线，一定要平行，如果画平行了（如图6），

0x1会发现其变式的解答有问题，限制条件有待商榷，应将条件改为

0y10x0y23才对.23

3．感悟

3.1一题多解，一题多变要合理运用，通性通法要重点讲解，不能含糊

习题课，概念理解课，复习课，教师经常会用一题多解，一题多变的形式上课，这样可以激发学生思维，可以层层递进，突破难点，达到课堂的高潮.但是对于一题多解，笔者认为教师一定要有侧重，不能几种解法同等地位，应侧重于通性通法地讲解，对于那些所谓的“巧解”，只需让了解一下即可，有的甚至可以不讲，比如在本课例中，解法1与解法2是通法，要着重讲，要讲透彻，而最后的一个解法，只是正好凑巧，是个案，对普通学生来讲是可讲可不讲的，而且可能讲多了，反而会冲淡前面通法的意义.因此笔者认为对于中等生来讲，要着重对通性通法的讲解，将讲解“巧解”的时间空出来，让学生自己来寻求通性通法，自己来掌握通性通法，培养最基本的数学素养与思维能力，同时还可以培养学生不焦不躁的解题作风，不紧不慢的思维作风，让学生真正静下心来. 3．2让学生真正做课堂的主人，构建有效课堂

杭州市教研室李老师将数学题大致分为三大类：可做题、可动题与可怕题.对于可做题要求做得准而快，可动题要多得分，可怕题要能得分.那么对于教师来讲，选择课堂例题，应在可动题里面选择，要有充分的时间让学生动手做题，让学生自己去摸索，自己去体验，遇到难以解决的问题，教师适当进行点拨，最后自己总结解题经验，让学生体验成功的喜悦.笔者认为，题不在多，关键在精，不讲究面面俱到，但要有代表性.教师在课堂上要尽量少讲，甚至闭嘴，要做到学生能完成的事情让学生自己去完成，要让学生在课堂上当家作主，充分体现学生的主体作用.要将课堂真正还给学生，笔者认为，必须要做到以下几点： （1）例题要少而精，要有代表性，象上例这样一题多解的，基本上一题足矣.（2）提倡先做，后讲，甚至可以不讲，将学生的解法通过适当的修正即可，要让学生有充分的时间思考，动笔，让学生形成自己的思想，自己的思路，不要想牵着学生的鼻子走，要学会放手，保姆式的教学是最要不得的.（3）要回归课本，充分体现数学思想.很多课本上的习题与例题是很典型的，它的典型性与示范性不是参考资料上的题所能取代的.当然回归课本，并不是简单地将课本中的例题、习题重做一遍，而是要让学生从教材基础题中自己提炼出解题方法、解题思想以及从中蕴含着的数学思想，思维模型.（4）要落实训练，让学生有充分的时间进行思考.

在学生训练的过程中，教师应统观全局，注意每个学生，走下讲台，密切关注学生的训练，对学生出现的好方法及时加以肯定，多讲几个好字，多竖竖大拇指，让学生切实感受成功的喜悦；对学生出现的不应错的东西及时指出，并加以引导，让学生感受到教师的密切关注，让学生切实体会到教师真的在乎他，并且一视同仁，让学生信服，这样才能让学生真正地喜欢做题，喜欢数学课，从而做到事半功倍，真正主动地、有效地去做题.只有这样教师才能在第一时间了解学生，及时地纠正学生的错误，分析错因，帮助学生找出错误的根源，解决学生真正的困惑，从而做到真正的理解学生。

要怎样构建有效课堂，真可谓是教学有法，教无定法，新课程倡导积极主动，勇于探索的学习方式，这就要求教师主动将时间还给学生，努力引导学生自己发现知识间的联系，努力提高学生对知识内涵与外延的理解，尽可能在数学方法，数学思想层面上进行指导，去揭示问题的本质，要重视对通性通法的讲解与分析.让学生自己去发现问题，解决问题，让学生有更深层次的理解.总之，揭示数学的本质、如何让学生自己去发现问题的本质，是一个永恒不变的话题，在这个话题上，唯有努力、努力再努力，只有更好，没有最好.惟有让学生自己去思考，自己去做，才能真正理解学生、理解教学，才能让教师、学生真正理解数学，揭示本质.

参考文献：

[1] 向立政 曹超 立足“三个理解”，构建有效课堂 数学通讯（下半月）2011（10）：1-5.

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