一题多解之利用导数证明不等式问题

发布时间：2020-03-03 01:25:11 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

一题多解之利用导数证明不等式问题

构造函数证明不等式的方法：

(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如 f(a)>f(b)的形式.(2)对形如f(x)>g(x),构造函数F(x)= f(x)-g(x).(3)对于(或可化为)f(x1,x2)A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或 f(x1,x)).例：设f(x)ln(x1)x1axb(a,bR,a,b为常数），曲线yf(x)与直线y相切. (1)求a,b的值.(2)证明：当0x2时，f(x)3x在(0，0)点29x.x6【解题指南】(1)点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程；同时据导数的几何意义可以建立另一个方程，求出a,；(2) 构造函数，利用导数研究单调性，借助函数单调性证明不等式。

因此g(x)在（0,2）内是递减函数，又g(0)0，则0x2时，g(x)g(0)0 所以0x2时，h(x)0，即h(x)f(x) 由h(0)0，则0x2时，h(x)h(0)0，

故0x2时，h(x)f(x)9x在（0,2）内是递减函数， x69x9x0，即f(x).x6x6方法二：由（1）知，f(x)ln(x1)x11

由基本不等式，当x0时，2(x1)1x11x2x1x1 （i) 2k(x)

令k(x)ln(x1)x，则k(0)0，

由（i)、（ii）得，当x0时，f(x)

h(x)f(x)(x6)f(x)91x10，故k(x)0，即n l(x1)x

（ii）x1x13x，记h(x)(x6)f(x)9x，则当0x2时， 23111x(x6)()9[3x(x1)(x6)

2x12x12(x1)

1xx[3x(x1)(x6)(3)18(x1)](7x18)0

(2x1)18(x1)]2(x1)24(x1)9x.x6 因此h(x)在（0,2）内是递减函数，又h(0)0，得h(x)0，故0x2时，f(x) 点评：利用导数证明不等式的基本步骤：

(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)对h(x)求导. (4)利用h(x)判断h(x)的单调性或最值.(5)结论.【针对性练习】1．【2015高考北京，理18】已知函数fxln1x． 1xx31时，fx2x；（1）求曲线yfx在点0，f0处的切线方程；（2）求证：当x0，3

2.设函数f(x)1xlnx在[1,)上是增函数。 ax（1）求正实数a的取值范围；（2）设b0,a1，求证：

解：（1）f(x)\'1ababln.abbbax10对x[1,)恒成立， 2ax

11对x[1,)恒成立，又1，a1为所求。

xxabab1，

（2）取x，a1,b0,bb1xlnx在[1,)上是增函数，

一方面，由（1）知f(x)axab1abblnab0即lnab1； )f(1)0,

f(abbbabbab1x1\'0(x1)

另一方面，设函数G(x)xlnx(x1)

G(x)1xx

a

∴G(x)在(1,)上是增函数且在xx0处连续，又G(1)10

∴当x1时，G(x)G(1)0, ∴xlnx, 即