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一个探究性问题的教学设计----椭圆的定义
浙江省义乌市上溪中学 李耀华
现行教材增加了一些探究性的问题，促使学生亲自动手去发现、提出、解决一些数学问题，有利于增强学生的综合素质。个人认为，开展探究性问题的教学目的并不在于获得一个具体的数学结论或答案，而在于整个学习过程给学生所带来的积极影响，也就是研究数学的一种思路、方法。没有固定的模式，没有可以借鉴的经验，要开展这样的探究性问题的教学，一切都是“摸着石头过河”。本文就是利用《几何画板》软件对椭圆的定义进行发散思维的一个教学设计，也是对开展数学探究性问题作一些思考和探索。
【教学目的】
使学生明确探求点的轨迹的思维出发点，理清这类轨迹问题的思路，高屋建瓴的把握轨迹问题的来龙去脉。 【教学辅助工具】
网络教室，一人一机，《几何画板》软件 【教学方法】
问题教学法。一题多变，发散思维，引导学生参与，激发学生创新，发挥现代信息技术在高中数学教学中的作用。 【教学过程】
1、引入
求曲线的方程、通过方程来研究曲线是解析几何的两大任务。今天与同学们共同讨论一个问题：如何探求点的轨迹。
问题是数学的心脏，思维先从问题开始。来看一个具体问题：
问题：C是圆A内的一个定点，D是圆上的动点，求线段CD的中垂线与半径AD的交点F的轨迹方程。
用几何画板作出图1，拖动主动点D在圆A上转动或者制作点D在圆A上运动的动画按钮，跟踪点F，我们会发现，轨迹是一个椭圆，分析已知条件，不难知道原因：|FA||FC||FA||FD|R（为定值），且有|AC|R。
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（图1）
建立点F的轨迹方程。取线段AC的中点为原点O，直线AC为x轴，建立直角
x2y2坐标系。设|AC|2c,|AD|2aR，则由椭圆定义得到椭圆的方程221。（其
ab中b2a2c2,ab0）
2、一题多变，发散思维
变式1：探求点E的轨迹。（让学生先猜测，用几何画板演示，从而发现结论，再说明理由）学生追踪点E的轨迹后，发现其轨迹是一个圆（图2）。
11分析：连接AC，取其中点G，连GE，可知 ，|GE||AD|R（为定值 ），
221所以点E的轨迹是以G为圆心，R为半径的一个圆。
2（图2）
变式2：放宽对E点的限制，设E为CD上任意一点，探究点E的轨迹。（受变《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
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式1的启发，学生猜测出点其轨迹还是一个圆，但是圆心和半径发生了变化）。过E作AD的平行线，交AC与K，追踪点K（图3），发现轨迹是以K为圆心，
|CE|R|CD|长为半径的圆。
分析： |KE||CE|，易见 |KE|为定值，因此轨迹为圆。
|AD||CD|
（图3）
教师引导学生归纳小结：通过刚才两个变式的训练，我们发现要找到点的轨迹，需从两方面下手：一是找出约束动点变化的几何条件；二是找出影响动点变动的因素。
变式3：探求CF的中点G的轨迹。（这时学生的思维马上会发生迁移，运用类比的思想方法，猜测出点G的轨迹是一椭圆）。学生追踪线段CF的中点G的轨迹，发现是一椭圆（图5）。
11分析：取AC中点H，连HG,,则|HG||GC|(|AF||FC|)R(为定值).
2
2（图4）
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变式4：放宽对G点的限制，设G为CF上任意一点（不是C）,探求其轨迹（受变式2的启发，学生会想到用三角形相似）。追踪其轨迹,仍为一椭圆（图5）.
分析：作GH//AF,交AC于H,则
|HG||GC||HC||HC|(|AF||FC|)R(为定值) |AC||AC|
（图5）
变式5：在直线CD上取一点E，过E作CD的垂线EQ，与直线DA(或其延长线)交于Q，探求Q的轨迹。（学生纷纷猜测不是圆就是椭圆，教师引而待发）发现分别为“鸭蛋形” （图6）、“导弹形” （图7）.其轨迹方程可利用极坐标求得，为非常规方程，这里不做进一步阐述。
（图6）
（图7）
这一系列的变式训练可极大调动学习数学的主观能动性，这样的数学实验也符合中学生的好动、喜新、求变的心理特征，学生在极富挑战性的实验过程中建构起自己《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
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的数学知识架构。
3、自导自演，激发创新
我们不光要善于解决问题，总结经验与方法，并运用这些经验与方法曲解决新的问题，更重要的是敢于提出问题，发现更多的问题。（为了进一步激发学生的探索欲望，此时可以对条件作进一步的改变或者放宽，让学生自己寻求答案，教师巡视，随时给予指导）可能会出现下面的一些情况：
①将点C移到圆外，研究图1中点F的轨迹（此时点F为CD中垂线与直线AC的交点）（双曲线，图8）
（图8）
②在直线EF上任意取一点S,发现其轨迹为一个圆（如图9）
（图9）
③通过改变点C在圆内和圆外的位置可以发现：图2中E的轨迹圆与图1中的《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
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椭圆和图8中的双曲线都是相切的（如图
10、图11）
（图10）
（图11）
4、教师小结，布置作业
通过一系列的发散思维训练，学生已基本掌握探求一个点的轨迹思维的出发点有两个：（！）找出约束动点变动的几何条件；（2）找出影响动点变动的因素。抓住这两点，就抓住了问题的本质。 【教学反思】
①本文开始提出的问题是一道常见的轨迹题，过去没有更深入的研究，这里借助《几何画板》的“在动态中保持设定的几何关系不变”的软件特征深入研究了这道题目，另一方面，通过一题多变，发散思维，扩大到发现、归纳这类问题的解题规律，引导学生举一反三，迁移知识与方法，努力提高科学素养。
②利用计算机软件的交互性，让学生亲身实践，参与知识的发现过程，可以极大地鼓舞学生学好数学的勇气和信心。
③更重要的是让学生知道：“授之以鱼，不如授之以渔”。培养会学习的孩子是我们教育的目标。
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