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直线的方程(二)·教案示例
目的要求
1．掌握直线方程的两点式和截距式，并能运用这两种形式求出直线的方程． 2．培养学生的数形结合的数学思想． 内容分析
本节课的重难点是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k＝0时对两点式的讨论及变形． 直线方程的两点式可由点斜式导出．对于直线方程的两点式的理解，应明确以下几点： (1)当直线平行于坐标轴时，即当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1 ＝y2)时，不能用两点式yy1xx1求出它的方程，但可以把两点式y2y1x2x1
化为整式形式：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)就可以利用它求出过平面内任意两个已知点的直线的方程．
若x1＝x2，y1≠y2，则有x2－x1＝0即x＝x1； 若y1＝y2，x1≠x2，则有y－y1＝0即y＝y1．
(2)若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程．由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(3)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式．
本节课有两个例题．例2是直线方程的截距式的推导，即直线方程的两点式的应用．例3是两点式方程的灵活应用．
教学过程
1．复习提问．
(1)什么叫直线方程的点斜式？它是如何导出的？ (2)已知直线分别经过下列两点，求直线的方程． ①A(2，1)、B(0，－3)； ②A(0，5)、B(5，0)； ③A(－4，－5)、B(0，0)；
④A(x1，y1)、B(x2，y2)，(x1≠x2)． 让学生口答上述解题过程和答案． 2．讲授新课．
(1)直线方程的两点式推导
针对上述第④小题师生共同归纳：
已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤： ①利用直线的斜率公式求出斜率k， ②利用点斜式写出直线的方程．
如第④小题：k＝y2y1(x≠x2)，x2x11
y2y1(x－x1)(Ⅰ)x2x1 ∴l的方程为：y－y1＝亿库教育网
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http://www.daodoc.com 当y1≠y2时，方程(Ⅰ)可以写成yy1xx1，(Ⅱ)y2y1x2x1
由于(Ⅱ)这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式． (2)组织讨论
①(Ⅰ)式与(Ⅱ)式有何区别与联系？为什么把方程(Ⅱ)作为直线方程的两点式？
学生甲1：(Ⅱ)式是由(Ⅰ)式导出的，它们表示的直线范围不同．(Ⅰ)式中只需x1≠x2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；(Ⅱ)式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但(Ⅱ)式相对于(Ⅰ)式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆．
②两点式公式运用时应注意什么？ 学生乙1：应注意分类．
已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
yy1xx1a若x1≠x2且y1≠y2，则直线l方程为；y2y1x2x1
b若x1＝x2且y1≠y2，则直线l方程为x＝x1； c若x1≠x2且y1＝y2，则直线l方程为y＝y1．
③(Ⅱ)式变形为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)可用于求过平面上任意两点的直线方程吗？ 学生丙1：可以．
(3)讲解例2即直线方程的截距式推导．
已知直线l与x轴交于P1(a，0)，与y轴交于P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程． 解：因为直线l经过P1(a，0)和P2(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得
y0xa=b00axy就是+=1ab(Ⅰ)(Ⅱ)
点评：(Ⅱ)这个方程形式对称、美观．其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距．
因为方程(Ⅱ)是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程(Ⅱ)式叫做直线方程的截距式． (4)组织讨论
①a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？
学生甲2：a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离． ②截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？
学生乙2：截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式．
(5)口答练习(用投影仪打出) 下列直线方程的截距式是怎样的〉 ①横截距为2，纵截距为3； ②横截距为－5，纵截距为＋6； ③横截距为－2，纵截距为－3； ④横、纵截距都为－3． (6)讲解例3：
三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)(如图7－16)，求这个三角形三边所在直线的方程．
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分析：根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式；求BC所在的直线的方程应选用斜截式；求AC所在的直线的方程应选用截距式．
y0x(5)解：AB边所在直线的方程，由两点式得：＝即3x303(5) 2(3)＋8y＋15＝0，BC边所在直线的方程，由斜截式得：y＝x+203 xy即5x＋3y－6＝0，AC边所在直线的方程，由截距式得：＝1即52
2x－5y＋10＝0．
(7)反馈练习(用投影仪打出) ①求经过点P(4，5)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程．
②直线l过(0，0)且平分平行四边形ABCD的面积．已知平行四边形两个顶点B(1，4)、D(5，0)，求直线l的方程．
③一直线l过P(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线的方程． (8)小结． ①填表：
方程名称已知条件直线方程示意图应用范围两点式截距式 ②特例：
Ⅰ)倾斜角α＝0°时，直线l的方程为y＝y1；
Ⅲ)直线l过原点(0，0)且倾斜角α≠90”时，直线l方程为y＝kx(其中k为直线l的斜率)． ③注意事项
对于“截距相等”或“横截距是纵截距多少倍”等相关问题应分两类讨论： Ⅰ)过原点(0，0)， Ⅱ)不过原点(0，0)． 布置作业
习题7．2第
6、
7、
8、
9、10题．
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http://www.daodoc.com Ⅱ)倾斜角α＝90°时，直线l的方程x＝x1；
