推荐第1篇：《直线与方程》单元教学设计
《直线与方程》单元教学设计
摘 要： 单元教学设计是指对某一单元的教学内容作出具体的教学活动设计。单元教学设计要有整体性、相关性、、阶梯性和综合性。本文以人教A版高中数学必修2《直线与方程》一章为例，从单元教学目标、要素分析、教学流程设计等方面进行了整体设计，旨在更好地实现教与学。
关键词： 直线与方程 单元教学设计 教学要素
单元教学设计是指对某一单元的教学内容作出具体的教学活动设计，这里的单元可是一章，也可是以某个知识内容为主的知识模块。单元教学设计要有整体性、相关性、阶梯性和综合性。本文以人教A版高中数学必修2《直线与方程》一章为例进行了单元教学设计，设计内容包括单元教学目标、要素分析（其中包含数学分析、标准分析、学生分析、重点分析、教材比较分析、教学方式分析等）、教学流程设计、典型案例设计和反思与改进等。
一、单元教学目标
（1）理解并体会用代数方法研究直线问题的基本思路：先在平面直角坐标系中建立直线的代数方程，再通过方程，用代数方法解决几何问题。（2）初步形成用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想。
二、要素分析
1.数学分析：直线与方程为人教A版教材必修2第三章内容，必修2包括立体几何初步、解析几何初步，其中立体几何初步分为空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系。直线与方程是继立体几何的学习之后从代数的观点认识、描述、刻画直线，是在平面直角坐标系中建立直线的方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系。它在高中数学中的地位非常重要，可以说是高中数学体系中的“交通枢纽”。它与代数中的一次函数、二元一次方程、几何中的直线和不等式及线性规划等内容都有关联。
在本章教学中，学生应该经历如下的过程：首先将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种数形结合的思想贯穿教学的始终，并且在后续课程中不断体现。
2.标准分析：①坐标法的渗透与掌握：解析几何研究问题的主要方法是坐标法，它是解析几何中最基本的研究方法。②作为后续学习的基础，要灵活地根据条件确定或者待定直线的方程，如将直线方程预设成点斜式、斜截式或一般式，等等。③认识到直线方程中的系数唯一确定直线的几何特性，可类比学习后续课程椭圆方程中的系数a，b，c，双曲线标准方程的系数，抛物线的系数，也可以延伸至两条直线的位置关系取决于直线方程中的系数，即取决于两个重要的量――斜率和截距。④本单元内容属于解析几何的范畴，是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想。所以在本单元学习中，学生要初步形成用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想，其核心可以由以下知识结构图显现出来：
3.学习者特征分析：已有一次函数知识作为基础；刚刚结束了立体几何初步的学习，现在学习直线与方程可以说是对点、直线的再认识、再深化；该课程是高一课程，学生习惯于直觉思维，感性认识要多一点，或者说学生正在初步接触和进行逻辑思维，处在由直观到精确、由感性到理性的认知水平的转化和提高过程中。故从这种意义看来，本单元课程不失为一个思维提升训练非常恰当的载体。
4.重点难点分析：本单元目的是在解析几何视角下完成直线上的点与方程的解的联系，直线上所有点与方程的所有解之间的联系，从而建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果得几何含义，最终解决几何问题。由此说本单元的重点是直线的倾斜角与斜率、直线的方程、直线的交点坐标与距离公式，重点方法和思想是形成用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想。
5.教材对比分析：现行教材都突出解析几何中坐标法的应用，强调数形结合思想在本章中的渗透，授课内容也都基本相同，但是有各自的特点，下面就人教A版和苏教版进行比较，如下图：
不管顺序怎么不同，各种教材都是根据学生的认知水平、遵循学生的认识规律的，我们不必过于拘泥于某种教材，而是根据自己学生的特点、认知水平，选择合适的教学手段和方法。
6.教学方式分析：可以灵活采用各种教学方法，我们学校主要采用五环节教学法，即师生共同探究、学生独立思考、小组合作交流、学生精彩展示和老师精彩点评五个环节。
三、教学流程设计
四、典型案例设计（略）
五、反思与改进
1.重视解析几何在高中数学中的指导性地位，要不失时机地渗透、巩固，加深学生对其重要性的认识 。2.把握教学中的“度”，最好不要在细枝末叶处“折腾”。3.进行单元教学设计可大可小，要用整体把握的观点指导教学。
推荐第2篇：回归直线方程教学设计
直线的回归方程教学设计
一、课题引入
引言：我们知道，通过散点图可以判断两个变量之间是否具有“正相关”或“负相关”，但这只是一个定性的判断，更多的时候，我们需要的是定量的刻画．
问题1：下列两个散点图中,两个变量之间是否具有线性相关关系？理由呢？是正相关还是负相关？
设计意图：回顾上节课所学内容，使学生的思想、知识和心理能较快地进入本节课课堂学习的状态．
师生活动：学生回答，图1没有线性相关关系，图2有线性相关关系，因为图1中的所有点都落在某一直线的附近．通过问题，使学生回忆前2节课核心概念：线性相关关系、正相关、负相关等，为后续学习打基础．
二、本节课的新知识
问题2：通过上一节课的学习，我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？
设计意图：几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备．
师生活动：先展示上一节课的讨论结果：学生提出的如下四种可能性：图3(1)表示每一点到直线的垂直距离之和最短，图3(2)表示每一点到直线的“偏差”之和最短，图3(3)表示经过点最多的直线，图3(4)表示上下点的个数“大概”一样多的直线．通过上一节课的分析，我们认为选择偏差之和最短比较恰当，即图3（2）．
设回归直线方程为为型：
，（xi，yi）表示第i个样本点，将样本数据记
，学生思考，教师启发学生比较下列几个用于评价的模
模型3：
．
师生一起分析后，得出用模型3来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线
222较为方便． Q=（y1－bx1－a）+（y2－bx2－a）+„+（yn－bxn－a）=
问题3：通过对问题2的分析，我们知道了用Q=最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标（xi，yi）确定时，a,b等于多少，Q能取到最小值呢？
设计意图：体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解其意义，而直接从n个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度．因而由具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则．通过这个问题，让学生了解这个式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最小值的思想
师生活动：偏差最小从本质上来说是
2最小，为了处理方便，我们采用n个偏差的平方和Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）+…+（yn－bxn－a）2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度：记Q=（向学生说明的意义）．通过化简，得到的其实是关于a、b的二元二次函数求最值的问题，一定存在这样的a、b，使Q取到最小值． （1）在此基础上，视
为的二次函数时，可求出使Q为最小值时的的值的线性回归方程系数公式：
（2）教师指出，
称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点
上述方法求回归直线的方法， 的中心，所以可得是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以这种使距离平方最小的方法，叫做最小二乘法．
问题4：这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求,的值，你会按怎样的顺序求呢？
设计意图：公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解．
师生活动：由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求,时，必须要有条理，先求什么，再求什么，比如，我们可以按照
、n、、
、
、顺序来求，再代入公式．我们一般可以列如下表格进行分布计算：
三、知识深化：
问题5：你能根据表一所提供的样本数据，求出线性回归方程吗？
表一：人体的脂肪百分比和年龄
设计意图：公式形式化程度高、表达复杂，通过分解计算，可加深对公式结构的理解．同时，通过例题，反映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性．
师生活动：步骤一，可让学生观察公式，充分讨论，通过计算：n、、、、五个数据带入回归方程公式得到线性回归方程，体会求线性回归方程的原理与方法．
由此可以得到回归直线方程为：
步骤二，教师分析求线性回归方程的基本步骤，然后带领学生用卡西欧FX-991 ES计算器求出线性回归方程并画出回归直线，教师可协同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完成．
问题6：利用计算器，根据以下表中的数据，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程：
设计意图：让学生独立体验运用计算器求回归直线方程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握用计算器求回归直线的操作方法。回归直线为：=0.6541x-4.5659
回归直线为：=0.4767x+4.9476 回归直线为：= 0.5765x - 0.4478 问题7：同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？
设计意图：明确样本的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想．同时，明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念． 案例：卖出热茶的杯数与当天气温的关系
下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表（用计算器直接求回归直线）：
（1）求回归方程；（2）按照回归方程，计算温度为10度时销售杯数．为什么与表中不同？如果某天的气温是－5℃时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数．
让学生完整经历求回归直线的过程．其中第2问，让学生体会到即使是相比下“最优”的所获得的回归直线，也存在着一定的误差，从中体会无论方法的优劣，统计学中随机性无法避免．而在预测值的计算中，体现了回归直线的应用价值．
通过对案例的分析，说明事件、样本数据、回归直线方程三者关系： 1．数据采样本身就具有随机性，同样23岁的人，脂肪含量可能9.5%，也有可能30%，这种误差我们称之为随机误差，随机误差是不可避免的．
2．回归分析是寻找相关关系中非确定关系中的某种确定性，虽然一个数据具有随机误差，但总体还是具有某种确定的关系．
3．在数据采样都符合统计要求的情况下，取三个回归直线方程中的任意一个都是合理的，不存在哪条最合适的问题，但一般情况下，选择数据多一些的比较合理．
四、小结：
问题8：请同学们回顾一下我们怎样求出回归直线方程？事件、样本数据与回归直线三者之间有怎样的关系？ 师生活动：
1.求样本数据的线性回归方程的方法 (1)直接运用公式
(2)借助计算器或计算机(使用方法见学案) 2.样本数据与回归直线的关系
推荐第3篇：直线与方程教案
平面解析几何 第一讲 直线方程 知识归纳：
一、直线的倾斜角与斜率
1、确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件
注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角（斜率）、直线的方向向量、直线的法向量
2、直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。
注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；
②规定：直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为00 ③直线倾斜角α的取值范围是：00≤α
④在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。
3、直线的斜率：倾斜角不是900的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即k =tan α(α≠900) 。它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。 注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当α=00时，k =0；当000；当α=900时，k 不存在，当900
1、给出下列命题：①若直线倾斜角为α，则直线斜率为tan α；②若直线倾斜角为tan α，则直线的倾斜角为α； ③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；④直线的斜率越大，其倾斜角越大；⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为 例
2、已知直线的倾斜角为α，且sin α=4，求直线的斜率k 5
4、直线斜率的坐标公式
经过两点P 的直线的斜率公式：k =y 1-y 2 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2) x 1-x 2 注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即k =y 1-y 2=y 2-y 1(x ≠x ) 12 x 1-x 2 x 2-x 1 ②特别地：当y 1=y 2, x 1≠x 2时，k =0；此时直线平行于x 轴或与x 轴重合；当y 1≠y 2, x 1=x 2时，k 不存在，此时
直线的倾斜角为900，直线与y 轴平行或重合。
例
3、已知点P (2,1),Q (m , -3) ，求直线P , Q 的斜率并判断倾斜角的范围。
例
4、（三点共线问题）已知A (-3, -5), B (1,3), C (5,11) 三点，证明这三点在同一条直线上 例
5、（最值问题）已知实数x , y ，满足2x +y =8，当2≤x ≤8时，求y 的最大值和最小值 x
5、直线的方向向量：已知P 是直线l 上的两点，直线上的向量PP 及与它平行的向量都1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2) 12称为直线的方向向量。直线PP 与x 轴不垂直时，x 1≠x 2，此时，向量12的坐标是
1也是直线PP 的方向向量，且它PP 1212 x 2-x 1 1，其中k 为直线PP 的斜率 (x 2-x 1, y 2-y 1) ，即（1，k ）12x 2-x 1
6、直线的法向量：如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量。
二、直线的方程
1、定义：一般地，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这是，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
2、直线方程的几种形式 （1）点斜式：
问题：若直线l 经过点P ，且斜率为k ，求直线l 的方程。 0(x 0, y 0) 解析：设点P (x , y ) 是直线l 上不同于点P 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式，得k =y -y 0，可化为0 x -x 0、斜率为k 的直线l 的方程。 y -y 0=k (x -x 0) ，即为过点P 0 方程y -y 0=k (x -x 0) 是由直线上一点及其斜率确定的，把这个方程叫做直线的点斜式的方程，简称点斜式。 注意：①k =y -y 0与y -y 0=k (x -x 0) 是不同的，前者表示直线上缺少一个点x ≠x 0，后者才是整条直线； x -x 0 ②当直线l 的倾斜角为00时，tan 00=0，即k =0，这时直线l 的方程为y =y 0 ③当直线的倾斜角为900时，直线l 斜率不存在，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，它的方程是x =x 0。即：局限性是不能表示垂直于x 轴的直线。 ④经过点P 的直线有无数条，可分为两类情况： 0(x 0, y 0) ⅰ、斜率为k 的直线，方程为y -y 0=k (x -x 0) ⅱ、斜率不存在的直线，方程为x -x 0=0或写为x =x 0 例
6、根据条件写出下列各题中的直线的方程
①经过点P ，倾斜角α=450，②经过点P , 2) ，斜率为2 ③经过点(4,2) ，且与x 轴平行 1(-2,3) 1(1④经过点(-2, -3) ，且与x 轴垂直 （2）斜截式：
问题：已知直线l 的斜率是k ，与y 轴的交点是P (0,b ) ，代入直线方程的点斜式，得直线l 的方程y -b =k (x -0) ，也就是y =kx +b ，我们称b 是直线l 在y 轴上的截距。
这个方程是由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 注意：①b ∈R ②局限性：不表示垂直于x 轴的直线
③斜截式方程和一次函数的解析式相同，都是y =kx +b ，但有区别：当斜率不为0时，y =kx +b 是一次函数，当k =0时，y =b 不是一次函数；一次函数y =kx +b （k =0） 必是一条直线的斜截式方程。 例7、求倾斜角是直线y =+1的倾斜角的1，且在y 轴上的截距为-5的直线的方程。 4 （3）两点式：
问题：已知直线l 经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2) ，求直线l 的方程 解析：因为直线l 经过两点P ≠1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1
x 2，) 所以它的斜率k =y 2-y 1，代入点斜式，得 x 2-x 1 y -y 1= y 2-y 1 (x -x 1) ，当y 2≠y 1时，方程可以写成y -y 1=x -x 1 x 2-x 1y 2-y 1x 2-x 1 这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程，简称两点式。 注意：①方程y -y =y 2-y 1(x -x ) 与方程y -y 1=x -x 1比较，后者比前者表示直线的范围更小了，前者不能 11 x 2-x 1 y 2-y 1 x 2-x 1 表示斜率不存在的直线，后者除此外，还不能表示斜率为0的直线；局限性：不能表示垂直于坐标轴的直线。 ②两点式方程与这两个点的顺序无关。 例
8、已知点A (-5, 0) ，B (3,-3) ，求直线AB 的方程
例
9、一条光线从点A (3,2) 出发，经x 轴反射，通过点B (-1, 6) ，求入射光线和反射光线所在直线的方程 （4）截距式：
问题：已知直线l 与x 轴的交点为(a , 0) ，与y 轴的交点为(0,b ) ，其中a ≠0, b ≠0，求直线l 的方程。 解析：因为直线l 经过A (a , 0) 和B (0,b ) 两点，将这两点的坐标代入两点式，得如果直线与x 轴的交点为(a , 0) ，则称a 为直线在x 轴上的截距。
以上直线方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程，简称截距式
注意：方程x +y =1中a ≠0, b ≠0，所以它不能表示与坐标轴平行（重合）的直线，还不能表示过原点的直 a b y -0x -a ，即为x +y =1 = b -00-a a b 线。
例
10、过两点A (-1,1) ，B (3,9)的直线在x 轴上的截距为 （5）一般式方程：
以上几种形式的直线方程都是二元一次方程，即平面上任何一条直线都可以用一个关于x y 的二元一次方程表示； 而关于x y 的二元一次方程，它都表示一条直线。因此我们把x y 的二元一次方程 Ax +By +C =0(其中 A,B 不同时为0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式。
注意：①直线的一般式方程能表示所有直线的方程，这是其他形式的方程所不具备的。 ②直线的一般式方程成立的条件是A,B 不同时为0。
③虽然直线的一般式有三个系数，但是只需两个独立的条件即可求直线的方程， 若A ≠0, 则方程可化为x +B y +C =0; 若B ≠0，则方程可化为A x +y +C =0，即y =-A x -C ; A A B B B B 若A =0，B ≠0时，方程化为y =-C , 它表示与x 轴平行或重合的直线； B 若A ≠0，B =0时，方程化为x =-C ，它表示一条与y 轴平行或重合的直线； A 若ABC ≠0时，则方程可化为 x -A + 因此只需要两个条件即可。 y =1-B ④直线方程的其他形式都可以转化为一般式，因此在解题时若没有特殊说明，应把最后结果互为直线的一般式 例
11、设直线l 的方程为(m -2m -3) x +(2m +m -1) y =2m -6，根据下列条件分别确定m 的值 （1）l 在x 轴上的截距为 -3 （2）l 的斜率是 -1 （6）点向式：
问题：设直线l 经过点P ，v =(a , b ) 是它的一个方向向量，求直线l 的方程 0(x 0, y 0) 解析:设P (x , y ) 是直线l 上的任意一点，则向量P 与v 共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一实数t ，0P x =x 0+at ①，使P ，即(x -x 0, y -y 0) =t (a , b ) ，所以⎧方程组①称为直线的参数式方程。 0P =tv ⎨ ⎩y =y 0+bt 2 2 如果直线l 与坐标轴不平行，则ab ≠0，于是可得 x -x 0y -y 0 =t , =t ，消去参数t ，得到直线l 的普通方程 a b x -x 0y -y 0 这个方程称为直线l 的点向式方程，a , b 叫做直线l 的方向数。 = a b 思考：若给出直线的一般式方程Ax +By +C =0，如何确定直线的方向向量？ （7）点法式：
问题：设直线l 有法向量n =(A , B ) ，且经过点P ，求直线l 的方程 0(x 0, y 0) 解析：设P (x , y ) 是直线l 上的任意一点，则有P ，即P 0P ⊥n 0P ⋅n =0 因为PP 0=(x -x 0, y -y 0) ，n =(A , B ) ，所以有A (x -x 0) +B (y -y 0) =0 这个方向是由直线l 上一点P 及直线l 的法向量n 确定的，称为直线l 的点法式。 0(x 0, y 0) 思考：若给出直线的一般式方程Ax +By +C =0，如何确定直线的法向量？
三、直线的位置关系（同一平面上的直线）
1、平行与垂直 （1）两条直线平行的判定
①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定
设两条直线分别为，则l 1, l 2的倾斜角相等，即由α1=α2，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 若l 1//l 2，
可得tan α1=tan α2，也即k 1=k 2，此时b 1≠b 2；反之也成立。 所以有l 1//l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2 ②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为900，若不重合，则它们也是平行直线 注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1不为0） 或l 1//l 2⇔A （可用直线的方向向量或法向量解释） 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0例
12、已知点A (2,2) 和直线l ：3x +4y -20=0，求过点A 和直线l平行的直线。（引出平行直线系方程） （2）两条直线垂直的判定
①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定 设两条直线分别为，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 则得直线l 1的方向向量为：a =(1, k 1) l 2的方向向量为：b =(1, k 2) ，所以有l 1⊥l 2⇔a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔1⨯1+k 1⋅k 2=0 即l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1 注意： 或用两条直线的倾斜角推倒：即tan α2=tan(900+α1) =- =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1//l 2⇔A 1=B 1≠C 1（其中分母 A 2 B 2 C 2 1 ，得到k 1⋅k 2=-1 tan α1
②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直。 由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零。
注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1 例
14、已知两直线l 1：x +my +6=0，l 2： (m -2) x +3y +2m =0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：①平行 ②重合 ③垂直
例
15、已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标
例
16、求证：不论m 为取什么实数，直线(2m 2-1) x +(m 2-1) y =m 2-5总通过某一定点 =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 2B 1=0 例
13、求与直线3x +4y +1=0垂直且过点（1，2）的直线方程（引出垂直直线系方程） ) 例
17、已知直线ax -y +2a +1=0，（1）若x ∈(-1（2）若a ∈(-, 1, 1) 时，y >0恒成立，求a 的取值范围； 16 时，恒有y >0，求x 的取值范围
四、到角、夹角 （1）到角公式
定义：两条直线l 1和l 2相交构成四个角，他们是两对对顶角，为了区别这些角，我们把直线l 1绕交点按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角， 如图，直线l 1到l 2的角是θ1， l 2到l 1的角是θ2(θ1>0, θ2>0, θ1+θ2=π)
推倒：设已知直线方程分别是l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2.l 1到l 2的角是θ ① 若1+k 1⋅k 2=0，即k 1⋅k 2=-1，那么θ= π 2 ② 若1+k 1⋅k 2≠0，设l
1、l 2的倾斜角分别为α1, α2，则tan α1=k 1, tan α2=k 2 由图1）的θ=α2-α1，所以tan θ=tan(α2-α1) 由图2）的θ=π-(α1-α2) =π+(α2-α1) ， 所以tan θ=tan*π+(α2-α1)+=
tan π+tan(α2-α1) 0+tan(α2-α1) ==tan(α2-α1)
1-tan πtan(α2-α1) 1-0 于是tan θ=tan(α2-α1) = tan α2-tan α1k -k =21 1+tan α2tan α11+k 1k 2
即tan θ= k 2-k 1 就是l 1到l 2的角θ1+k 1k 2 （2）夹角公式
定义：由（1）得，l 2到l 1的角是π-θ，所以当l 1与l 2相交但不垂直时，在θ和π-θ中有且只有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记夹角为α，则tan α=当直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角为 k 2-k 1 ，即为夹角公式 1+k 1k 2 π 2 例
18、等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x -2y -2=0，底边所在直线l 2的方程是x +y -1=0，点(-2,0) 在另一腰上，求这条腰所在直线l 3的方程
五、两条直线的交点坐标：
1、设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 则l 1与l 2是否有交点，只需看方程组
⎧A 1x +B 1y +C 1=0是否有唯一解 ⎨ ⎩A 2x +B 2y +C 2=0 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； 若方程组有无穷多解，则两直线重合
例
19、求经过两直线2x -3y -3=0和x +y +2=0的交点且与直线3x +y -1=0平行的直线方程。 经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系方程为其中λ是待定系数，在这个方程中，无论λ取什么实数，A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，都得到A 2x +B 2y +C 2=0，因此，它不能表示直线l 2。
2、对称问题
（1）点关于点的对称，点A(a，b) 关于P , y 0)的对称点B （m ，n ），则由中点坐标公式0(x 0 m =2x 0-a , n =2y 0-b ，即B （2x 0-a , 2y 0-b ） 。
（2）点关于直线的对称，点A (x 0, y 0)关于直线l :Ax +By +C =0（A、B 不同时为0）的对称点
A ' (x 1, y 1)，则有AA ’的中点在l 上且直线AA ’与已知直线l 垂直。
（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任意不同于交点的已知点P 1关于对称轴对称的点P 2，那么经过交点及点
P 2的直线就是l 2；若直线l 1与对称轴l平行，则在l 1上任取两不同点P
1、P 2，求其关于对称轴l 的对称
点P
1、P 2，过P
1、P 2的直线就是l 2。
例题20、已知直线l :x +y -1=0，试求①点P(4,5)关于l 的对称坐标；②直线l 1:y =2x +3关于直线 ' ' ' ' l 的对称的直线方程。 例题21、求函数y =
六、两点间的距离，点到直线间的距离 +的最小值。
P （1）两点间的距离：已知P 1P 2=1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) 则
（2）点到直线的距离: l 已知点P ，求点P 0(x 0, y 0)，直线l :Ax +By +C =0（A、B 不同时为0）0到直线的距离。 解法一：如图，作P 0Q ⊥l 于点Q ，设Q (x 1, y 1) ， 若A,B ≠O, 则由k 1=- A B (, 得k P 0Q = B A k 1k P 0Q =-1) ， ⎧Ax +By +C =0 ⎪
B ⎨B y -y =(x -x ) 从而直线P 的方程为，解方程组Q y -y =(x -x 0) 得0000⎪A ⎩A ⎧B 2x 0-ABy 0-AC x =⎪⎪1A 2+B 2 ⎨2 ⎪y =A y 0-ABx 0-BC 1⎪⎩A 2+B 2 ∴d =PQ ==0 Ax 0+By 0+C ==A 2+B 2 容易验证当A=0或B=0时，上式仍然成立。
l 解法二：如图，设A ≠0,B ≠0，则直线l 与x 轴和y 轴都相交，过点P 0分别作x 轴和y 轴的平行线，交直线
于R 和S ，则直线P 0R 的方程为y =y 0，R 的坐标为（- By 0+C , y 0）； A x , -直线P 0S 的方程为x =x 0，S 的坐标为（-0 Ax 0+C ）， B 于是有P 0R =- Ax 0+By 0+C By 0+C -x 0=, A A = Ax 0+By 0+C Ax 0+C P -y 0= , RS =0S =- B B 0+By 0+C 。
=d ，由三角形面积公式可得d ⋅RS =P 设PQ 00R ⋅P 0S .于是得d = 因此，点P 0(x 0, y 0)到直线l :Ax +By +C = 0的距离d =上式仍成立。 注意: P 0R ⋅P 0S RS = 容易验证，当A=0或B=0时，
①若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离； ②点到直线的距离是点到直线上的点的最短距离；
③若点在直线上，则点到直线的距离为0，但距离公式仍然成立，因为此时Ax 0+By 0+C =0。 （3）两平行线间的距离。
定义；两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，即一条直线上的点到另一条直线的距离。
两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2= 0的距离公式d = 推导过程：设P 则P 到l 2:Ax +By +C 2=0的距离
0(x 0, y 0)为直线l 1:Ax +By +C 1=0上任意一点，0为d = ，又因为P 0在l 1:Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0，即Ax 0+By 0=-C 1, 所以d = 注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且x、y 的系数分别相等。
例题
22、求经过点A(-1,2)与B(-,0) 的直线上一点C （5，n ）到直线x +y =1的距离。 例题
23、求经过点A （1，2）且到原点的距离等于1 的直线方程。 例题
24、已知三角形ABC 中，点A （1，1），B （m ）（1
例题
25、求过点P （1，2）且与A （2，3），B(4,-5)两点距离相等的直线方程。 作业：
1、设θ∈( 52 π 2 , π) ，则直线x cos θ+y sin θ+1=0的倾斜角α为（ ） (B ) θ (C ) θ+ (A ) θ- π 2 π 2 (D ) π-θ
2、设P （x ，y ）是曲线C ：x 2+y 2+4x +3=0上任意一点，则 y 的取值范围是 ( ) x A ．[-3, 3] B ．(-∞, -3]⋃*, +∞) C ．[-3, ] D ．(-∞, -]⋃*, +∞) 3333
3、已知M (2，－3) ，N (－3，－2) ，直线l 过点A (1，1) 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 3 或k ≤－4 4 3 B .－4≤k ≤ 4 33 C .≤k ≤4D .－≤k ≤4 44
4．过点P （6，－2）且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线的方程是 A ．2x +3y -6=0 C ．x -y +3=0 B ．2x +3y -6=0或3x +4y -12=0 D ．x +2y -2=0或2x +3y -6=0
5、若直线l 经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2, 则直线l 的条数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
6、如图所示，直线l 1：ax －y ＋b=0与l 2：bx －y ＋a=0(ab≠0,a ≠b) 的图象只可能是( )
7、若三点A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一条直线上, 则有 ( ) (A)a=3,b=5 (B)b=a+1 (C)2a－b=3 (D)a－2b=3
8、直线l 经过原点和点(－1, －1), 则它的倾斜角是 a A.π5ππ5ππ B.C.或 D.－ 44444 9.已知直线l 1：A 1x +B 1y +C 1＝0与直线l 2：A 2x +B 2y +C 2＝0相交，则方程λ1（A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋λ2（A 2x +B 2y +C 2） 2 =0,(λ1≠0) 表示 （ ） +λ22
A.过l 1与l 2交点的一切直线 B.过l 1与l 2的交点，但不包括l 1可包括l 2的一切直线 C.过l 1与l 2的交点，但包括l 1不包括l 2的一切直线 D.过l 1与l 2的交点，但既不包括l 1又不包括l 2的一切直线 10.方程(a －1) x －y +2a +1=0(a ∈R ) 所表示的直线 ( ) A.恒过定点(－2,3) B.恒过定点(2，3) C.恒过点(－2,3) 和点(2，3) D.都是平行
11、过点(-1，) 且与直线3x -y +1=0的夹角为 π
的直线方程是（ ） 6 A、x -3y +4=0 B、x +1=0或x +3y -2=0 C、x+1=0或x -y +4=0 D、y =或x +3y -2=0
12、直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是_________。
13、直线l 的方向向量为（-1，2），直线l 的倾斜角为
14、已知直线L 过P （-2，3）且平行于向量d=（4，5），则直线L 的方程为。
15、已知点M (a , b ) 在直线3x +4y = 15上，则
16、△ABC 的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：
（1）BC 所在直线的方程; （2）BC 边上中线AD 所在直线的方程; （3）BC 边的垂直平分线DE 的方程.
17、求到两直线l 1： 3x +4y -5=0和 l 2：6x +8y -9=0距离相等的点P (x , y ) 满足的方程
推荐第4篇：直线方程的教学设计（推荐）
直线方程的教学设计
高俊玲
1． 教材分析
1． 1 教材的地位与作用
直线的方程是高二解析几何的基础知识，是培养学生几何学习能力的好的开端。本章内容开始从代数的角度去研究平面的点线关系，是一个新的领域。对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，影响着对后来学习圆锥曲线的理解。所以，直线部分的学习起到良好的过渡作用。
1． 2 教学的重点与难点
本节教学重点是直线的五种方程的形式。
教学难点按环节的推导过程。 2．教学目标分析 2．1知识与技能
使学生会推导直线的方程。并掌握方程表示的基本量，以及各种表达形式的优势和局限性。 2．2过程与方法
体验方程的逐步推导过程，理解各形式之间的内在的实质的联系。体验数学研究与发展的规律。知其所以然。 2．3情感态度与价值观
鼓励学生大胆推导，引领学生体会发现的过程。增加对本知识的认识，以期达到提高浓厚学习兴趣，掌握知识的目的。 3
学情分析
3．1学生学习本课内容的基础
在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，来推导方程的基本形式。 3．2学生学习本课内容的能力
具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。 3．3学生学习本课内容的心理
直线的方程是高中几何学的开端，学生容易接受且充满好奇与兴趣。方程推导环环相扣，具有一定的整体性，极易使学生在学习的过程中，增加求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。 3．4学法分析
学生刚刚学习完直线的倾斜角与斜率的概念，对此知识的深刻理解和严谨性的把握上还可能考虑不周全。用代数思想去研究几何问题这一新的思想方法的体系还没有完整的形成。但知识内部联系性非常大，在学习过程中难点很容易突破，采用自学加点拨的方式，在合作中培养学生的探究意识和数学思维。 4． 教学过程设计
4．1提出问题串，创设学习情景
问题1
根据动画，如何可以把一条直线固定下来，需要几个量？
问题2
根据上节课的斜率公式，可否把直线上具有代表意义的点（x，y）与已知点（x0，y0）用斜率表示出来？
问题3 从严格方面说，这个式子有几点需要说明？
追问1 （x，y）与已知点（x0，y0）首先可以重合吗？
追问2 如果不能重合，我们所得到的式子，是否遗漏了这个定点？ 追问3 由上节课斜率的注意事项，你想到了什么？
追问4 用到的基本量是一点一斜率，通过预习，这个形式应该称之为直线方程的何种形式？
问题4 如果直线过的定点特殊为（0，b），会得到什么化简形式？
追问1 什么叫直线的纵截距？
追问2 直线的纵截距可以是负数和零吗？
问题5 由问题1的另一答案，两点也可以确定一条直线，那么如果已知一直线通过两个定点分别为（x1，y1）（x2，y2），可以写出直线方程吗？根据是什么？
追问1 对这两个点难道就没有要求吗？
追问2 这个写出的方程如何找到记忆的规律？
追问3 这个方程的局限在哪里？
问题6 由问题5大家得到的结论，如果直线过的定点特殊为（a，0），（0，b）
（a≠0，b≠0）直线方程可以化简为何形式？
追问1 这个叫直线方程的什么形式？
追问2 什么叫直线的横截距？
追问3 这个方程从推导过程上有何局限？即不能表示什么直线？ 4．2 引导思考，自主探究
在问题6中，由于情况很多，有教师给予适当的指导，引领学生进行思考，开展讨论与研究。可以具体设计如下： S1：把两点代入直线方程的两点式：
yy1xx1 y2y1x2x1ybx baxy
S2： 可以化简为：1
ab
可得：
S3：这个形式叫直线方程的截距式。局限同两点式相同：
不可以表示与x轴垂直和与y轴垂直的直线。
T1：可以表示过原点的直线吗？
T2：过原点的直线是否有截距？是否有截距式方程？
展开讨论后，对此结论更为注意。并对练习册上相应的题目给予适当的补充练习以加强印象。 4．3 反思结论，归纳总结
直线方程的点斜式：yy0k(xx0)
局限：不能表示与x轴垂直的直线 直线方程的斜截式：y=kx+b 局限：不能表示与x轴垂直的直线 直线方程的两点式：
yy1xx1（x1≠x2， y1≠y2） y2y1x2x1局限：不能表示与坐标轴垂直的直线
xy直线方程的截距式：1
（a≠0，b≠0）
ab局限：不能表示与坐标轴垂直的直线，和过原点的直线 4．4题组练习(略) 5．教学设计说明
高中数学新课程理念之一是倡导积极主动，勇于探索的学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生学习过程成为教师引导下的再创造过程。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习，探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。建构主义学习理论认为，数学知识应以各种有待探索的问题形式与学生的经验世界发生联系和作用。本课的设计的基本理念正是在教师的指导下，创设数学学习情境，让学生自主探究直线方程的不同形式及局限性，使他们能积极主动地参与到数学学习活动中来。
推荐第5篇：直线方程的几种形式 教学设计
《直线方程的几种形式》教学设计
教学目标：
1 会求直线的点斜式、斜截式、一般式方程；
2 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种基本形式及它们之间的关系。
重点：点斜式直线方程的推导（点斜式是直线方程的重中之重） 难点：直线与二元一次方程的对应关系 复习引入：
直线的斜率公式是什么？ ky2y1(x1x2) x2x1讲授新知：
1 由直线的斜率公式引领学生推导出直线的点斜式方程：
yy0k(xx0)
例题讲解：
求直线l经过点(2,1)且斜率k1，求直线l的方程； 学生练习：练习A1(1)(2)(3) 学生口头展示
2 由学生上节课学习的直线ykxb讲解直线的斜截式方程的含义及应用
学生练习：练习A1(5)(6)
提问：是否所有直线的方程都可以设为直线的点斜式或者是斜截式方程？ 设计意图：深化学生对直线方程的点斜式、斜截式的理解，明确必须在斜率存在时才能设出两种直线的方程，而当斜率不存在时，直线的方程需具体问题具体分析，往往借助直线的图象写出特殊直线的方程。
学生练习：练习A3(3)(4)
3 直线一般式方程AxByC0的引入，阐释其含义。 提问：如何根据直线方程的一般式求得直线的斜率及在y轴上的截距。
设计意图：体会由直线方程的一般式向斜截式（点斜式）方程的转化过程，理解直线方程的内在联系。 课堂小结：
求直线方程的问题时，往往需要根据题意设出直线的方程或由直线的图象直接求得，但最终结果一般情况下都需化为一般式；而直线的一般式方程又可以转化为直线的斜截式方程，斜截式方程又为点斜式方程的特殊形式，由此体会直线方程的内在联系及相互转化。 作业：
自行了解直线方程的两点式及截距式方程
推荐第6篇：直线的参数方程教学设计[全文]
《直线的参数方程》教学设计
教学目标：
1.联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．
2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．
3.通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度．
教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．
教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标 之间的联系．
教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程：
一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题：
1.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 2.根据直线的几何条件，你认为应当怎样选择参数，如何建立直线的参数方程？
这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。 【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备．
二、直线参数方程探究
1．问题：数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．
2.问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？
（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？
【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．
3.问题（1）：当点M在直线L上运动时，点M满足怎样的几何条件？ 【设计意图】明确参数．
问题（2）：如何确定直线L的单位方向向量 ？ 教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．
【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．
4.问题：如何建立直线的参数方程? （得出直线的参数方程 ）
【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．
三、例题讲解 例1.（题略）
先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解。
在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．
【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．
探究：先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：
【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．
四、布置作业，巩固提高 1.教材P41—1；
推荐第7篇：直线的两点式方程教学设计
3.2.2
直线的两点式方程
三维目标
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围； （2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化； （2）培养学生用联系的观点看问题。 教学重点、难点：
1、重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。教学过程：
一、复习准备：
1． 写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在y轴上的截距.①经过点A(-2,3),斜率是-1；②经过点B(-3,0),斜率是0；③经过点C2,2,倾斜角是60；
二、讲授新课：
1.直线两点式方程的教学:
① 探讨:已知直线l经过p1(x1,y1),p2(x2,y2) (其中x1x2,y1y2)两点,如何求直线的点斜式方程?
yy1y2y1(xx1) x2x1两点式方程:由上述知, 经过p1(x1,y1),p2(x2,y2) (其中x1x2,y1y2)两点的直线方程为yy1xx
1 ⑴,
我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式.y2y1x2x1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1若点P12．举例
x2，或y1y2，此时这两点的直线方程是什么？
例1:求过A(2,1),B(3,3)两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式. 练习：教材P97面1题 例2：已知直线l与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），其中a≠0，
b≠0
求l的方程
② 当直线l不经过原点时,其方程可以化为其中
直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b.
xy1 ⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程,abx2x1x2③ 中点:线段AB的两端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(x,y),其中
yy1y22例2:已知直线经过A(2,0),B(0,3)两点,则AB中点坐标为______,此直线截距式方程为______、与x轴y轴的截距分别为多少？
练习：教材P97面2题、3题
例
3、已知ABC的三个顶点是A(0,7) B(5,3) C(5,-3)，求
（1） 三边所在直线的方程；（2）中线AD所在直线的方程；（3）高AE所在直线的方程。 3．小结:（1）、两点式.截距式.中点坐标.（2）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
（3）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
4．作业：《习案》第二十课时。.5．板书设计
直线的两点式方程
一． 复习准备
三。应用示例 二． 公式的教学
四。练习与小结
6．教学反思：本节课的内容学生学起来还是比较容易接受的，课后注意巩固与练习，部分太差的学生才用个别辅导。
推荐第8篇：1.2直线方程的教学设计（材料）
直线方程的教学设计
教学目标分析
知识与技能：使学生会推导直线的方程。并掌握方程表示的基本量，以及各种表达形式的优势和局限性。
过程与方法： 体验方程的逐步推导过程，理解各形式之间的内在的实质的联系。体验数学研究与发展的规律。知其所以然。
情感态度与价值观：励学生大胆推导，引领学生体会发现的过程。增加对本知识的认识，以期达到提高浓厚学习兴趣，掌握知识的目的。
教学的重点与难点
本节教学重点是直线的五种方程的形式。
教学难点按环节的推导过程。
教学过程设计
1提出问题串，创设学习情景
问题1
根据动画，如何可以把一条直线固定下来，需要几个量？
问题2
根据上节课的斜率公式，可否把直线上具有代表意义的点（x，y）与已知点（x0，y0）用斜率表示出来？
问题3 从严格方面说，这个式子有几点需要说明？
追问1 （x，y）与已知点（x0，y0）首先可以重合吗？
追问2
如果不能重合，我们所得到的式子，是否遗漏了这个定点？ 追问3
由上节课斜率的注意事项，你想到了什么？
追问4 用到的基本量是一点一斜率，通过预习，这个形式应该称之为直线方程的何种形式？
问题5 由问题1的另一答案，两点也可以确定一条直线，那么如果已知一直线通过两个定点分别为（x1，y1）（x2，y2），可以写出直线方程吗？根据是什么？
追问1 对这两个点难道就没有要求吗？
追问2 这个写出的方程如何找到记忆的规律？
追问3 这个方程的局限在哪里？ 引导思考，自主探究
由于情况很多，有教师给予适当的指导，引领学生进行思考，开展讨论与研究。可以具体设计如下：
S1：把两点代入直线方程的两点式：
yy1xx1 y2y1x2x1ybx baxy
S2： 可以化简为：1
ab
可得：
S3：这个形式叫直线方程的截距式。局限同两点式相同：
不可以表示与x轴垂直和与y轴垂直的直线。
T1：可以表示过原点的直线吗？
T2：过原点的直线是否有截距？是否有截距式方程？
展开讨论后，对此结论更为注意。并对练习册上相应的题目给予适当的补充练习以加强印象。 反思结论，归纳总结
直线方程的点斜式：yy0k(xx0)
局限：不能表示与x轴垂直的直线 直线方程的斜截式：y=kx+b 局限：不能表示与x轴垂直的直线 直线方程的两点式：
yy1xx1（x1≠x2， y1≠y2） y2y1x2x1局限：不能表示与坐标轴垂直的直线
xy直线方程的截距式：1
（a≠0，b≠0）
ab局限：不能表示与坐标轴垂直的直线，和过原点的直线 题组练习(略)
推荐第9篇：直线方程教案
Ⅰ.课题导入
［师］同学们，我们前面几节课，我们学习了直线方程的各种形式，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这是这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。现在大家回忆一下，我们都学习了直线方程的哪些特殊的形式。我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程的表示形式有了一定的认识.现在，我们来回顾一下它们的基本形式.点斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）适用于斜率存在的直线.斜截式的基本形式：y＝kx＋b适用于斜率存在的直线；
两点式的基本形式：直线；
截距式的基本形式：
yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2）适用于斜率存在且不为0的y2y1x2x1xy＝1（a，b≠0）适用于横纵截距都存在且不为0的直线.ab在使用这些方程时要注意它们时要注意它们的限制条件。
那么大家观察一下这些方程，都是x,y的几次方程啊？［生］都是关于x，y的二元一次方程.那么我们原来在代数中学过二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板书）Ax＋By＋C＝0 我们现在来看一次这几种学过的特殊形式，它们经过一些变形，比如说去分母、移项、合并，这样一些变形步骤。能不能最后都化成这个统一的形式呢？比如说y＝kx＋b，xayb＝1，这些我们最终都可以吧它们变成这种形式。剩下的两种形式的变形留给同学们课下自己去完成。那么在学习这些直线的特殊形式的时候，应该说各有其特点，但是也有些不足。在使用的过程中有些局限性。比如说点斜式和斜截式它们的斜率都必须存在，两点式适用于适用于斜率存在且不为0的直线，截距式适用于横纵截距都存在且不为0的直线.那么我们现在想一想有没有另外一种形式，可以综合他们各自的一些特点，也就是这些方程最后化成一个统一的形式。能不能代表平面直角坐标系中的直线。要解决这些问题呢，要分两个方面进行讨论。
1.直线和二元一次方程的关系
（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.一个方面：是不是平面上的任意直线，表示它的方程都可以写成Ax＋By＋C＝0的形式，刚才大家做了一些练习，当然这只是特殊形式，是不是所有的直线都可以写成这种形式呢？直线按斜率来分类可以分几类？斜率存在和斜率不存在。这两类是不是都可以转化成一元二次方程的形式。当倾斜角不等于90°是斜率存在，直线方程可以写成y＝kx＋b的形式。可以转化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=k B=-1 C=b 。当倾斜角等于90°斜率不存在，直线方程可以写成x=x0的形式。可以转化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我们就把它分为这两种情况，当斜率存在的时候我们一般把它设成一个简单的斜截式，斜截式经过变形就可以化成一般的形式。而对于斜率不存在的时候，它的方程形式就是x=x0直线方程也可以转化成这样的一个形式。那么由此可以下这样一个结论：平面上的任意的一条直线，表示它的方程最后都可以转化成二元一次方程的形式。刚才我们从这个角度考虑，就是直线都可以转化成二元一次方程，现在我们反过来看，是不是任意的一个二元一次方程最终在直角坐标系下都能够表示直线。
（2）在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.因为x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同时为0，在B≠0和B＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y＝－示与y轴平行或重合的直线方程x＝－
ACx和表BBC.A也就是说Ax＋By＋C＝0 （A，B不同时为零）大家想想如果AB都等于零这个直线方程就没了。现在我们考虑一下，这个方程能不能经过一些适当的变形，变成我们熟悉的形式，而确定它就是一个在平面直角坐标系中就是一条直线呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y轴上的截距。二元一次方程通过变形在直角坐标系下都表示一条直线。那么我们从两个方面在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.在平面直角坐标系中，二元一次方程都表示一条直线.根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式.我们就把代数中的二元一次方程定义为直线的一般式方程。
定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程。 我们在学习前面直线的几种特殊形式的方程，一眼就可以看出这条直线的某些特点，比如说点斜式就可以看出它的斜率还有过一个定点，还有两点式可以看出它过两个定点。那么我们怎么通过直线的一般式方程观察直线的一些特点呢？比如说A=0表示什么样一条直线？y=-平行于x轴的直线，也有可能与x轴重合。如果要平行于y轴这个系数要满足什么样的条件？如果旦旦是c等于零，通过原点的直线。假如AB都不等于零它的斜率我们怎么看出来？这些直线的特点我们要能掌握住。我们对直线的一般式方程有了一定的了解。直线的一般式方程和和那几种特殊的形式之间有一个互相的转化，那么我们来看一个例子，通过一些转化来解决实际问题。
［例1］已知直线经过点A(6，－４），斜率为－
4，求直线的点斜式和一般式方程.3分析：本题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到，主要让学生体会由点斜式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点.解：经过点A(6，－４)，并且斜率等于－
4的直线方程的点斜式是： 3y＋４＝－4（x－6） 3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同学们在以后解题时，可能求直线方程的时候，求出不一定是一般式，可能是点斜式、两点式等等，如题目没有特殊要求我们都要把各种形式化成一般式。对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.
推荐第10篇：直线的方程教学反思
找教案
在进行《直线的方程》一章教学时，笔者遇到了这样一个问题：就是我们反复在讲直线方程的5种形式，包括点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，但是到了学生那里，只要求到直线方程，则十有八九是利用斜截式，即设直线的方程为y = kx + b，然后根据题目的已知条件求出相应的k和b．学生这样做固然也能把直线的方程求出来，但对于有些问题而言显然不是最好的方法．虽然在课上也强调对于不同的条件，要合理选择相应类型的直线方程，以简化计算，但是还有相当部分学生老是抱着斜截式不放．
我在想，是什么原因导致学生始终也摆脱不了这种“k、b情结”呢？原来，学生在初中阶段已经学过一次函数，当初一次函数的解析式的形式就是y = kx + b．我并没有贬低初中老师的意思，相反，我真的太佩服我们的初中老师了，在他们的辛勤耕耘下，我们的学生都成了一个个“训练有素”的解题高手，只要求到直线的方程，想也不要想，设为y = kx + b．殊不知，如今行情已经变了，需要“与时俱进”一下了．
由此，我们就得出了这样一个结论，教学中间的很多东西需要强调，但有时候强调得过了头，反而会适得其反，还是那句老话：过犹不及！就像一次函数的解析式，初中老师强调得过了头，我们高中老师在教《直线的方程》这一部分时就看出后遗症了．这么一强调，学生的中考成绩是有保证了，但是思维严重僵化，不懂变通，不愿接受新知识，当然更不用谈什么创新了．大概中国基础教育缺乏对学生创新能力的培养，由此也可窥见一斑吧．另外，要解决上面的问题，我认为在教学时还要补充讲一个东西，那就是函数图像及其解析式和曲线及其方程之间的联系与区别．初中讲直线，是将其视为一次函数，它的解析式是y = kx + b，图像是一条直线；高中讲直线，是将其视为一条平面曲线（更确切地讲是点的轨迹），它的方程是二元一次方程，而y = kx + b只是直线方程的一种形式．作为函数解析式的y = kx + b，x是自变量，y是因变量，只有当自变量x的值取定，因变量y的值才能确定，它们的地位是“不平等”的．而作为直线方程的y = kx + b，x和y是直线上动点的横坐标和纵坐标，它们的地位是平等的．函数的解析式一定可以转化为曲线的方程，但曲线的方程却不一定能够转化为函数的解析式．
第11篇：3.2.2直线的两点式与截距式方程(教学设计)
3.2.2 直线的两点式与截距式方程（复习设计）
教学目标
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围； （2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.
2、过程与方法
让学生掌握直线的两点式方程的推导过程，学会分析、比较，有特殊情况特殊处理的意识.
3、情态与价值观
感受两点确定一条直线这一几何意义的代数转化，体验解析几何的代数美感.教学重点、难点：
1、重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解及截据式方程.教学过程
（一）复习回顾，新课导入
复习：已经学过的点斜式方程和斜截式方程及其特点
思考：已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，(x1x2 ,y1y2),如何求出这两个点的直线方程呢？
生：经过一点，且已知斜率的直线，可以写出它的点斜式方程.可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜式方程.
（二）师生互动，讲解新课 例1：利用点斜式解答如下问题：
（1）已知直线l经过两点P1,2),P2(3,5),求直线l的方程.1(（2）已知两点P其中(x11(x1,x2),P2(x2,y2)x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程.教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：
3（1）y2(x1)
2（2）y y1y2y1(xx1)
x2x1教师指出：当y1y2时，方程可以写成
yy1xx1(x1x2,y1y2)
y2y1x2x1由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.若点P中有x11(x1,x2),P2(x2,y2)x2，或y1y2，此时这两点的直线方程是什么？
直线与x轴垂直，所以直线方程为：xx1；当y1y2x2时，教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1.变式训练1：（课本P97练习NO：1）
1 例2： 已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程.教师引导学生分析题目中所给法更为简捷？然后由求出直线方程：
教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概念.变式训练2：（课本P97练习NO：2）
例3：（课本P96例4） 已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.引入中点坐标公式：
若点P1，P2的坐标分别为P1（x1,y1），P2(x2,y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为M(x,y)，则：
xy1ab的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方x1x2x2 yy2y12解:直线AB过A(-5,0)、B（3，-3）两点，由两点式得
y0x(5) 303(5)整理得：3x8y150，即直线AB的方程.
2(3)5, 直线BC过C(0,2),斜率是k0335由点斜式得:y2(x0)
3整理得:5x3y60,即直线BC的方程.
y0x(5)直线AC过A(-5,0),C(0,2)两点,由两点式得: 200(5)整理得：2x5y100，即直线AC的方程.说明：例3中用到了直线方程的点斜式与两点式,说明了求解直线方程的灵活性,应让学生引起注意.
变式训练3：（课本P97练习NO：3）
(三)课堂小结，巩固反思
（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？ （2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
（四）课时必记：
yy1xx1(x1x2,y1y2) ，
y2y1x2x1其中x1,y1,x2,y2是直线两点(x1,y1),(x2,y2)的坐标.xy
2、直线方程的截距式:1,其中a,b分别为直线在x轴和y轴上截距，a为横截距，b为纵截ab距.
1、直线方程的两点式:
3、中点坐标公式：
x1x2x2若点P1，P2的坐标分别为P1（x1,y1），P2(x2,y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为M(x,y)，则：
yy2y12
（五）布置作业
A组：
1、（课本P100习题3.2 A组：NO：1（4）（5）（6））
2、（课本P100习题3.2 A组：NO：4）
3、（课本P100习题3.2 A组：NO：7）
4、（课本P100习题3.2 A组：NO：8）
5、（课本P100习题3.2 A组：NO：9）
6、(tb1706703)已知ABC的三个顶点坐标为：A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2)，D是BC边的中点，求中线AD所在的直线的方程。
（答：10x+11y+8=0）
B组：
1、（课本P100习题3.2 B组：NO：1）
2、(tb2507202)过点(4,-3)的直线L在两坐标轴上截距相等，求L的方程。（答：x+y-1=0或3x+4y=0）
C组：
1、(tb2507303)已知直线L过点M(0,2)，且与以两点A(1,4)、B(3,1)为端点的线段AB相交，求直线L的斜率的取值范围。（答： 1k2） 3 3
第12篇：直线的向量方程与直线平行
高二数学学案班级：姓名
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学案
学习要求：1.掌握空间直线得方向向量和向量参数方程。
2.会用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行。
学习重点 ：直线的方向向量、平行关系论证
教学过程：
一、预习效果检测：
（1）空间直线的向量参数方程：________________,_________________,______________.l1//l2（或l1与l2重合）（2）设直线 的方向向量分别为V1,V2则vv（3）已知两个不共线向量1，2与平面α共面，一条直线l方向向量为v，则由共面向量定
理，可得：l//α或l在α内存在两个实数x，y，使
（4）已知两个不共线向量 与平面 共面,则__________________________________
（5）已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四边行，则点D坐标________________.
二.思考与探究
《一》直线的方向向量与直线的向量式参数方程
（1）思考： 如何确定空间中的点的位置？
（2）思考： 如何确定空间中的直线？
（3）探究： 观察到方程OP(1t)OAtOB中的系数满足1－ t ＋ t ＝ 1, 这与点A , P , B三点共线有关系吗？
1
1（1）若令t＝2，则点P在直线AB的什么位置？（t＝2时得出线段AB中点的向量表达
式）
《二》空间中的平行关系
（1）思考：怎样用向量的方法证明线线平行？
（2）思考：怎样用向量的方法证明线面平行？
另外，如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实
数x，y，使向量表达式AMxAByAC成立。
高二数学学案班级：姓名例题分析：
例1.已知点A(2,4,0)，B(1,3,3),以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P,Q为轴上的两点，且分别满足条件：
(1) AP:PB=1:2(2)AQ:QB=-2求点P和点Q的坐标。
解：注意步骤：
（1） （2）
思考：还可以怎么解决？练习：课本97页练习A3题。
例
2已知正方体ABCD-A\'B\'C\'D\',点M,N分别是面对角线A\'B与面对角线A\'B\'与面对角线A\'C\'的中点
1求证：MN侧面AD\';MNAD\'且MNAD\'2
说明：用传统的演绎推理方法论证空间平行关系，不仅在思维水平上要求较高，而且对某些问题的表述较为繁杂，通过对比发现利用向量方法处理则显得简单明了，教学过程中可以适当补充相关例题加深理解。
巩固达标：
1、
1V为矩形ABCD所在平面外一点，且VAVBVCVD，3，
212VMVBVNVDVA//平面PMN。33，，求证：
V
C
2、
M为长方体AC1的棱BC的中点，点P在长方体AC1的一个面CC1D1D内，且
PM//平面BB1D1D，试探讨点P的确切位置。y
总结反思：通过空间平行关系的论证与应用计算，我们充分体会到向量工具的优越性：几何问题数量化，使得论证更快捷，计算更简化，相比传统的方法学生更加容易接受。
第13篇：11.1直线方程教案
11．1 （２）直线方程（点法向式）
一、教学目标
在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力。
二、教学重点及难点
本节的重点是直线的点法向式方程的推导及应用。在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程。
本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。
三、教学过程 复习上一堂课的教学内容 讲授新课
（一）点法向式方程
1、概念引入
从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的。
2、概念形成 直线的点法向式方程
在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的。建立直角坐标平面，设P的坐标是(x0,y0)，方向用非零向量n(a,b)表示。那么如何根据条件求出直线l的方程呢？ 直线的点法向式方程的推导
设直线l上任意一点Q的坐标为(x,y)，由直线垂直于非零向量n，故PQn.根据PQn的充要条件知PQn0，即：a(xx0)b(yy0)0⑤；反之，若(x1,y1)为方程⑤的任意一解，即a(x1x0)b(y1y0)0，记(x1,y1)为坐标的点为Q1，可知PQ1n，即Q1在直线l上。综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程①的直线。
我们把方程a(xx0)b(yy0)0叫做直线l的点法向式方程，非零向量n叫做直线l的法向量。
3、例题解析
- 1
第14篇：11.1直线方程教案
11．1（1） 直线方程（点方向式）
一、教学目标
理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心。
二、教学重点及难点 重点
1.理解直线的方向向量概念
2.能根据已知条件求出直线的点方向式方程 3.理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系
4.通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推到过程且有明确的几何意义 难点
理解直线方程的定义。通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义。通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想。从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。
三、教学过程 回顾
在初中平面几何里，我们定性的研究直线的平行，垂直或直线相交所成角是否相等。在函数教学中，直线是一次函数的图像。在本章中，我们进一步用定量的方法来研究直线。 讲授新课
（一）直线方程
定义：对于坐标平面内的一条直线l，如果存在一个方程f(x,y)0，满足 （1）直线l上的点的坐标(x,y)都满足方程f(x,y)0； （2）以方程f(x,y)0的解(x,y)为坐标的点都在直线l上。 那么我们把方程f(x,y)0叫做直线l的方程。
从上述定义可见，满足（1）、（2），直线l上的点的集合与方程f(x,y)0的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系。
第15篇：11.1直线方程教案
11．1 （２）直线方程（点法向式）
一、教学内容分析
本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于x、y的一次方程axbyc0（a、b不全为零）的形式.本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.
二、教学目标设计
在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力.
三、教学重点及难点
直线的点法向式方程以及一般式方程；
四、教学过程设计
一、复习上一堂课的教学内容
二、讲授新课
（一）点法向式方程
1、概念引入
从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的．
2、概念形成
直线的点法向式方程
在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P的坐标是(x0,y0)，方向用非零向量n(a,b)表示.
直线的点法向式方程的推导
设直线l上任意一点Q的坐标为(x,y)，由直线垂直于非零向量n，故PQn.根据PQn的充要条件知PQn0，即：a(xx0)b(yy0)0①；反之，若(x1,y1)为方程⑤的任意一解，即a(x1x0)b(y1y0)0，记(x1,y1)为坐标的点为Q1，可知PQ1n，即Q1在直线l上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程①的直线.我们把方程a(xx0)b(yy0)0叫做直线l的点法向式方程，非零向量n叫做直线l的法向量.
3、概念深化
从上面的推导看，法向量n是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.若直线的一个方向向量是(u,v)，则它的一个法向量是(v,u).
4、例题解析
例1 已知点A1，2，B3，4，求AB的垂直平分线l的点法向式方程.解 由中点公式，可以得到AB的中点坐标为1,3，AB4,2是直线l的法向量， 所以，AB的垂直平分线l的点法向式方程.4x12y30 [说明]关键在于找点和法向量！
例2已知点A(1,6),B(1,2)和点C(6,3)是三角形的三个顶点，求 （1）BC边所在直线方程；
（2）BC边上的高AD所在直线方程.解（1）因为BC边所在直线的一个方向向量BC＝（7，5），且该直线经过点B(1,2)，所以BC边所在直线的点方向式方程为
x1y2 75（2）因为BC边上的高AD所在的直线的一个法向量为BC＝（7，5），且该直线经过点A(1,6)，所以高AD所在直线的点法向式方程为
7(x1)5(y6)0
５、巩固练习练习11.1（2）
（二）一般式方程
1、概念引入
由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；那么每一个关于x,y的二元一次方程axbyc0（a，b不同时为表示一条直线呢？
2、概念形成
直线的一般式方程的定义
0）是否都直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为x,y的二元一次方程axbyc0.反之，任意二元一次方程axbyc0(a,b不全为0)都是直线方程么？回答是肯定的.首先，当b0时，方程可化为axb(y)0，根据直线点法向式方程可知，这是过点(0,)，以(a,b)为一个法向量的直线；当b0时，方程为axc0，由于a0，方程化为x直线.所以二元一次方程axbyc0(a,b不全为0)是直线的方程，叫做直线的一般式方程.３、例题解析
例1 ABC中，已知A(1,2)、B(3,4)，求AB边的中垂线的一般式方程.cbcbcc，表示过点(,0)且垂直于x轴的aa解 直线过AB中点D(1,3)，nAB(4,2)，则其点法向式方程为4(x1)2(y3)0，整理为一般式方程2xy50.[说明]点法向式方程化为一般式方程.例2（1）求过点A(2,5)且平行于直线l1:4x3y90的直线方程； （2）求过点B(3,4)且垂直于直线l2:3x7y60的直线方程.解 （1）解一：n(4,3),d(3,4)，又直线过点A(2,5)，故直线的方程为4(x2)3(y5)化简得4x3y230.解二：n(4又,3),直线过点A(2,5)，故直线的点法向式方程为4(x2)3(y5)0化简得4x3y230.解三：设与l1:4x3y90平行的直线方程为4x3yc0，又直线过点A(2,5)故4(2)35c0，c23，所以直线的方程是4x3y230.（2）解一：l1的法向量n1(3,7)为所求直线的方向向量，又直线过点B(3,4)，故直线的方程为7(x3)3(y4)化简得7x3y330.解二：设与l2:3x7y60垂直的直线方程为7x3yc0，又直线过点B(3,4)故733(4)c0，c33，所以直线的方程是7x3y330.[说明]一般地，与直线axbyc0平行的直线可设为axbyc0(其中cc)；而与直线axbyc0垂直的直线可设为bxayc0.例3能否把直线方程2x3y50化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x、y的系数与方向向量和法向量有什么联系？ 解： x1y1x1y1x2、、32323y
13、x4y1……
6422(x1)3(y1)0、4（x+4）+6(y-1)=0……
能够化成点方向式的形式，并且有无数个！
所有的方向向量之间存在：一个非零实数，使得d1d23,2； 易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！
所有的法向量之间存在：一个非零实数，使得n1n22,3
变式：直线axbyc0的方向向量可以表示为b,a
直线axbyc0的法向量可以表示为a,b
[说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.
三、巩固练习练习11.1（3） 补充练习
1、（1）若直线过两点A(a,0),B(0,b)，则a,b分别叫做该直线在x,y轴上的截距.当ab0时，求直线AB的方程；
（2）若过点P(4,3)的直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程.
2、已知直线l过点P(2,3)且与x,y轴分别交于A,B两点.
（1）若P为AB中点，求直线l的方程；（2）若P分AB所成的比为2，求l的方程.
3、已知直线l的方程为：(a2)x(12a)y43a0(常数aR) （1）求证:不论a取何值，直线l恒过定点；
（2）记（1）中的定点为P，若lOP（O为原点），求实数a的值.
4、ABCD中，三个顶点坐标依次为A(2,3)、B(2,4)、C(6,1)，求（1）直线AD与直线CD的方程；（2）D点坐标.
5、．过点P(5,4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l的方程.
6、已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10都通过P(2,3),求证：经过两点Q1(a1,b1)，Q2(a2,b2)的直线方程是2x3y10.
四、课堂小结 １.直线的点法向式方程和一般方程的推导；
２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的联系.３、确定直线方程的几个要素
五、课后作业
习题11.1 A组5,6,7；B组3，4习题11.1 A组8 补充作业：
1.直线3xy20的单位法向量是___________.2.直线l的一般式方程为2x3y70，则其点方向式方程可以是__________；点法向式方程可以是_____________.3.过P(4,3)且垂直y轴的直线方程是_______________.4.若直线(2m)xmy30的法向量恰为直线xmy30的方向向量，求实数m的值.5.已知点P(2,1)及直线l:3x2y50，求：
（1）过点P且与l平行的直线方程；（2）过点P且与l垂直的直线方程.6.正方形ABCD的顶点A的坐标为(4,0)，它的中心M的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线AC,BD所在的直线方程.7.已知A,B,C的坐标分别为(1,3),(b,0),(0,c)，其中b,c均为正整数，问过这三点的直线l是否存在？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.8.设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)
（1） 证明：直线l过定点；
（2） 若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程.
六、教学设计说明
在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程.通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由特殊到一般的思维过程，培养学生的探究能力.
第16篇：直线的方程教案
《直线的方程》教案
一、教学目标
知识与技能：理解直线方程的点斜式的特点和使用范围
过程与方法：在知道直线上一点和直线斜率的基础上，通过师生探讨得出点斜式方程 情感态度价值观：养成数形结合的思想，可以使用联系的观点看问题。
二、教学重难点
教学重点：点斜式方程
教学难点：会使用点斜式方程
三、教学用具：直尺，多媒体
四、教学过程
1、复习导入，引入新知
我们确定一条直线需要知道哪些条件呢？（直线上一点，直线的斜率）
那么我们能不能用直线上这一点的坐标和直线的斜率把整条直线所有点的坐标应该满足的关系表达出来呢？这就是我们今天所要学习的课程《直线的方程》。
2、师生互动，探索新知
探究一：在平面直角坐标系中，直线L过点P（0,3），斜率K=2，Q(X,Y)是直线L上不同于点P的任意一点，如ppt上图例所示。 通过上节课所学，我们可以得出什么？
由于P,Q都在这条直线上，我们就可以用这两点的坐标来表示直线L的斜率，可以得出公式：Y-3\\X-0=2 那我们就可以的出方程Y=2X+3 所以就有L上的任意一点坐标（X,Y）都满足方程Y=2X=3,满足方程Y=2X+3的每一个（X,Y）所对应的点都在直线L上。
因此我们可以的出结论：一般的如果一条直线l上任意一点的坐标(x,y)都满足一个方程，满足该方程的每一个数对（x,y）所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为l的直线方程，因此，当我们知道了直线上的一点p（x,y），和它的斜率，我们就可以求出直线方程。
3、知识剖析，深化理解
我们刚刚知道了如何来求直线方程，那现在同学来做做这一个例子。 设 Q(X,Y)是直线L上不同于点P的任意一点，由于点P,Q都在L，求直线的方程。 设点P（X0，,Y0），先表示出这个直线的额斜率是Y-Y0\\X-X0=K，然后可以推得公式Y-Y0=K(X-X0) 那如果当X=X0，这个公式就没有意义，还有就是分母不能为零，所以这里要注意（X不能等于X0）
1） 过点
，斜率是K的直线L上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ P(X0,Y0)
(X0,Y0)
，斜率为K的直线L上吗？ 2） 坐标满足方程（1）的点都在经过P那么像这种由直线上一个点和一个斜率所求的方程，就称为直线方程的点斜式。 直线的点斜式是不是满足坐标平面上所有的直线呢？
小组讨论：当直线与X轴垂直时，倾斜角为直角时，直线方程怎么写？（Y-Y0=KX） 当直线与Y轴垂直时，倾斜角为零时，直线方程怎么写？（Y=K(X-X0) 那我们带入与X垂直的一条线上的坐标（3,0）（3,1），斜率为K，算出（Y=3K,Y=3K+1）
点斜式就不满足这个条件的直线，大家子啊照例做做下一个，还是不一样是吧，这个点斜式不能满足。（它只能满足斜率存在的直线。）
4、巩固提高：做一做习题1的第一小题：经过点p（1,3）斜率为1,求出方程，并且画图。（Y=X+2）
5、课堂小结：这节课我们学习了直线方程的点斜式方程，知道了这种方程也有他的局限性，就是不使用斜率不存在的直线，那怎么办呢？我们下节课继续学习。课后大家预习后边的内容，巩固今天所学习的知识。
6、板书：点斜式的概念及图形。
第17篇：直线教学设计
直线
一、教材分析：
本课的教学内容是甘肃教育出版社的《信息技术》四年级下册模块三第9课《直线与曲线》的知识内容，本课旨在让学生学会直线工具的用法，能熟练地运用直线工具画图。
二、学情分析：
本课是用计算机画画的基础部分，操作性很强。学生在本课中要学会以下两个问题：
1.直线工具的用法 。
2.用直线工具画特殊角度的线条 。
三、教学目标 1.知识与技能：
（1）了解计算机的直线画图工具，并能运用直线工具画画。 （2）能够进行正确的评价和自我评价。 2.过程与方法：
（1）利用投影仪进行直观演示，刺激学生的视觉，使学生的思维得到发展。
（2）通过对比，分析来理解新知识和解决问题。 （3）尝试让学生学会“总结”。 3.情感过程与价值观：
通过教学，使学生对计算机画图产生浓厚的兴趣；通过画图，体验科学技术蕴含的文化内涵，激发和保持对信息技术的求知欲，形成积极主动地学习和使用信息技术、参与信息活动的态度。
四、教学重点和难点 用直线工具画特殊角度的线条
五、教学时间 1课时。
六、教学过程：
（一）1.播放玉门航拍，激发学生学习性趣。
2.复习旧知，“如何保存自己的作品。”
（二）图片导入，板书课题、展示目标。
（三）学习运用“直线工具”画直线。
1.说说哪个工具是画直线的，你又是怎么知道的。
2.指名学生来演示并提问怎样选择线宽，怎样画直线，画错了怎么办等，教师及时引导。
3. 方法展示：
（1）、鼠标左键单击选定直线工具。
（2）、选择线的宽度。
（3）、按住鼠标左键，拖动鼠标画出一条直线。
4.教师演示。
（四）小知识：在画直线的同时按住键盘上的shift键，就可以画出水平线、垂线和角度是45度的斜直线等特殊角度的线条。
1.教师先出示课件，根据课件学生自己试画特殊角度的线条。2.指名完成较好的同学为其他同学演示，并说说自己是怎样画的。
3.学生演示后教师及时给予评价。4.教师演示画三角形、正方形等图形。 5.学生练习，教师巡视指导。
（五）操作实践，游戏闯关。
1.喊出闯关口号。2.了解游戏规则。 3.出示任务：
第一关：请用直线工具画出下列的图形，时间为5分钟
1.引导学生观察后开始闯关任务，教师巡视指导，发现问题及时纠错。
2.请最先完成任务的两位同学展示自己的作品。3.学生评价。 4.教师评价。
第二关：任选一幅图来画，或自己发挥想象进行创作。
2.请最先完成任务的两位同学展示自己的作品。同时进行自我评价。
3.学生评价。4.教师评价。
（六）总结、学生总结本节课。
（七）作品欣赏，结束语。
第18篇：四川教师招聘面试：《直线的方程》教学设计
2016四川教师招聘面试：《直线的方程》教学设计
一、教学目标 【知识与技能】
(1)理解直线方程的点斜式、两点式的形式特点和适用范围; (2)能正确利用直线的点斜式、两点式公式求直线的方程。 【过程与方法】
通过自主探究、合作交流，体会几何问题代数化的过程，体会代数和几何之间的联系。
【情感态度与价值观】
使学生在实践活动中，体会代数和几何的密切联系，增强学习数学的兴趣;学会与他人合作交流，获得积极的数学学习情感。
二、教学重难点 【重点】
直线的点斜式、两点式方程的理解和表示，能够利用直线方程解决相关问题。 【难点】
直线点斜式方程的建立。
三、教学过程
上课过程利用问题导向，启发同学们自己得出结论。 (一)导入新课 设疑导入
问题一：如何在平面内确定一条直线? 问题二：在平面内如何能用代数方法表示一条直线的方程呢? 这就是我们本节课要学习的内容。 (二)探究新知
同学们经过思考讨论，由公理“过平面内两点能切仅能确定一条直线”得出确定直线的方法一。在此基础上，继续提问是否还有别的方法确定一条直线。经过思考，部分同学能得出由平面内一个定点和一个方向也能确定一条直线。适时点拨：几何中的点可以用代数中的坐标表示，那么方向该怎么表示呢?联系之前学过的任意角概念，启发同学们利用x轴正半轴旋转所成的角来确定直线的方
向。顺势得出的方向角的概念，并澄清方向角的范围。
问题三：角度和长度是否是同一种量呢?他们之间是否存在着某种关联呢?他们之间在某种条件下是否能够相互转化呢? 小组讨论得出结论：长度和角度可以通过三角函数建立联系，通过三角函数实现用广义的长度来表示角度。进而启发学生，利用利用正切来表示倾斜角。教师补充斜率概念，并澄清斜率范围，斜率只能表示非90°的倾斜角。并引导学生得出斜率公式。
问题四：对于任意直线，如果已知斜率和直线所过的定点，如何用代数中的方程来表示该直线呢? 小组讨论，教师点拨：可以把直线看成点的集合，直线上的定点和定点外任意动点，满足斜率公式，由此可以得出直线方程。此方程即为直线的点斜式。
问题五：由公理“过平面内任意两个不同的点，能切只能确定一条直线”，我们能否由此公理得出直线方程呢? 小组讨论，得出结论：由两定点能确定直线的斜率。进而由直线的点斜式确定直线的方程。教师给出直线的两点式概念，给出两点式的标准方程。并点拨，两点式只能表示斜率存在的直线。对于斜率不存在的直线，可以直接由直线的横坐标得出直线方程。
(三)巩固提高
例1 求下列直线的方程： (1)直线l：过点(2，1)，k=-1; (2)直线l：过点(-2,1)，(3,-3).例2 求过点(0,1)，斜率为-0.5的直线方程。 练习A部分。 (五)小结作业
小结：通过本节课我们主要学习了哪些知识?是如何得到这些知识的?对我们今后的学习有什么启发? 作业：课后习题1必做，习题2选做。
四、板书设计 略
第19篇：“曲线与方程”教学设计
“曲线与方程”教学设计
深圳中学 郭慧清
一、教学内容与内容解析 1．内容：
（1）曲线的方程与方程的曲线的概念；（2）求曲线的方程；（3）坐标法的基本思想与简单应用.2．内容解析：
“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容．在教学时，不少人认为只是为后面学习椭圆、双曲线、抛物线做准备．尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础，但人们将碰得的曲线远非这些．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.研究曲线与方程的目的是把曲线的几何特征转化为数量关系，并通过代数运算等方便手段，处理已得到的数量关系,进而得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．
在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有唯一的方程，任何方程也都有唯一确定的曲线(或点集)．因此，曲线的方程是曲线的唯一表示．这种表示，为人们表达自己的思想认识提供了一种规范，这是人们应该具备的基本素养．
二、教学目标与目标解析 1．目标：
（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；
（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；
（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系.（4）通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想及简单应用． 2．目标解析：
教学目标（1）和（2）是本节课的教学重点，教学时落实好目标（1）、（2）和（3）是实现教学目标（4）的前提与保证.学生通过函数y =f(x)及其图象、直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线这些概念有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.教学目标（3）是学生初学时不易达到的目标，教学时要提供学生熟悉的曲线（比如直线，圆等）在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点．
对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的．因此，通过这样的问题，可以使学生体会如何建立坐标系，求出问题中曲线的方程，并通过曲线的方程帮助解决问题，这应该是实现教学目标（4）的一种较好的方法．
三、教学问题诊断分析 1．如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题.这个问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明．
2．在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系？这是学生会遇上的第二个教学问题，也是本节课的教学难点之一．教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会．
3．在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题．对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因而宜使用信息技术工具解决这个问题.4．学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领.
四、教学支持条件
1．在进行本节课的教学时，学生已经在数学必修1中学习了函数y =f(x)及其图象，在数学必修2中学习了直线的方程与圆的方程，这些内容是学生理解曲线与方程概念的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件，引导学生多进行归纳与概括.2．曲线与方程是数形结合的典范，教学这一内容时会涉及大量图形的绘制与方程的简化等代数运算，因此，TI图形计算器或几何画板是重要的支持条件，教学中充分利用这一条件，不仅可以节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析.
五、教学过程设计
引子：如果你邀请朋友在你所在城市的某餐馆聚会，你会怎样告诉他（她）聚会地点？例如，如果聚会地点在“深圳市笋岗路南，宝安路东的澳葡街”（如图一），你会怎样说？
（图一）
（图二）
意图：通过建立平面直角坐标系，用坐标来刻画点的位置，为后面用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系作准备，同时让学生体会坐标法思想。
师生活动：教师提出问题让学生思考，然后通过建立平面直角坐标系，给出聚会地点的坐标（如图二）。 [问题1] 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线（航行方向与东向西方向的夹角的正切值为4/7），那么它是否会受到台风的影响？
这是同学们在学习数学必修2时曾经研究过的问题，你能说说你现在会怎样解决这个问题？ 意图：体会坐标法的思想，强调研究曲线与方程的概念的必要性，让学生体会数学方法的好处.
师生活动：教师提出问题后让学生交流并回答他们的想法，在此基础上，教师归纳并演示过程：如图建立直角坐标系，得出船的航线的方程为4x+7y-28=0，圆形区域的边界圆的方程为x+y=9.联解上面两个方程所成的方程组有一定的困难，可以通过TI图形计算器求解，如下列图示：
2
2由此可见让船按原定航线航行不会出现危险．
进一步问学生：如果没有坐标法，没有直线的方程与圆的方程，但要确定能否让船按原定航线航行，你会怎样做？
[问题2]我们知道，在平面直角坐标系中，经过点(x0,y0)，且方向向量为确定的，你能求出这条直线的方程吗？怎么说明你所求得的方程就是这条直线的方程呢？
意图：为引出曲线的方程与方程的曲线的概念做铺垫.师生活动：让学生尝试求直线的方程，在得出直线的方程后，教师介绍怎样说明所得的方程就是直线的方程．
[问题3] 你能说明中心在(a,b)，半径为
的圆
的方程是(x-a)+(y-b)=r吗？
2
2
2
的直线是唯一意图：让学生体会教师在[问题2]中介绍的“说明所得方程是直线的方程”的方法，为介绍曲线的方程与方程的曲线的概念再做准备.师生活动：让学生先思考，然后教师引领学生完成说明过程.[问题4] 对一般的曲线与方程，你能给出方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线的概念吗？ 意图：给出曲线的方程与方程的曲线的概念.师生活动：让学生先思考，然后教师引领学生阅读教材上的“定义”，给出曲线的方程与方程的曲线的概念.最后问学生：
[问题5] 给定命题A：“方程f(x,y)=0是曲线曲线”，请问命题A与命题B是否互为充要条件？
意图：加深对曲线的方程与方程的曲线的概念的认识.师生活动：学生回答，教师评析．学生完成教材P37练习第1题，并将题中的“中线AO（O为原点）所在直线的方程”修改为“中线AO（O为原点）的方程”后，提问学生结论有无改变？学生完成P37练习第2题．
的方程”；命题B：“曲线C是方程f(x,y)=0的 [问题6] 你能画出函数的图象吗？图象C上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征？是否具有这些几何特征的点都在图象C上？
意图：理解用解析式表示的函数与其图象之间的关系，巩固曲线的方程与方程的曲线的概念.师生活动：（1）师生画出函数的图象C（可以利用信息技术工具）；（2）学生思考“图象C上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征”，利用信息技术工具探究，可能归纳出的几何特征是“图象C上的点到两坐标轴的距离的乘积是常数k”；（3）学生思考“到两坐标轴的距离的乘积是常数的点都在图象C上”吗？；（4）师生得出“到两坐标轴的距离的乘积是常数k的点的轨迹方程是”；（5）证明所得结论，完成教材P35例1．
[问题7] 阅读教材P35“2．1．2求曲线的方程”的第一段内容，你能得出什么结论？ 意图：明确解析几何研究的基本内容.师生活动：学生阅读教材并提炼回答内容，请学生回答，教师点评．
[问题8]已知平面上的线段BC的长为所张的角恒为
，动点A位于线段BC所在直线的同一侧，且向线段BC，动点A的轨迹是否有有限长度？若有，你能求出其长度吗？
意图：归纳求曲线的方程的步骤，体会坐标法的基本思想． 师生活动：
（1）教师讲解：以BC所在的直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则，．设点A在x轴的上方，坐标为(x,y) (y>0)，则点A的集合为
．
由于
因为所以
2
所以，点A的坐标满足方程x+(y-1)= 4 ① ；
反过来，由于上述的步骤均可逆，所以方程①的解作为坐标的点都在集合P中．
所以，点A的轨迹方程是①，点A的轨迹是一段以2为半径的圆弧，它的长度是整个圆的．因此，动点A的轨迹的长度为
（2）教师根据上述过程总结求曲线的方程的步骤（见教材P36）.（3）提问学生，有无其它建立坐标系的方法使点A的轨迹方程更简单，更简单的原因是什么？教师归纳总结建立坐标系的一般要点．
（4）提问学生思考：为什么不能把x+(y-1)= 4作为点A的轨迹方程？ （5）学生练习教材P37练习第3题．
2
2 [问题9] 已知一条直线和一个点F，点F到l的距离是2．一条曲线上面的点到F的距离减去到l的距离所得的差都是2．你能建立适当的坐标系，求出这条曲线的方程吗？
意图：帮助学生熟悉和巩固求曲线的方程的步骤.师生活动： （1）师生一起讨论如何画出图形，如何建立坐标系．
（2）让学生按步骤求出曲线的方程．
（3）师生一起讨论如何避免轨迹中出现多余的点或方程中出现多余的解． （4）简化求解步骤．
[问题10]建立坐标系后，是否存在一条曲线有两个不同的方程？你能以[问题1]和[问题8]为例，归纳一下你本节课学得的东西吗？
意图：归纳总结本节内容.师生活动：学生思考交流，教师帮助总结.
五、目标检测设计
1．教材P37，习题2.1：A组第
3、4题；B组第1题．
2．已知平面上的线段BC的长为的轨迹的长度吗？ 2009-03-25 人教网
，动点A向线段BC所张的角恒为，你能求出动点A运动
第20篇：式与方程教学设计
篇1：式与方程 教学设计 教案
教学准备 1.教学目标
知识与技能：
正确理解方程的意义，能熟练地解简易方程。
2.教学重点/难点
教学重点：
3.教学用具
多媒体课件等 4.标签
教学过程
（一）、引入新课
2、a＋b＝b＋a，s=vt„„ （1）出示：wc、km、kg、s＝（a＋b）h÷
师：用字母表示数可以简明地表示数量关系、运算定律和计算公式，为研究和解决问题带来很多方便。用字母表示数是代数的开始，从算术到代数，是数学的发展也是数学学习的重要转变。
（二）、探究新知
1、师：谁能说说我们已经学习过哪些常见的数量关系，能用字母表示吗？
（学生可能回答：我们已经学习过的常见数量关系如：速度×时间=路程；vt=s 。
5、师：想一想，在一个含有字母的式子里，数字与字母，字母与字母相乘时，怎样正确规范地书写呢？
6、a乘以4.5可以怎样写？s乘以h可以怎样写？ 4.5或a·4.5或4.5a。 h可以写成s·h或sh)
9a 表示足球的总价 58b表示 篮球的总价
58－a表示每个篮球比足球贵的价格 9a＋58b表示篮球和足球的总价
请把书翻到第86页第一题，赶紧做做吧！
8、师：同学们，如果a＝45，b＝6，那么，你们能算出9a＋58b是多少钱吗？ （课件出示答案）
方程
2、课件出示例2：下列式子中，哪些是方程?
3、上面哪些是方程？你是怎么判断的？ ] （学生可能回答：①②⑤⑥⑧是方程。
4、课件出示例3：
） （10）x=3不是方程（ ×
5、师：7×0.3＋x＝2.5里未知数x等于几？x＝0.4是这个方程的什么？
师：什么叫做“方程的解”？
（学生可能回答：解方程是一步一步的解答过程) 你会解方程，求出方程的解吗？根据什么解方程？
（学生可能回答：求方程的解的过程叫解方程；一般根据等式的基本性质来解方程。）
6、你会解这些方程吗？选择几个解一解。
7、如何判断方程解的是否正确？在解方程时要注意一些什么？[来^#源:@中教&%网]
8、师：等式性质是怎样的？[来%源:@中^国教~育出版#网]
这两题可以怎样检验方程的解对不对? 课件出示例题：
x+3×1.5=8.3 3x－10=1.4 x－4/9=10 1/2×(x－4)=4 列方程解决问题
1、师：列方程可以帮助我们解决许多实际问题。
2、课件出示例3：学校组织远足活动。
3、师：
4、师：你们能解决这个问题吗？
（学生可能回答：这道题的等量关系为：原定路程＝实际路程，原定路程可以用
5、学生边介绍，教师边媒体出示解答过程：
2.5x＝3.8×3 篇2：六年级下册《式与方程》教学设计
整理与复习之 式与方程
教学内容：人民教育出版社六年级下册整理与复习之《式与方程》
教学目标：
教学重点：
教学具准备：
教学过程：
一、导入
（1）出示：cctv、sos、ufo、nba、cm
（2）师：你们觉得用字母表示数有什么优点？（用字母表示数，比较简洁明了。） 师：用字母表示数可以简明地表示数量关系、运算定律和计算公式，为研究和解决问题带来很多方便。
二、复习
（一）用字母表示数
1、用字母表示平面图形计算公式
师：通过上面的习题，用字母可以表示那些数量和关系式啊？
（用含有字母的式子可以表示数量关系、运算定律，计算公式等）
想一想，在一个含有字母的乘法式子里，数字与字母，字母与字母相乘时，怎样正确规范地书写呢？
（二）方程
2、师：什么叫做“方程的解”？
它与“解方程”有什么不同? （解方程是一步一步的解答过程) 你会解方程，求出方程的解吗？根据什么解方程？
3、出示：下列式子中，哪些是方程? 1① 4＋0.7x＝102 ② x－0.25＝ ③ 30a＋5b ④ 7x－6＜36 4 x21⑤ 55x＝y ⑥ ＝30% ⑦ 1÷8＝0.125 ⑧ ＋＝42 432
4、上面哪些是方程？你是怎么判断的？
（学生可能回答：①②⑤⑥⑧是方程。
5、在解方程时要注意一些什么？
6、师：等式性质是怎样的？
练习解方程：
1 （1）x－0.25 ＝ 4 （3）4＋0.7x＝102 x（2） ＝30% 421（4） x＋ x＝42 32 （将学生的解题过程通过实物展台进行展示）
（三）作业布置
一课三练第42页 知识伴我行中第
1、2题
附：板书设计
篇3：《式与方程的整理和复习》教学设计
《式与方程的整理和复习》
备课教师：梁俊兵 教学目标：
一、创设情景 揭示课题
2、师说：同学们的课外知识真丰富，那么我们今天要学习的课内知识你们有信心学好吗？（有）
4、师板书课题：式与方程的整理和复习
二、沟通联系 建构网络
1、复习用字母表示数
（6）师再问：还可以表示什么呢？生答：还可以表示计算公式。
（8）师说：刚才我们用字母表示了数量关系、计算公式，字母还可以表示什么呢？你能举例说明吗？学生思考片刻后，师点名回答，并板书：运算定律，（a+b）+c=a+(b+c) （9）师说：下面老师来写个式子，你们瞧瞧：b/a乘d/c=b乘d/a乘c（a、b、c、d是不为0的自然数）让学生说说这是用字母表示的什么？生答后师板书：计算方法
（10）小结：为什么要用字母来表示这些式子呢？表示这些式子有什么样的好处呢？
2、复习方程
（2）师说：如果给你一些式子，你能判断它是不是方程呢？
（5）师接着问：你们会解这些方程吗？
3 用方程解决实际问题
巩固练习：
