一、选择题
1．下列说法正确的是（
） A．1的立方根是﹣1 B． =±2 C． 的平方根是3 D．0的平方根是0 2．下列运算正确的是（
）
A．a2•a3=a6 B．（a3）3=a9 C．（2a2）2=2a4 D．a8÷a2=a4 3．在实数 ，0， ， ，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）， ， 中无理数有（
） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．若改动多项式3a2+12ab+b2中某一项，使它变成完全平方式，则改动的方法是（
） A．只能改动第一项 B．只能改动第二项
C．只能改动第三项 D．可以改动三项中任意一项
5．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（
） A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 6．下列命题不正确的是（
）
A．立方根等于它本身的实数是0和±1 B．所有无理数的绝对值都是正数
C．等腰三角形的两边长是6和9，则它的周长是21或24 D．腰长相等，且有一个角是45°的两个等腰三角形全等
7．如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△APR≌△QPS中（
）
A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确
8．如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正
方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（
）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
二、填空题
9．1 的算术平方根是
，﹣ =
． 10．把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：
． 11．若 与 互为相反数，则x+y的平方根是
．
12．已知﹣5x2与一个整式的积是25x2+15x3y﹣20x4，则这个整式是
． 13．计算：（ ）2014×1.52013÷（﹣1）2014=
．
14．已知5+ 小数部分为m，11﹣ 为小数部分为n，则m+n=
．
15．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于点F，若△AEF的周长为16，则AB+AC的值为
．
16．32x=2，3y=5，则求34x﹣2y=
．
17．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DA E，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=
．
18．如图所示，点B、C、E在同一直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列所有正确的结论序号为
①△ACE≌△BCD，②BG=AF，③△DCG≌△ECF，④△ADB≌△CEA，⑤DE=DG，⑥∠AOB=60°．
三、解答题
19．把下列多项式分解因式 （1）2xy2﹣8x （2）4a2﹣3b（4a﹣3b） 20．计算或化简
（1）（﹣ a2b）3÷（﹣ a2b）2× a3b2 （2）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）
21．先化简再求值，（ab+1）（ab﹣2）+（a﹣2b）2+（a+2b）（﹣2b﹣a），其中a= ，b=﹣ ．
22．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=17，ab=60，求阴影部分的面积．
23．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n） （2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2 +2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1） 参考上面的方法解决下列问题： （1）a2+2ab+ac+bc+b2=
；
（2）△ABC三边a、b、c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．
24．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点． （1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
25．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直线顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C、A1B1交于点D、E，AC与A1B1交于点F． （1）求证：BD=B1F；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？并说明理由；
（3）根据图1直接判断命题“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的真假
（填真命题或假命题）；将图2中三角板ABC绕点C顺时针旋转至图3的位置，当AB∥CB1时，请直接写出A1D与CD的数量关系：
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列说法正确的是（
） A．1的立方根是﹣1 B． =±2 C． 的平方根是3 D．0的平方根是0 【解答】解：A、1的立方根是1，故选项错误； B、=2，故选项错误； C、=9，9的平方根是±3，故选项错误； D、0的平方根是0，故选项正确． 故选：D．
2．下列运算正确的是（
）
A．a2•a3=a6 B．（a3）3=a9 C．（2a2）2=2a4 D．a8÷a2=a4 【解答】解：A、应为a2•a3=a5，故本选项错误； B、（a3）3=a9，正确；
C、应为（2a2）2=4a4，故本选项错误； D、应为a8÷a2=a6，故本选项错误． 故选：B．
3．在实数 ，0， ， ，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）， ， 中无理数有（
） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解： =0.5， =2，
无理数有： ，0.1010010001…， ，共3个． 故选：B．
4．若改动多项式3a2+12ab+b2中某一项，使它变成完全平方式，则改动的方法是（
） A．只能改动第一项 B．只能改动第二项
C．只能改动第三项 D．可以改动三项中任意一项
【解答】解：若改动多项式3a2+12ab+b2中某一项，使它变成完全平方式，则改动的方法是只能改动第三项， 故选：C．
5．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（
） A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 【解答】解：A、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意； B、x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意； C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故C选项不合题意； D、x2+2x+1=（x+1）2，故D选项符合题意． 故选：D．
6．下列命题不正确的是（
）
A．立方根等于它本身的实数是0和±1 B．所有无理数的绝对值都是正数
C．等腰三角形的两边长是6和9，则它的周长是21或24 D．腰长相等，且有一个角是45°的两个等腰三角形全等
【解答】解：A、立方根等于它本身的实数是0和±1，所以A选项为真命题； B、所有无理数的绝对值都是正数，所以B选项为真命题；
C、等腰三角形的两边长是6和9，则它的周长是21或24，所以C选项为真命题；
D、腰长相等，且有一个角是45°的两个等腰三角形不一定全等，所以D选项为假命题． 故选：D．
7．如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△APR≌△QPS中（
）
A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确 【解答】解：如图，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL）， ∴AR=AS，①③正确； ∠BAP=∠PAS， ∵AQ=PQ，
∴∠PAQ=∠APQ， ∴∠BAP=∠APQ， ∴QP∥AB，②正确， 故选：A．
8．如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正 方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（
）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【解答】解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形； 当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形； 当P与A重合时，△PBD为等腰三角形； 当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；
当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个； 当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个； 综上，直线AB上会发出警报的点P有9个． 故选：C．
二、填空题
9．1 的算术平方根是
，﹣ = ．
【解答】解：1 的算术平方根是 ，﹣ =﹣ = ． 故答案为： ， ．
10．把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式： 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 ．
【解答】解：把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
11．若 与 互为相反数，则x+y的平方根是 ±1 ． 【解答】解：∵ 与 互为相反数， ∴3x﹣7+3y+4=0， 3x+3y=3， x+y=1，
即x+y的平方根是±1， 故答案为：±1．
12．已知﹣5x2与一个整式的积是25x2+15x3y﹣20x4，则这个整式是 ﹣5﹣3xy+4x2 ． 【解答】解：∵﹣5x2与一个整式的积是25x2+15x3y﹣20x4， ∴（25x2+15x3y﹣20x4）÷（﹣5x2） =﹣5﹣3xy+4x2．
故答案为：﹣5﹣3xy+4x2．
13．计算：（ ）2014×1.52013÷（﹣1）2014= ． 【解答】解：（ ）2014×1.52013÷（﹣1）2014 =（ × ）2013× ÷1 =1× ÷1 = ，
故答案为： ．
14．已知5+ 小数部分为m，11﹣ 为小数部分为n，则m+n= 1 ． 【解答】解：∵4＜7＜9， ∴2＜ ＜3，
∴7＜5+ ＜8，8＜11﹣ ＜9，
∴m=5+ ﹣7= ﹣2，n=11﹣ ﹣8=3﹣ ， ∴m+n= ﹣2+3﹣ =1． 故答案为：1．
15．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于点F，若△AEF的周长为16，则AB+AC的值为 16 ．
【解答】解：∵EF∥B C，
∴∠BOE=∠OBC，∠COF=∠OCB，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点， ∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB， ∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠COF， ∴BE=OE，CF=OF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC， ∵△AEF的周长为16， ∴AB+BC=16， 故答案为16．
16．32x=2，3y=5，则求34x﹣2y= ． 【解答】解：原式= = ，
当32x=2，3y=5时，原式= = ． 故答案为： ．
17．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= 55° ．
【解答】解：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1=∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2=∠ABD=30°， ∵∠1=25°，
∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°， 故答案为：55°．
18．如图所示，点B、C、E在同一直线上，△AB C与△CDE都是等边三角形，则下列所有正确的结论序号为 ①②③⑥
①△ACE≌△BCD，②BG=AF，③△DCG≌△ECF，④△ADB≌△CEA，⑤DE=DG，⑥∠AOB=60°．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD， 即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中
，
故①成立；
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠ACD=60°，
在△BGC和△AFC中
，
∴△BGC≌△AFC， ∴BG=AF． 故②成立；
∵△BCD≌△ACE， ∴∠CDB=∠CEA， 在△DCG和△ECF中
，
∴△DCG≌△ECF， 故③成立；
∵△BCD≌△ACE， ∴∠CDB=∠CEA， ∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠ACD=60°， ∴∠BCD=120°，
∴∠DBC+∠BDC=60°， ∴∠DBC+∠AEC=60°． ∵∠AOB=∠DBC+∠AEC， ∴∠AOB=60°． 故⑥成立；
在△ADB和△CEA中，只有AB=AC，BD=AE，两边对应相等不能得到两三角形全等；故④不成立；
若DE=DG，则DC=DG， ∵∠ACD=60°，
∴△DCG为等边三角形，故⑤不成立． ∴正确的有①②③⑥． 故答案为①②③⑥．
三、解答题
19．把下列多项式分解因式 （1）2xy2﹣8x （2）4a2﹣3b（4a﹣3b）
【解答】解：（1）原式=2x（y2﹣4）=2x（y+2）（y﹣2）； （2）原式=4a2﹣12ab+9b2=（2a﹣3b）2．
20．计算或化简
（1）（﹣ a2b）3÷（﹣ a2b）2× a3b2 （2）（2+1）×（22+ 1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1） 【解答】解：（1）（﹣ a2b）3÷（﹣ a2b）2× a3b2 =﹣ a6b3÷ a4b2× a3b2 =﹣ a2b× a3b2 =﹣2a5b3 （2）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1） =（2﹣1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1） =（22﹣1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1） =（24﹣1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1） =（28﹣1）×（28+1）×（216+1）×（232+1） =（216﹣1）×（216+1）×（232+1） =（232﹣1）×（232+1） =264﹣1
21．先化简再求值，（ab+1）（ab﹣2）+（a﹣2b）2+（a+2b）（﹣2b﹣a），其中a= ，b=﹣ ．
【解答】解：原式=a2b2﹣ab﹣2+a2+4b2﹣4ab﹣2ab﹣a2﹣4b2﹣2ab， =a2b2﹣9ab﹣2， 当a= ，b=﹣ 时，
原式= × +9× × ﹣2= + ﹣2= ﹣2= ．
22．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=17，ab=60，求阴影部分的面积．
【解答】解：∵a+b=17，ab=60，
∴S阴影=S正方形ABCD+S正方形EFGC﹣S△ABD﹣S△BGF =a2+b2﹣ a2﹣ （a+b）•b=a2+b2﹣ a2﹣ ab﹣ b2= a2+ b2﹣ ab = （a2+b2﹣ab）= [（a+b）2﹣3ab]= ×（172﹣3×60）= ．
23．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n） （2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1） 参考上面的方法解决下列问题：
（1）a2+2ab+ac+bc+b2= （a+b）（a+b+c） ；
（2）△ABC三边a、b、c满足a2﹣ab﹣ac+ bc=0，判断△ABC的形状． 【解答】解：（1）原式=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）； 故答案为：（a+b）（a+b+c）； （2）a2﹣ab﹣ac+bc=0，
整理得：a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，即（a﹣b）（a﹣c）=0， 解得：a=b或a=c，
则△ABC为等腰三角形．
24．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点． （1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC， ∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠CAD=∠CBD=45°， ∴∠CAE=∠BCG， 又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°， 又∵∠ACE+∠BCF=90°， ∴∠ACE=∠CBG， 在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB（ASA）， ∴AE=CG， （2）解：BE=CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°， ∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°， 在△BCE和△CAM中， ， ∴△BCE≌△CAM（AAS）， ∴BE=CM．
25．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直线顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C、A1B1交于点D、E，AC与A1B1交于点F． （1）求证：BD=B1F；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？并说明理由；
（3）根据图1直接判断命题“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的真假 真命题 （填真命题或假命题）；将图2中三角板ABC绕点C顺时针旋转至图3的位置，当AB∥CB1时，请直接写出A1D与CD的数量关系： A1D=CD
【解答】解：（1）由题意知，BC=BC1，∠B=∠B1，∠ACB=∠A1CB1=90°， 由旋转知，∠A1CB=∠A CB1， 在△BCD和△B1CF中， ， ∴△BCD≌△B1CF， ∴BD=B1F；
（2）AB与A1B1垂直， 理由：∵旋转角为30°， ∴∠ACA1=30°，
∴∠B1CF=90°﹣30°=60°， ∵∠B1=60°，
∴∠B1FC=180°﹣∠B1﹣∠ACB1=60°， ∴∠AFE=60°， ∵∠A=30°，
∴∠AEF=180°﹣∠A﹣∠AFE=90°， ∴AB⊥A1B1；
（3）由题意知，∠BAC=∠B1AC=30°，∠B=∠B1， ∴△ABA1是等边三角形， ∴BB1=AB，
∵BB1=B C+B1C=2BC， ∴BC= AB，
∴直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半， 故答案为：真命题； ∵AB∥CB1，
∴∠ACB1=∠A=30°，
∴∠ACD=90°﹣30°=60°， ∴∠ADC=180°﹣∠A﹣∠ACD=90°， 在Rt△ACD中，∠A=30°，
∴CD= AC（直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半）， ∵AC=A1C， ∴CD= A1C， ∵A1D+CD=A1C， ∴A1D=CD，
故答案为：A1D=CD．
